Катетами называют называют две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. Противоположная прямому углу самая длинная сторона треугольника именуется гипотенузой. Дабы обнаружить гипотенузу, необходимо знать длину катетов.

Инструкция

1. Длины катетов и гипотенузы связаны соотношением, которое описывается теоремой Пифагора. Алгебраическая формулировка: “В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.”Формула Пифагора выглядит так:c2 = a2 + b2,где с - длина гипотенузы, a и b - длины катетов.

2. Зная длины катетов, по теореме Пифагора дозволено обнаружить гипотенузу прямоугольного треугольника:c = ?(a2 + b2).

3. Пример. Длина одного из катетов равна 3 см, длина иного - 4 см. Сумма их квадратов равна 25 см?:9 см? + 16 см? = 25 см?.Длина гипотенузы в нашем случае равна квадратному корню из 25 см? – 5 см. Стало быть, длина гипотенузы равняется 5 см.

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При знаменитом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см.AB = BC/sin30 = 8 см.

Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника . Она расположена противоположно прямому углу. Метод нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими начальными данными вы владеете.

Инструкция

1. Если вестимы катеты прямоугольного треугольника , то длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть обнаружена с подмогой теоремы Пифагора – квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:с2 = а2 + b2, где а и b – длины катетов прямоугольного треугольника .

2. Если вестим один из катетов и острый угол, то формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от того, какой данный угол по отношению к вестимому катету – прилежащий (расположенный вблизи катета) либо противолежащий (расположенный наоборот него.В случае прилежащего угла, гипотенуза равна отношению катета на косинус этого угла: с = a/cos?;E угол противолежащий, гипотенуза равна отношению катета на синус угла: с = a/sin?.

Видео по теме

Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую наоборот прямого угла. Она является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. Рассчитать ее дозволено по теореме Пифагора либо с поддержкой формул тригонометрических функций.

Инструкция

1. Катетами называют стороны прямоугольного треугольника, прилежащие к прямому углу. На рисунке катеты обозначены как AB и BC. Пускай заданы длины обоих катетов. Обозначим их как |AB| и |BC|. Для того, дабы обнаружить длину гипотенузы |AC|, воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно данной теореме сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. в обозначениях нашего рисунка |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Из формулы получаем, что длина гипотенузы AC находится как |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Разглядим пример. Пускай заданы длины катетов |AB| = 13, |BC| = 21. По теореме Пифагора получаем, что |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Для того, дабы получить длину гипотенузы, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов, т.е. из числа 610: |AC| = ?610. Воспользовавшись таблицей квадратов целых чисел, выясняем, что число 610 не является полным квадратом какого-нибудь целого числа. Для того, дабы получить окончательное значение длины гипотенузы, испробуем перенести полный квадрат из под знака корня. Для этого разложим число 610 на множители. 610 = 2 * 5 * 61. По таблице примитивных чисел глядим, что 61 – число примитивное. Следственно последующее приведение числа?610 нереально. Получаем окончательный результат |AC| = ?610.Если бы квадрат гипотенузы был равен, к примеру, 675, тогда?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. В случае, если сходственное приведение допустимо, исполняйте обратную проверку – возведите итог в квадрат и сравните с начальным значением.

3. Пускай нам знаменит один из катетов и прилежащий к нему угол. Для определенности пускай это будут катет |AB| и угол?. Тогда мы можем воспользоваться формулой для тригонометрической функции косинус – косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. в наших обозначениях cos ? = |AB| / |AC|. Отсель получаем длину гипотенузы |AC| = |AB| / cos ?.Если же нам знамениты катет |BC| и угол?, то воспользуемся формулой для вычисления синуса угла – синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin ? = |BC| / |AC|. Получаем, что длина гипотенузы находится как |AC| = |BC| / cos ?.

4. Для наглядности разглядим пример. Пускай дана длина катета |AB| = 15. И угол? = 60°. Получаем |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30. Разглядим, как дозволено проверить свой итог с подмогой теоремы Пифагора. Для этого нам нужно посчитать длину второго катета |BC|. Воспользовавшись формулой для тангенса угла tg ? = |BC| / |AC|, получаем |BC| = |AB| * tg ? = 15 * tg 60° = 15 * ?3. Дальше применяем теорему Пифагора, получаем 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Проверка исполнена.

Полезный совет
Рассчитав гипотенузу, исполняйте проверку – удовлетворяет ли полученное значение теореме Пифагора.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

При расчете сторон прямоугольного треугольника может сыграть знание его признаков:
1) Если катет прямого угла лежит напротив угла в 30 градусов, то он равен половине гипотенузы;
2) Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов;
3) Если вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то ее центр должен лежать в середине гипотенузы.

Гипотенузой называется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится напротив угла в 90 градусов. Для того, чтобы рассчитать его длину, достаточно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

Пусть нам известен один из катетов и прилежащий к нему угол. Для определенности пусть это будут катет |AB| и угол α. Тогда мы можем воспользоваться формулой для тригонометрической косинус – косинус отношению прилежащего катета к . Т.е. в наших обозначениях cos α = |AB| / |AC|. Отсюда получаем длину гипотенузы |AC| = |AB| / cos α.
Если же нам известны катет |BC| и угол α, то воспользуемся формулой для вычисления синуса угла – синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin α = |BC| / |AC|. Получаем, что длина гипотенузы находится как |AC| = |BC| / cos α.

Для наглядности рассмотрим пример. Пусть дана длина катета |AB| = 15. И угол α = 60°. Получаем |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
Рассмотрим, как можно проверить свой результат с помощью теоремы Пифагора. Для этого нам необходимо посчитать длину второго катета |BC|. Воспользовавшись формулой для тангенса угла tg α = |BC| / |AC|, получаем |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Далее применяем теорему Пифагора, получаем 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Проверка выполнена.

Полезный совет

Рассчитав гипотенузу, выполняйте проверку - удовлетворяет ли полученное значение теореме Пифагора.

Источники:

• Таблица простых чисел от 1 до 10000

Катетами называют две короткие стороны прямоугольного треугольника, составляющие ту его вершину, величина которой равна 90°. Третью сторону в таком треугольнике называют гипотенузой. Все эти стороны и углы треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые позволяют вычислить длину катета, если известны несколько других параметров.

Инструкция

Используйте теорему Пифагора для катета (A), если известна длина двух других сторон (B и C) прямоугольного треугольника. Эта теорема утверждает, что сумма возведенных в квадрат длин катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого вытекает, что длина каждого из катетов равна квадратному корню из длин гипотенузы и второго катета: A=√(C²-B²).

Воспользуйтесь определением прямой тригонометрической функции «синус» для острого угла, если известна величина угла (α), лежащего напротив вычисляемого катета, и длина гипотенузы (C). Это утверждает, что синус этого известного отношению длины искомого катета к длине гипотенузы. Это , что длина искомого катета равна произведению длины гипотенузы на синус известного угла: A=C∗sin(α). Для этих же известных величин можно использовать и косеканс и рассчитать нужную длину, разделив длину гипотенузы на косеканс известного угла A=C/cosec(α).

Задействуйте определение прямой тригонометрической функции косинус, если кроме длины гипотенузы (C) известна и величина острого угла (β), прилегающего к искомому . Косинус этого угла как соотношение длин искомого катета и гипотенузы, а из этого можно вывод, что длина катета равна произведению длины гипотенузы на косинус известного угла: A=C∗cos(β). Можно воспользоваться определением функции секанс и вычислить нужное значение, разделив длину гипотенузы на секанс известного угла A=C/sec(β).

Выведите нужную формулу из аналогичного определения для производной тригонометрической функции тангенс, если кроме величины острого угла (α), лежащего напротив искомого катета (A), известна длина второго катета (B). Тангенсом противолежащего искомому катету угла отношение длины этого катета к длине второго катета. Значит, искомая величина будет равна произведению длины известного катета на тангенс известного угла: A=B∗tg(α). Из этих же известных величин можно вывести и другую формулу, если воспользоваться определением функции котангенс. В этом случае для вычисления длины катета надо будет найти соотношение длины известного катета к котангенсу известного угла: A=B/ctg(α).

Видео по теме

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно означает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами называются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона называется гипотенузой. Термин «катет» применяется также в архитектуре и технологии сварочных работ.

Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее можно по формуле secCAB=1/cosSAB.
Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCAB

Оба катета связаны между собой и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a.

Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий Пифагор. Теоремой, его именем, люди пользуются до сих пор. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, каждый катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и другого катета. Эту формулу можно записать как b=√(с2-а2).

Длину катета можно выразить и через известные вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Можно его выразить и или котангенс. Катет а можно найти, например, по формуле a = b*tan CAB. Точно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса или , определяется и второй катет.

В архитектуре также используется термин «катет». Он применяется по отношению к ионической капители и отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином перпендикуляр к заданной линии.

В технологии сварочных работ есть «катет углового шва». Как и в других случаях, это самое короткое расстояние. Здесь речь идет о промежутке между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности другой детали.

Видео по теме

Источники:

• что такое катет и гипотенуза в 2019

В самом начале напомним, что треугольник – это многогранник, у которого имеются 3 угла. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны другие величины треугольника?

Инструкция

1. Известны длины катетов. В данном случае, гипотенузу можно вычислить, применяя теорему Пифагора. Данная теорема звучит так: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого следует, чтобы рассчитать длину гипотенузы, необходимо возвести в квадрат поочередно величину каждого катета. После чего полученные цифры сложить, а из общего результата уже извлечь квадратный корень.
2. Как находить гипотенузу в треугольнике KFB, если известен катет (ВК) и прилежащий к нему угол? Известный угол обозначим α. Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит следующее, отношение длины катета прямоугольного треугольника к длине гипотенузы равно косинусу угла, расположенного между гипотенузой и этим катетом. Записать это можно следующим образом: FB=BK*cos(α).
3. Известен другой катет (KF) и этот же самый угол α, Теперь уже он будет противолежащим. Гипотенуза также можно найти, если применить те же самые свойства прямоугольного треугольника. Здесь мы получим, отношение длины катета прямоугольного треугольника к длине его гипотенузы равно синусу угла, противолежащего катету. Записываем: FB=KF*sin(α).
4. Как найти гипотенузу треугольника, если около него описана окружность, у которой известен ее радиус. Из свойств окружности, которая описана вокруг прямоугольного треугольника известно, что у такой окружности центр совпадает с точкой гипотенузы, которая разделяет его пополам. Иными словами – радиус равен половине гипотенузы. А это значит, что два радиуса составляют гипотенузу: FB=2*R.

Зная свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора, очень просто вычислить длину гипотенузы. Если вам все же сложно запомнить все свойства, тогда просто выучите готовые формулы, в которые очень просто подставить известные значения, чтобы рассчитать длину гипотенузы.

Есть три варианта решения этой задачи. Первый - если в условиях задачи дано, что катеты равны (по сути, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник). Второй - если еще дан какой-то угол (кроме угла в 45%, тогда мы имеем тот же равнобедренный треугольник и возвращаемся к первому варианту). И третий - когда известен один из катетов. Рассмотрим данные варианты подробнее.

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

• первый катет (обозначим его буквой "a") равен второму катету ((обозначим его буквой "b"): a=b;

• размер катетов;

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит - a=a.

1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного):
   c^2=a^2+a^2,
2. Далее максимально упрощаем формулу:
   с^2=2*(a^2) - группируем,
   с=√2*а - подносим обе части уравнения к квадратному кореню,
   a=c/√2 - выносим искомое.
3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение:
   a=x/√2

Как найти катеты, при известной гипотенузе и угле

• гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
• угол β равный q: β=q;

• размер катетов;

Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические функции. Найболее популярны две из них:

• функция синуса - синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
• функция косинуса - косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

Вы можете использовать любую. Я наведу пример с использованием первой. Пусть катеты у нас обозначаються символами "a" (прилежащий к углу) и "b" (противолежащий к углу). Соответственно наш угол лежит между катетом "a" и гипотенузой.

1. Подставляем выбранные условные обозначения в формулу:
   sinβ = b/c
2. Выводим катет:
   b=c*sinβ
3. Подставляем наши данный и имеем один катет.
   b=c*sinq

Второй катет можно найти воспользовавшись второй тригонометрической функцией, или же перейти к третьему варианту.

Как найти один катет, если известна гипотенуза и другой катет

• гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
• катет (обозначим его буквой "b") равен y см: b=y;

• размер другого катета (обозначим его буквой "a");

В этом варианте решением задачи, как и в первом, является использование теоремы Пифагора.

1. Подставляем наши условные обозначения в теорему:
   c^2=a^2+b^2,
2. Выносим необходимый катет:
   a^2=c^2-b^2
3. Подносим обе части уравнения к квадратному кореню:
   a=√(c^2-b^2)
4. Подставляем данные значения и имеем решение:
   a=√(x^2-y^2)