§ 1 Взаимное расположение графиков линейных функций

Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.

Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х - 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.

Или другая пара: у = х - 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?

Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:

у = х, у = х + 3 и у = х - 2.

У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.

График функции у = х - 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = -2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.

§ 2 Краткие итоги по теме урока

Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Тема: Линейная функция

Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций

Напомним, что линейной называется функция вида:

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m - некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

Рассмотрим пример:

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр - это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный - убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

и

Если но то заданные прямые параллельны.

Если и то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают - то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Рассмотрим задачи.

Пример 2 - определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 - найти графически точку пересечения прямых:

Обе функции имеют график - прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для второй функции;

Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию.

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ В 7 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ
«Взаимное расположение графиков линейных функций»

учебник Ш.А.Алимов и др. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение, 2000.

Урок подготовила и провела Кузнецова С.Д.,

учитель математики МКОУ ООШ № 4, г. Красноуфимск

Цель урока: создать условия для получения учащимися новых знаний через проведение исследования, обработку полученных результатов и умение делать выводы.

Задачи :

Предметные: обосновывать, что графиком линейной функции является прямая;

рассмотреть случаи взаимного расположения прямых – графиков линейных функций;

развивать навыки построения прямых по координатам точек; способствовать представлению о взаимном расположении графиков линейных функций, построения их на основе традиционных и инновационных ресурсов.

Метопредметные

Регулятивные: работают по составленному плану, используют наряду с основными и дополнительные средства построения графиков линейных функций. В диалоге с учителем совершенствуют критерии оценки и пользуются ими в ходе оценки и самооценки.

Познавательные: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием ЭОР.

Коммуникативные: договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявлять положительное отношение к урокам алгебры, широкий интерес к новому учебному материалу, способам решения новых учебных задач, доброжелательное отношение к сверстникам; дают позитивную оценку и самооценку учебной деятельности; анализируют соответствие результатов требованиям конкретной учебной задачи.

Тип урока урок – изучения нового материала Вид урока Урок – исследование

ХОД УРОКА

I . Организационный момент. Приветствие (1 – 2 мин)

II .Актуализация. На прошлом уроке мы с вами познакомились с понятием линейная функция. При изучении нового материала мы всегда опираемся на ранее изученный материал.

Фронтальный опрос + устная работа с целью повторения ранее изученного материала

В ходе подготовки к устной работе приготовьтесь ответить на следующие вопросы:

3) Как называют число k ? Что оно показывает? Как влияет знак коэффициента k

4) Как называется число b ? Что показывает число b ?

Работа в парах (2 – 3 мин.)

1 пара	Ответить на вопросы: 1) Какая функция называется линейной? 2) Что является графиком линейной функции?	2 пара	Ответить на вопросы: Как называют число k ? Как называется число b ?
3 пара	Ответить на вопросы: Что показывает число k k на положение графика в системе координат?	4 пара	Ответить на вопросы: Что показывает число k ? Как влияет знак коэффициента k на положение графика в системе координат?
5 пара	Ответить на вопрос: Как называется число b ? Что показывает число b ?
6 пара		7 пара Что представляет собой график линейной функции, если угловой коэффициент равен 0?

Отчет каждой группы. Подведение итогов работы групп, исправление ошибок, если они будут.

Проверим, насколько вы были внимательны во время устной работы.

Физ. минутка. (работа со слайдами 13,14,15,16)

Учитель просит детей сильно зажмурить глаза, после чего открывает слайд 13 и просит открыть глаза и найти ошибку. Дети находят ошибку, учитель показывает правильный ответ. Опять просит зажмурить глаза, включает следующий слайд и т.д.

Изложение нового материала

1. Цель: Обеспечить целеполагание.

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая. Каково взаимное расположение прямых на плоскости? /параллельны, пересекаются, совпадают/

Можно ли применить наш вывод к графикам линейных функций? На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать тему урока.

(«»)

Сформулируйте своими словами цель работы на уроке, что нового должны узнать на уроке, что выяснить, чему научиться?

/ Каково взаимное расположение графиков линейных функций,

от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Можно ли без построения графиков определить взаимное расположение графиков линейных функций./

Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование k и b .

Цель работы: k и b .

Группа №1. у = х – 2 и у = х + 1. Инструкция у = х – 2 и у = х + 1. k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны) b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны) Вывод: Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Вывод:

Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями параллельны.

Таким образом, если угловые коэффициенты k прямых y = kx + b одинаковы, а значения b различны, то эти прямые параллельны.

Группа № 2. Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2х + 1. Инструкция 1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1. 2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны) 3) Запишите, а затем сравните свободные члены b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны) 4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций. Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями _________ Запишите вывод с помощью математических символов: Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.	1
Группа № 3. Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - . Инструкция 1) В одной системе координат постройте графики у = 2х – 1 и у = х - . 2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны) 3) Запишите, а затем сравните свободные члены b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны) 4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций. Вывод: Из рисунка видно, что видно, что графики двух данных функций _______________ Запишите вывод с помощью математических символов: Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Вывод: видно, что графики двух данных функций совпадают.

Вывод:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2

1. Если k 1 ≠ k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые пересекаются.

2. Если k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые параллельны.

3. Если k 1 = k 2 , b 1 = b 2 , то эти прямые совпадают.

Отчет каждой группы. Подведение итогов работы групп, исправление ошибок, если они будут. Заполнение памятки.

Формирование умений и навыков

Этап первичного закрепления новых знаний.

Задание № 1 . Функции заданы формулами

1) у = -1,5х + 6 2) у = 0,5х + 6 3) у = 0,5х + 4 4)у = 0,5х 5)у = 3 + 1,5х

Выпишите те, из них которые:

1) Параллельны графику функции у = 0,5х + 10 (2,3 и 4)

2) Пересекают график функции у = -1,5х (2,3,4 и 5)

Задание 2 .

Дана линейная функция у = 2,5х – 4. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой

1) параллелен графику данной функции;

2) пересекает график данной функции.

Задание 3 . Найдите лишнюю функцию, ответ обоснуйте

1) у= - 2х + 0,3; у = -2х + 4; у = 3 - 2х; у = х + 1; у = - 2х; у = - 2 ?

2) у = х + 3; у = 2(0,5х + 1,5); у = 3 - х ; у = 3 + х; у = ?

Задание 4 .

1. При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?

у = 2 ах + 5 и у = 5 х – 2. (Ответ: а ≠ 2,5)

2. При каких значениях параметров графики данных функций параллельны?

у = 3 ах + 5 и у = 6 х – 2. (Ответ: а = 2)

3. При каких значениях параметров графики данных функций совпадают?

у = 2 ах + 7 и у = 9 х + 7 (Ответ: а = 4,5)

V. Подведение итогов урока, постановка задания на дом.

– Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?

– Условие пересечения графиков двух линейных функций?

– При каком условии графики линейных функций параллельны?

– Условие совпадения графиков линейных функций?

VI . Домашнее задание: п. 32, № 610. Рекомендую при построении графиков разных функций применять цветные пасты. Не забывайте делать выводы, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений b и k .

VI I . Рефлексия + тест (при наличии времени)

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я узнал….

Сегодня на уроке я научился….

У меня хорошо получилось…

Я хотел бы еще…

«Приложение 1. Памятка»

Памятка

по теме «_____________________________________________»

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида ______________, где x – ______________________,

k – _________________________________________________и

b – _________________________________________________.

Графиком линейной функции является ____________________ .

Если k ___0 х _____________________ .

Если k ___0 , то угол наклона, образованный графиком функции, с положительным направлением оси х _____________________ .

Если k ___0 , то график линейной функции________________ с осью х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ________________ оси х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ________________ оси х .

Если b __ 0 , то график функции y = kx + b пересекает ось у в ____________________________________.

Зависимость графика линейной функции от k и b

k / b + – 0

Пусть функции заданы формулами y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2

1. Если k 1 ≠ k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые _____________________

	Примеры функций
	у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____

2. Если k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 , то эти прямые ____________________

	Примеры функций
	у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____

3. Если k 1 = k 2 , b 1 = b 2 , то эти прямые ______________________

	Примеры функций
	у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____ у = __х _____

Просмотр содержимого документа
«Приложение 2. Задания для групп на устную работу»

Задание для 1 пары

Выберите линейные функции и выделите букву, стоящую рядом.

При ответе сделайте клик мышью по букве.

1) Р у = – 0,3х + 3; 4) Г у = x – 5x 2 ; 7) Х у = х 3 – 5;

2) Я у = – 8 + x ; 5) Ш у = x 2 + 1; 8) П у = 205x + 3;

3) А у = – 4 – 7х ; 6) М у = 4 – 6x ; 9) Я у = 0,5x.

Ответьте на вопросы устно

1) Какая функция называется линейной?

2) Что является графиком линейной функции?

__________________________________________________________________

Задание для 2 пары Заполните таблицу

k b

Ответьте на вопросы устно

Как называют число k ? Как называется число b ?

_____________________________________________________________________

Задание для 3 пары

Задание для 4 пары

______________________________________________________________________

Задание для 5 пары

1)
Как называется число b ? Что показывает число b ?

Задание для 6 пары

Задание для 7 пары

Что представляет собой график линейной функции, если угловой коэффициент равен 0?

Просмотр содержимого документа
«Приложение 3. Инстукция к лабораторной работе»

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

у = х – 2 и у = х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = х – 2 и у = х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = х – 2 и у = х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 2 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2 х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 2 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = – х + 2 и у = 2 х + 1.

Инструкция

1) В одной системе координат постройте графики у = – х + 2 и у = 2х + 1.

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что прямые, заданные этими функциями ________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 3 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - .

Инструкция

у = 2х – 1 и у = х - .

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод:

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Группа № 3 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Исследование взаимного расположения графиков линейных функций от значений k и b .

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = 2х – 1 и у = х - .

Инструкция

1)В одной системе координат постройте графики у = 2х – 1 и у = х - .

2) Запишите, а затем сравните угловые коэффициенты

k 1 = ____; k 2 = ____; k 1 k 2 (равны или не равны)

3) Запишите, а затем сравните свободные члены

b 1 = ____; b 2 = _____; b 1 b 2 (равны или не равны)

4) Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций.

Вывод: Из рисунка видно, что видно, что графики двух данных функций _______________________________

Запишите вывод с помощью математических символов:

Если ______________ , __________________ , то эти прямые ____________________.

Просмотр содержимого документа
«Приложение 4. Построение графиков»

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

у = х – 2 и у = х + 1.

1) у = х – 2 - 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________ у = х – 2
2) у = х + 1 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________ у = х + 1

Группа №1 Лабораторная работа

по теме « Взаимное расположение графиков линейных функций »

Цель работы: выяснить, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от значений k и b .

Выяснить взаимное расположение графиков функций у = х – 2 и у = х + 1.

В одной системе координат построить графики функций у = х – 2 и у = х + 1.

1) у = х – 2 - __________, проходящая через ____________________________ 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________ у = х – 2
2) у = х + 1 - __________, проходящая через ____________________ 1. ООФ: х - __________ 2. МЗФ: у - __________

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с различными случаями взаимного расположения графиков линейных функций и научитесь их распознавать.

Как могут располагаться графики линейных функций?

Вы уже знаете, что графиком линейной функции является прямая.

Каково может быть расположение двух прямых на плоскости?

• Они могут пересекаться, то есть иметь единственную общую точку.
• Они могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.
• Они могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек.

Определим условия для каждого из этих случае.

Начнем с последнего случая: графики двух линейных функций совпадают. Очевидно, что в том случае, когда линейная функция задана уравнением y = kx + b , очевидным условием совпадения графиков этих функций будет совпадение коэффициентов k и b .

Понятно, что если уравнения обеих функций записаны в таком виде, установить совпадение их графиков легко. Однако в том случае, когда одна из функций или каждая функция записаны по-другому, необходимо преобразовать выражения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Даны три функции:

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2)
(2) y = 3x 2 – 3(x + 2)(x – 3) – 25
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2)

Выясните, графики каких из них совпадают.

Решение:

1. Для начала выясним области определения каждой функции.

Так как ни одна из функций не включает дробей со знаменателями, содержащими переменную, областью определения каждой из них является любое число.

2. Преобразуем каждую из функций.

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2) = 2x + 3 – 5x – 10 = –3x –7
(2) y = 3x 2 – 3(x – 2)(x + 3) – 25 = 3x 2 – 3(x 2 – 2x + 3x – 6) = 3x 2 – 3x 2 – 3x + 18 – 25 = –3x –7
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2) = 2x 2 + 3x – 2x 2 – 4x = –x

В результате преобразований мы получили, что выражения для первой и второй функций совпадают. Это значит, что и графики функций (1) и (2) совпадают.

Теперь рассмотрим ситуацию параллельности графиков линейных функций.

Для этого рассмотрим пример.

Пример 2.

Выяснить взаимное расположение графиков линейных функций y = –2x + 3 и y = –2x – 1.

Найдем несколько пар точек, принадлежащих графикам этих функций, для соответствующих значений аргумента и занесем эти точки в таблицу:

x	–2	–1	0	1	2	3
y = –2x + 1	7	5	3	1	–1	–3
y = –2x – 2	3	1	–1	–3	–5	–7

Видно, что в каждой точке значение функции y = –2x – 1 на 4 единицы меньше, чем значение функции y = –2x + 3. Это значит, что каждой точке графика функции y = –2x + 3 с координатами (x 0 ; y 0 ) соответствует точка с координатами (x 0 ; y 0 – 4) графика функции y = –2x – 1, то есть вся прямая сдвигается вниз на 4 единицы. Таким образом, графиком функции y = –2x – 1 является прямая, параллельная графику функции y = –2x + 3 (см. рис.1.).

Рис. 1. Графики функций y = –2x – 1 (красный) и y = –2x + 3 (синий)

Таким образом, условием параллельности графиков функций:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 является: k 1 = k 2 и b 1 ≠ b 2 .

Для того чтобы более подробно изучить вопрос с параллельностью прямых, поработайте с материалами видеоуроков.

«Уравнение параллельной прямой»

«Параллельные прямые».

В тех случаях, когда k 1 ≠ k 2 графики линейных функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 не параллельны и не совпадают. Они пересекаются в единственной точке.

Теперь поработайте с материалами электронных образовательных ресурсов (ЭОР) « » (теоретический материал) и « » (практические задания).

Рассмотрим частный случай пересечения графиков линейных функций – их перпендикулярность – и выясним, какое условие должно выполняться для того, чтобы графики функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 были перпендикулярны.

Условием перпендикулярности прямых будет выполнение условия: k 1 ∙ k 2 = –1 , то есть угловые коэффициенты прямых должны быть обратными по модулю числами с противоположными знаками.

Заметим, что с доказательством этого факта вы познакомитесь позже, в 9 классе.

Рассмотрите примеры решения задач, связанные с перпендикулярностью прямых, поработав в материалами видеоуроков.

«Перпендикулярные прямые».

«Перпендикулярные прямые 2».

Решение задач

Прежде чем переходить к решению задач, изучите материалы видеоуроков.

«Параллельные прямые 2».

«Параллельные прямые 3».

Пример 1.

Найдите координаты общих точек графиков функций.

а) y = 2x – 3(x + 2) и y = 5x + 6

Решение:

Выясним, как расположены графики функций. Для этого преобразуем первую функцию:

y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6

Имеем функции y = –x – 6 и y = 5x + 6. Так как угловые коэффициенты этих функций не являются равными числами, то графики функций пересекаются в единственной точке (x 0 ; y 0 ).

Для того чтобы найти общую точку, нужно найти такую пару чисел (x 0 ; y 0 ), при подстановке которых и в первое, и во второе уравнение получатся верные числовые равенства. Или, рассуждая по-другому, ординаты графиков должны получиться одинаковые при равных значениях абсциссы.

То есть нужно решить уравнение: –x 0 – 6 = 5x 0 + 6, а затем найденное значение подставить в одно из уравнений для того чтобы найти значение ординаты.

Решая уравнение, получаем: –12 = 6x 0 или –2 = x 0 тогда y 0 = –4. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций y = –x – 6 и y = 5x + 6 является точка (–2; –4).

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 2.

Рис. 2. Графики функций y = –x – 6 (красный) и y = 5x + 6 (синий)

б) y = –2x + 3(x – 4) + 8 и y = 5x – 4(x – 1)

Решение:

Преобразуем данные функции:

y = –2x + 3(x – 4) + 8 = –2x + 3x – 12 + 8 = x – 4
y = 5x – 4(x – 1) = 5x – 4x + 4 = x + 4

Так как угловые коэффициенты данных функций совпадают, а свободные коэффициенты различны, то графики функций будут параллельны, то есть графики общих точек не имеют.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 3.

Рис. 3. Графики функций y = x + 4 (красный) и y = x – 4 (синий)

в) y = –2x – 3(x – 1) и y = –5x + 3

Решение:

Преобразуем первую функцию:

y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3

В данном случае уравнения функций одинаковые, значит, графики функций совпадают. Поэтому эти графики имеют бесконечно много общих точек.

Пример 2.

Докажите, что график функции (1) y = 6x + 3(1 – 3x ) всегда расположен выше графика функции (2) y = –x – 2(x + 2).

Решение:

Преобразуем данные функции.

Алгебра, 7 класс

Тема:

На уроке используются:

Компьютер,

Презентации

Цели:

• Образовательные:

1. Отработка навыков построения графиков функции вида y=kx+b;
2. Выяснение влияния значений k и b на положение графиков;
3. Выяснение влияния значения параметра k на взаимное расположение графиков линейных функций.

• Воспитательные:

1.Воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся;

2.Умение учащихся данной группы построить на короткое время взаимодействие, исходя из особенностей задач.

• Развивающие:

1. Интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

2. Развитие осмысленного отношения к своей деятельности;

3. Развитие самостоятельности мышления: выделять главное, видеть общую закономерность и делать обобщённые выводы.

Ход урока:

(Весь урок сопровождается презентацией, что облегчает восприятие )

1.Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к уроку. Настраивает учащихся на работу.

Открывается слайд №1

Девизом к нашему уроку я хочу предложить такие слова «Каждое дело творчески, иначе зачем?»

Давайте творить.

2. Актуализация знаний

Открывается слайд №2.

Задание распределить данные функции по группам: y=x 2 , y=2x+5, y=11,y=x 3 , y=x, y=-3x-8, y=-0,5x+1,y=-12, y=-x, y=x 2 +16, y=4x-3, y=7x

• На сколько групп вы распределили данные функции? (На две)
• Какие функции отнесли к первой группе и почему? (Графиками данных функций не являются прямыми.)

Группы указанные учащиеся записывают на доске

• Какие функции отнесли ко второй группе и почему? (Графиками данных функций являются прямые.)
• Обратите внимание на вторую группу формул.
• Распределите данные функции по их записи.
• На какие группы можем распределить данные функции? (1) y=2x+5, y=-3x-8,

y=-0,5x+1, y=4x-3; 2) y=x, y=-x, y=7x; 3) y=11, y=-12.)

Как называются функции из первой группы? (линейные)

Назовите коэффициент при x в формулах этих линейных функций? (2,-3,-0,5,4)

Сколько точек достаточно для построения графиков этих функций? (двух)

Как называются функции из второй группы? (прямая пропорциональность)

Укажите коэффициент в формулах этих линейных функций? (1,-1,7)

Чему равно b в записях данных формул? (0)

Сколько точек достаточно для построения графиков этих функций? (Графики всех данных функций проходят через точку (0;0), поэтому для построения графиков этих функций достаточно найти координаты одной точки.)

Какую еще выделили группу? (постоянные)

Чему равно b в записях всех данных формул? (11,-12)

Чему равен угловой коэффициент в формулах этих линейных функций? (0)

Как могут располагаться две произвольные прямые на плоскости? (Две прямые могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать)

3. Введение в тему. Постановка учебных задач на уроке.

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая, поэтому графики двух линейных функций тоже могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать.

А теперь выясним, что нового должны узнать на уроке, что выяснить, чему научиться? (Расположение графиков линейных функций)

На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать тему урока. (Взаимное расположение графиков линейных функций)

Учитель корректирует ответы учащихся.

Давайте запишем в тетрадь тему урока: «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Открывается слайд № 3

Выясним, что должны узнать на уроке.

Попытайтесь самостоятельно поставить цель, которую вы хотите достичь.

(Возможны ответы:

Должны рассмотреть параллельность, пересечение и совпадение графиков линейных функций;

Графики, каких линейных функций параллельны, пересекаются, совпадают;

От чего зависит параллельность, пересечение, совпадение графиков линейных функций)

Открывается слайд № 4

4.Ознакомление с новым материалом.

А сейчас вы выполните графическую работу, которая поможет вам ответить на поставленные вопросы.

Открывается слайд № 5

Учитель обращает внимание на индивидуальные рабочие листы.

Задание №1:

Y=0.5x+1,5; y=0,5x; y=0,5x-2.

Задание №2:

В одной системе координат постройте графики функций:

Y=-x+3; y=1,5x+3; y=0,25x+3

Учитель знакомит учащихся с заданиями:

Построение графика функции под цифрой 3 выполняется, если уже построено по два графика в каждой группе заданий.

В итоге выполнения заданий у вас в тетради должны быть изображены две системы координат, в каждой из которых обязательно по два графика. У сильных учащихся в тетрадях возможно - по три графика.

После построения открывается слайд с построенным заданием №1.

Открывается слайд №6

Работа по чертежу.

Обратите внимание на слайд.

Что можно сказать про графики линейных функций? (они параллельны)

Что можно сказать про коэффициенты b и k в формулах? (k равны, b не равны)

Вывод? (если у линейных функций угловой коэффициент одинаковый, то их графики параллельны)

Открывается слайд №7

Работаем над заданием №2

Что можно сказать про графики линейных функций? (они пересекаются в одной точке (0;3))

Что можно сказать про коэффициенты b и k в формулах? (b равны, k не равны)

Вывод? (график линейной функции пересекает ось OY в точке (0;b))

Обратите внимание на цели, которые вы поставили в начале урока. На какой вопрос осталось ответить? (в каком случае графики двух функций совпадают)

В каком же случае графики двух функций совпадают? (графики двух функций совпадают если совпадают k и b.

5.Здоровье-сберегающая пауза.

Открывается слайд № 8 (звучит спокойная музыка)

После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник.

Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку.

Ось ординат. Раз. Два. Потянулись.

Ось абсцисс. Потянулись.

Прямая у=kx+b.

k – положительное. Наклон вправо. Потянулись.

k – отрицательное. Наклон влево. Потянулись.

И ещё раз.

Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.

6.Первичное осмысление и закрепление изученного.

Переходим к самой интересной части нашего урока.

Решая следующие задачи, в таблице ответов найдём букву. Из полученных букв попробуем составить имя великого математика.

Разобьёмся на группы. По полученному ответу в таблице каждая группа найдёт букву. Собрав все буквы вместе, мы получим имя известного математика.

Вперёд.

1 группа . Работают по карточкам индивидуально

Задание 1. При каком b функции у=-7х+ b и у=5х+4 пересекаются в точке (1;9)

Ответ: 16

Задание 2. При каком k функции у=kх+7 и у=-3х+5 пересекаются в точке (1;2).

Ответ: -5

Задание 3. Найдите сумму k и b в формуле линейной функции у = k . x + b, график которой проходит через точки с координатами (-1;-2), (1;6).

Ответ: 6

1. группа. Работа с обучающими карточками в паре или индивидуально

Обучающая карточка. 1

Решите уравнение: х + 2 = -х + 4	Решите уравнение: х + 1 = -х + 3
1. Построим графики функций у = х + 2 и у = -х + 4 а) у = х + 2 0 + 2 = 1 + 2 = Отметим точки (0 ; 2 ) и (1 ; 3 ) Б) у = -х + 4 0 + 4 = 1 + 4 = Отметим точки (0 ; 4 ) и (1 ; 3 ) на координатной плоскости и проведём через них прямую Ответ: х = 1	1. Построим графики функций у = и у = а) у = 2. Найдём абсциссу точки пересечения прямых Ответ: х =

Ответ: 1.

Обучающая карточка. 2

Решите уравнение: 2х - 3 = -х + 3	Решите уравнение: 2х + 4 = х - 2
1. Построим графики функций у = 2х - 3 и у = -х + 3 а) у = 2х - 3 2 *0- 3 = 2 *1- 3 = Отметим точки (0 ; -3 ) и (1 ; -1 ) на координатной плоскости и проведём через них прямую Б) у = -х + 3 0 + 3 = 1 + 3 = Отметим точки (0 ; 3 ) и (1 ; 2 ) на координатной плоскости и проведём через них прямую 2. Найдём абсциссу точки пересечения прямых Ответ: х = 2	1. Построим графики функций у = и у = а) у = Отметим точки (;) и (;) на координатной плоскости и проведём через них прямую Найдём абсциссу точки пересечения прямых Ответ: х =

Ответ: 2

1. группа. Работа с карточкой.

В одной системе координат построены графики функций

У = -0,4х и у = 2.

Определите по графику координаты точки их пересечения и найдите сумму этих координат.

Ответ -3

1. группа. Работа с учащимися.

Графически решить уравнение

3х + 4 = -2х – 1

Ответ: х=-1

Открывается слайд № 9

Таблица ответов

Ответ	Буква

БЕЛНИЙЦ

Готфрид Вильгельм Лейбниц – это имя немецкого математика, который и ввёл термин «функция».

Подробнее о нём можно узнать из презентации, созданной вашим одноклассником.

Итак, презентация презентации.

Из истории.

7.Рефлексия .

Ученик допустил ошибки при построении графиков функций

У = х (рис. 8), у = -3х (рис. 9), у = 2х + 4 (рис. 10)

Докажите, что графики построены неверно (попробуйте решить задачу, не прибегая к вычислениям и к построению прямых)

Открывается слайд № 10

рис. 8

Открывается слайд № 11

рис. 9

Открывается слайд № 12

рис. 10

Открывается слайд №13.

Открывается слайд №14.

Открывается слайд №15.

Открывается слайд №16.

8.Домашнее задание.

Открывается слайд № 17

На следующем уроке мы с вами поговорим о применении линейной функции в различных жизненных ситуациях, применение линейной функции в других предметах.

Поэтому дома оглядитесь вокруг себя и, используя весь свой творческий потенциал, попробуйте найти графики линейных функций, а также линейную зависимость одной переменной от другой.

Поработайте с презентацией.

Для интересующихся математикой тема:

«Линейная зависимость в пословицах и поговорках».

• Запишите д/з

Найти графики линейных функций, а также линейную зависимость -2.
Задание №2:
В одной системе координат постройте графики функций:
y
=-
x
+3;
y
=1,5
x
+3;
y
=0,25
x
+3
у = 2х + 4
Найди ошибку! Объясни!
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Рассмотреть параллельность, пересечение и совпадение графиков линейных функций
Цель:
Ответ
Буква
8
М
16
Б
7
К
-5
Е
6
Л
-3
Н
1
И
-9
О
11
У
2
Й
4
Р
-1
Ц
Б
Е
Л
Н
И
Й
Ц
Взаимное расположение
графиков линейных функций
Найди ошибку! Объясни!
Правильно:
Здоровье-сберегающая пауза.
После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник.
Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку.
Ось
ординат.
Раз. Два. Потянулись.
Ось
абсцисс.
Потянулись.
Прямая
у=
kx
+
b
.
k
– положительное. Наклон вправо. Потянулись.
k
– отрицательное. Наклон влево. Потянулись.
И ещё раз.
Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.
Для интересующихся математикой
:
«Линейная зависимость в пословицах и поговорках».
Запишите
д
з
- Найти графики линейных функций, а также линейную зависимость
одной переменной от другой вокруг себя, в других предметах.
- Поработать с презентацией.
Домашнее задание
Распределите данные функции по группам
:
y
=
x
2
y
=2
x
+5
y
=11
y
=
x
3
y
=
x
y
=-3
x
-8
y
=-0,5
x
+1
y
=-12
y
=-
x
y
=
x
2
+16
y
=4
x
-3
y
=7
x

Что можно сказать про графики линейных функций?
Что можно сказать про коэффициенты
b
и
k
в формулах?
Вывод?
у = -3х
Найди ошибку! Объясни!