МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДОЛЕЙ И ДРОБЕЙ

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДОЛЕЙ И ДРОБЕЙ
Рубрика (тематическая категория)	Математика

Задачи:

1. Научить образовывать доли и дроби.

2. Научить называть и записывать доли и дроби (запись их предусмотрена не во всœех программах).

3. Сравнивать доли и дроби.

4. Решать задачи на доли и дроби.

Этот материал изучается в 3-4 классах. Создаётся конкретное представление о доле и дроби на практической базе с использованием дидактического материала. Эта тема служит предварительной основой для изучения в 5-6 классах.

Источники получения долей и дробей:

1. Делœение предметов на равные части.

2. Измерение величин.

3. Действия над числами (делœение).

В начальной школе доли и дроби получают только на основании делœения предмета на равные части, т. к. дети должны получить конкретное представление об этих понятиях.

Конкретное представление о долях создаётся в результате выполнения практической работы с демонстрацией. Учитель делит яблоко на две равные части и говорит, что каждая из равных частей принято называть половиной и ещё 1\2, показывает, что таких половин две в целом яблоке. Далее учитель делит яблоко на четыре равные части, каждая часть принято называть – четверть или 1\4 и таких четвёртых долей в целом яблоке четыре. Потом сообщается, что для записи долей крайне важно два числа и черта (m\n). Причём, число, стоящее под чертой (дробная черта ), показывает, на сколько равных частей разделили целое (знаменатель ), а число, стоящее над чертой – сколько таких равных частей взяли (числитель ).

Закрепление:

§ Практическая работа: детям выдаются полоски бумаги, и предлагается разделить их перегибанием на 2 равные части, на 4, на 8, сказать, как принято называть каждая часть, закрасить 1\2, 1\4, 1\8 отрезка.

§ Рассматриваются рисунки с геометрическими фигурами, разбитыми на равные части подписанным названием частей. Дети должны объяснить смысл записи.

§ Предлагается начертить квадрат с заданной длиной стороны, разбить его на 2, 3, 4. 6, 8 равных частей, закрасить одну из них, назвать, записать. Возможны различные варианты разбиения, но должно учитываться одно условие – всœе части одинаковые.

Несколько позже учитель вводит понятие дроби на практической основе. Детям предлагается разделить отрезок на 4 равные части, назвать каждую из них, обвести сначала одну часть, а потом ещё одну. Учитель, сообщает, что получилось собрание долей – оно принято называть дробью . Далее учитель учит читать и записывать дроби.

Сравнение долей также происходит на наглядно - практической базе в 2 этапа.

1. Практическая работа: детям выдаётся 2 равные полоски бумаги и предлагается на одной закрасить половину, а на другой четверть, а потом сравнить их наложением. Делается вывод, что одна четверть меньше половины.

2. Работа с иллюстрацией в учебнике или таблицей на доске.

Учащиеся должны выявить название каждой части и визуально сравнить их, причём можно сравнить как доли: 1\2>1\4, так и дроби с одинаковыми знаменателями: 1\8<3\8 и разными знаменателями: 1\2=2\4, 1\4<3\8. Дети находят ответы на вопросы: сколько половин в одной целой, сколько четвёртых долей в одной целой, в половинœе. В дальнейшем эти задания дети выполняют по представлению, в случае если же появляются затруднения, то опять используется иллюстрация. Формулируются правила: больше та доля, знаменатель которой меньше. К примеру, 1\2>1\4, так как 2<4. Дроби сравнивают только с одинаковым знаменателœем: из двух дробей с одинаковым знаменателœем больше та͵ у которой числитель больше. К примеру, 3\8>2\8, так как 3>2.

Методика работы с задачами на доли и дроби. В 3 классе рассматриваются задачи на доли (по программе Моро), на доли и дроби (по программе Петерсон).

При знакомстве с задачами этого вида учитель предлагает разделить перегибанием полоску бумаги длиной 12см на 4 равные части и вычислить длину каждой части. Возможны вопросы:

§ Какова длина всœей полоски? (12см).

§ На сколько частей нужно разделить? (на 4 частей).

§ Какие части: равные по длинœе или различные? (разделим на 4 равные части).

§ Как можно назвать каждую часть? (четверть).

§ Как узнать длину каждой части? (разделить 12см на 4).

§ Сколько получится? (3см).

§ Проверьте по линœейке.

Затем решаются простые задачи на нахождение доли от числа, от величины. Причём по программе Моро в задаче доля задаётся словами: ʼʼДлина ленты 10см. Найдите пятую часть этой лентыʼʼ. Рекомендуется делать чертеж к условию задачи, что позволит наглядно применить конкретный смысл доли для решения задачи.

В дальнейшем такие задачи включаются в содержание составных задач. К примеру: ʼʼНайдите площадь четвёртой части квадрата со стороной 9см.ʼʼ или ʼʼВ один магазин привезли 28кг яблок, во второй четвёртую часть того, что привезли в первый , а в третий магазин на 12кг больше, чем во второй. Сколько всœего килограммов яблок привезли в три магазина вместе?ʼʼ.

Задачи других видов решаются реже, а задачи на дроби и проценты рассматриваются уже в 5-6 классах.

По программе Петерсон рассматриваются задачи всœех видов на доли и дроби:

Виды задач	Задачи на доли	Задачи на дроби
Задачи на нахождение части от целого	Длина ленты 10м. Найдите 1\5этой ленты. 10:5=2(м)- длина 1\5 всœейленты.	Длина ленты 10м. Найдите 3\5этой ленты. 1) 10:5=2(м)- длина 1\5 всœейленты. 2) 2*3=6(м)- длина 3\5 всœейленты.
Задачи на нахождение целого по его части	От ленты отрезали 4м. Найдите длину всœей ленты, в случае если отрезали 1\4 ленты. 4*4=16(м)- длина всœей ленты.	От ленты отрезали 9м. Найдите длину всœей ленты, в случае если отрезали 3\4 ленты. 1)9:3=3(м)- длина 1\4 всœейленты. 2) 3*4=12(м)- длина всœейленты.
Задачи на нахождение дробного отношения	От ленты длиной 10м отрезали 1м. Какую часть ленты отрезали. Чаще всœего такие задачи решаются устно. Или так 1:10=1/10 – всœей ленты.	От ленты длиной 10м отрезали 5м. Какую часть ленты отрезали. Чаще всœего такие задачи решаются устно. Или так 5:10=5/10 – всœей ленты(сокращать в начальной школе дети не умеют).

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДОЛЕЙ И ДРОБЕЙ - понятие и виды. Классификация и особенности категории "МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДОЛЕЙ И ДРОБЕЙ" 2017, 2018.

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 5 класс на тему:

§ 5. Обыкновенные дроби:
23. Доли. Обыкновенные дроби

884 Какая часть фигуры закрашена (рис. 109)
РЕШЕНИЕ

885 Начертите в тетради квадрат со стороной в 6 клеток. Разделите его на три доли. Начертите отдельно треть квадрата.
РЕШЕНИЕ

886 Разделите тремя способами квадрат со стороной 4 см на 4 доли. Начертите четверть квадрата, половину квадрата.
РЕШЕНИЕ

887 Как называется: а) одна сотая доля метра; б) одна тысячная доля тонны; в) одна двадцать четвертая доля суток; г) одна шестидесятая доля часа; д) одна миллионная доля квадратного метра; е) одна миллионная доля кубического метра?
РЕШЕНИЕ

889 Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из 1/5 куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье?
РЕШЕНИЕ

890 От дыни массой 2 кг 400 г Ване отрезали 1/5 дыни, а Маше 1/6 дыни. Чему равна масса каждого отрезанного куска? Сколько граммов дыни осталось?
РЕШЕНИЕ

891 Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил 1/5 этого времени, а на историю 1/4 оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по истории?
РЕШЕНИЕ

892 Начертите квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его на 3 доли и закрасьте 2/3 квадрата. Какая часть квадрата осталась незакрашенной?
РЕШЕНИЕ

893 Начертите отрезок длиной 8 см. Отметьте цветным карандашом 5/8 отрезка. Какая часть отрезка осталась неотмеченной?
РЕШЕНИЕ

895 Запишите в виде обыкновенной дроби: три шестых; одна треть; половина; три четверти; семь десятых; одиннадцать сотых; одиннадцать сорок восьмых
РЕШЕНИЕ

896 Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км (рис. 110). Лена прошла по этой дороге 3 км. Какую часть дороги она прошла?
РЕШЕНИЕ

897 В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь? апрель? февраль?
РЕШЕНИЕ

898 В январе 1995 года с 1 января по 10 января были зимние каникулы. 15, 22 и 29 января были воскресными днями, а остальные учебными. Какую часть января составили свободные от учебы дни? Какую часть составили учебные дни?
РЕШЕНИЕ

899 Площадь поля 16 км2. Пшеницей засеяли 11 км2, рожью 5 км2. Какая часть поля засеяна пшеницей и какая рожью?
РЕШЕНИЕ

900 Дорога от Фабричного до Отдыха составляет 3/4 дороги от Фабричного до Ильинского. Чему равно расстояние от Фабричного до Отдыха, если от Фабричного до Ильинского 8 км?
РЕШЕНИЕ

901 Длина дороги 20 км. Заасфальтировали 2/5 дороги. Сколько километров дороги заасфальтировали? Сколько осталось заасфальтировать?
РЕШЕНИЕ

902 На базу в Антарктиду доставили 22 собаки. Из 5/11 всех собак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку?
РЕШЕНИЕ

903 Купили 5 кг 600 г сахара и израсходовали на варенье 7/8 всего сахара. Сколько сахара пошло на варенье? Сколько сахара осталось?
РЕШЕНИЕ

904 Сколько молока в бидоне, если 1/5 этого молока составляет 13 л?
РЕШЕНИЕ

905 Дорога от Фабричного до Кратова равна 5 км, что составляет 5/8 дороги от Фабричного до Ильинского. Найдите расстояние от Фабричного до Ильинского.
РЕШЕНИЕ

906 Человек прошел 2/3 дороги. Какова длина всей дороги, если он прошел 4 км?
РЕШЕНИЕ

907 Велосипедист проехал 2/9 дороги. Какова длина дороги, если он проехал 40 км?
РЕШЕНИЕ

908 Миша исписал 10 страниц тетради, что составляет 5/6 всей тетради. Сколько страниц в тетради?
РЕШЕНИЕ

909 В куске материи 96 м. Для детского сада взяли 3/8 этого куска, а для детских яслей 5/12 куска. Для кого взяли больше материи для детского сада или для яслей? На сколько метров?
РЕШЕНИЕ

911 Десятую часть миллиона уменьшили на 10 000 и результат уменьшили в тысячу раз. Сколько получили?
РЕШЕНИЕ

912 Имеется круг, диаметр которого 10 см. Найдутся ли две точки этого круга, расстояние между которыми: 5 см; 1 см; 10 см; 12 см? Ответьте на те же вопросы для окружности радиусом 5 см.
РЕШЕНИЕ

913 Приведите примеры предметов, имеющих форму окружности; круга; дуги окружности; полукруга.
РЕШЕНИЕ

914 Поставьте вместо многоточия необходимые слова: Отрезок называется диаметром, если он... и он
РЕШЕНИЕ

915 Сколько минут: в трети часа; в четверти часа; в половине часа; в десятой доле часа; в двенадцатой доле часа; в шестой доле половины часа
РЕШЕНИЕ

916 Сколько секунд: в 5 минутах; в четверти часа; в одном часе; в четверти минуты; в трети минуты; в половине минуты
РЕШЕНИЕ

917 Сколько в действительности времени, если часы, отраженные в зеркале (рис. 113), показывают 9 ч; 8 ч; 6 ч 15 мин; 10 ч 40 мин? Когда часы и их отражение покажут одинаковое время?
РЕШЕНИЕ

918 Отметьте точки А и В так, что АВ= 5 см. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами A и B так, чтобы они: пересекались в двух точках; не имели общих точек.
РЕШЕНИЕ

919 Начертите отрезок AB = 6 см. Найдите точки, которые удалены от А и от В на 6 см.
РЕШЕНИЕ

920 Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 2 см 6 мм (рис. 114). Отметьте такую точку К, чтобы OK= 4 см. Найдите с помощью циркуля на окружности точки, удаленные от точки К на 3 см.
РЕШЕНИЕ

921 Бетонный блок имеет длину 12 дм, ширину 8 дм и высоту 5 дм. Из таких блоков сложили стену длиной 240 дм, шириной 24 дм и высотой 30 дм. Сколько блоков потребовалось для этого?
РЕШЕНИЕ

922 На книжную полку ставят 6 разных книг. Сколькими способами эти книги можно разместить на полке?
РЕШЕНИЕ

923 Решите задачу: 1) В двух спортивных секциях поровну участников. Если в каждую из них войдут еще по 2 участника, то всего в них будет 36 человек. Сколько человек занимается в каждой секции? 2) В трех классах поровну учащихся. Если в каждый класс добавить еще по 3 учащихся, то всего в них будет 129 учащихся. Сколько человек учится в каждом классе?
РЕШЕНИЕ

924 Выполните действия: 1) 90 720: (207: 23 · 840); 2) 22 624: 56 · (816: 8); 3) 14 700: 21: 7 · 49; 4) 140: 10: (49: 7) : (10: 5)
РЕШЕНИЕ

925 Начертите круг радиусом 2 см и закрасьте 3/4 круга.
РЕШЕНИЕ

926 Из трехлитрового бидона с молоком взяли 2 л молока. Какую часть всего молока взяли?
РЕШЕНИЕ

927 Площадь квадрата 16 см2. Найдите, чему равна площадь: а) 3/4 квадрата; б) половины квадрата
РЕШЕНИЕ

928 На огороде собрали 42 кг огурцов и 5/7 всех огурцов засолили. Сколько килограммов огурцов засолили?
РЕШЕНИЕ

929 Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили блузки, а из 2/5 полученной ткани сшили платья. Сколько метров шелка осталось?
РЕШЕНИЕ

930 До перерыва шахматисты играли 4/5 всего времени партии. Сколько времени продолжалась партия, если до перерыва шахматисты играли 2 ч?
РЕШЕНИЕ

931 До обеда выгрузили 7/10 зерна, находившегося в товарном вагоне. Сколько тонн зерна было в вагоне, если выгрузили 42 т?
РЕШЕНИЕ

932 Постройте круг радиусом 5 см. Проведите в нем диаметр AB. Отметьте на окружности точку M и соедините ее с точками A и B. Измерьте: диаметр AB, отрезок AM, отрезок MB. Какой из этих отрезков самый длинный?
РЕШЕНИЕ

933 Какую часть 1 м3 составляет 1 см3? Какую часть 1 м3 составляет 1см3
РЕШЕНИЕ

934 Найдите значение выражения: а) 87 619 + 57 994: 271 - 15 975: 75; б) 532 · 109 - 48 016 4- 13 631: 43
РЕШЕНИЕ

935 Разгадайте кроссворд, помещенный на форзаце в конце учебника
РЕШЕНИЕ

936 Иван Иванович отправился из дому на рыбную ловлю. Три часа он ехал поездом со скоростью 75 км/ч. Потом A ч он шел пешком со скоростью 5 км/ч, наконец, 2 ч плыл на лодке по озеру со скоростью V км/ч. Какой путь проделал Иван Иванович от вокзала до места рыбалки? Найдите значение получившегося выражения, если: а) A = 3, V = 6; б) A = 4, V= 10.
РЕШЕНИЕ

937 Мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между ними 272 км, скорость велосипедиста 12 км/ч, а скорость мотоциклиста 56 км/ч?
РЕШЕНИЕ

938 По рисунку 115 найдите площади треугольников ABC, ACD, ABO и BCO
РЕШЕНИЕ

939 У продавца 80 кг яблок. Первый покупатель приобрел 10 кг яблок, а остальные A покупателей по 6 кг каждый. Сколько яблок осталось у продавца? Какие значения может принимать A?

Лекция 18.Система изучения дробей в начальной школе

1. Понятие дроби.

2. Дроби (доли) в 3 классе.

3. Дроби в 4 классе.

4. Дроби величин.

Понятие дроби

Темы «Доли» и «Дроби» традиционно присутствовали во всех учебниках по математике для начальных классов. В прежних вариантах учебников тема «Доли» рассматривалась во 2 классе системы 1-3 и в 3 классе системы 1-4. Дети знакомились с понятием доли (дроби вида х / к) и дроби (правильной дроби, в которой числитель меньше знаменателя), учились сравнивать дроби с опорой на предметную модель и решать два вида задач с дробями: нахождение дроби от числа и нахождение числа по его дроби.

На сегодня в соответствии с Обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы объем изучения данной темы значительно сократился в учебниках традиционной содержательной ориентации (учебники М.И. Моро и др., учебники Н.Б. Истоминой). В то же время эта тема значительно расширена в альтернативных учебниках системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова и «Школы 2100». В этих методических школах расширение объема знакомства с дробями обусловлено стремлением авторов сформировать у ребенка более общее представление о числе. Поскольку сформировать хоть в какой-то мере обобщенное представление об объекте возможно только в процессе произведения умственных операций над данным объектом (сравнение его с объектами другого рода, выделение сходства и различия, проведение аналогий и др.), необходимо иметь для организации данной умственной деятельности хотя бы два вида объектов. Знакомство младших школьников только с натуральными числами не позволяет проводить такую работу. Дроби не являются натуральными числами (поскольку не являются целыми) - это числа рациональные. Не ввода в словарь ребенка эти термины, можно тем не менее организовать работу по сопоставлению этих двух видов чисел и знакомству с некоторыми сходными операциями с этими числами (соотнесение с предметной моделью, запись, сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями и т. п.).

В последней редакции традиционного учебника математики понятие «Доля целого» рассматривается в 4 классе (часть 1) и некоторые сведения о дробях даются на последних страницах учебника для 4 класса (часть 2). Задания на нахождение дроби величин и величины по ее дроби встречаются в тексте учебных пособий несколько раз. Мы полагаем, что данная редакция учебника не является последней, поэтому в настоящем учебном пособии даем материал по данной теме в соответствии с традиционным объемом ее изучения в начальных классах и даже чуть шире - для того, чтобы подготовить студентов для работы по альтернативным программам.

Понятие дроби связано с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе, однако, практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно всегда рассматривалось в начальной школе, с множеством чисел фактически не связывается.

Дробь в классической методической трактовке курса математики для начальных классов - это скорее способ получения части объекта, при этом искомая часть необходимо удовлетворяет ряду специальных требований.

В математике рассматривается два подхода к определению понятия дроби - аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический - на основе измерения длин отрезков.

По определению дробь - это число вида , где тип - целые числа, причем п не равно 0.

Далее определяется ряд операций для чисел этого вида (что понимать под сложением и вычитанием дробей, что понимать под умножением и делением дробей, какую дробь считать большей, а какую - меньшей) и ряд свойств, которыми обладают дроби (например, основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится).

Такой подход отражен в учебниках для 5-6 классов, что позволяет говорить о возможности формирования понятия дроби как числа.

В учебниках математики для начальных классов отражен другой подход к определению понятия рационального числа (дроби) - через измерение длины отрезка. Для описания результата этого процесса используют дробь.

Суть процесса состоит в следующем: если удается разделить некоторый объект А (например, отрезок) на b равных частей (т. е. взятую мерку b уложить по длине отрезка без остатка) и взять с таких частей, то, результат этой операции можно выразить так:

Получена часть объекта А. При этом не рассматривается как самостоятельное число, а только как « - ая часть объекта А».

Например, для ученика начальных классов фактически не имеет смысла символ сам по себе, так как непонятно, что именно разделено на 4 равные части. В то же время словосочетание « часть яблока» имеет смысл: из него ребенку ясно, что яблоко было разделено на 4 равные части и взята 1 часть.

Таким образом, программой начальных классов не предусмотрено формирование понятия дроби как числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей). Все эти действия считаются подготовкой к знакомству с дробями в 5-6 классе. Данный подход к формированию представлений о долях и дробях реализован во всех альтернативных учебниках математики для начальных классов.

Методическая проблема знакомства ребенка с дробями состоит в выборе учителем целесообразного множества исходных объектов и практических операций, которые ученик будет выполнять над ними. Понятие дроби будет отождествляться с результатом этой операции. Термин «целесообразное множество» подразумевает, что множество выбранных объектов должно делиться нацело, иначе нельзя воплотить требование «равные части», при этом в случае геометрической фигуры можно иметь в виду и равновеликие части, например:

Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции:

1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок;

2) сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок;

3) находить «дробь от числа» (делением объекта или множества на равные части);

4) восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция).

Все эти умения формируются на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.

Дроби (доли) в 3 классе

Словом «доля» в 3 классе называют дробь вида . Долю получают делением объекта на несколько равных частей.

Запись вида , подразумевает, что объект разделили на две или четыре равных части и взяли одну из них. Запись такого вида в последней редакции учебника математики для 3 класса (2001) не рассматривается.

Детям сообщается словесное название полученной части: одна двенадцатая доля, одна шестая доля...

Используя рисунок круга, разделенного на несколько равных частей дети сравнивают доли, обозначая результат сравнения словом (а не знаком).

Например:

Назови, какие доли круга получились на каждом чертеже. Сравни, какая доля больше: одна восьмая или одна четвертая; одна третья или одна шестая.

Приведем пример задания на нахождение доли величины:

Длина ленты 9 дм. Отрезали одну треть этой ленты. Сколь-:о дециметров ленты отрезали?

Выполнение:

Данное задание является типовой задачей на нахождение доли величины. Смысл задания соответствует процессу нахождения доли объекта. Для иллюстрации этого смысла дети чертят в тетради отрезок длиной 9 дм (модель заданного в задаче объекта). Повторяют способ действия для получения одной третьей части (доли) объекта: разделим отрезок на три равные части. Запись 9 дм: 3 = 3 дм. Затем выполняют операцию разделения на отрезке и измеряют полученную третью часть (проверка).

Приведем пример задания (задачи) на нахождение числа по его доле:

Длина одной третьей части отрезка равна 4 см. Узнай длину всего отрезка.

Выполнение:

Данная задача является обратной по отношению к приведенной выше.

Для построения модели ситуации данной задачи следует рассуждать так. Нарисуем произвольный отрезок. Его длину мы не знаем. Обозначим ее знаком вопроса:

В задаче дана длина одной третьей части отрезка - разделим его на три равные части (приблизительно, поскольку это лишь рабочий рисунок к задаче) и подпишем над одной частью ее длину:

Поскольку все три части отрезка равные, значит, каждая из них должна иметь длину 4 см. Тогда длина всего отрезка 4 см 3 = 12 см.

Например:

Квадратный лист бумаги со стороной 2 дм разрезали на пять равных частей прямоугольной формы. Найди площадь одной части.

Задачу решают практическим способом, поскольку способы вычисления площади по формуле дети узнают в 4 классе.

В начальных классах школы учится 210 человек. Одну третью часть всех учеников составляют третьеклассники. Сколько детей учится в первых и вторых классах этой школы?

Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так. Чтобы найти одну третью часть от всего количества детей, разделим его на 3:

210: 3 = 70 (чел.) - это третьеклассники

На всех остальных детей приходится две части, значит 70 2 = - 140 (чел.).

Или по другому: все остальные дети учатся в 1 и 2 классе, значит, 210- 70= 140 (чел).

За полгода в районную библиотеку поступило 200 книг для детей. Это составляет четвертую часть всех поступивших книг. Сколько всего книг поступило в библиотеку за эти полгода?

Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так:

Обозначим произвольным отрезком все поступившие книги - мы не знаем сколько их:

Известна четвертая часть всех книг – разделим отрезок на 4 равные части (приблизительно) и обозначим известную часть.

Поскольку все четыре части равны, значит, на каждую из них должно приходиться по 200 книг, значит, 200 4 = 800 (кн.) поступило в библиотеку.

Дроби в 4 классе

В 4 классе ставится задача нахождения нескольких долей целого. Например:

Длина отрезка 10 см. Он разделен на 5 равных частей. Сколько сантиметров в четырех пятых долях этого отрезка? Рассмотри чертеж и решение:

1) Найдем, сколько сантиметров в одной пятой доле отрезка: 10 см: 5 = 2 см.

2) Найдем, сколько сантиметров в четырех пятых долях отрезка:

2 см 4 = 8 см. Ответ: 8 см.

Работа над данным понятием идет исключительно в словесных обозначениях: детям сообщается термин и дается его практическая иллюстрация. Символьное обозначение дроби на данном этапе не рассматривается.

Например:

Начерти отрезок длиной 60 мм. Раздели его на 6 равных частей. Сколько миллиметров в пяти шестых долях этого отрезка?

В данном случае речь идет только о пяти долях из шести имеющихся, но не о дроби 5 / 6 .

Знакомство с символикой и операция сравнения дробей рассматривается на последних страницах учебника математики для 4 класса (часть 2).

Рассматривается способ записи дроби: ; 5 / 6 ; 3 / 5 .

Правильный способ чтения этой записи и смысл каждого ее элемента: число, записанное под чертой, показывает, на сколько равных частей разделено целое число; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей.

Слова «числитель» и «знаменатель» детям не сообщаются.

Сравнение дробей проводится с опорой на рисунок. Следует обращать внимание на то, что необходимо сравнивать соизмеримые части одного объекта, поскольку для ученика начальной школы дроби - это только части объекта или множества.

Например:

Что больше: или ? или ? или ? или ?

Отвечая на вопросы, ученики сравнивают соответствующие части равных полосок (для наглядности их можно закрасить разными цветами).

Рассуждения:

Сравниваю одну восьмую долю полоски и одну четвертую долю такой же полоски. Одна четвертая доля больше, чем одна восьмая доля одной и той же полоски.

Дроби величин

Задания, требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.

Доля - это одна из нескольких равных частей величины.

Например:

6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?

Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 2 = 12 (листов).

Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?

Рассуждение:

Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 4 = 20 (мин).

Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?

Для ответов на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени. Сутки - это 24 часа.

Треть суток 24: 3 = 8 (ч). Половина суток 24: 2 = 12 (ч). Час - это 60 мин. Четверть часа 60: 4 = 15 (мин). Год - это 12 месяцев. Четверть года 12: 4 = 3 (мес). Три четверти года 3-3 = 9 (мес).

Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?

Рассуждение:

Третьих частей в отрезке может быть только три. 48 мм: 3 = 16 мм - длина одной третьей части.

Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.

Рассуждение:

Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм 5 - 85 мм.

В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т. е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т. п., по специальным правилам, как это делается в 5-6 классах средней школы).

Результаты действий с дробями ребенок формирует как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке.

Например:

+ = + =

Рассуждения:

Одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски - вместе две четвертых доли полоски.

Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.

Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.

Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше, чем знаменатель, например:

; ; и т. п.

В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) практикуются задания, в которых дети должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т. п.

Для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы.

С точки зрения используемого в начальной школе определения выражение вида не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!

Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества равна 9 детям, а долей должны соответствовать количеству 64 человека - при том, что изначально их было 32!

Таким образом, при желании знакомить учеников начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие «Доли» вообще.

Понятие долей и обыкновенной дроби - очень важны. В повседневной жизни и учебных занятиях человеку чаще приходится сталкиваться именно с дробными частями, а не с целыми числами. Ярким примером является поход в магазин. Редко продавец отвешивает точно один килограмм сыра или колбасы. Обычно - несколько меньше или больше. Цена на продукты очень часто не является целым числом, а состоит из крупных и мелких единиц исчисления.

Видеоурок «Доли. Обыкновенные дроби» начинается с простого и доступного примера разделения арбуза на шесть равных частей. Такие части в геометрии принято называть долями. Каждый член семьи получил по одной доле арбуза. В итоге каждому досталась одна шестая часть ягоды. Математическое обозначение этого действие предлагается к изучению в конце первой части Видеоурока.

Вторая часть урока показывает это же определение, но уже с помощью геометрического рисунка. Ученикам предлагается разбить отрезок, длина которого равна пяти сантиметрам, на одинаковые части по одному сантиметру. В итоге каждая доля получается равна одной пятой всей длины заданного отрезка. В геометрии есть такие понятия как половина, треть и четверть. Их математическое обозначение предлагается к изучению в конце второй части Видеоурока.

Следующая часть урока начинается примером с пирогом, а также появлению значения в верхней части дроби числа, которое больше единицы. После объяснения этого действия, учащимся предлагается понятие обыкновенной дроби. Вместе с определением вводятся понятия числителя и знаменателя. Числитель - число, расположенное в верхней части дроби, знаменатель - в нижней. Если по простому, то числитель показывает сколько частей числа или фигуры было взято, а знаменатель - на сколько долей было разделено целое число или фигура.

Четвертая часть Видеоурока затрагивает основные единицы исчисления и возможность записывания их с помощью обыкновенных дробей. Понять важность числителя можно с помощью луча координат, который показывается в следующем слайде. На рисунке изображен отрезок, разделенный на шесть равных частей, каждой из которых соответствует свое значение числителя при одинаковом знаменателе.

В конце Видеоурока по традиции расположен ряд вопросов, способствующих лучшему пониманию темы учащимися средне образовательных школ.

В дальнейшем курсе геометрии ученики получат знания о возможности применения математических действий к обыкновенным дробям, поэтому освоить основные понятия - первый шаг к дальнейшей успешной учебе.

Эффективности Видеоурока способствует уникальная система подачи информации, с которой не сравнится ни один учебник. Сведения демонстрируются примерами из обычной жизни, математическими формулами и геометрическими чертежами. Весь этот процесс сопровождается голосом диктора, который внятно дублирует информацию речевой подачей.

Вся информация разбита на удобные для изучения блоки, а не как в учебнике - подается одним сплошным потоком. Такой метод способствует лучшей обучаемости, особенно для детей с пониженной концентрацией внимания. Наиболее важные сведения выделяются разными цветами, а рисунки просты и понятны - на них нет ненужных обозначений и лишних чертежей.

Развитие электронных технологий удешевило оборудование, предназначенное для воспроизведения видео файлов. Поэтому данный Видеоурок легко можно использовать в школьных условиях на штатном оборудовании, а также во время самостоятельного повторения или изучения материала дома. Минимальный размер, популярнейший формат - все это делает возможным воспроизвести урок на видео проигрывателях, компьютерах, планшетах, проекторах и мобильных телефонах, даже если они не относятся к последнему поколению бытовой техники.