«Моторчик - колодец»

Метод «Моторчик - колодец» применяется в том случае, если необходимо принудительно отобрать энергию из какого-либо места или органа, с целью очищения или снятия боли. Очищение энергополя органа (например, печени) проводят следующим образом: ладонь вытянутой рабочей руки накладывают на печень, вытягивают левую руку в противоположную сторону, ладонью к полу. Определив положения ладони левой руки, представляют и отрывают под ней рабочий колодец. Затем нужно представить, что из ладони правой руки, через предплечье, плечо и плечевой пояс, в ладонь левой руки идет шланг, труба и т.д. (любой замкнутый контур, который позволит энергии протекать в заданном им направлении, а не растекаться по вашему энергополю). Затем, в этом контуре вы представляете «моторчик» в районе правого плеча. Моторчик, любой формы, цвета и т.д. нужен для создания в контуре избыточного «энергетического» давления, которое позволит энергии перетекать через контур из печени в рабочий колодец. Закончив с построением контура, мысленно «включают» моторчик. При работе обращают внимание лишь на качество (цвет) той энергии, которая выходит из ладони левой руки в колодец. Когда цвет ее перестанет быть темным и станет прозрачным или золотым, очищение можно прекращать, закрывать колодец и снимать руки. Количество «перекачиваемой» энергии не зависит от мышечных усилий ваших рук. При любых обстоятельствах старайтесь работать легко. Следите, чтобы руки не были согнуты и образовывали, по возможности, прямую линию.

Для снятия боли, метод можно применять и вне сеанса. Вне сеанса пациент может сидеть или лежать.

При снятии головной боли или контактном очищении энергополя головы, рабочая рука прорабатывает следующие позиции: темя, макушка, затылок, переход затылка в шею, левый висок, правый висок, лоб. Необязательно прорабатывать все позиции. Если во время работы требуется перейти на другое место (высокий пациент, неудобное место работы), то не забывайте открывать и, при переходе, закрывать рабочие колодцы. Если на сеансе открыт общий рабочий колодец на всю комнату, то при работе методом «моторчик - колодец», дополнительные колодцы открывать не нужно.

Исключения: методом «Моторчик-колодец» не работают с энергоцентрами, сердцем и селезенкой.

Списывание

Метод списывания основан на распространенном способе переноса информации на материальный носитель, в данном случае - бумагу. Применяется для списывания «привязок», в том числе и некротических. Практически всегда применяется при лечении диабета и астмы. В то же время методика является дополнительной и специфической. Нет никакой необходимости применять ее без необходимости, тем более часто. Для решения задач списывания достаточно трех-четырех сеансов, даже в самых запущенных случаях. Списывание можно проводить на сеансе, как правило, в начале, до контактной работы с пациентом. Можно проводить списывание и вне сеанса, тогда на время списывания целителю на себя можно открыть какую-либо частоту для защиты. Для проведения списывания нужно поставить пациента перед собой и настроится на него, как при диагностике. Смотреть на пациента рассеянным взглядом, охватывая все энергополе. Списывают, как правило, на стандартные листы писчей бумаги (А4). На узких боковых сторонах рисуют два пентакля (пятиконечных звезды), по одному с каждой стороны, вершиной наружу. Широкие стороны листа смотрят, одна на целителя, другая на пациента.

Настроившись на пациента, даем установку или ясно понимаем, что мы хотим перенести на бумагу проблемы пациента (в виде информации). Начинаем списывание с вычерчивания одинаковых фигур (кольца, восьмерки, спирали). Чертим их до тех пор, пока мозг не перестанет контролировать этот однообразный процесс и рука не «освободится». С этого момента и начинается процесс списывания. Рука переносит на лист информацию из поля пациента в виде линий, черточек, спиралей, знаков и т.д. Целитель настроен на пациента и только «краем глаза» посматривает в лист, что бы ручка или карандаш не выходили за край листа, списывая информацию на ваш письменный стол. Не следует так же зачеркивать пентакли и не желательно зачеркивать уже списанные строки. Если лист закончился, нужно сложить его, не рассматривая, исписанной стороной внутрь и, взяв следующий лист, снова нарисовать пентакли. Если необходимо, нужно снова настроиться на пациента и рисовать восьмерки для «освобождения руки». Списывание продолжать не более 10-15 минут и только один раз в день с одного и того же пациента. Если рука, в процессе списывания, останавливается, замирает, то списывание на сегодня можно заканчивать. Все исписанные листы надо сжечь полностью, до последнего клочка, сразу же по завершении процесса списывания и пепел смыть водой.

Списывание с самого себя вышеописанным способом, возможно лишь в качестве «аутотренинга», для «уговаривания» самого себя в том, что это помогает. Методологически - списывание с самого себя - дорога в психиатрическую клинику.

Очищение помещений с помощью Космоэнергетики

Для энергетического очищения помещений используют частоты Фираст или Глаих.

Очищение помещений частотой Фираст на примере стандартной квартиры

Придя в квартиру, нуждающуюся в очищении, необходимо открыть частоту Фираст на все помещение, представив поток частоты на всю площадь квартиры, от потолка до пола. Нужно ясно понимать или дать установку, что частота используется именно для очищения помещения и защиты людей в ней сейчас находящихся (чем их меньше, тем лучше). Если место хорошо знакомо, то частота открывается на всю квартиру сразу, если нет, то на каждую комнату (включая ванную, кладовые и т.д.), когда вы туда входите. Двери всех помещений должны быть открыты, желательно (но необязательно) зажечь несколько свечей и ароматических палочек. Открыв частоту на все помещение, необходимо заняться обнаружением и блокировкой геопатогенных зон. Если не заблокировать все зоны, то очищение помещений необходимо проводить дополнительно с периодичностью, примерно, два раза в год. Как минимум, необходимо заблокировать геопатогенные зоны в районе спальных мест и в местах, где прожимающие в квартире проводят много времени.

Затем, начиная с любой комнаты, продолжают очищение помещений. Выйдя на середину комнаты и представляя из ладони рабочей руки поток частоты Фираст в виде луча, необходимой длинны и площади (нет необходимости очищать квартиры соседей), проходят этим лучом все стены, пол и потолок этой комнаты. При работе, желательно проговаривать частоту Фираст.

Особое внимание следует обращать на углы комнаты, дверные проемы и пороги. Поскольку луч частоты Фираст не имеет материальных препятствий, то одновременно очищаются и все вещи, мебель и т.д., через которые он проходит. Закончив с одной комнатой, переходят в другую, третью и т.д., пока не очистят все помещения квартиры. После этого, снова возвращаются в комнату, с которой начинали очищение. Выйдя на середину и закрыв глаза (необязательно), нужно понять, почувствовать, насколько комфортно, легко вам находится в этой комнате. Если ощущение комфортное, то можно переходить в следующую комнату и продолжать проверку ощущений там, если нет, то нужно установить место и причину вашего дискомфорта. Поворачиваясь в разные стороны, вы приблизительно определяете место, источник дискомфортных ощущений. Затем проводите дополнительную проверку на наличие геопатогенных зон в этом месте и при нахождении, блокируете. Если источник проблемы другого рода, то эту часть комнаты еще раз очищаете частотой Фираст, более тщательно. Решив проблему, снова проводите проверку ваших ощущений. Работаете, таким образом, пока ваши ощущения в этой комнате не станут достаточно комфортными. При наличии действительно сложной проблемы, очищение квартиры проводят три дня подряд.

Добившись комфортных ощущений в каждой комнате, кухне, ванной и т.д. очищение помещения можно считать законченным. Частота Фираст не закрывается.

При очищении помещений, товаров, складов, магазинов с другой целью, меняется установка при открытии частоты и понимание что, и для чего вы делаете. Так же меняется оценка ваших ощущений при проверке работы. Ощущения должны соответствовать поставленным задачам. Сама же методика работы частотой Фираст остается неизменной.

Обнаружение и блокировка геопатогенных зон

Геопатогенными зонами называются места (локальные точки) выхода или входа отрицательной или положительной энергии земного происхождения. (Не путать с аномальными зонами, образовавшимися по другим причинам (Места Силы, Ритуальная магия, процессы внеземного характера и т.д.)).

Через отрицательные геопатогенные зоны происходит выброс низковибрационной (негативной) энергетики на поверхность. В отрицательной геопатогенной зоне не рекомендуется спать, располагать рабочий стол или место для отдыха. Так же, впрочем, как и в положительной.

Сетка выходов и входов геопатогенной энергии представляет собой неправильный квадрат, со сторонами около двух метров и расположена по всей поверхности планеты, включая моря и океаны.

Обнаружение ГЗ

Для обнаружения геопатогенных зон используются одна или две биолокационные рамки, в зависимости от навыка работы с рамками. Рамке дается установка на отклонение в центре геопатогенной зоне. Необходимо пронести рамку по всей площади комнаты, фиксируя отклонения какими-либо предметами. В результате получится сетка с вышеописанными размерами. При несоответствии каких-то зон общей геометрической сетке, необходимо еще раз, с помощью рамки, уточнить расположение их центров.

Блокировка ГЗ

Существует несколько распространенных способов блокировки геопатогенных зон.

1. С помощью зеркала или системы зеркал. (Не рекомендуется).

2. С помощью «змейки» или системы змеек, определенной формы, изготовленных из тонкой металлической, проволоки. Для изготовления подходит любой цветной (немагнитный) металл. Толщина проволоки значения не имеет. Принцип действия змейки - перевод излучения зоны из вертикальной плоскости в горизонтальную и вывод за пределы помещения.

Змейка укладывается головкой точно в центр геопатогенной зоны, хвостиком к ближайшей стене выходящей на улицу. После этого снова проверяется рамкой, заблокирована ли геопатогенная зона. Если нет, то снова проверяется центровка змейки.

Крайне редко, для блокировки зоны одной змейки бывает недостаточно. В этом случае в центр зоны укладываются три змейки, совмещенные головками, хвостики которых направлены в три разные стороны, как равносторонний треугольник. После проверки рамкой и уверенности в том, что зона блокирована, змейки прикрепляют к полу с помощью липкой ленты. Предупредите, чтобы при уборке или в иных случаях, змейки не сдвигали.

Работа по фотографии и мыслеобразу

Лечение по мыслеобразу (не путать с фантомом) проводится двумя способами.

1. Как обычно, по схеме лечебного сеанса, представляя мыслеобраз пациента стоящим рядом с вами и удерживая его на все время работы. ЛОТОС и колодец не открываются. Не делаются разрезы энергополя пациента и его органов. Работать можно контактно. По окончании сеанса «отправить» мыслеобраз к пациенту.

«Комбинации» - Задачу правильно решили 13 уч., а пример-17. не справились с работой 3 ученика. Имеются буквы А,В,С,Д. составить все комбинации только из двух букв. Решение: АВС, АСВ, ВАС,ВСА,САВ,СВА 6 комбинаций. Задача №1. Сколько учеников успешно решили контрольную работу. Размещения. Контрольная работа состояла из задачи и примера.

«Задачи по комбинаторике» - Правило сложения Правило умножения. Решение: 3 * 2 = 6 (способ). Задача № 3. Сколькими способами можно выбрать одну книгу. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера? Решение: 30 + 40 = 70 (способами). Комбинаторика. Правило умножения. Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера.

«Элементы комбинаторики» - Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? Что такое размещения? Определение: Записать формулу для нахождения числа сочетаний? Число размещений из n элементов по k обозначаются (читается: «А из n по k»). Что такое факториал? Правило. Отгадай ребусы. Что такое сочетания?

«Формулы для перестановок, сочетаний, размещений» - Количество перестановок. Размещения. Лесник. Слово «факториал». Сочетания. Формулы для подсчёта количества перестановок. Подарок. Количество размещений. Перестановки. Очередь. Количество сочетаний.

«Перестановки элементов» - Перебор перестановок. Нумерация множества. Пример отображения. Комбинаторика. Нумерация перестановок. Экзаменационные вопросы. Задача о минимальном числе инверсий. Отображение. Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности. Дискретный анализ. Задача о минимуме скалярного произведения. Прямой алгоритм лексикографического перебора перестановок.

«Комбинаторные задачи и их решения» - Требования к уровню подготовки. Содержание программы. Учебно-тематический план. Школьнику о теории вероятностей. Комбинаторные задачи и их решения. Пояснительная записка. Презентации. Углубление знаний учащихся. Появление стохастической линии. Поурочное планирование.

Все книги можно скачать бесплатно и без регистрации.

NEW. Д. Норри, Ж. де Фриз. Введение в метод конечных. 1981 год. 304 стр. djvu. 2.7 Мб.
Написанный голландскими математиками инженерный курс метода конечных элементов, содержащий изложение основ метода и разнообразных примеров решения задач с соответствующими программами на языке Фортран IV. Книга предназначена для математиков-прикладников и инженеров-расчетчиков в различных областях техники.

Скачать

NEW. Э. Митчелл, Р. Уэйт. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. 1981 год. 214 стр. djvu. 1.8 Мб.
Предлагаемая книга посвящена методу конечконечных элементов и отличается от других книг по этой тематике простотой и компактностью изложения, широтой охвата материала и методичностью изложения. В книге даются анализ различных вариантов метода и многочисленные примеры его применения к конкретным задачам. Приведено свыше ста упражнений различной степени трудности. Книга полезна для специалистов, применяющих метод конечных элементов на практике, и студентов, специализирующихся в области прикладной математики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Бате, Вилсон. Численные методы анализа и метод конечных элементов. 1982 год. 450 стр. djvu. 9.3 Мб.
В книге излагаются численные методы анализа, применяемые при решении задач строительной механики методом конечных элементов и получившие развитие в связи с широким использованием ЭВМ в практике расчетов. Рассмотрены основные теории матриц и линейной алгебры, основные принципы метода конечных элементов. Значительное внимание уделено методам решения систем линейных уравнений в статических и динамических задачах метода конечных элементов. Приведены численные примеры, иллюстрирующие сравнительные характеристики рассматриваемых методов.
Для научных и инженерно-технических работников научно-исследовательских и проектных организаций.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Галлагер P. Метод конечных элементов. Основы. 1984 год. 428 стр. djvu. 3.6 Мб.
Книга написана крупным американским ученым, одним из разработчиков известного метода конечных элементов. В ней глубоко и всесторонне рассмотрены вопросы применения метода конечных элементов и вариационного подхода к задачам теории упругости. Изложение начинается с простейших понятий, поэтому книга может использоваться как учебное пособие.
Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, механике деформируемого твердого тела.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Голованов А.П., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. 2006 год. 392 стр. djvu. 3.1 Мб.
Книга посвящена проблеме построения конечно-элементных моделей оболочек малой и средней толщины. Структурно книга состоит из трех разделов. Первый раздел содержит анализ различных подходов построения конечных элементов тонких непологих оболочек с точки зрения выполнения требований сходимости (совместность, представление смещений как твердого целого и независимых деформируемых состояний). Второй раздел посвящен описанию и детальному анализу конечных элементов оболочек, построенных на основе уравнений трехмерной теории упругости. Предлагается оригинальная методика двойной аппроксимации деформаций по точкам суперсходимости и показывается ее эффективность на многочисленных тестовых примерах. Дается обобщение предложенного 9-узлового конечного элемента с биквадратической изопараметрической аппроксимацией на случай многослойных оболочек из композитных материалов. Приводятся примеры расчета задач статики и динамики реальных конструкций. В третьем разделе разработанный квадратичный конечный элемент распространяется на класс физически и геометрически нелинейных задач. Используется метод пошагового нагружения в форме модифицированной лагранжевой постановки.
Для научных и инженерно-технических работников, аспирантов, магистров и студентов старших курсов, занимающихся вопросами применения метода конечных элементов при расчете оболочек малой и средней толщины.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cкачать

А.В. Румянцев. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности. 1995 год. 170 стр. pdf. 8.1 Мб.
В учебном пособии рассматриваются основы метода конечных элементов в формулировке метода взвешенных невязок - метода Галеркина, применительно к стационарным и динамическим задачам теплопроводности при наличии сложного - трехкомпонентного теплообмена, внешних и внутренних источников (стоков) тепла и с учетом температурной зависимости теплофизических параметров. Пособие содержит большое количество задач, решение которых способствует более глубокому усвоению излагаемого материала.
Предназначено для студентов и аспирантов теплофизического (теплотехнического) профиля. Изложено в форме, доступной для самостоятельного изучения и получения практических навыков численного решения задач теплопроводности методом конечных элементов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Ф. Сьярле. Метод конечных элементов для эллиптических задач. 1980 год. 510 стр. djvu. 5.9 Мб.
Книга известного французского математика посвящена изучению математических основ метода конечных элементов для эллиптических краевых задач. Она служит введением в современные исследования по этому предмету и содержит анализ наиболее актуальных задач. При этом автор ограничивается теми случаями, которые используются в современных инженерных приложениях. Книга будет полезна научным работникам и инженерам, применяющим метод конечных элементов в своей практической деятельности. Она может быть использована как учебное пособие по численному анализу для студентов вузов.

Слайд 2

Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты сооружений с более подробным описанием их внутренней структуры и с более точным учетом действующих нагрузок. Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). 1. Понятие о методе конечных элементов Метод конечных элементов– это метод расчета сооружений, основанный на рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными элементами (КЭ). В дискретном методе мы рассмотрели три типа стержневых элемента, которые используются и в МКЭ как конечные элементы.

Слайд 3

Например, элемент 3-его типа в МКЭ называются ферменным КЭ, а 1-го типа – плоским стержневым КЭ. При расчете пространственных рам используется КЭ бруса. В расчетах плоских тел используются треугольный или четырехугольный КЭ. При расчете пространственных сооружений могут использоваться КЭ призмы или КЭ тетраэдра и др. Для расчета разных сооружений разработано множество других КЭ. ферменный КЭ стержневой КЭ КЭ бруса треугольный КЭ четырехугольный КЭ призменный КЭ тетраэдальный КЭ

Слайд 4

МКЭ – дискретный метод. В этом методе сооружение делится на определенное число КЭ, соединяемых между собой в узлах конечно-элементной модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения конечно-элементной модели. В пределах одной и той же расчетной схемы сооружения можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, т.к. можно: − разбить ее на разное количество однотипных КЭ; − представить ее как комбинацию различных типов КЭ; − реализовать различные варианты МКЭ − в формах метода сил, метода перемещений и смешанного метода. В настоящее время широкое распространение получил МКЭ в форме метода перемещений.

Слайд 5

2. Вариационные основы МКЭ При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется полная потенциальная энергия U: U = W – V. Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения. Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле: для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной. Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю:

Слайд 6

где символ  означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Это уравнение позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии. Так как U =W − V , уравнение Лагранжа принимает вид Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения − дифференциала. Тогда получается вариационное уравнение Лагранжа: и формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна вариации работы внешних сил. Вариационный принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи к дискретной задаче путем аппроксимации непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента через его узловые перемещения. Этот принцип является основой варианта МКЭ в форме метода перемещений. Имеются и другие вариационные принципы − принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др.

Слайд 7

3. Аппроксимация КЭ При выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе вводятся узлы с тремя, с двумя или с одной степенью свободы: Для использования принципа Лагранжа вводятся координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов: где – вектор перемещений внутренних точек КЭ,C– матрица координатных функций,  – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома, КЭ называется комплекс-элементом.

Слайд 8

Как пример рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j в местной системе координат. Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы и соответствующие им узловые перемещения u1i и u1j. Пусть в узлах КЭ приложены силы P1i и P1j: Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени Запишем его в матричной форме: где − матрица координатных функций, − вектор коэффициентов.

Слайд 9

Подставив и в полином, получим два равенства: С другой стороны, Тогда предыдущие уравне-ния примут вид: Их можно записать в матричной форме: или как где

Слайд 10

Определим вектор: Тогда или Входящая сюда матрица называется матрицей форм. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов. По аналогии с перемещениями, поле внутренних усилий в КЭ можно аппроксимировать через вектор узловых сил по формуле

Слайд 11

4. Матрица жесткости КЭ

Известные в механике геометрические и физические соотношения для континуальных систем можно записать в виде, аналогичном рассмотренным ранее уравнениям дискретного подхода: для дискретной системыдля континуальной системы Здесь: и – вектора деформаций и напряжений, и – матрицы равновесия и податливости. При рассмотрении конечного элемента как континуальной системы, принцип Лагранжа можно записать в виде где левая и правая части представляют возможные работы внутренних и внешних сил, а интегрирование ведется по объему КЭ V.

Слайд 12

После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с использованием матрицы форм H. Тогда, после ряда преобразований получается матричное уравнение, связывающее вектор узловых перемещений uс вектором узловых усилий PКЭ: в которой симметричная квадратная матрица − матрица жесткости конечного элемента. Физический смысл любого элемента kij матрицы K – это реакция (реактивная сила), возникающая в i-ом направлении отзаданного единичного перемещения в j-ом направлении.

Слайд 13

К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося в одноосном напряженном состоянии, геометрическое уравнение будет Сравнив его с матричным уравнением видим, что матрица равновесия будет дифференциальным оператором с одним членом: Из уравнения связи между деформацией и напряжением следует, что матрица податливости будет:

Слайд 14

Для определения матрицы жесткости такого КЭ вычислим все необходимые величины: Интегрирование по объему V сводится к интегрированию по длине l КЭ, т.к. (F − площадь сечения КЭ):

Слайд 15

При рассмотрении прямо-угольного КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b с четырьмя узлами i, j, k, m и восемью узловыми перемещениями, ее матрица жесткости будет иметь размеры 88. Для краткости записи эту матрицу жесткости представим в блочной форме с 16 блоками одинаковой размерности 22: Здесь μ – коэффициент Пуассона. Элементы каждого блока матрицы Kопределяются по разным формулам. Например,

Посмотреть все слайды

Метод конечных элементов (МКЭ) - основной метод современной строительной механики, лежащий в основе подавляющего большинства современных программных комплексов, предназначенных для выполнения расчетов строительных конструкций на ЭВМ.

Но диапазон его применения чрезвычайно широк: строительство и машиностроение, гидро- и аэродинамика, горное дело и новейшая техника, а также различные задачи математической физики – теплопроводности, фильтрации, распространения волн и т. д.

Метод конечных элементов, как и многие другие численные методы, основан на представлении реальной континуальной конструкции ее дискретной моделью и замене дифференциальных уравнений, описывающих НДС сплошных тел, системой алгебраических уравнений. Вместе с тем МКЭ допускает ясную геометрическую, конструктивную и физическую интерпретацию.

Суть метода заключается в том, что область (одно- , двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей (рис. 1). Последние носят название конечных элементов (КЭ), а сам процесс разбивки – дискретизацией .

В зависимости от типа конструкции и характера ее деформации КЭ могут иметь различную форму. Так, при расчете стержневых систем (фермы, балки, рамы) КЭ представляют собой участки стержней; для двумерных континуальных конструкций (пластины, плиты, оболочки) чаще всего применяют треугольные и прямоугольные (плоские или изогнутые) КЭ; а для трехмерных областей (толстые плиты, массивы) – КЭ в форме тетраэдра или параллелепипеда. В отличие от реального сооружения в дискретной модели конечные элементы связываются между собой только в отдельных точках (узлах ) определенным конечным числом узловых параметров .

МКЭ – это вариационный метод. Функционал энергии для всей рассматриваемой области здесь представляется в виде суммы функционалов отдельных ее частей – конечных элементов. По области каждого элемента, независимо от других, задается свой закон распределения искомых функций. Такая кусочно-непрерывная аппроксимация выполняется с помощью специально подобранных аппроксимирующих функций, называемых также координатными или интерполирующими . С их помощью искомые непрерывные величины (перемещения, напряжения и т.д.) в пределах каждого КЭ выражаются через значения этих величин в узловых точках, а произвольная заданная нагрузка заменяется системой эквивалентных узловых сил.

При такой кусочно-непрерывной аппроксимации обеспечивается условие совместности лишь в узлах, а в остальных точках по границам КЭ это условие удовлетворяется в общем случае приближенно (в связи с этим различают КЭ разной степени совместности).

Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Ритца и вариационно-разностным методом (в дальнейшем мы будем в основном рассматривать именно этот вариант МКЭ). Различие между традиционной схемой метода Ритца и МКЭ в форме метода перемещений заключается в выборе системы аппроксимирующих функций. Если в методе Ритца аппроксимация перемещений производится по всей области их определения, то в МКЭ – по каждому конечному элементу в отдельности, что позволяет использовать аппроксимирующие функции более простого вида. В первом случае функционал полной потенциальной энергии варьируется по неопределенным коэффициентам , во втором – по перемещениям в узлах сетки, что приводит к системе алгебраических уравнений метода перемещений (основными неизвестными являются непосредственно узловые перемещения). При этом использование кусочно-непрерывной аппроксимации позволяет получить редко заполненную или ленточную структуру матрицы коэффициентов системы уравнений и таким образом дает возможность применения более эффективных методов ее решения.

Число узлов и число перемещений в узле (степень свободы узла) , принятые для конечного элемента, могут быть различными, однако не должны быть меньше минимально необходимых для описания напряженно-деформированного состояния КЭ в рамках принятой физической модели. Число независимых перемещений во всех узлах элемента определяет степень свободы КЭ . Степень свободы всей конструкции и соответственно порядок системы разрешающих уравнений определяется суммарным числом перемещений всех ее узлов. Поскольку основными неизвестными МКЭ в форме метода перемещений считаются узловые перемещения, степень свободы КЭ и всей конструкции в целом является чрезвычайно важным понятием в МКЭ. Понятия о степени свободы узла, КЭ и конструкции и степени их же кинематической неопределимости идентичны.

Способ разбивки рассматриваемой области на конечные элементы, их число и число степеней свободы, а также вид аппроксимирующих функций в конечном итоге предопределяют точность расчета конструкции. Следует отметить, что простым увеличением числа конечных элементов не всегда удается достичь повышения точности расчетов. Вопросы устойчивости и сходимости решения, а также оценки точности полученных результатов являются основными при использовании МКЭ.

По сравнению с другими численными методами МКЭ в лучшей степени алгоритмизирован и более гибок при описании геометрии и граничных условий рассчитываемой области. Кроме того, к достоинствам метода следует отнести его физическую наглядность и универсальность.

Применительно к стержневым системам МКЭ в форме метода перемещений может рассматриваться как матричная форма классического метода перемещений, отличающаяся только более глубокой формализацией алгоритма и ориентацией его на использование ЭВМ.

Метод конечных элементов позволяет практически полностью автоматизировать расчет стержневых систем, хотя, как правило, требует выполнения значительно большего числа вычислительных операций по сравнению с классическими методами строительной механики. Однако, в современных условиях большой объем вычислений не является серьезной проблемой, и, в связи с этим, при внедрении ЭВМ в инженерную практику МКЭ получил широчайшее распространение. Поэтому, знание основ метода конечных элементов и современных программных средств, позволяющих на его основе решать разнообразные задачи, в наше время для инженера является абсолютно необходимым.

Виды МКЭ

По способу получения основных, т. е. разрешающих, уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса.

Прямой метод аналогичен матричному методу перемещений для стержневых систем, в основе его лежат положения, которые использовались на ранней стадии развития МКЭ. Этот метод удобен своей простотой и очевидным геометрическо-физическим значением отдельных шагов аппроксимации. Соотношения для КЭ здесь строятся непосредственно на основе трех групп уравнений (трех сторон задачи ): статической , геометрической и физической . Однако область применения прямого метода весьма ограничена: его можно использовать лишь для конечных элементов простой геометрии с малым числом степеней свободы в узле.

Вариационный метод основан на принципах стационарности некоторой переменной, зависящей от одной или нескольких функций (такая переменная носит название функционала ). Применительно к механике деформируемого твердого тела эта переменная представляет собой потенциальную (функционал Лагранжа ) или дополнительную (функционал Кастилиано ) энергию системы или формируется на основе этих двух энергий (функционалы Хеллингера-Рейсснера, Ху-Вашицу ). Если в функционал подставить аппроксимирующие выражения искомых функций и применить к нему экстремальные принципы (соответственно принцип Лагранжа, принцип Кастилиано и т. д.), получим систему алгебраических уравнений, решением которой будут значения узловых неизвестных. В отличие от прямого вариационный метод может одинаково успешно применяться как к простым, так и сложным задачам.

Метод невязок представляет собой наиболее общий подход к построению основных соотношений МКЭ. Этот метод целесообразно применять при решении задач, у которых трудно или невозможно сформулировать вариационное уравнение, т.е. функционал. Суть метода взвешенных невязок заключается во введении некоторой невязки – отклонении приближенного аппроксимативного решения от точного решения дифференциальных уравнений для данной задачи. Чтобы получить ”наилучшее” решение, необходимо минимизировать некоторый интеграл от невязок по расчетной области. Для повышения эффективности в подынтегральное выражение наряду с самой невязкой обычно вводится так называемая весовая функция , в этом случае метод называется методом взвешенных невязок . Выбор схемы минимизации и весовых функций определяет различные варианты метода невязок. Наиболее часто применяемые из них – это метод Галеркина , который приводит к тем же уравнениям, что и вариационный подход, а также метод наименьших квадратов .

Метод энергетического баланса (метод Одена ) основан на балансе различных видов энергии, записанном в интегральной форме. Этот метод успешно применяется при решении нелинейных и динамических задач.

Из приведенных видов МКЭ в строительной механике особенно актуальны вариационный метод и метод взвешенных невязок Галеркина, которые для рассматриваемой задачи представляют собой два взаимно дополняющих метода одинаковой точности. Широкое применение этих методов обусловлено тем, что выражения в функционале или во взвешенном интеграле, как правило, имеют низший порядок производных по сравнению с производными в соответствующем дифференциальном уравнении для данной задачи. Это позволяет выбирать аппроксимирующие функции из более широкого семейства простых функций. Можно сказать, что вариационный вид МКЭ вышел из классического метода Ритца, а метод Галеркина – из обобщенного метода Бубнова-Галеркина. В принципе, из других методов также выводятся соответствующие виды МКЭ, однако их применяют значительно реже.

Формы МКЭ

В МКЭ, аналогично классическим методам строительной механики, за основные неизвестные могут приниматься величины разного типа: кинематические (перемещения, деформации), статические (внутренние силы, напряжения и др.) или смешанные кинематические и статические параметры. В зависимости от выбора узловых неизвестных различают три формы МКЭ: метод перемещений, метод сил и смешанный метод. С этой точки зрения МКЭ можно рассматривать как обобщение традиционных методов строительной механики стержневых систем применительно к расчету континуальных систем.

Метод перемещений – в настоящее время наиболее распространенная форма МКЭ. Это объясняется тем, что для заданной конструкции легче получить кинематически определимую основную систему метода перемещений, нежели статически определимую основную систему метода сил. Кроме того, матрица жесткости метода перемещений составляется без особых затруднений и, как правило, имеет разряженную или ленточную структуру.

В основе математической формулировки МКЭ в форме метода перемещений лежит вариационный принцип Лагранжа , т. е. принцип минимума потенциальной энергии системы . Основными неизвестными здесь являются перемещения узловых точек дискретной схемы, напряжения же вторичны и определяются путем численного дифференцирования перемещений.

К достоинствам метода относятся: простота реализации; удовлетворительные точность и устойчивость решения с гарантированной сходимостью к нижней границе. Минусы: точность определения напряжений намного ниже, чем перемещений, хотя именно значения напряжений важны при прочностных расчетах, к тому же поскольку приближенное решение отвечает нижней границе, то значения и перемещений, и напряжений оказываются заниженными.

Принцип минимума дополнительной энергии и связанные с ним схемы МКЭ в форме метода сил , а также вариационный принцип Рейсснера (смешанный метод ) не получили такого широкого распространения. Однако во многих случаях они могут быть эффективны, особенно в отношении вычисления напряжений. К тому же выполнение двойственных расчетов на основе альтернативных форм МКЭ позволяет, как правило, получить двухстороннюю оценку точного решения соответствующей задачи.

Главным плюсом МКЭ в форме метода сил является то, что основные неизвестные здесь – напряжения. И если бы в реализации метода сил не было определенных сложностей, значения напряжений можно было получать той же степени точности, что и перемещения в методе перемещений. Кроме того, использование принципа Кастилиано дает верхнюю границу приближенного решения (т. е. напряжения завышены), что в принципе лучше при расчетах на прочность, нежели заниженная оценка. Тем не менее, пока нет алгоритмов, в той же степени простых и устойчивых, имеющих гарантированную сходимость в обширном классе задач, подобно МКЭ в форме метода перемещений.

В основе вариационной формулировки смешанного метода лежит принцип стационарности различных форм функционала Рейсснера. При данном подходе перемещения и напряжения в пределах каждого КЭ аппроксимируются одновременно, поэтому нет необходимости завышать требования к непрерывности искомых функций и их производных. Напротив, можно задавать именно нужные аппроксимации, а поскольку смешанные вариационные принципы приводят и к смешанному виду соотношений между напряжениями и перемещениями для конечного элемента, можно получать более точное решение.

Однако имеются и большие минусы. Так, функционал Рейсснера не является выпуклым, поверхность его в точке стационарности имеет вырожденную седлообразную форму. Система разрешающих уравнений, отвечающая формулировке смешанного метода, не является положительно определенной. Эти обстоятельства значительно затрудняют прямое использование функционала Рейсснера в методе конечных элементов.

Также существуют различные гибридные формы как метода перемещений, так и метода сил. По сути гибридные подходы схожи со смешанным методом. Отличает их то, что в гибридных моделях внутри конечного элемента за основные неизвестные принимаются величины одного типа, а на границах элемента независимо и в другой форме – величины другого или же обоих типов.

Как правило, гибридные формулировки приводят к значительному усложнению алгоритма, поэтому эффективны лишь для ограниченного класса задач. Например, если в гибридном методе сил внутри элемента задать аппроксимацию компонент напряжений, в традиционной форме метода сил это бы привело к решению, соответствующему верхней границе. Однако аппроксимация перемещений вдоль контура элемента накладывает некоторые ограничения на математическую модель, уменьшает податливость и тем самым смещает получаемое решение в сторону точного. Сложность в том, что имеется возможность перегрузить ограничениями функционал дополнительной энергии и легко проскочить точное решение в сторону нижней границы.

Аппроксимация

МКЭ относится к методам дискретного анализа. Однако в отличие от численных методов, основывающихся на математической дискретизации дифференциальных уравнений, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемого объекта. Реальная конструкция как сплошная среда с бесконечно многим числом степеней свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой элементов с конечным числом степеней свободы. Так как число возможных дискретных моделей для континуальной области неограниченно велико, то основная задача заключается в том, чтобы выбрать такую модель, которая лучше всего аппроксимирует данную область.

Сущность аппроксимации сплошной среды по МКЭ состоит в следующем:

1) рассматриваемая область разбивается на определенное число КЭ, семейство элементов по всей области называется системой или сеткой конечных элементов ;

2) предполагается, что КЭ соединяются между собой в конечном числе точек – узлов , расположенных по контуру каждого из элементов;

3) искомые функции в пределах каждого КЭ (например, распределение перемещений, деформаций, напряжений и т. д.) с помощью аппроксимирующих функций выражаются через узловые значения, представляющие собой основные неизвестные МКЭ ;

4) для анализа и расчета полученной системы конечных элементов действительны все принципы и методы, применяемые для любых дискретных систем.