График и свойства функции у = │ах │ (модуль)

Рассмотрим функцию у = │ах │, где а - определенное число.

Областью определения функции у = │ах │, является множество всех действительных чисел. На рисунке изображены соответственно графики функций у = │х │, у = │ 2х │, у = │х /2│.

Можно заметить, что график функции у = | ах | получается из графика функции у = ах , если отрицательную часть графика функции у = ах (она находится ниже оси Ох ), отразить симметрично этой оси.

По графику легко усмотреть свойства функции у = │ ах │.

При х = 0, получаем у = 0, то есть графику функции принадлежит начало координат; при х = 0, получаем у > 0, то есть все другие точки графика лежат выше оси Ох .

Для противоположных значений х , значения у будут одинаковыми; ось Оу это ось симметрии графика.

К примеру, можно построить график функции у = │х 3 │. Чтобы сравнить функции у = │х 3 │и у = х 3 , составим таблицу их значений при одинаковых значениях аргументов.

Из таблицы видим, что для того, чтобы построить график функции у = │х 3 │, можно начать с построения графика функции у = х 3 . После этого стоит симметрично оси Ох отобразить ту его часть, которая находится ниже этой оси. В результате получим график, изображенный на рисунке.

График и свойства функции у = x 1/2 (корень)

Рассмотрим функцию у = x 1/2 .

Областью определения этой функции является множество неотрицательных действительных чисел, так как выражение x 1/2 имеет значение только при х > 0.

Построим график. Для составления таблицы ее значений используем микрокалькулятор, округляя значения функции до десятых.

После нанесения на координатную плоскость точек, и плавного их соединения, получаем график функции у = x 1/2 .

Построенный график позволяет сформулировать некоторые свойства функции у = x 1/2 .

При х = 0, получаем у = 0; при х > 0, получаем у > 0; график проходит через начало координат; остальные точки графика расположены в первой координатной четверти.

Теорема . График функции у = x 1/2 симметричен графику функции у = х 2 , где х > 0, относительно прямой у = х .

Доказательство . Графиком функции у = х 2 , где х > 0, является ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Пусть точка Р (а ; b ) - произвольная точка этого графика. Тогда истинно равенство b = а 2 . Поскольку по условию число а неотрицательное, то истинно также и равенство а = b 1/2 . А это означает, что координаты точки Q (b ; а ) превращают формулу у = x 1/2 в истинное равенство, или иначе, точка Q (b ; а у = x 1/2 .

Так же доказывается, что если точка М (с ; d ) принадлежит графику функции у = x 1/2 , то точка N (d ; с ) принадлежит графику у = х 2 , где х > 0.

Получается, что каждой точке Р (а ; b ) графика функции у = х 2 , где х > 0, соответствует единственная точка Q (b ; а ) графика функции у = x 1/2 и наоборот.

Остается доказать, что точки Р (а ; b ) и Q (b ; а ) симметричны относительно прямой у = х . Опустив перпендикуляры на координатные оси из точек Р и Q , получаем на этих осях точки Е (а ; 0), D (0; b ), F (b ; 0), С (0; а ). Точка R пересечения перпендикуляров РЕ и QC имеет координаты (а ; а ) и поэтому принадлежит прямой у = х . Треугольник PRQ является равнобедренным, так как его стороны RP и RQ равны │ b – а │ каждая. Прямая у = х делит пополам как угол DOF , так и угол PRQ и пересекает отрезок PQ в определенной точке S . Поэтому отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ . Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой, то PQ ┴RS и PS = QS . А это означает, что точки Р (а ; b ) и Q (b ; а ) симметричные относительно прямой у = х .

Поскольку график функции у = x 1/2 симметричен графику функции у = х 2 , где х > 0, относительно прямой у = х , то графиком функции у = x 1/2 является ветвь параболы.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

ст. Брюховецкой

муниципального образования Брюховецкий район

Учитель математики

Гученко Анжела Викторовна

2014 год

Функция у =
, ее свойства и график

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

Задачи, решаемые на уроке:

научить учащихся самостоятельно работать;

высказывать предположения и догадки;

уметь делать обобщение изучаемых факторов.

Оборудование: доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал

Хронометраж урока.

Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.

Определение целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.

Актуализация знаний (фронтальный опрос) – 3мин.

Устная работа - 3мин.

Объяснение нового материала, построенное на создании проблемных ситуаций - 7мин.

Физминутка – 2мин.

Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях и определением свойств функции, работа с учебником – 10мин.

Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков – 9мин .

Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.

Задание на дом – 1мин.

Итого 40 минут.

Ход урока.

Определение темы урока совместно с учащимися (1мин).

Тема урока определяется учащимися при помощи наводящих вопросов:

функция - работа, производимая органом, организмом в целом.

функция - возможность, опция, умение программы или прибора.

функция - обязанность, круг деятельности.

функция персонажа в литературном произведении.

функция - вид подпрограммы в информатике

функция в математике - закон зависимости одной величины от другой.

Определение целей и задач урока совместно с учащимися (1мин).

Учитель при помощи учащихся формулирует и проговаривает цели и задачи данного урока.

Актуализация знаний (фронтальный опрос – 3мин).

Устная работа – 3 мин.

Фронтальная работа.

(А и В принадлежат, С нет)

Объяснение нового материала (построено на создании проблемных ситуаций – 7мин).

Проблемная ситуация: описать свойства неизвестной функции.

Разбить класс на команды по 4-5 человек, раздать бланки для ответов на поставленные вопросы

Бланк №1

у=0, при х=?

Область определения функции.

Множество значений функции.

На каждый вопрос отвечает один из представителей команды, остальные команды голосуют «за» или «против» сигнальными карточками и, если нужно, дополняют ответы одноклассников.

Вместе с классом сделать вывод об области определения, множестве значений, нулях функции у=.

Проблемная ситуация : попробовать построить график неизвестной функции (идет обсуждение в командах, поиск решения).

С учителем вспоминается алгоритм построения графиков функций. Учащиеся командами пробуют изобразить график функции у= на бланках, затем обмениваются бланками друг с другом для само- и взаимопроверки.

Физминутка (Клоунада)

Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях – 10мин.

После общего обсуждения выполняется задание построения графика функции у= индивидуально каждым учеником в тетради. Учитель в это время оказывает дифференцированную помощь учащимся. После выполнения задания учащимися на доске показывается график функции и учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:

Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразования графика – 9мин.

Учащиеся работают по своей карточке (по вариантам), затем меняются и проверяют друг друга. После на доске показываются графики, и учащиеся оценивают свою работу, сравнивая с доской.

Карточка №1

Карточка №2

Вывод: о преобразованиях графика

1) параллельный перенос вдоль оси ОУ

2) сдвиг вдоль оси ОХ.

9. Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.

СЛАЙДЫ – вставить пропущенные слова

Область определения данной функции, все числа, кроме…(отрицательных).

График функции расположен в … (I) четверти.

При значении аргумента х = 0, значение… (функции) у = …(0).

Наибольшее значение функции… (не существует), наименьшее значение - …(равно 0)

10. Задание на дом (с комментариями – 1 мин).

По учебнику - §13

По задачнику – №13.3, №74 (повторение неполных квадратных уравнений)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Рассмотрим функцию y=√x. График этой функции показан на рисунке ниже.

График функции y=√x

Как видите, график напоминает повернутую параболу, точнее одну из её ветвей. Мы получаем ветвь параболы x=y^2. Из рисунка видно, что график лишь один раз касается оси Оу, в точке с координатами (0;0).
Теперь стоит отметить основные свойства этой функции.

Свойства функции y=√x

1. Область определения функции явяется луч }