Статистика приходит к нам на помощь при решении многих задач, например: когда нет возможности построить детерминированную модель, когда слишком много факторов или когда нам необходимо оценить правдоподобие построенной модели с учётом имеющихся данных. Отношение к статистике неоднозначное. Есть мнение, что существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика. С другой стороны, многие «пользователи» статистики слишком ей верят, не понимая до конца, как она работает: применяя, например, тест к любым данным без проверки их нормальности. Такая небрежность способна порождать серьёзные ошибки и превращать «поклонников» теста в ненавистников статистики. Попробуем поставить токи над i и разобраться, какие модели случайных величин должны использоваться для описания тех или иных явлений и какая между ними существует генетическая связь.

В первую очередь, данный материал будет интересен студентам, изучающим теорию вероятностей и статистику, хотя и «зрелые» специалисты смогут его использовать в качестве справочника. В одной из следующих работ я покажу пример использования статистики для построения теста оценки значимости показателей биржевых торговых стратегий.

В работе будут рассмотрены :

В конце статьи будет задан для размышлений. Свои размышления по этому поводу я изложу в следующей статье.

Некоторые из приведённых непрерывных распределений являются частными случаями .

Дискретные распределения

Дискретные распределения используются для описания событий с недифференцируемыми характеристиками, определёнными в изолированных точках. Проще говоря, для событий, исход которых может быть отнесён к некоторой дискретной категории: успех или неудача, целое число (например, игра в рулетку, в кости), орёл или решка и т.д.

Описывается дискретное распределение вероятностью наступления каждого из возможных исходов события. Как и для любого распределения (в том числе непрерывного) для дискретных событий определены понятия матожидания и дисперсии. Однако, следует понимать, что матожидание для дискретного случайного события - величина в общем случае нереализуемая как исход одиночного случайного события, а скорее как величина, к которой будет стремиться среднее арифметическое исходов событий при увеличении их количества.

В моделировании дискретных случайных событий важную роль играет комбинаторика, так как вероятность исхода события можно определить как отношение количества комбинаций, дающих требуемый исход к общему количеству комбинаций. Например: в корзине лежат 3 белых мяча и 7 чёрных. Когда мы выбираем из корзины 1 мяч, мы можем сделать это 10-ю разными способами (общее количество комбинаций), но только 3 варианта, при которых будет выбран белый мяч (3 комбинации, дающие требуемый исход). Таким образом, вероятность выбрать белый мяч: ().

Следует также отличать выборки с возвращением и без возвращения. Например, для описания вероятности выбора двух белых мячей важно определить, будет ли первый мяч возвращён в корзину. Если нет, то мы имеем дело с выборкой без возвращения () и вероятность будет такова: - вероятность выбрать белый мяч из начальной выборки умноженная на вероятность снова выбрать белый мяч из оставшихся в корзине. Если же первый мяч возвращается в корзину, то это выборка с возвращением (). В этом случае вероятность выбора двух белых мячей составит .

Если несколько формализовать пример с корзиной следующим образом: пусть исход события может принимать одно из двух значений 0 или 1 с вероятностями и соответственно, тогда распределение вероятности получения каждого из предложенных исходов будет называться распределение Бернулли:

По сложившейся традиции, исход со значением 1 называется «успех», а исход со значением 0 - «неудача». Очевидно, что получение исхода «успех или неудача» наступает с вероятностью .

Матожидание и дисперсия распределения Бернулли:

Количество успехов в испытаниях, исход которых распределен по с вероятностью успеха (пример с возвращением мячей в корзину), описывается биномиальным распределением:

По другому можно сказать, что биномиальное распределение описывает сумму из независимых случайных величин, умеющих распределение с вероятностью успеха .
Матожидание и дисперсия:

Биномиальное распределение справедливо только для выборки с возвращением, то есть, когда вероятность успеха остаётся постоянной для всей серии испытаний.

Если величины и имеют биномиальные распределения с параметрами и соответственно, то их сумма также будет распределена биномиально с параметрами .

Представим ситуацию, что мы вытягиваем мячи из корзины и возвращаем обратно до тех пор, пока не будет вытянут белый шар. Количество таких операций описывается геометрическим распределением. Иными словами: геометрическое распределение описывает количество испытаний до первого успеха при вероятности наступления успеха в каждом испытании . Если подразумевается номер испытания, в котором наступил успех, то геометрическое распределение будет описываться следующей формулой:

Матожидание и дисперсия геометрического распределения:

Геометрическое распределение генетически связано с распределением, которое описывает непрерывную случайную величину: время до наступления события, при постоянной интенсивности событий. Геометрическое распределение также является частным случаем .

Распределение Паскаля является обобщением распределения: описывает распределение количества неудач в независимых испытаниях, исход которых распределен по с вероятностью успеха до наступления успехов в сумме. При , мы получим распределение для величины .

где - число сочетаний из по .

Матожидание и дисперсия отрицательного биномиального распределения:

Сумма независимых случайных величин, распределённых по Паскалю, также распределена по Паскалю: пусть имеет распределение , а - . Пусть также и независимы, тогда их сумма будет иметь распределение

До сих пор мы рассматривали примеры выборок с возвращением, то есть, вероятность исхода не менялась от испытания к испытанию.

Теперь рассмотрим ситуацию без возвращения и опишем вероятность количества успешных выборок из совокупности с заранее известным количеством успехов и и неудач (заранее известное количество белых и чёрных мячей в корзине, козырных карт в колоде, бракованных деталей в партии и т.д.).

Пусть общая совокупность содержит объектов, из них помечены как «1», а как «0». Будем считать выбор объекта с меткой «1», как успех, а с меткой «0» как неудачу. Проведём n испытаний, причём выбранные объектв больше не будут участвовать в дальнейших испытаниях. Вероятность наступления успехов будет подчиняться гипергеометрическому распределению:

где - число сочетаний из по .

Матожидание и дисперсия:

Распределение Пуассона

(взято отсюда)

Распределение Пуассона значительно отличается от рассмотренных выше распределений своей «предметной» областью: теперь рассматривается не вероятность наступления того или иного исхода испытания, а интенсивность событий, то есть среднее количество событий в единицу времени.

Распределение Пуассона описывает вероятность наступления независимых событий за время при средней интенсивности событий :

Матожидание и дисперсия распределения Пуассона:

Дисперсия и матожидание распределения Пуассона тождественно равны.

Распределение Пуассона в сочетании с , описывающим интервалы времени между наступлениями независимых событий, составляют математическую основу теории надёжности.

Плотность вероятности произведения случайных величин x и y () с распределениями и может быть вычислена следующим образом:

Некоторые из приведённых ниже распределений являются частными случаями распределения Пирсона, которое, в свою очередь, является решением уравнения:

где и - параметры распределения. Известны 12 типов распределения Пирсона, в зависимости от значений параметров.

Распределения, которые будут рассмотрены в этом разделе, имеют тесные взаимосвязи друг с другом. Эти связи выражаются в том, что некоторые распределения являются частными случаями других распределений, либо описывают преобразования случайных величин, имеющих другие распределения.

На приведённой ниже схеме отражены взаимосвязи между некоторыми из непрерывных распределений, которые будут рассмотрены в настоящей работе. На схеме сплошными стрелками показано преобразование случайных величин (начало стрелки указывает на изначальное распределение, конец стрелки - на результирующее), а пунктирными - отношение обобщения (начало стрелки указывает на распределение, являющееся частным случаем того, на которое указывает конец стрелки). Для частных случаев распределения Пирсона над пунктирными стрелками указан соответствующий тип распределения Пирсона.

Предложенный ниже обзор распределений охватывает многие случаи, которые встречаются в анализе данных и моделировании процессов, хотя, конечно, и не содержит абсолютно все известные науке распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

(взято отсюда)

Плотность вероятности нормального распределения с параметрами и описывается функцией Гаусса:

Если и , то такое распределение называется стандартным.

Матожидание и дисперсия нормального распределения:

Область определения нормального распределения - множество дествительных чисел.

Нормальное распределение является распределение типа VI.

Сумма квадратов независимых нормальных величин имеет , а отношение независимых Гауссовых величин распределено по .

Нормальное распределение является бесконечно делимым: сумма нормально распределенных величин и с параметрами и соответственно также имеет нормальное распределение с параметрами , где и .

Нормальное распределение хорошо моделирует величины, описывающие природные явления, шумы термодинамической природы и погрешности измерений.

Кроме того, согласно центральной предельной теореме, сумма большого количества независимых слагаемых одного порядка сходится к нормальному распределению, независимо от распределений слагаемых. Благодаря этому свойству, нормальное распределение популярно в статистическом анализе, многие статистические тесты рассчитаны на нормально распределенные данные.

На бесконечной делимости нормального распределении основан z-тест. Этот тест используется для проверки равенства матожидания выборки нормально распределённых величин некоторому значению. Значение дисперсии должно быть известно . Если значение дисперсии неизвестно и рассчитывается на основании анализируемой выборки, то применяется t-тест, основанный на .

Пусть у нас имеется выборка объёмом n независимых нормально распределенных величин из генеральной совокупности со стандартным отклонением выдвинем гипотезу, что . Тогда величина будет иметь стандартное нормальное распределение. Сравнивая полученное значение z с квантилями стандартного распределения можно принимать или отклонять гипотезу с требуемым уровнем значимости.

Благодаря широкой распространённости распределения Гаусса, многие, не очень хорошо знающие статистику исследователи забывают проверять данные на нормальность, либо оценивают график плотности распределения «на глазок», слепо полагая, что имеют дело с Гауссовыми данными. Соответственно, смело применяя тесты, предназначенные для нормального распределения и получая совершенно некорректные результаты. Наверное, отсюда и пошла молва про статистику как самый страшный вид лжи.

Рассмотрим пример: нам надо измерить сопротивления набора резистров некоторого номинала. Сопротивление имеет физическую природу, логично предположить, что распределение отклонений сопротивления от номинала будет нормальным. Меряем, получаем колоколообразную функцию плотности вероятности для измеренных значений с модой в окрестности номинала резистров. Это нормальное распределение? Если да, то будем искать бракованные резистры используя , либо z-тест, если нам заранее известна дисперсия распределения. Думаю, что многие именно так и поступят.

Но давайте внимательнее посмотрим на технологию измерения сопротивления: сопротивление определяется как отношение приложенного напряжения к протекающему току. Ток и напряжение мы измеряли приборами, которые, в свою очередь, имеют нормально распределенные погрешности. То есть, измеренные значения тока и напряжения - это нормально распределенные случайные величины с матожиданиями, соответствующими истинным значениям измеряемых величин. А это значит, что полученные значения сопротивления распределены по , а не по Гауссу.

Распределение описывает сумму квадратов случайных величин , каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону :

Где - число степеней свободы, .

Матожидание и дисперсия распределения :

Область определения - множество неотрицательных натуральных чисел. является бесконечно делимым распределением. Если и - распределены по и имеют и степеней свободы соответственно, то их сумма также будет распределена по и иметь степеней свободы.

Является частным случаем (а следовательно, распределением типа III) и обобщением . Отношение величин, распределенных по распределено по .

На распределении основан критерий согласия Пирсона. с помощью этого критерия можно проверять достоверность принадлежности выборки случайной величины некоторому теоретическому распределению.

Предположим, что у нас имеется выборка некоторой случайной величины . На основании этой выборки рассчитаем вероятности попадания значений в интервалов (). Пусть также есть предположение об аналитическом выражении распределения, в соответствие с которым, вероятности попадания в выбранные интервалы должны составлять . Тогда величины будут распределены по нормальному закону.

Приведем к стандартному нормальному распределению: ,
где и .

Полученные величины имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1), а следовательно, сумма их квадратов распределена по с степенью свободы. Снижение степени свободы связано с дополнительным ограничением на сумму вероятностей попадания значений в интервалы: она должна быть равна 1.

Сравнивая значение с квантилями распределения можно принять или отклонить гипотезу о теоретическом распределении данных с требуемым уровнем значимости.

Распределение Стьюдента используется для проведения t-теста: теста на равенство матожидания выборки распределённых случайных величин некоторому значению, либо равенства матожиданий двух выборок с одинаковой дисперсией (равенство дисперсий необходимо проверять ). Распределение Стьюдента описывает отношение распределённой случайной величины к величине, распределённой по .

Пусть и независимые случайные величины, имеющие со степенями свободы и соответственно. Тогда величина будет иметь распределение Фишера со степенями свободы , а величина - распределение Фишера со степенями свободы .
Распределение Фишера определено для действительных неотрицательных аргументов и имеет плотность вероятности:


Матожидание и дисперсия распределения Фишера:

Матожидание определено для , а диспересия - для .

На распределении Фишера основан ряд статистических тестов, таких как оценка значимости параметров регрессии, тест на гетероскедастичность и тест на равенство дисперсий выборок (f-тест, следует отличать от точного теста Фишера).

F-тест: пусть имеются две независимые выборки и распределенных данных объёмами и соответственно. Выдвинем гипотезу о равенстве дисперсий выборок и проверим её статистически.

Рассчитаем величину . Она будет иметь распределение Фишера со степенями свободы .

Сравнивая значение с квантилями соответствующего распределения Фишера, мы можем принять или отклонить гипотезу о равенстве дисперсий выборок с требуемым уровнем значимости.

Экспоненциальное (показательное) распределение и распределение Лапласа (двойное экспоненциальное, двойное показательное)

(взято отсюда)

Экспоненциальное распределение описывает интервалы времени между независимыми событиями, происходящими со средней интенсивностью . Количество наступлений такого события за некоторый отрезок времени описывается дискретным . Экспоненциальное распределение вместе с составляют математическую основу теории надёжности.

Кроме теории надёжности, экспоненциальное распределение применяется в описании социальных явлений, в экономике, в теории массового обслуживания, в транспортной логистике - везде, где необходимо моделировать поток событий.

Экспоненциальное распределение является частным случаем (для n=2), а следовательно, и . Так-как экспоненциально распределённая величина является величиной хи-квадрат с 2-мя степенями свободы, то она может быть интерпретирована как сумма квадратов двух независимых нормально распределенных величин.

Кроме того, экспоненциальное распределение является честным случаем

Геометрическое распределение выражается следующим образом:

Название распределения связано с тем, что вероятности при различных n образу-ют геометрическую прогрессию со знаменателем, равнымq =1- p . Действительно

.

Параметр p имеет смысл вероятности. Пусть при повторении опыта событиеА имеет вероятностьp , тогда число опытовX до первого появления событияА как раз определяется выражением (5.7.1). Действительно, вероятность того, что в первыхn -1 опытах событиеА не произойдет, равна(1- p ) n -1 .А вероятность появления его приn -ом испытании равнаp . Отсюда получаем вероятность реализации такой серии событий равна
.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

.

5.5.Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина X , принимающая значения x m = m , где

m =0,1,…, n , имеет биномиальное распределение, если вероятности её значений определяются следующей формулой:

-

число сочетаний из n поm , а параметрp имеет смысл вероятности, то есть
.

Это распределение связано с повторением опытов. Если в результате опыта событие А имеет вероятностьp и опыт повторяетсяn раз, то вероятность того, что это событие произойдетm раз, рана
. Действительно, конкретная реализацияn испытаний, в которых событиеA произошлоm раз, а противоположное событиесоответственноn - m раз, имеет вероятность
. Ноm событий средиn испытаний могут распределитьсяравновозможными способами. Отсюда и получается формула (5.5.1).

,

так как q =1- p а
. Выражение
является членом разложения бинома Ньютона(p + q ) n , поэтому это распределение называется биномиальным.

Математическое ожидание

Дисперсия

Квадратичное отклонение

. (5.5.4)

Если n устремить к бесконечности и одновременноp к нулю так, чтобы выполнялось соотношение

,

где а положительная константа, то в пределе

,

а это известное распределение Пуассона. То есть в пределе при
и
биномиальное распределение совпадает с распределением Пуассона.

5.6.Распределение Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х , которая может принимать только целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …

Говорят, что случайная величина Х распределена позакону Пуассона , если вероятность того, что она примет определённое значениеm , выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемаяпараметром распределения Пуассона .

Ряд распределения по закону Пуассона:

Убедимся, что суммарная вероятность равна единице.

Но

Следовательно

Рис.5.6.1. Полигон распределения Пуассона.

Вычислим вероятность того, что Х окажется больше 0:

Математическое ожидание

Т.е. параметр а - есть математическое ожидание.

Дисперсия

Но

Следовательно
.

.

Вывод. Дисперсия равна математическому ожиданию. Это свойство часто используют для определения, распределена ли случайная величина Х по закону Пуассона.

Рассмотрим типичную задачу. Пусть на оси Ох случайным образом распределяются точки. Пусть распределение удовлетворяет следующим условиям:

Вероятность попадания какого-либо числа точек в отрезок l зависит только от длины отрезка, но не от положения на оси. На единичный отрезок попадает в среднем точек.

Точки распределяются независимо.

Вероятность совпадения двух точек равна нулю (чем точки ближе, тем вероятность меньше).

Выделим на оси отрезок длиной l и рассмотрим дискретную случайную величинуХ – число точек, попадающих в этот отрезок. Возможные значенияХ : 0, 1, 2, …,m , …

Докажем, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на участок l попадётm точек.

На участок  х попадёт х точек. Это математическое ожидание. Поскольку участок х мал, то попадание двух точек в один отрезок пренебрежимо мало и х есть вероятность попадания одной точки на участок х .

Пусть существует число n , такое, что
. Тогда вероятность попадания в один отрезок равна
. А вероятность попадания вm отрезков равна

Обозначим
, тогда

.

Что и требовалось доказать.

Мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где точки располагаются случайно друг от друга и подсчитывается их количество, попавшее в какую-то область. Мы рассмотрели одномерный случай, но его легко можно распространить на любую размерность. Например, если для отрезка оси параметр а равен
, то для плоского случая
(здесьS - площадь области), а для объёмного
(V – объём области).

Докажем, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Причём параметр
.

Предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

Если подставить
, то получим

,

что уже было доказано. При большом n приближённо вероятность можно считать:

.

Из-за малой вероятности события закон Пуассона носит название “закона редких явлений”.

дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k=0,1,2, ... в соответствии с формулой где 0<р<1 и целое r>0 - параметры. Производящая функция и характеристич. функция П. р. равны соответственно и Математич. ожидание и дисперсия суть rq/p и rq/p2. П. р. с параметрами r и рвозникает естественным образом в схеме Бернулли испытаний с вероятностью "успеха" ри вероятностью "неудачи" q=1-ркак распределение числа "неудач" до наступления r-го "успеха". При r=1 П. р. совпадает с геометрическим распределением с параметром р, а при r>1 - с распределением суммы независимых случайных величин, имеющих одинаковое геометрич. распределение с параметром р. В соответствии с этим сумма независимых случайных величин X1,...,X п, имеющих П. р. с параметрами ри r1,...,r п соответственно, имеет П. р. с параметрами р и r1+...+-rn. Функция распределения П. р. при k=0,1,2,... задается формулой где в правой части стоит значение функции бета-распределения в точке p(B(r, k+l) - бета-функция). Используя это соотношение, можно доопределить F(k).для всех действительных r>0. В таком обобщенном смысле П. р. наз. отрицательным биномиальным распределением. Лит.: Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967. А. В. Прохоров.

Смотреть значение Паскаля Распределение в других словарях

Распределение — распределения, ср. 1. только ед. Действие по глаг. распределить-распределять. доходов. продуктов. работы. 2. только ед. Расположение по времени или последовательности.........
Толковый словарь Ушакова

Распределение Ср. — 1. Процесс действия по знач. глаг.: распределять, распределить. 2. Расположение по времени или последовательности. 3. Процесс раздела, определяемый производственными отношениями.
Толковый словарь Ефремовой

Асимметричное Распределение, Разброс — Распределение вероятностей, при котором выше и ниже среднего значения находится неравное количество наблюдений.
Экономический словарь

Временной Спред, Распределение По Времени — Стратегия в операциях с опционами (option), при которой инвестор приобретает и продает опционные контракты "пут" (put option) и "колл" (call option) с одной и той же ценой исполнения........
Экономический словарь

Вторичное Распределение Ценных Бумаг — - торговля ценными бумагами их первым держателем.
Экономический словарь

Выделение, Распределение, Передача, Назначение — Число акций, выделенное каждому участнику инвестиционного банковского синдиката (syndicate), образованного для размещения нового займа. Участников такого займа называют........
Экономический словарь

Горизонтальное Распределение Труда — - разделение работы в организации на составляющие компоненты.
Экономический словарь

Динамичное Распределение Активов — Стратегия распределения активов, предполагающая механическое изменение структуры активов в ответ на изменение рыночных условий. Данная стратегия близка к стратегии страхования портфеля.
Экономический словарь

Интенсивное Распределение — -
обеспечение наличия запасов
товара в возможно большем числе торговых предприятий.
Экономический словарь

Календарное Распределение Опционов, Календарный Спред — Стратегия в операциях с опционами, которая позволяет приобрести два опциона на одни и те же ценные бумаги, но с различными сроками исполнения. Если цена исполнения (exercise........
Экономический словарь

Ликвидационное Распределение — В правовом регулировании: порядок приоритетных выплат оставшейся суммы активов страховщика, объявленного неплатежеспособным, ликвидация которого производится в........
Экономический словарь

Нормальное Распределение — NORMAL DISTRIBUTIONКуполообразная кривая, отражающая симметричное вероятностное распределение непрерывной случайной переменной. Распределение характеризуется средней величиной........
Экономический словарь

Нормальное Распределение Вероятностей — Распределение вероятностей для постоянной случайной переменной, формирующее симметричную колоколообразную кривую вокруг средней величины.
Экономический словарь

Нормальное Распределение Вероятностей (normal Probability Distribution) — симметричное колоколообразное распределение, полностью описываемое математическим ожиданием и дисперсией.
Экономический словарь

Ограничение На Распределение Активов — Соглашение об эмиссии облигаций, каким-либо образом ограничивающее возможности компании по продаже крупных активов.
Экономический словарь

Постатейное Распределение Средств — APPORTIONMENTПри управлении имуществом и трастом - распределение поступлений и расходов между основной суммой и статьями дохода. Предмет является настолько важным, что привел........
Экономический словарь

Распределение — -я; ср.
1. к Распредели́ть - распределя́ть и Распредели́ться - распределя́ться. Р. доходов. Р. работы между сотрудниками. Р. людей по машинам. Р. химических элементов в........
Толковый словарь Кузнецова

Пропорциональное Распределение (proration, Apportionment) — 1.
Начисление косвенных затрат на несколько объектов
учета затрат, которые предположительно являются их носителями. В более общем
смысле -
разделение........
Экономический словарь

Размещение, Распределение Активов — Распределение средств инвестиционных фондов между различными категориями активов, такими, как эквиваленты наличных средств (cash equivalents), акции (stocks), вложения с фиксированным........
Экономический словарь

Распределение — -
процесс определения количественных пропорций, доли, которой участники хозяйственной деятельности участвуют в произведенном
продукте
Экономический словарь

Распределение (allocation) — 1. Разнесение (распределение) затрат, которые невозможно отнести напрямую к объектам учета затрат

2. Разнесение статьи или группы статей затрат на один или несколько........
Экономический словарь

Распределение Валютного Риска — Соглашение, заключаемое участниками
сделки, согласно которому стороны разделяют
валютный риск, связанный со сделкой. Данное
соглашение предполагает, что........
Экономический словарь

Распределение Вероятностей (probability Distribution) — описание частот возможных значений, принимаемых случайной величиной.
Экономический словарь

Распределение Вероятности — Также называется
вероятностная функция: функция, описывающая все значения, которые может принимать случайная
переменная, и
вероятность, связанную с каждой их них.
Экономический словарь

Распределение Внутри Домохозяйства — Процессы, посредством которых
ресурсы (в широком понимании – включая
доходы и
потребительские товары,
обязанности, досуг и
инвестиции в человеческий........
Экономический словарь

Распределение Вторичное — операции, связанные с механизмом распределения первичных доходов (прямые
налоги,
дивиденды,
субсидии, социальные выплаты).
Экономический словарь

Распределение Вторичное (secondary Distribution) — Перепродажа ценных бумаг компании после того, как они были проданы первоначально. Вторичное
распределение происходит на фондовой бирже или на внебиржевом рынке.
Экономический словарь

Распределение Вторичное Ценных Бумаг — торговля ценными бумагами их первым держателем.
Экономический словарь

Распределение Доходов — - получение
дохода от
выпуска и реализации товаров и оказания услуг в соответствии с долей основных факторов производства (земли,
капитала,
труда и предпринимательских........
Экономический словарь

Распределение Доходов Между Бюджетами — - разграничение бюджетных ресурсов по отдельным звеньям бюджетной системы страны.
Экономический словарь

дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k=0,1,2, ... в соответствии с формулой

где 0<р<1 и целое r>0 - параметры.

Производящая функция и характеристич. функция П. р. равны соответственно

Математич. ожидание и дисперсия суть rq/p и rq/p 2 .

П. р. с параметрами r и рвозникает естественным образом в схеме Бернулли испытаний с вероятностью "успеха" ри вероятностью "неудачи" q=1-ркак распределение числа "неудач" до наступления r-го "успеха". При r=1 П. р. совпадает с геометрическим распределением с параметром р, а при r>1 - с распределением суммы независимых случайных величин, имеющих одинаковое геометрич. распределение с параметром р. В соответствии с этим сумма независимых случайных величин X 1 ,...,X п, имеющих П. р. с параметрами ри r 1 ,...,r п соответственно, имеет П. р. с параметрами р и r 1 +.. .+-r n .

Функция распределения П. р. при k=0 ,1,2,... задается формулой

где в правой части стоит значение функции бета-распределения в точке p(B(r, k +l) - бета-функция). Используя это соотношение, можно доопределить F(k).для всех действительных r>0. В таком обобщенном смысле П. р. наз. отрицательным биномиальным распределением.

Лит. : Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

"ПАСКАЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в книгах

5. «Светская жизнь» Паскаля

Из книги Блез Паскаль автора Стрельцова Галина Яковлевна

5. «Светская жизнь» Паскаля Врачи не раз советовали Блезу отвлекаться от научных занятий и отдавать дань своей молодости, уделяя внимание тем развлечениям, которые подобают его возрасту. Еще в Руане Паскаль изредка посещал светские салоны, приобрел немногих друзей,

Философия Паскаля

Из книги Блез Паскаль. Его жизнь, научная и философская деятельность автора Филиппов Михаил Михайлович

Философия Паскаля Паскаль не оставил после себя ни одного цельного философского трактата, тем не менее в истории философии он занимает вполне определенное место. Его миросозерцание, кажется, всего точнее может быть определено как христианский скептицизм. В истории

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ

Из книги На пути к сверхобществу автора Зиновьев Александр Александрович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ В современных больших обществах многие миллионы людей занимают какие-то социальные позиции. Сложилась грандиозная система подготовки людей для занятия этих позиций - для замены отработанного

II. ЖИЗНЬ ПАСКАЛЯ

Из книги Паскаль автора Мережковский Дмитрий Сергеевич

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана

Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна

5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния – взаимное расположение молекул, их

Паскаля закон

БСЭ

Паскаля теорема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Паскаля треугольник

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Паскаля улитка

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Закон Паскаля

Из книги Универсальный энциклопедический справочник автора Исаева Е. Л.

Закон Паскаля Основной закон гидростатики: давление, производимое внешними силами на поверхность жидкости или газа, передается одинаково по всем

Улитка паскаля

Из книги Большая Советская Энциклопедия (УЛ) автора БСЭ

Структура Паскаля

Из книги Давайте создадим компилятор! автора Креншоу Джек

СФЕРА ПАСКАЛЯ **

Из книги Проза разных лет автора Борхес Хорхе

СФЕРА ПАСКАЛЯ ** Быть может, всемирная история - это история нескольких метафор. Цель моего очерка - сделать набросок одной главы такой истории.За шесть веков до христианской эры рапсод Ксенофан Колофонский, устав от гомерических стихов, которые он пел, переходя из

"Мысли" Паскаля

Из книги Избранное. Том I-II. Религия, культура, литература автора Элиот Томас Стернз

"Мысли" Паскаля Может показаться, что о Блезе Паскале и о тех двух сочинениях, на которых основана его слава, сказано все, что следует сказать. Подробности его жизни известны с той полнотой, на какую только можно надеяться; его открытия в математике и физике многократно

Треугольник Паскаля

Из книги Невероятно - не факт автора Китайгородский Александр Исаакович

Треугольник Паскаля Однажды я медленно шёл по Парижу, разглядывал витрины магазинов и читал вывески. Цветастая надпись над входом грязновато-серого здания настойчиво приглашала зайти и попытать счастья. Я удивился, что игорный дом работает среди бела дня, – это не