Равновесие тела под действием сил. Под действием двух сил твердое тело находится в равновесии только тогда, когда силы равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны

РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ

«Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю.»

Архимед

Условия равновесия.

I условие равновесия:
Тело находится в равновесии, если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу, равна нулю.

∑ F=0.

II условие равновесия:
Сумма моментов сил, действующих по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, действующих против часовой стрелки.

∑ M по час. =∑ M против час.

М = F l, где М – момент силы, F - сила, l – плечо силы – кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы.

Центр тяжести тела.

Центр тяжести тела- это точка, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела.

Найти центр тяжести данных фигур.
Найти центр тяжести данных фигур.
Найти центр тяжести данных фигур.
Найти центр тяжести данных фигур.

ВИДЫ РАВНОВЕСИЯ

Безразличное

Устойчивое

Неустойчивое

Если на тело, имеющее опору, действуют уравновешивающие силы, то тело находится в положении равновесия.

При отклонении тела от положения равновесия нарушается и равновесие сил. Если тело под действием равнодействующей силы возвращается в исходное положение, то это - устойчивое равновесие .

Если же тело под действием равнодействующей силы, ещё сильнее отклоняется от положения равновесия, то это - неустойчивое равновесие .

Возможен случай, когда при любом положении тела, равновесие сил сохраняется. Это состояние называется безразличным равновесием .

Вывод :

Равновесие устойчиво, если при малом отклонении от положения равновесия есть сила, стремящаяся вернуть его в это положение.
Устойчиво такое положение, в котором его потенциальная энергия минимальна.

В случае если центр тяжести расположен ниже точки опоры, равновесие тела или системы тел – устойчивое . При отклонении тела, центр тяжести повышается, и тело возвращается в исходное состояние.

Равновесие тела, имеющего точку опоры ниже центра тяжести, неустойчиво . Но равновесие может восстанавливаться путём смещения точки опоры тела в сторону смещения центра тяжести.

По положению центра тяжести можно судить о виде равновесия. Например езда эквилибриста по канату на велосипеде с противовесом является примером устойчивого равновесия .

Вывод :

Для устойчивости тела, находящегося на одной точке или линии опоры необходимо, чтобы центр тяжести находился ниже точки (линии) опоры.

Если при отклонении тела, имеющего площадь опоры, происходит повышение центра тяжести, то равновесие будет устойчивым. При устойчивом равновесии вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести, всегда будет проходить через площадь опоры.

Два тела, у которых одинаковы вес и площадь опоры, но разная высота, имеют разный предельный угол наклона. Если этот угол превысить, то тела опрокидываются.

При более низком положении центра тяжести необходимо затратить большую работу для опрокидывания тела. Следовательно работа по опрокидыванию может служить мерой его устойчивости.

Неустойчивое равновесие

Устойчивое равновесие

Вывод :

1. Устойчиво то тело, у которого площадь опоры больше.

2. Из двух тел одинаковой площади устойчиво то, у которого центр тяжести расположен ниже, т.к. его можно отклонить без опрокидывания на большой угол.

Существует три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.
Устойчиво положение тела, в котором его потенциальная энергия минимальна.
Устойчивость тел на плоской поверхности тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести.

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс .

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю .

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C ), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил .

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы .

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M . Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в Н ьютон — метрах (Н∙м ) .

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры , т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Для равновесия тела, находящегося под действием произвольной системы сил и пар сил, необходимо и достаточно, чтобыглавный вектор и главный момент этой системы относительно любой точки равнялись нулю.Главным вектором называют геометрическую сумму всех сил системы, аглавным моментом относительно точки – геометрическую сумму моментов всех сил относительно этой точки.

В общем случае условия равновесия в векторной форме имеют вид:

Проецируя векторные равенства (12.1) на координатные оси, получим аналитические условия равновесия:

;

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и сумма моментов их относительно каждой из этих осей были равны нулю.

При рассмотрении частных случае, когда система сил, действующих на тело, не является произвольной пространственной, условия равновесия записывают с учетом специфики данной системы сил.

Задачи статики на равновесие тела под действием различных систем сил следует решать в предлагаемой последовательности:

1) выбрать объект равновесия;

2) изобразить все активные силы, действующие на объект равновесия;

3) отбросить связи, наложенные на объект равновесия, и заменить их действие реакциями, соответствующими типам связей;

4) записать для полученной системы сил систему уравнений равновесия, решить эту систему и определить искомые величины.

Примечания:

■ в качестве объекта (объектов) равновесия может быть выбрана материальная точка, тело или совокупность связанных между собой тел таким образом, чтобы к этому объекту (объектам) были приложены все искомые силы или их часть;

■ если из уравнения равновесия невозможно однозначно определить все искомые силы или иные неизвестные параметры, то задача является статически неопределенной и решать ее в рамках статики нельзя. При этом возможны следующие случаи: число неизвестных больше числа уравнений статики, матрица системы уравнений при равенстве числа неизвестных числу уравнений – особенная (вырожденная ), число неизвестных меньше числа уравнений. В последнем случае объект может находиться в равновесии только при условиях, налагаемых на активные силы.

1.4. Центр параллельных сил. Центр тяжести

В статике доказывают, что если система параллельных сил имеет равнодействующую, то существует точка, притом только одна, через которую проходит ее линия действия. Эту точку называютцентром параллельных сил . Центр параллельных сил обладает одним важным свойством – если все силы повернуть относительно параллельных осей, проходящих через точки их приложения на один и тот же угол, то равнодействующая системы этих сил повернется на тот же угол относительно аналогичной оси, проходящей через центр параллельных сил.

Рассмотрим тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести Земли. При этом на каждый элементарный объем рассматриваемого тела действует сила тяжести

, (1.3)

где
– удельный вес элемента объема
,

Когда тело однородно, не зависит от координат.

Силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем тела, направлены к центру Земли. Если размерами тела по отношению к размерам Земли пренебречь, то систему сил тяжести можно считать системой параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система всегда имеет равнодействующую, а, следовательно, и центр параллельных сил.

Центр системы сил тяжести, действующих на тело со стороны Земли, называют центром тяжести тела . Если тело рассматривается в системе отсчета с центром в точкеО и с координатными осямиx ,y ,z (рис. 1.8), то радиус-вектор центра тяжести и его координаты определяют по формуле:

Здесь
– модуль силы тяжести, действующей на элементарный объем
.

Центр тяжести не изменяет своего положения по отношению к телу при любой его ориентации относительно Земли. Центр тяжести – геометрическая точка, которая может не принадлежать телу, но обязательно с ним жестко связана. Если тело однородно, т.е.
, где
, то вместо понятия центр тяжести можно использовать центр тяжести объема, занимаемого телом. Аналогично, если однородное тело представляет собой тонкую пластинку или оболочку постоянной толщины, либо тонкий криволинейный стержень постоянной толщины, то центр тяжести такого тела называютцентром тяжести поверхности илилинии .

Формулы, по которым определяют координаты центров тяжести однородных тел, имеют следующий вид:

– центр тяжести объема

– центр тяжести поверхности

– центр тяжести линии

, (1.7)

где соответственно величины: V – объема тел;S – площади поверхности тела;L – длины тела, по которым берут интегралы.

Для нахождения центров тяжести тел используют непосредственно приведенные формулы, а также правила симметрии и методы разбиения сложных тел на более простые, для которых легче определить положения их центров тяжести. В отдельных случаях положения центров тяжести тел находят экспериментальным путем.

1.5 .Сухое трение. Законы Кулона

Понятия сухого трения вводятся в теоретическую механику из физики. Реальные тела не являются идеально гладкими и абсолютно твердыми. Поэтому при попытке перемещать или катить одно тело по поверхности другого возникают, кроме сил взаимодействия, направленных по общей нормали к соприкасающимся поверхностям в месте их контакта, силы и пары сил, которые препятствуют скольжению и качению. Эти силы называют соответственно силами трения скольжения и силами трения качения. Трение называютсухим , если между взаимодействующими твердыми телами отсутствует смазочный материал.

Многие задачи статики не могут быть решены без учета сил трения. Так, например, без этих сил невозможно равновесие твердого тела на наклонной плоскости. Всем известен факт буксования колес автомобиля на скользкой дороге, так что само движение в большинстве случаев обусловлено силами трения. Трение скольжения и трение качения учитывают в статике посредством эмпирических (опытных) данных, которые называют законами Кулона .

При попытке качения одного тела по поверхности другого сопротивление качению оказывает пара сил, называемая моментом сил трения качения . Сформулируем законы Кулона для трения качения. Направление момента сил трения качения противоположно тому направлению, в котором активные силы стремятся катить тело. Величина момента трения качения находится в интервале 0 ≤М тр ≤М тр.пр. Ее определяют формулой

М тр.пр = δN ,

где δ – коэффициент трения качения , имеющий размерность длины;N – нормальное давление. Экспериментально установлено, что величина δ зависит от материалов тел и радиуса катящегося тела. Значения δ можно найти в справочниках.

Отличительной особенностью задач статики при наличии сил трения является то, что, когда сила трения F тр или момент сил тренияМ тр меньше предельных значений, реакции связей, включающие силу и момент сил трения, определяют из уравнений равновесия, как обычно. Если же силы трения достигают предельных значений, то их находят с помощью коэффициентов трения и вводят как известные величины. При этом, однако, тело не находится в равновесии и применение уравнений статики ко всему телу становится неправомерным. Для установления равновесия тел при наличии трения уравнения равновесия дополняют соответствующими неравенствами, которые требуют, чтобы сила трения скольжения или момент сил трения качения не превосходили предельных значений.

Вопросы для самоконтроля

1. Что изучают в разделе статика курса теоретической механики?

2. Что называют абсолютно твердым телом?

3. Как определяют понятия силы и системы сил в статике?

4. Какие соотношения существуют между силами и системами сил? Приведите классификацию сил.

5. На каких аксиомах базируются теоретические положения статики?

6. Какое тело называют несвободным?

7. Как определяют понятия связей и их реакций?

8. Какие основные связи могут быть наложены на абсолютно твердое тело? Какие реакции возникают в этих связях?

9. Как формулируют условия равновесия абсолютно твердого тела в векторной и аналитической формах?

10. Какова последовательность решения задачи об определении реакций связей?

11. Какие условия должны выполняться для разрешимости системы уравнений равновесия абсолютно твердого тела?

12. Как определяют радиус-вектор и координаты центра тяжести тела?

13. Каким образом в статике учитывают действие сил сухого трения на твердое тело?

14. В чем заключаются особенности решения задач статики при наличии сил трения?

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы .

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в Н ьютон - метрах (Н∙м ) .

здесь скриншот игры про равновесие

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо - пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, - пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси - состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Определение

Равновесием тела называют такое состояние, когда любое ускорение тела равняется нулю, то есть все действия на тело сил и моментов сил уравновешены. При этом тело может:

находиться в состоянии спокойствия;
двигаться равномерно и прямолинейно;
равномерно вращаться вокруг оси, которая проходит через центр его тяжести.

Условия равновесия тела

Если тело находится в равновесии, то одновременно выполняются два условия.

Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулевому вектору : $\sum_n{{\overrightarrow{F}}_n}=\overrightarrow{0}$
Алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum_n{M_n}=0$

Два условия равновесия являются необходимыми, но не являются достаточными. Приведем пример. Рассмотрим равномерно катящееся без проскальзывания колесо по горизонтальной поверхности. Оба условия равновесия выполняются, однако тело движется.

Рассмотрим случай, когда тело не вращается. Для того, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось равнялась нулю, то есть равнодействующая сил. Тогда тело или находится в спокойствии, или двигается равномерно и прямолинейно.

Тело, которое имеет ось вращения, будет находиться в равновесном состоянии, если выполняется правило моментов сил: сумма моментов сил, которые вращают тело по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, которые вращают его против часовой стрелки.

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, нужно прикладывать силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем же плечо силы и соответственно уменьшая значение силы. Примеры тел, которые имеют ось вращения, : рычаг, двери, блоки, коловорот и тому подобное.

Три вида равновесия тел, которые имеют точку опоры

стойкое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее ближайшее положение и оставлено в спокойствии, вернется в это положение;
неустойчивое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее положение и оставлено в спокойствии, будет еще больше отклоняться от этого положения;
безразличное равновесие - если тело, будучи выведенным в соседнее положение и оставлено в спокойствии, останется в новом своем положении.

Равновесие тела с закрепленной осью вращения

стойким, если в положении равновесия центр тяжести С занимает самое низкое положение из всех возможных ближних положений, а его потенциальная энергия будет иметь наименьшее значение из всех возможных значений в соседних положениях;
неустойчивым, если центр тяжести С занимает наивысший из всех ближних положений, а потенциальная энергия имеет наибольшее значение;
безразличным, если центр тяжести тела С во всех ближних возможных положениях находится на одном уровне, а потенциальная энергия при переходе тела, не изменяется.

Задача 1

Тело A массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок B (рисунок 1, а). Какой груз F можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела A? Коэффициент трения f = 0,4; трением на блоке пренебречь.

Определим вес тела ~A: ~G = mg = 8$\cdot $9,81 = 78,5 Н.

Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G и противоположно направленная реакция опоры RA (рис. 1, б).

Если же приложить некоторую силу F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция RA, уравновешивающая силы G и F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F не превысит максимального значения силы трения Rf max, соответствующей предельному значению угла ${\mathbf \varphi }$o(рис. 1, в).

Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max и Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 1, г). Спроецировав эту систему сил на оси x и y, получим два уравнения равновесия:

${\mathbf \Sigma }Fkx = 0, F - Rf max = 0$;

${\mathbf \Sigma }Fky = 0, Rn - G = 0$.

Решаем полученную систему уравнений: F = Rf max, но Rf max = f$\cdot $ Rn, а Rn = G, поэтому F = f$\cdot $ G = 0,4$\cdot $ 78,5 = 31,4 Н; m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.

Ответ: Масса груза т = 3,2 кг

Задача 2

Система тел, изображённая на рис.2, находится в состоянии равновесия. Масса груза тг=6 кг. Угол между векторами $\widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}=60{}^\circ $. $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F$. Найти массу гирь.

Равнодействующая сил ${\overrightarrow{F}}_1и\ {\overrightarrow{F}}_2$ равна по модулю весу груза и противоположна ему по направлению: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=\ -m\overrightarrow{g}$. По теореме косинусов, ${\left|\overrightarrow{R}\right|}^2={\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|{cos \widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}\ }$.

Отсюда ${\left(mg\right)}^2=$; $F=\frac{mg}{\sqrt{2\left(1+{cos 60{}^\circ \ }\right)}}$;

Поскольку блоки подвижные, то $m_г=\frac{2F}{g}=\frac{2m}{\sqrt{2\left(1+\frac{1}{2}\right)}}=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}}=6,93\ кг\ $

Ответ: масса каждой из гирь равна 6,93 кг