На этом уроке будет представлено много разных примеров, поэтому приготовь бумагу и ручку, чтобы постараться решить их самостоятельно, или хотя бы самостоятельно повторить решение каждого примера.
Мы изучаем дробно-рациональные выражения и особый интерес для нас представляют рациональные дроби, то есть такие дроби, числитель и знаменатель которых – буквенные выражения.
Тема урока –«сумма и разность дробей» и сначала речь пойдет о дробях с одинаковыми знаменателями.

Больше уроков на сайте

Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, то при их сложении (вычитании) нужно выполнить указанные действия только с числителями, а знаменатель оставить прежним. Рассмотрим несколько примеров. (2 примера на доске — сразу). Теперь сделай паузу, чтобы остановить урок, и постарайся выполнить эти задания самостоятельно.

Перейдем к действиям с дробями, имеющим разные знаменатели. И, самый простой случай – противоположные знаменатели. Например, — это сумма дробей с противоположными знаменателями и, встречаясь с такими примерами, пользуются правилом:

«знак «минус», стоящий в числителе или знаменателе, можно записать перед дробью; и наоборот: если знак «минус» записан перед дробью, то его можно записать или в числитель, или в знаменатель».

Воспользуемся им: в знаменателе второй дроби вынесем за скобку «минус» теперь этот «минус» можно поставить перед дробью, и знаменатели станут одинаковыми.

Задумайся: что было сделано при решении этого примера: перед выполнением действия рациональные дроби изменили так, что их знаменатели стали одинаковыми. Вспомни: ведь так поступают и с числовыми дробями – их приводят к общему знаменателю, используя для этого основное свойство дроби. Этот же принцип действует при выполнении действий с любыми рациональными дробями.

(Учитель на фоне доски в пол-роста.) И снова рассмотрим несколько примеров на выполнение действий сложения и вычитания с дробями. Сделай паузу и подумай, как справиться с этими примерами самостоятельно, а потом – проверим. (на доске – только условия примеров)

ение урока рассмотрим одно задание с особой формулировкой: «докажите, что тождественно равны между собой выражения». На доске — выражения, равенство которых нужно доказать.

Подведем итог урока:

Тема его: «Сумма и разность дробей». Для нахождения и суммы, и разности, нужно преобразовать дроби так, чтобы они имели одинаковые знаменатели. А после этого нужно выполнить указанные действия только с числителями, а знаменатель оставить прежним. Полученный результат нужно сократить.

При выполнении сложения и вычитания дробей пользуются разложением многочлена на множители. Для чего? 1) Для поиска простейшего общего знаменателя. 2) Для сокращения дробей.

На этом урок окончен, но тебе предстоит выполнить большое количество самостоятельных упражнений для того, чтобы прочно усвоить тему сегодняшнего урока.

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.

Урок разноуровневого обобщающего повторения на тему:
«Сложение и вычитание рациональных дробей »

Цели урока:

1. Образовательная - повторить, обобщить и систематизировать материал темы. Создать условия контроля(самоконтроля) усвоения знаний и умений.

2. Развивающая - способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, выделения главного, переноса знаний в жизненную ситуацию; развитию математического кругозора в решении задач, мышления и речи, внимания, памяти.

3 . Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к математике, активности, общей культуры.

Тип урока – обобщение.

Форма урока – дидактическая игра «Математическое ралли»

Методы -Репродуктивный, частично-поисковый

Средства обучения:

Практические – Компьютер, экран, учебник, карточки

интеллектуальные средства- анализ, синтез

эмоциональные средства – интерес, радость, огорчение.

Виды деятельности:

По способу выполнения – слушали, рассказывали, писали, анализировали, обобщали, систематизировали.

По распределению задач – фронтальная, индивидуальная, групповая.

Ход урока:

Этапы

Время

Целепологание, организационный момент

( Самостоятельная работа)

Задание на дом. Карточки

1 этап урока – организационный (1 минута).

Добрый день, ребята! Появляется на экране изображение гонщиков на автомобилях и название «Математическое ралли». Тема урока «Сложение и вычитание рациональных дробей».

Как Вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься? Сегодня у нас будет не простой урок по теме, а обобщающий урок- игра «Математическое ралли». На уроке мы повторим сложение, вычитание рациональных дробей.

В игре участвуют 6 экипажей. Сначала нам нужно подготовиться к гонкам.

Для этого с каждой гоночной трассы я приглашаю к доске по одному представителю экипажа для выбора автомобиля, на котором вы продолжите свой путь.(Трое учащихся решают у доски разноуровневые задания на скорость. Кто быстрее решит,тот получает самый высокоскоростной автомобиль.)

На «3» (Калмыков Михаил)

На «4» (Шевченко Александра)

На «5» (Шмальц Алина)

Каждому экипажу выдается путевой лист

ЭТАП

Результат

Подготовка экипажей к старту (устная работа)

Проверка местности (Заполни пропуски)

Гонки в городе (Математический диктант)

Авария,ремонт (ПИТ СТОП) (Найди ошибку)

Отдых на привале. Физкультминутка

Гонки по пересеченной местности ( Самостоятельная работа)

Итоги урока. Рефлексия. Выставление оценок

2 этап урока – ПОДГОТОВКА ЭКИПАЖЕЙ К СТАРТУ «Устная работа» (5 минут) Повторение теоретического материала по теме «Разложение многочлена на множители». Учитель: «Вспомним способы разложения многочленов на множители, так как это необходимо нам для усвоения основной темы нашего урока». Учащиеся в произвольной последовательности называют способы разложения многочленов на множители. Затем учащимся предлагается устно разложить на множители:

Разложи на множители

Ответ

Девиз

1) 4х + 8

2ав(2в+3а) ПИ

то

2) 3ав – 4ас

(5-у)(5+у) МЕ

ро

3) 4ав² + 6а²в

2(х-1)(х+1) ЛЕ

пи

4) х² - 9

(у+5) 2 НО

сь

5) 25 - у²

(х-3) 2 Д

ме

6) х² - 6х + 9

4(х+2) ТО

7) 2х² - 2

4(а-2)(а+2) Н

ле

8) 4а² - 16

а(3в-4с) РО

9) у² + 10у + 25.

(х-3)(х+3) СЬ

но

ОТВЕТ: «Торопись медленно!»
Учащиеся разлагают многочлен на множители и сразу указывают способ разложения . 3 этап урока- ПРОВЕРКА МЕСТНОСТИ (3 минут).
Задание: Заполни пропуски

Повторение теоретического материала по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей».

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их …………………., а …………………..оставить тем же.

Дробь называется рациональной, если …………………содержит……………………..

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби……………….или ………………….на одно и то же выражение………………

Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, нужно …………………. эти дроби к общему ………………………

Чтобы сократить рациональную дробь надо ее ………………….и………………..

разложить на……………………….

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из ……………. первой дроби вычесть …………………второй дроби, а ……………………оставить тем же

Деление числителя и знаменателя на их ….………………………………… называют………………..дроби

Учитель предлагает повторить эти правила несколько раз, включая в работу слабоуспевающих учащихся. 4 этап урока – ГОНКИ В ГОРОДЕ (Математический диктант)-7минут

1экипаж-словестный (да, нет)

2экипаж-цифровой (да-1,нет-0)

3экипаж-графический (да_, нет ^)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ:

1. ОДЗ дроби 5х/(х-3) все числа, кроме 3

2. Выражение 2х-5/12 является рациональной дробью

3. Данная дробь --16/х имеет смысл при любом значении х

4. Наименьший общий знаменатель данных дробей 7/(х-3) и 15х/(х+3) равен х 2 -9
5. Дробь 5а-10/20а является сократимой
6. Числитель и знаменатель данной дроби 7а-14а 2 /(а 2 -в 2 ) можно разложить, используя только ФСУ
7. Знаменатель дроби не может быть равным нулю
ОТВЕТЫ:

Обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а », значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные .

Вычитание алгебраических дробей

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с », значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d) » числитель второй дроби «(a − b) ». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок .

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю .

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a » и «3 » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15 » и «3 » — это «15 ».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a » и «5 » есть только
   один одночлен — «а ».
3. Перемножим НОК из п.1 «15 » и одночлен «а » из п.2. У нас получится «15a ». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a »?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a », значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3 », чтобы получить «15a »?» Ответ — на «5a ».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a » и числитель, и знаменатель .

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики» .

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим знаменатели «(x − y) » и «(x + y) » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y) » и «(x + y) ». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y) » — общий знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения .

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p 2 − 36) ». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов .

После разложения многочлена «(p 2 − 36) » на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6) » видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6) ». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6) ».

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Пример 1. Выполнить действия:

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b 3 . Он делится и на 4b 2 и на 6b 3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей

общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4 . Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3 , чем 48а 2 b 4 ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3 . Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 2. Упростить выражение

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.

Имеем
4а 2 - 1 = (2а - 1) (2а + 1),
2а 2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель

a(2a - 1) (2a +1).

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.

В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3 . Упростить выражение

Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ;

2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а);

3) 6а 4 -6а 3 b = 6а 3 (а- b).

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3).

Алгебраические дроби

Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.

Второй этап.
Выполним преобразования:

Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).