Анимационное доказательство теоремы Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что она доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого она названа (есть и другие версии, в частности альтернативное мнение, что эта теорема в общем виде была сформулирована математиком-пифагорейцем Гиппасом).
Теорема гласит:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника c, а длины катетов как a и b, получим следующую формулу:

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, которое позволяет определить сторону прямоугольного треугольника, зная длины двух других. Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, которая определяет соотношение между сторонами произвольного треугольника.
Также доказано обратное утверждение (называют также обратной теореме Пифагора):

Для любых трех положительных чисел a, b и c, таких что a ? + b ? = c ?, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5) из книги «Чу Пэй» 500-200 до н.э. Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание о Пифагоровы числа, знания об отношении сторон в прямоугольном треугольнике, знание об отношении смежных углов и доказательство теоремы.
Мегалитические сооружения около 2500 до н.э. в Египте и Северной Европе, содержат прямоугольные треугольники со сторонами из целых чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден высказал гипотезу, что в те времена Пифагоровы числа были найдены алгебраически.
Написанный между 2000 и 1876 до н.э. папирус времен Среднего Египетского царства Berlin 6619 содержит задачу решением которой являются числа Пифагора.
Во время правления Хаммурапи Великого, вивилонська табличка Plimpton 322, написанная между 1790 и 1750 до н.э содержит много записей тесно связанных с числами Пифагора.
В сутрах Будхаяны, которые датируются по разным версиям восьмой или второй веками до н.э. в Индии, содержит Пифагоровы числа выведены алгебраически, формулировка теоремы Пифагора и геометрическое доказательство для ривнобедренного прямоугольного треугольника.
В сутрах Апастамба (около 600 до н.э.) содержится числовое доказательство теоремы Пифагора с использованием вычисления площади. Ван дер Варден считает, что оно было основано на традициях предшественников. Согласно Альбертом Бурко, это оригинальное доказательство теоремы и он предполагает, что Пифагор посетил Араконам и скопировал его.
Пифагор, годы жизни которого обычно указывают 569 – 475 до н.э. использует алгебраические методы расчета пифагоровых чисел, согласно Проклова комментариями к Евклида. Прокл, однако, жил между 410 и 485 годами н.э. Согласно Томасом Гизом, нет никаких указаний на авторство теоремы течение пяти веков после Пифагора. Однако, когда такие авторы как Плутарх или Цицерон приписывают теорему Пифагору, они делают это так, будто авторство широко известно и несомненно.
Около 400 до н. э соответствии Прокла, Платон дал метод расчета пифагоровых чисел, сочетавший алгебру и геометрию. Около 300 до н.э., в Началах Евклида имеем древнейшее аксиоматическое доказательство, которое сохранилось до наших дней.
Написанные где-то между 500 до н.э. и 200 до н.э., китайский математическая книга «Чу Пэй» (? ? ? ?), дает визуальное доказательство теоремы Пифагора, которая в Китае называется теорема гугу (????), для треугольника со сторонами (3, 4, 5). Во время правления династии Хань, с 202 до н.э. до 220 н.э. Пифагоровы числа появляются в книге «Девять разделов математического искусства» вместе с упоминанием о прямоугольные треугольники.
Впервые зафиксировано использование теоремы в Китае, где она известна как теорема гугу (????) и в Индии, где она известна как теорема Баскара.
Многие дискутируется была теорема Пифагора открыта один раз или многократно. Бойер (1991) считает, что знания обнаружены в Шульба Сутра могут быть месопотамского происхождения.
Алгебраическое доказательство
Квадраты образуются из четырех прямоугольных треугольников. Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Здесь представлены доказательства основан на теореме существования площади фигуры:

Разместим четыре одинаковые прямоугольные треугольники так, как это изображено на рисунке.
Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов , А развернутый угол – .
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной «a + b», а с другой – сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

Что и необходимо доказать.
По сходству треугольников
Использование подобных треугольников. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором угол C прямой, как показано на рисунке. Проведем высоту с точки C, и назовем H точку пересечения со стороной AB. Образован треугольник ACH подобен треугольника ABC, поскольку они оба прямоугольные (по определению высоты), и у них общий угол A, очевидно третий угол будет в этих треугольников также одинаков. Аналогично миркуюючы, треугольник CBH также подобен треугольника ABC. С подобия треугольников: Если

Это можно записать в виде

Если добавить эти две равенства, получим

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Другими словами, теорема Пифагора:

Доказательство Евклида
Доказательство Евклида в евклидовых «Началах», теорема Пифагора доказана методом параллелограммов. Пусть A, B, C вершины прямоугольного треугольника, с прямым углом A. Опустим перпендикуляр из точки A на сторону противоположную гипотенузы в квадрате построенном на гипотенузе. Линия делит квадрат на два прямоугольника, каждый из которых имеет такую же площадь, что и квадраты построены на катетах. Главная идея при доказательстве состоит в том, что верхние квадраты превращаются в параллелограммы такой же площади, а потом возвращаются и превращаются в прямоугольники в нижнем квадрате и снова при неизменной площади.

Проведем отрезки CF и AD, получим треугольники BCF и BDA.
Углы CAB и BAG – прямые; соответственно точки C, A и G – коллинеарны. Так же B, A и H.
Углы CBD и FBA – оба прямые, тогда угол ABD равен углу FBC, поскольку оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
Треугольник ABD и FBC уровне по двум сторонам и углу между ними.
Поскольку точки A, K и L – коллинеарны, площадь прямоугольника BDLK равна двум площадям треугольника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогично миркуюючы получим CKLE = ACIH = AC 2
С одной стороны площадь CBDE равна сумме площадей прямоугольников BDLK и CKLE, а с другой стороны площадь квадрата BC 2, или AB 2 + AC 2 = BC 2.

Используя дифференциалы
Использование дифференциалов. Теореме Пифагора можно прийти, если изучать как прирост стороны влияет на ведичину гипотенузы как показано на рисунке справа и применить небольшое вычисления.
В результате прироста стороны a, из подобных треугольников для бесконечно малых приращений

Интегрируя получим

Если a = 0 тогда c = b, так что "константа" – b 2. Тогда

Как можно увидеть, квадраты получен благодаря пропорции между приращениями и сторонами, тогда как сумма является результатом независимого вклада приростов сторон, не очевидно из геометрических доказательств. В этих уравнениях da и dc – соответственно бесконечно малые приращения сторон a и c. Но вместо них мы используем? a и? c, тогда предел отношения, если они стремятся к нулю равна da / dc, производная, и также равен c / a, отношению длин сторон треугольников, в результате получаем дифференциальное уравнение.
В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которую также называют теоремой Пифагора:

Если – Это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.
Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов называется равенства Парсеваля.

Теорема Пифагора : Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b ), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c ).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая формулировка:

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

a 2 + b 2 = c 2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и двух внутренних квадратов.

Что и требовалось доказать.

Доказательства через равносоставленность

Элегантное доказательство при помощи перестановки

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство Евклида

Чертеж к доказательству Евклида

Иллюстрация к доказательству Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Доказательство Леонардо да Винчи

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок C I рассекает квадрат A B H J на две одинаковые части (так как треугольники A B C и J H I равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур C A J I и G D A B . Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Доказательство методом бесконечно малых

Пользуясь методом разделения переменных, находим

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

c 2 = a 2 + b 2 + constant.

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

c 2 = a 2 + b 2 .

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим

Вариации и обобщения

• Если вместо квадратов построить на катетах другие подобные фигуры, то верно следующее обобщение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма площадей подобных фигур, построенных на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе. В частности:
  • Сумма площадей правильных треугольников, построенных на катетах, равна площади правильного треугольника, построенного на гипотенузе.
  • Сумма площадей полукругов, построенных на катетах (как на диаметре), равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. Этот пример используется при доказательстве свойств фигур, ограниченных дугами двух окружностей и носящих имя гиппократовых луночек .

История

Чу-пей 500–200 до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

Литература

На русском языке

• Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
• Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
• Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
• Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
• В.Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
  • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств материал взят из книги В.Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
• Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
• О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

На английском

• Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
• Cut-The-Knot, секция посвящённая теореме пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
2. Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич

Инструкция

Если необходимо рассчитать по теореме Пифагора, воспользуйтесь следующим алгоритмом:- Определите в треугольнике, какие стороны являются катетами, а – гипотенузой. Две стороны, образующие угол в девяносто градусов и есть катеты, оставшаяся третья – гипотенуза. (см )- Возведите во вторую степень каждый катет данного треугольника, то есть умножьте на себя. Пример 1. Пусть надо вычислить гипотенузу, если один катет в треугольнике – 12 см, а другой – 5 см. Во-первых, квадраты катетов равны: 12*12=144 см и 5*5 = 25 см.- Далее определите сумму квадратов катетов. Определенное число является гипотенузы , нужно избавиться от второй степени числа, чтобы найти длину этой стороны треугольника. Для этого извлеките из-под квадратного корня значение суммы квадратов катетов. Пример 1. 144+25=169. Корень квадратный из 169 будет 13. Следовательно, длина данной гипотенузы равна 13 см.

Другой способ вычисления длины гипотенузы заключается в терминологии синуса и углов в треугольнике. По определению: синус угла альфа - противолежащего катета к гипотенузе. То есть, глядя на рисунок, sin a = CВ / АВ. Отсюда, гипотенуза АВ = СВ / sin a.Пример 2. Пусть угол 30 градусам, а противолежащий ему катет - 4 см. Нужно найти гипотенузу. Решение: АВ = 4 см/ sin 30 = 4 см / 0,5 = 8 см. Ответ: длина гипотенузы равна 8 см.

Аналогичный способ нахождения гипотенузы из определения косинуса угла. Косинус угла - отношение прилежащего к нему катета и гипотенузы . То есть, cos а = АС/АВ, отсюда АВ = АС/cos а. Пример 3. В треугольнике АВС, АВ - гипотенуза, угол ВАС равен 60 градусам, катет АС - 2 см. Найти АВ.
Решение: АВ = АС/cos 60 = 2/0,5 = 4 см. Ответ: гипотенуза составляет 4 см в длине.

Полезный совет

При нахождении значения синуса или косинуса угла воспользуйтесь либо таблицей синусов и косинусов, либо таблицей Брадиса.

Совет 2: Как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют самую длинную из сторон в прямоугольном треугольнике, поэтому не удивительно, что с греческого языка это слово переводится как «натянутая». Эта сторона всегда лежит напротив угла в 90°, а стороны, образующие этот угол называют катетами. Зная длины этих сторон и величины острых углов в разных комбинациях этих значений можно вычислить и длину гипотенузы.

Инструкция

Если известны длины обоих треугольника (А и В), то используйте длины гипотенузы (С) самый, пожалуй, известный на математический постулат - теорему Пифагора. Он гласит, что квадрат длины гипотенузы сумме квадратов длин катетов, из чего вытекает, что вам следует вычислить корень из суммы возведенных в квадрат длин двух сторон: С=√(А²+В²). Например, если длина одного катета 15 , а - 10 сантиметрам, то длина гипотенузы составит приблизительно 18,0277564 сантиметра, так как √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Если известна длина только одного из катетов (А) в прямоугольном треугольнике, а также величина угла, лежащего напротив него (α), то длину гипотенузы (С) можно с помощью одной из тригонометрических функций - синуса. Для этого разделите длину известной стороны на синус известного угла: С=А/sin(α). Например, если длина одного из катетов равна 15 сантиметрам, а величина угла в противоположной ему вершине треугольника составляет 30°, то длина гипотенузы будет равна 30 сантиметрам, так как 15/sin(30°)=15/0,5=30.

Если в прямоугольном треугольнике известна величина одного из острых углов (α) и длина прилегающего к нему катета (В), то для вычисления длины гипотенузы (С) можно использовать другую тригонометрическую функцию - косинус. Вам следует разделить длину известного катета на косинус известного угла: С=В/ cos(α). Например, если длина этого катета равна 15 сантиметрам, а величина острого угла, к нему прилегающего, составляет 30°, то длина гипотенузы составит приблизительно 17,3205081 сантиметров, так как 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.

Инструкция

Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

учащаяся 9 «А» класса

МОУ СОШ №8

Научный руководитель:

учитель математики,

МОУ СОШ №8

ст. Новорождественской

Краснодарского края.

Ст. Новорождественская

АННОТАЦИЯ.

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы .

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8

3. Заключение 19

4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора - свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 - был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «...и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе , например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

Сказка «Дом».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город - город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе , я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1 СПОСОБ.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Доказательство.

а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в² .

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав  , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с ² = 2ав + с ².

Таким образом,

(а + в )² = 2ав + с ²,

с²=а²+в² .

Теорема доказана.
2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС ² +СВ ² = АВ ² .

Доказательство.

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * (АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ².

Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Доказательство:

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

Аналогично,

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

АС ² + ВС ² = АВ (АD + DВ) = АВ ²

Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с . (рис. 4).

Докажем, что с²=а²+в².

Доказательство.

sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

sin²В= в²/с²; cos²В = а²/с².

Сложив их, получим:

sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

с²= а² + в².

Доказательство закончено.

5 СПОСОБ.

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

6 СПОСОБ.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

7 СПОСОБ.

Дано (рис. 7):

ABС, = 90°, ВС = а, АС= b, АВ = с.

Доказать: с2 = а2 + b2 .

Доказательство.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следова­тельно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° - 90° = 90°. Оказа­лось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрываю­щихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей

(a+b)(a+b)

Разделив все члены неравенства на , получим

а b + с2 + а b = (а + b) , 2 ab + с2 = а2 + 2а b + b2,

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

8 СПОСОБ.

Данный способ основывается на гипотенузе и кате­тах прямоугольного тре­угольника ABC. Он строит соответствующие квадра­ты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, постро­енных на катетах (рис. 8).

Доказательство.

1) DBC = FBA = 90°;

DBC + ABC = FBA + ABC, значит, FBC = DBA.

Таким образом, FBC =ABD (по двум сторонам и углу между ними).

2) , где AL DE, так как BD - общее основание, DL - общая высота.

3) , так как FB –снование, АВ - общая высота.

4)

5) Аналогично можно доказать, что

6) Складывая почленно, получаем:

, ВС2 = АВ2 + АС2 . Доказательство закончено.

9 СПОСОБ.

Доказательство.

1) Пусть ABDE - квадрат (рис. 9), сторона которого рав­на гипотенузе прямоугольно­го треугольника ABC (АВ = с, ВС = а, АС = b).

2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольно­го треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).

Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).

3)Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b). Тогда КС = СМ = ML = LK = а - b.

4) SKB = 4S + SKLMC = 2ab + (a - b), с 2 = 2ab + a2 - 2ab + b2, c2 = a2 + b2 .

Доказательство закончено.

10 СПОСОБ.

Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его со­стоит в преобразовании квад­ратов, построенных на кате­тах, в равновеликие треуголь­ники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.

ABC сдвигаем, как пока­зано стрелкой, и он занимает положение KDN. Оставша­яся часть фигуры AKDCB рав­новелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB.

Сделана модель параллелограмма AKNB . Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование парал­лелограмма в равновеликий треугольник, на глазах уча­щихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преоб­разуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.

Произведем преобразование для квадрата, построенно­го на катете а (рис. 11,а):

а) квадрат преобразуется в равновеликий параллелог­рамм (рис. 11,6):

б) параллелограмм поворачивается на четверть оборо­та (рис. 12):

в) параллелограмм преобразуется в равновеликий пря­моугольник (рис. 13): 11 СПОСОБ.

Доказательство:

PCL – прямая (Рис. 14);

KLOA = ACPF = ACED = а2;

LGBO = СВМР = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = с2;

с2 = а2 + b2.

Доказательство окончено.

12 СПОСОБ.

Рис. 15 иллюстрирует еще одно ориги­нальное доказательство теоремы Пифагора.

Здесь: треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной пря­мой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновели­ки, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них тре­угольник ABC, получим

, с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

13 СПОСОБ.

Площадь данного пря­моугольного треугольни­ка, с одной стороны, равна , с другой, ,

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы её доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный мною материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение. В завершении хотелось бы сказать: причина популярности теоремы Пифагора триедина - это красота, простота и значимость!

4. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Занимательная алгебра. . Москва «Наука», 1978.

2. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 24/2001.

3. Геометрия 7-9. и др.

4. Геометрия 7-9. и др.