Дихотомия в переводе с греческого языка значит "последовательное деление надвое" или "раздвоенность". Дихотомическое деление довольно успешно используется в математике и логике для классификации элементов, а в философии и лингвистике - для образования подразделов одного термина, взаимоисключающих друг друга.

Метод дихотомии необходимо отличать от обычного деления. Например, слово "человек" может быть разделено на понятия "мужчины" и "женщины", а может делиться на "мужчины" и "не мужчины". Так вот, в первом случае два понятия не противоречат друг другу, поэтому здесь дихотомия отсутствует. Во втором случае "мужчина" и "не мужчина" - два определения, противоречащие друг другу и не пересекающиеся, а это и является определением дихотомии.

Метод дихотомии привлекателен свой простотой, так как здесь всегда присутствует только два класса, которые исчерпываются объемом делимого понятия. Иными словами, в дихотомическом делении всегда присутствует соразмерность. Следующим основным свойством является исключение друг друга членами деления в связи с тем, что каждое делимое множество может попасть только в один из классов "b" или "не b", а деление осуществляется только по одному основанию, связанному с наличием или отсутствием определенного признака.

При всех своих достоинствах метод дихотомии имеет и недостаток, заключающийся в неопределенности той его части, которая имеет частицу "не". Например, если всех ученых разделить на математиков и не математиков, то относительно второй группы присутствует определенная неясность. Кроме этого недостатка, существует еще один, заключающийся в затруднительном установлении понятия, противоречащего первому значению, по степени удаления от первой пары.

Как уже указывалось выше, дихотомия зачастую используется в качестве вспомогательного приема при классификации каких-либо понятий. Метод дихотомии активно используется при нахождении значений функций, определяемых по определенному критерию (например, сравнение на максимум или минимум).

Довольно часто используется неосознанно метод дихотомии, алгоритм которого может быть описан буквально пошагово. Например, в игре «Угадай число» один из игроков загадывает число в диапазоне от 1 до 100, а другой делает попытки его отгадать на основе подсказок "меньше" или "больше" первого. Если размышлять логически, в качестве первого числа всегда называется 50, а в случае загаданного меньшего - 25, большего - 75. Поэтому на каждом этапе неопределенность загаданного числа уменьшается вдвое, и даже невезучий человек отгадает это неизвестное приблизительно за 7 попыток.

При использовании метода дихотомии в решении различных уравнений нахождение правильного решения возможно лишь тогда, когда достоверно известно нахождение единственного корня на заданном интервале. Это совсем не означает, что применение данного метода возможно для нахождения корней только При решении уравнений более высокого порядка с использованием метода половинного деления нужно в первую очередь разделить корни по отрезкам. При этом процесс их отделения осуществляется с помощью нахождения первой и второй производных от функции и приравнивания полученных уравнений к нулю (f"(x)=0, f""(x)=0). Следующим этапом является определение значений f(x) в граничных и критических точках. Результатом всех проведенных расчетов является интервал |a,b|, на котором у значения функции меняется знак и где f(a)*f(b)< 0.

При рассмотрении графического метода решения уравнения с использованием дихотомии алгоритм решения довольно прост. Например, существует отрезок |a,b|, в пределах которого находится один корень х.

Первым этапом является вычисление среднего алгебраического x=(a+b)/2. далее рассчитывается значение функции в данной точке. Если f(x)< 0, то , в противном случае - . Таким образом, осуществляется сужение интервала, в результате которого формируется определенная последовательность х. Расчет прекращается при достижении разности b-a меньшей погрешности.

Метод дихотомии имеет свое название от древнегреческого слова, что в переводе означает деление надвое. Именно поэтому данные метод имеет еще второе название: метод половинного деления. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру "Угадай число", где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками "больше" или "меньше". Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым в случае если оно меньше - 25, если больше - 75. Таким образом, на каждом этапе (иттерации) неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.

Метод половинного деления в решении уравнения

Правильное решение уравнения методом половинного деления возможно лишь в том случае, если известно, что на заданном интервале имеется корень и он является единственным. Это совсем не означает что метод дихотомии может использоваться только для решения линейных уравнений. Для нахождения корней уравнений более высокого порядка методом половинного деления необходимо сначала отделить корни по отрезкам. Процесс отделения корней осуществляется путем отыскания первой и второй производной от функции и приравнивании их нулю f"(x)=0 и f""(x)=0. Далее определяются знаки f(x) в критических и граничных точках. Интервал, где функция меняет знак |a,b|, где f(a)*f(b)< 0.

Алгоритм метода дихотомии

Алгоритм метода дихотомии очень прост. Рассмотрим отрезок |a,b| в пределах которого имеется один корень x 1

На первой этапе вычисляется x 0 =(a+b)/2

Далее определеяется значение функции в этой точке: если f(x 0)< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.

Вычисления прекращаются, когда разность b-a меньше требуемой погрешности.

В качестве примера использования метода половинного деления найдем корень на интервале уравнения x 3 -3*x+1=0 с точностью в 10 -3

Как видно из таблицы корнем является 0,347. Колличество иттераций равно 10. Условие завершения: a-b=0,0009< 10 -3

Метод половинного деления или метод дихотомии является наиболее простым для решения уравнения в численных методах.

Скачать:

Решение уравнения методом дихотомии - Решение уравнения методом половинного деления в Паскале.

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом дихотомии и методом хорд

Студент Г. Р. Хайбуллина

Руководитель работы

Э.Р. Ахматсафина

Введение

Теоретическая часть

1 Метод половинного деления

2 Метод хорд

Постановка и решение задачи

1 Формулировка задачи

2 Решение уравнения методом половинного деления

3 Решение уравнения методом хорд

Программная реализация

1 Блок-схемы

2 Тексты программ

3 Тестовый пример

4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Заключение

Список литературы

Введение

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение - это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале . Сразу оговоримся, что любой метод является приближенным, и по сути дела лишь уточняющим значение корня. Однако уточняющим до любой точности, заданной Нами.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Целью данной курсовой работы является раскрытие содержания темы «Нахождение корня нелинейного уравнения методом половинного деления и методом хорд» и дальнейшее ее закрепление путем выполнения задания.

Данная работа состоит из трех частей. В первой части мы рассматриваем теоретическую часть. Во второй части на основе усвоенной теории решаем задание. Третья часть состоит из программ и блок схем.

1.
Теоретическая часть

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы ;

2. итерационные методы .

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы), для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0 . Каждый такой шаг называется итерацией . В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1 , х 2 , ..., х n . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится .

Можно выделить два типа итерационных методов:

Методы сужения интервала, содержащего корень (например, метод половинного деления). Здесь используется только знак функции y = f (x ) , а не ее значения. Они являются относительно простыми, но имеют низкую скорость сходимости.

Методы аппроксимации, в которых функция y = f (x ) заменяется некоторой более простой функцией y = φ(x ) , для которой и отыскивается корень (например, метод хорд). Используют значения функции y = f (x ) . Скорость сходимости у них выше.

Пусть дано уравнение f (x ) = 0, где функция f (x ) определена и непрерывна на некотором интервале (a , b ). Всякое значение x , обращающее функцию f (x ) в нуль, то есть такое, при котором f (x ) = 0, называется корнем уравнения, а процесс нахождения x - решением уравнения. Решить уравнение f (x ) = 0 итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Задача нахождения корня уравнения f (x ) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x ) в граничных x = a и x = b точках области ее существования. Для отделения корней используют следующую теорему. Теорема. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. f(a)f(b)<0 , то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Необходимо тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным.

1.1 Метод половинного деления

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка , где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала становится меньше заданной погрешности нахождения корня ε, либо значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.

Функция y = F (x ) определена и непрерывна на отрезке [ a ; b ]

. F (a )* F (b )<0

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε

Разделим отрезок [ a ; b ] пополам точкой c = (a + b )/2 , как показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Построение последовательного приближения по методу половинного деления

Если F (c ) не равно 0, то возможны два случая:

) F (x ) меняет знак на отрезке [ a ; c ];

) F (x ) меняет знак на отрезке [ c ; b ].

Выбираем тот отрезок, на котором функция меняет знак. Если F (x ) меняет знак на отрезке [ a ; c ], то b := c ; если F (x ) меняет знак на отрезке [ c ; b ], то a := c .

Условие окончания счета: b - a < ε

Корень уравнения: x = (a + b )/2

Погрешность метода: dx = (b - a )/2

Рассмотрим положительные и отрицательные стороны метода половинного деления

Надежность

Не требует приведения к специальному виду

Не требует дифференцируемости функции

Устойчивость к ошибкам округления

Медленная сходимость

Метод не применим для корней четной кратности

Метод половинного деления практически неудобен для вычисления корня с большой точностью ручным способом, так как требует большого объема вычислительной работы. Но он легко реализуется на ЭВМ.

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции f(x), имеющим противоположные знаки. Через точки, соединяющие значения функции f(a) и f(b) на концах отрезка , проводят прямую, которая пересекает ось x в точке.

Значение функции f(x) сравнивается со значениями функций f(a) и f(b) и в дальнейшем используется вместо того из них, с которым оно совпадает по знаку. Если значение f(x) недостаточно близко к нулю, то вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута необходимая степень сходимости ε.

Пусть дано уравнение , где - непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке .

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дугу кривой можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай, показанный на рисунке 2, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .

Рисунок 2. График функции f(x), (первая и вторая производные имеют одинаковые знаки)

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

.

Пусть x 1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то

Аналогично для хорды, проходящей через точки и , вычисляется следующее приближение корня:

В общем случае формулу метода хорд имеет вид:

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. , то все приближения к корню выполняются со стороны правой границы отрезка как показано на рисунке 3 и вычисляются по формуле:

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (4) используется в том случае, когда . Если справедливо неравенство , то целесообразно применять формулу (5).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f"(x)| на промежутке , которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:

или

где - заданная погрешность вычислений.

Если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень уравнения находится на отрезке , производные и на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и , то можно доказать, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при n→∞, то есть метод сходится и имеет при этом линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)

2.
Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

Нахождение корня уравнения методом дихотомии и методом хорд (на примере уравнения ).

Решить уравнение, значит, установить имеет ли оно корни, сколько корней и найти значение корней с требуемой точностью. Решение данного уравнения в общем случае начинают с отделения корней, то есть установление количества корней, а так же наиболее тесных промежутков, каждый из которых содержит только один корень. Грубое отделение корней во многих случаях можно произвести методом графической прикидки. При этом задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение равносильным ему уравнением .

В этом случае строятся графики функций и , а затем на оси ОХ отмечаются по возможности наименьшие отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Отделение корней графически

Дано уравнение , отделим корни уравнения графическим методом, для этого преобразуем его к равносильному ему уравнению .

Вычислим координаты точек графика функции F()

Рисунок 4. Отделение корней графически.

Разделим отрезок [ a , b ] пополам точкой

с = 1/2*(a + b )

Получим с = 1/2(-2 - 1)=-3/2=-1.5

Если F(c)=0, то возможны два случая, либо F(x) меняет знак на отрезке , либо на отрезке [с, b]. Выбирая в каждом случае тот из отрезков на котором функция меняет знак и продолжая процесс половинного деления так же можно дойти до столь угодного малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Определим, где фикция меняет знак, для этого начнем цикл и вычислим F(a)*F(c) <= 0

1-й Шаг.

Найдем F(a) =

F(b) =(a)*F(c) = -12*3.125 = -37.5(a)*F(c) <= 0

Если -37.5 <= 0, то b:=c, так как функция меняет знак

Промежуток сократиться до [-2;-1.5]

2-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (b - a)/2 = (-1.5 + 2)/2=0.25

Сравним полученную погрешность с погрешностью заданной по условию d > ε

25 > 0.01 - да

Полученная погрешность больше, следовательно, возвращаемся к началу цикла F(a)*F(c) <= 0. Затем выполняем цикл решения до тех пор, пока полученная погрешность не удовлетворит условию задачи.

3-й Шаг. Вычисление середины отрезка

с = (-2 + (-1.5))/2 = -1.75

F(a) = -12(c) = -3.734375

8125 <= 0 - нет= c = -1.75

4- й Шаг . Вычисление погрешности

d = (-1.5 + 1.75)/2 = 0.125

125 > 0.01 - да

5-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.75 + (-1.5))/2 = -1.625

F(a) = -3.734375

F(c) = -0.134766(a)*F(c) = -3.734375*(-0.134766) = 0.5032654

5032654 <= 0 - нет= c = -1.625

6-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.5 + 1.625)/2 = 0.0625

0625 > 0.01 - да

7-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.625 + (-1.5))/2 = -1.5625(a) = -0.134766(c) = 1.5368652(a)*F(c) = -0.134766*1.5368652 = -0.207117

207117 <= 0 - да = c = -1.5625

[-1.625;-1.5625]

8-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.5625 + 1.625)/2 = 0.03125

03125 > 0.01 - да

9-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.625 + (-1.5625))/2 = -1.59375(a) = -0.134766(c) = 0.7115784(a)*F(c) = -0.134766*0.7115784 = -0.095897

095897 <= 0 - да = c = -1.59375

[-1.625;-1.59375]

10-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.59375 + 1.625)/2 = 0.015625

015625 > 0.01 - да

11-й Шаг. Вычисление середины отрезка

c = (-1.625 + (-1.59375))/2 = -1.609375(a) = -0.134766(c) = 0.29105(a)*F(c) = -0.134766*0.29105 = -0.039224

039224 <= 0 - да = c = -1.5625

[-1.625;-1.609375]

12-й Шаг. Вычисление погрешности

d = (-1.609375 + 1.625)/2 = 0.0078125

0078125 > 0.01 - нет

x = (b + a)/2 = (-1.625 + (-1.609375))/2 = -1.6271875

Ответ: Значение корня x = -1.6271875 с погрешностью d = 0.0078125

2.3 Решение уравнения методом хорд

Нахождение корня уравнения методом хорд на примере уравнения на промежутке [-2;-1], с погрешностью ε =0.01.

1-й Шаг. Проверка условия

F(a)*F ̋ (a) >= 0

Для этого вычислим вторую производную

F ̋ (a) = 6*x - 12 = 6*(-2) - 12 = -12 - 12 = -24

F(a) = = -8 - 6*4 + 20 = -8 - 24 + 20 = -8 - 4 = -12

F(a)*F ̋ (a) = -12*(-24) = 288

Для нахождения минимума, вычислим первые производные промежутка [-2;-1], то есть найдем F΄(a) и F΄(b).

F΄(a) = = = 12 + 24 = 36

В данном случае минимум будет являться F΄(b), min = 15.

Проверим ранее полученное условие F(a)*F ̋ (a) >= 0.

Если 288 >= 0, то

2-й Шаг.

Вычисляем значение у по формуле итерационной последовательности

y = (c*F(x) - x*F(c))/(F(x) - F(c))

-й Шаг. Вычисление погрешности

d = ²13²/15 = 0.8666

Цикл начинается с проверки погрешности полученной в ходе вычисления, с погрешностью, заданной по условию задачи. Продолжаем цикл до тех пор, пока не получим результаты, удовлетворяющие решение задачи требуемой погрешностью.

Метод хорд

3.2 Тексты программ

Метод половинного деления

, методом половинного деления, корни которого находятся на промежутке [-2;1], с погрешностью ε=0.01.

unit Unit1;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, StdCtrls;= class(TForm): TEdit;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TButton;: TEdit;Button1Click(Sender: TObject);

{ Private declarations }

{$R *.dfm}TForm1.Button1Click(Sender: TObject);,x1,y,e:real; k:integer;F(c:real):real;:=c*c*c-6*c*c+c+20;;:=strtofloat(edit1.Text);:=strtofloat(edit2.Text);:=strtofloat(edit3.Text);:=(x1+x0)/2;f(x0)*f(x1)<0 then x1:=y else begin x0:=y end(x1-x0)

Метод хорд

Программа реализована для нахождения корня уравнения , методом половинного деления, корни которого находятся на промежутке [-2;1], с погрешностью ε=0.01.

unit Unit1;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, StdCtrls;= class(TForm): TEdit;: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TButton;: TEdit;Button1Click(Sender: TObject);

{ Private declarations }

{ Public declarations };: TForm1;

{$R *.dfm}TForm1.Button1Click(Sender: TObject);,x1,y,e,g:real; k:integer;F(c:real):real;:=c*c*c-6*c*c+c+20;;:=strtofloat(edit1.Text);:=strtofloat(edit2.Text);:=strtofloat(edit3.Text);:=y;:=(x0*f(x1)-x1*f(x0))/(f(x1)-f(x0));f(x0)*f(y)<0 then x1:=y else x0:=y(abs(g-y))

.3 Тестовый пример

Метод половинного деления

Рисунок 5. Результат работы программы (Метод половинного деления)

Метод хорд

В качестве тестового примера возьмем уравнение x² - 1 = 0 на промежутке с точностью =0.0001

Рисунок 6. Результат работы программы (Метод хорд)

Значения, полученные в результате решения аналитически и программно - верны

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Метод половинного деления

При решении заданного уравнения на языке программирования Delphi 7 мы получаем следующие результаты, показанные на рисунке 6.

Рисунок 7. Результат работы программы (метод половинного деления)

Метод хорд

При решении заданного уравнения на языке программирования Delphi 7 мы получаем следующие результаты, показанные на рисунке 7.

Рисунок 8. Результат работы программы (Метод хорд)

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы мы проделали ручной расчет заданной функции, выполнили расчет на языке программирования. Также мы выполнили тестовый пример для проверки методов решения нелинейных функций.

Программы написаны на языке Delphi 7 для нахождения значений интегралов. Полученные в результате работы программ решения приблизительно совпадают с ответами в примере.

Метод дихотомии прост в реализации, но обладает малой скоростью сходимости по сравнению с методом хорд, что выражается в количестве шагов. Метод хорд к тому же обладает большей точностью

Список литературы

1. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.

2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физмат. лит., 1989. - 432 с.

3. Турчак Л.И. Основы численных методов. -М.: Наука, 1987.

4. http://www.osnpas.com/file23.html

Метод половинного деления (метод дихотомии).

Пусть на отрезке имеется только один корень уравнения (1). Найдем середину отрезка . Если f (с) = 0 , то корень найден. В противном случае из двух отрезков и выбираем тот, в котором содержится корень.

Как только |b n - a n | < E, где Е - заданная точность, то в качестве приближённого значения корня можно взять середину этого отрезка: .

· Метод хорд.

Пусть на отрезке имеется единственный корень, т.е. f(a) · f(b) < 0;
f " (x) сохраняет свой знак на ;
f "" (x) сохраняет свой знак на .

Заменим дугу кривой y = f (x) на отрезке хордой, проходящей через точки (a; f (a)) и(b; f (b)) . Абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох есть приближение к корню уравнения (1). Обозначим её через x 1 .

Если f " (x) · f "" (x) >

Если f " (x) · f "" (x) < 0 для любого x , то для вычисления х 1 , х 2 , ... , х i , ... используются следующие формулы:

или

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями х n и x n-1 станет меньше заданной погрешности E: |х n - x n-1 | < E или когда значение функции |f (x n) | < E.

· Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть на отрезке :

1. Уравнение f (x) = 0 имеет единственный корень, т.е. f (a) · f (b) < 0;

2. f " (х) и f "" (х) сохраняют свои знаки.

В результате получим последовательность приближённых значений {x n }, монотонно сходящуюся к точному значению корня с.
При этом корень уравнения f (x) = 0 находится между x i и одним из концов промежутка в зависимости от свойств функции y = f (x) .

Если f " (x) · f "" (x) > 0 для любого x , то для вычисления х 1 , х 2 , ... , х i , ... используются следующие формулы:

Если f " (x) · f "" (x) < 0 для любого x , то для вычисления х 1 , х 2 , ... , х i , ... используются следующие формулы:

Процесс уточнения корня заканчивается, когда выполняется условие |х n - x n-1 | < E, где E - допустимая погрешность вычисления или когда |f (x n) | < E.

· Комбинированный метод хорд и касательных

Соединяя метод хорд с методом касательных, получаем метод, на каждом шаге которого находим приближённые значения корня с по недостатку и по избытку: x n < c < , причем каждое значение x n и стремится к с.

Если f " (x) · f "" (x) < 0 для любого x , то для вычисления значений по недостатку и по избытку используются следующие формулы:

Основные теоретические положения

Цель работы

Получить навыки модульного программирования на примере задачи численного решения нелинейных уравнений. Использование оболочки QBasic для построения программ и головного модуля.

Многие задачи исследования различных объектов с помощью математических моделей, применяемых их для прогноза или расчёта, приводят к необходимости решения нелинейных уравнений.

Уравнения могут быть алгебраическими и трансцендентными. Пример

алгебраического уравнения: y = a + bx + cx², трансцендентного: y = eⁿ + x.

Решить уравнение – это найти такое значение переменной х, при котором заданная функция равна нулю (f (x) = 0).

Как правило, процесс решения нелинейного уравнения обще­го вида f(х)=0 осуществляется в два этапа. На первом этапе от­деляют корни, т.е. находят такие отрезки, внутри которых нахо­дится строго один корень. На втором этапе уточняют корень, т.е. находят его значение х* с предварительно заданной точностью ε. В практических задачах решением называют любое значение х, отличающееся по модулю от точного значения х* не более чем на величину ε.

Рассмотрим следующие методы уточнения корня уравнения:

Метод дихотомии;

Метод касательных;

Метод простой итерации;

Метод хорд.

Пусть функция f (x) отрицательна в точке a (f (a) < 0), положительна в точке b (f (b) > 0), и непрерывна на отрезке график функции пересекает ось Х, т. е. на этом отрезке имеется корень уравнения – точка, в которой
f(х)= 0.

Тот же вывод следует, если f(а) > 0, f(b) < 0. В общем виде это формулируется так: в точках а и b функция f(х) принимает значения разных знаков. Если нам известен хотя бы один такой отрезок, пусть и большой длины, мы можем построить процедуру быстрого и сколь угодно точного поиска корня уравнения. Найдем значение функции в точке с, находящейся в середине отрезка: с =(a + b)/2. Знак f(с) совпадает со знаком функции на одном из концов отрезка и противоположен знаку функции на другом конце.

Пусть разные знаки f(х) в точках а и с. Значит на [а, с] наверняка есть искомый корень уравнения.

Таким образом, мы получили задачу, эквивалентную исходной, но теперь длина отрезка, на котором, как нам известно, находится корень, в два раза короче. Отрезок [а, с] опять можно разделить пополам и оставить в рассмотрении только один из двух получившихся (учитывая знаки значений f(х) на концах этих отрезков). Выбранный отрезок вновь разделить, и продолжать так до тех пор, пока отрезок, на котором находится корень, не станет достаточно мал.

Как написать программу на QuickВаsic, соответствующую этому методу?

Прежде всего, функцию, корень которой мы ищем, лучше всего описать в виде отдельной function. Во время выполнения программа должна запросить начальные значения а и b.

Это условие можно записать двумя разными способами:

1. ((f (а) <= 0) and (f (b) > 0)) or ((f (b) <= 0) and (f (a) > 0))

2. f (a) * f(b) <= 0

Если это не так, нужно только напечатать сообщение об ошибке, иначе можно приступать к поиску корня. Поиск проще всего оформить в виде цикла:

Do until (b-а) < eps ... loop

Здесь eps - константа, равная, например 10ˉ 5 . На каждой итерации цикла нужно вычислить значение точки с и сравнить знак функции в этой точке со знаком f(а). Если знаки разные, о точке b можно "забыть": b:=с. Иначе – "забываем" о точке а. После окончания цикла остается лишь напечатать найденный корень. Ближе всего к корню будет, середина окончательного отрезка [а,d], длина которого не превышает заданной точности eps.