Простые наблюдения и опыты доказывают, что покой и движение относительны, скорость тела зависит от выбора системы отсчета; по второму закону Ньютона независимо от того, находилось ли тело в покое или двигалось, изменение скорости его движения может происходить только под действием силы, т. е. в результате взаимодействия с другими телами. Однако существуют величины, которые могут сохраняться при взаимодействии тел. Такими величинами являются энергия и импульс .

Импульсом тела называют векторную физиче¬скую величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается . Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость: . Направление вектора импульса р совпадает с направлением вектора скорости тела . Единица импульса - .

Для импульса системы тел выполняется закон сохранения, который справедлив только для замкнутых физических систем. В общем случае замкнутой называют систему, которая не обменивается энергией и массой с телами и полями, не входящими в нее. В механике замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. В этом случае , где - начальный импульс системы, а - конечный. В случае двух тел, входящих в систему, это выражение имеет вид , где - массы тел, а - скорости до взаимодействия, - скорости после взаимодействия (рис. 4). Эта формула и является математическим выражением закона сохранения импульса: импульс замкнутой физической системы сохраняется при любых взаимодействиях, происходящих внутри этой системы. Другими словами: в замкнутой физической системе геометрическая сумма импульсов тел до взаимодействия равна геометрической сумме импульсов этих тел после взаимодействия . В случае незамкнутой системы импульс тел системы не сохраняется. Однако если и системе существует направление, по которому внешние силы не действуют или их действие скомпенсировано, то сохраняется проекция импульса на это направление. Кроме того, если время взаимодействия мало (выстрел, взрыв, удар), то за это время даже в случае незамкнутой системы внешние силы незначительно изменяют импульсы взаимодействующих тел. Поэтому для практических расчетов в этом случае тоже можно применять закон сохранения импульса.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих тел при отсутствии действия со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел действительно остается неизменной.

В механике закон сохранения импульса и законы Ньютона связаны между собой. Если на тело массой в течение времени действует сила и скорость его движения изменяется от до , то ускорение движения а тела равно . На основании второго закона Ньютона для силы можно записать , отсюда следует

. - векторная физическая величина, характеризующая действие на тело силы за некоторый промежуток времени и равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы . Единица импульса силы - .

Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Реактивное движение - это такое движение тела, которое возникает после отделения от тела его части.

Пусть тело массой покоилось. От тела отделилась какая-то его часть массой со скоростью Тогда оставшаяся часть придет в движение в противоположную сторону со скоростью , масса оставшейся части . Действительно, сумма импульсов обеих частей тела до отделения была равна нулю и после разделения будет равна нулю:

Отсюда .

Большая заслуга в развитии теории реактивного движения принадлежит К. Э. Циолковскому.

Он разработал теорию полета тела переменной массы (ракеты) в однородном поле тяготения и рассчитал запасы топлива, необходимые для преодоления силы земного притяжения; основы теории жид¬костного реактивного двигателя, а также элементы его конструкции; теорию многоступенчатых ракет, причем предложил два варианта: параллельный (несколько реактивных двигателей работают одновременно) и последовательный (реактивные двигатели работают друг за другом). К. Э. Циолковский строго научно доказал возможность полета в космос с помощью ракет с жидкостным реактивным двигателем, предложил специальные траектории посадки космических аппаратов на Землю, выдвинул идею создания межпланетных орбитальных станций и подробно рассмотрел условия жизни и жизнеобеспечения на них. Технические идеи Циолковского находят применение при создании современной ракетно-космической техники. Движение с помощью реактивной струи по закону сохранения импульса лежит в основе гидрореактивного двигателя. В основе движения многих морских моллюсков (осьминогов, медуз, кальмаров, каракатиц) также лежит реактивный принцип.

Распространенные ошибки

1. Встречались абитуриенты, допускавшие грубую ошибку при объяснении принципа действия реактивного двигателя. Они утверждали, что движение реактивного самолета обусловлено взаимодействием выбрасываемых газов и воздуха: самолет действует на воздух, а воздух, согласно третьему закону Ньютона,- на самолет, в результате чего он движется. Это, конечно, неверно. ДЕйствительной причиной движения реактивного самолета является взаимодействие истекающих из сопла газов, которые образуются при сгорании топлива. За счет большого давления в камере сгорания эти газы приобретают некоторый импульс, поэтому, согласно закону сохранения импуьса, самолет получает такой же по модулю, но противоположный по направлению импульс. Так что самолет не отталкивается от воздуха. Напротив, атмосферный воздух является лишь помехой движению самолета.

2. Некоторый учащиеся не могут дать полный и правильный ответ на вопрос: в какиз случаях можно применять закон сохранения импульса. Полезно запомнить следующие критерии его применимости:

1. система тел замкнута, т.е. на тела этой системы не действуют внешние силы;
2. на тела системы действуют внешние силы, но их векторная сумма равна нулю
3. система не замкнута, но сумма проекций всех внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю; тогда остается постоянной и сумма проекций импульсов всех тел системы на эту ось.
4. время взаимодействия тел мало (например, время удара, выстрела, взрыва); в этом случае импульсаом внешних сил можно пренебречь и рассматривать систему как замкнутую.

Теория

Рассмотрим два небольших тела (материальные точки), взаимодействующих только друг с другом. По 3-му закону Ньютона сила, с которой первое тело действует на второе, равна по величине и противоположно направлена по отношению к силе, которая действует со стороны первого тела на второе, причем эти силы действуют вдоль линии, соединяющей материальные точки. Тогда 2-й закон Ньютона для этих тел запишется в виде:

где и – приращение скоростей первого и второго тел за время , а и – соответственно сила, действующая со стороны второго тела на первое и наоборот.

Сложим эти уравнения друг с другом. Сумма правых частей равна нулю, т.к. вследствие 3-го закона Ньютона . Значит, равна нулю также сумма левых частей уравнений. Таким образом,

где – скорость первого и второго тел в начале промежутка времени , а – в конце этого промежутка. Из этого уравнения получаем:

,

(1)

Величина, равная произведению массы материальной точки на ее скорость, называется импульсом. Для системы материальных точек полный импульс равен сумме импульсов. При этом следует иметь в виду, что импульс – это векторная величина, и поэтому в общем случае импульсы складываются как векторы, т.е. по правилу параллелограмма. Уравнение (1) выражает закон сохранения импульса для двух материальных точек, которые взаимодействуют только между собой. В правой и левой частях уравнения стоит суммарный импульс двух тел в разные моменты времени, из уравнения видно, что эта величина остается неизменной (т.е. сохраняется).

Таким образом, закон сохранения импульса можно сформулировать так: если на тела системы действуют только силы взаимодействия между ними («внутренние силы»), то полный импульс системы тел не изменяется со временем, т.е. сохраняется. Этот закон применим не только к системе 2 тел, как в рассмотренном примере, но и к системе, состоящей из любого числа тел. Отметим еще раз, что импульс – величина векторная, поэтому сохранение полного импульса означает сохранение не только его величины, но и направления.

Закон сохранения импульса выполняется при распаде тела на части и при абсолютно неупругом ударе, когда соударяющиеся тела соединяются в одно. Если распад или удар происходят в течение малого промежутка времени, то закон сохранения импульса приближенно выполняется для этих процессов даже при наличии внешних сил, действующих на тела системы со стороны тел, не входящих в нее, т.к. за малое время внешние силы не успевают значительно изменить импульс системы. Если внешние силы имеют какое-то определенное направление, то сохраняется не сам импульс, а его проекции на оси, перпендикулярные действующей силе.

Описание работы

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Пусть тело бросили со скоростью под углом к горизонту (рис. 1).

В полете на тело действует сила тяжести, направленная вертикально вниз, поэтому горизонтальная проекция скорости не изменяется со временем и равна .

Пусть в верхней точке траектории тело распадается на 2 одинаковых осколка, один из которых возвращается назад в точку бросания по той же траектории, по которой до распада летело брошенное тело. При распаде выполняется закон сохранения горизонтальной проекции импульса, поскольку сила тяжести направлена вертикально. Один из осколков вернулся назад по прежней траектории. Это означает, что его скорость сразу же после распада равна скорости всего тела непосредственно перед распадом. Закон сохранения проекции импульса тогда запишется следующим образом.

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой .

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса . Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона

Если эти тела взаимодействуют в течение времени t , то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны:

Применим к этим телам второй закон Ньютона:

Где и - импульсы тел в начальный момент времени, и - импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился:

Закон сохранения импульса:

Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.

Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.

Изображенные на рис. 1.17.1 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY . Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов и импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.

Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение .

При стрельбе из орудия возникает отдача - снаряд движется вперед, а орудие - откатывается назад. Снаряд и орудие - два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через и а их массы через M и m , то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX

На принципе отдачи основано реактивное движение . В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m , а массу ракеты после истечения газов через M . Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать:

где V - скорость ракеты после истечения газов. В данном случае предполагается, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.

Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно . На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.

Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью (рис. 1.17.3 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость а ее масса станет равной M + ΔM , где ΔM < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Δt импульс ракеты равен , а импульс испущенных газов равен . В момент времени t импульс всей системы был равен Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:

Величиной можно пренебречь, так как |ΔM | << M . Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt →0, получаем:

Рисунок 1.17.3. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации). 1 - в момент времени t . Масса ракеты М, ее скорость 2 - Ракета в момент времени t + Δt . Масса ракеты M + ΔM , где ΔM < 0, ее скорость масса выброшенных газов -ΔM > 0, относительная скорость газов скорость газов в инерциальной системе

Величина есть расход топлива в единицу времени. Величина называется реактивной силой тяги Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:

где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу Циолковского для конечной скорости υ ракеты:

где - отношение начальной и конечной масс ракеты.

Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ = υ 1 = 7,9·10 3 м/с при u = 3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение должно быть равно 50.

Реактивное движение основано на законе сохранения импульса и это бесспорно. Только многие задачи решаются разными способами. Я предлагаю следующий. Простейший реактивный двигатель: камера, в которой с помощью сжигания топлива поддерживается постоянное давление, в нижнем днище камеры отверстие, через которое с определенной скоростью происходит истечение газа. Согласно закону сохранения импульса камера приходит в движение (прописные истины). Другой способ. В нижнем днище камеры отверстие, т.е. площадь нижнего днища меньше площади верхнего днища на площадь отверстия. Произведение давления на площадь дает силу. Сила, действующая на верхнее днище больше чем на нижнее (из-за разности площадей), получаем неуравновешенную силу, которая приводит камеру в движение. F = p (S1-S2) = pSотверстия, где S1 площадь верхнего днища, S2 площадь нижнего днища, Sотверстия площадь отверстия. Если решать задачи традиционным методом и предложенным мной результат будет один и тот же. Предложенный мной способ более сложен, но он объясняет динамику реактивного движения. Решение задач с помощью закона сохранения импульса более простое, но оно не дает понять откуда берется сила, приводящая камеру в движение.

Подробности Категория: Механика Опубликовано 21.04.2014 14:29 Просмотров: 53454

В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .

Импульс тела

Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .

С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».

Любое тело, которое движется, обладает импульсом.

Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.

Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.

Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.

Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.

Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек

То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.

Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).

Импульс силы

В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .

Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона

Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.

Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .

Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.

Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.

Импульс силы – это также векторная величина.

Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.

Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.

Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.

Импульс силы для первого тела равен

Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно, для второго тела импульс силы равен

Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:

где m 1 и m 2 – массы тел,

v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,

v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.

p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;

p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;

p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;

p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;

То есть

p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "

В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.

При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.

Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .

Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.

Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.

Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.

Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.

Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .

Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.

Реактивное движение

Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.

Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.

Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.

Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.

На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.

Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.

До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.

где - масса ракеты

Скорость истечени газа

Изменение скорости ракеты

∆ m f - расход массы топлива

Предположим, ракета работала в течение времени t .

Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение

По второму закону Ньютона реактивная сила равна

Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.

Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.

Как мы уже говорили, в точности замкнутых систем тел не существует. Поэтому возникает вопрос: в каких случаях можно применять закон сохранения импульса к незамкнутым системам тел? Рассмотрим эти случаи.

1. Внешние силы уравновешивают друг друга или ими можно пренебречь

С этим случаем мы уже познакомились в предыдущем параграфе на примере двух взаимодействующих тележек.

В качестве второго примера вспомним первоклассника и десятиклассника, соревнующихся в перетягивании каната, стоя на скейтбордах (рис. 26.1). При этом внешние силы также уравновешивают друг друга, а силой трения можно пренебречь. Поэтому сумма импульсов соперников сохраняется.

Пусть в начальный момент школьники покоились. Тогда их суммарный импульс в начальный момент равен нулю. Согласно закону сохранения импульса он останется равным нулю и тогда, когда они будут двигаться. Следовательно,

где 1 и 2 – скорости школьников в произвольный момент (пока действия всех других тел компенсируются).

1. Докажите, что отношение модулей скоростей мальчиков обратно отношению их масс:

v 1 /v 2 = m 2 /m 1 . (2)

Обратите внимание: это соотношение будет выполняться независимо от того, как взаимодействуют соперники. Например, не имеет значения, тянут они канат рывками или плавно, перебирает канат руками только кто-то один из них или оба.

2. На рельсах стоит платформа массой 120 кг, а на ней – человек массой 60 кг (рис. 26.2, а). Трением между колесами платформы и рельсами можно пренебречь. Человек начинает идти вдоль платформы вправо со скоростью 1,2 м/с относительно платформы (рис. 26.2, б).

Начальный суммарный импульс платформы и человека равен нулю в системе отсчета, связанной с землей. Поэтому применим закон сохранения импульса в этой системе отсчета.

а) Чему равно отношение скорости человека к скорости платформы относительно земли?
б) Как связаны модули скорости человека относительно платформы, скорости человека относительно земли и скорости платформы относительно земли?
в) С какой скоростью и в каком направлении будет двигаться платформа относительно земли?
г) Чему будут равны скорости человека и платформы относительно земли, когда он дойдет до ее противоположного конца и остановится?

2. Проекция внешних сил на некоторую ось координат равна нулю

Пусть, например, по рельсам со скоростью катится тележка с песком массой m т. Будем считать, что трением между колесами тележки и рельсами можно пренебречь.

В тележку падает груз массой m г (рис. 26.3, а), и тележка катится далее с грузом (рис. 26.3, б). Обозначим конечную скорость тележки с грузом к.

Введем оси координат, как показано на рисунке. На тела действовали только вертикально направленные внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны рельсов). Эти силы не могут изменить горизонтальные проекции импульсов тел. Поэтому проекция суммарного импульса тел на горизонтально направленную ось х осталась неизменной.

3. Докажите, что конечная скорость тележки с грузом

v к = v(m т /(m т + m г)).

Мы видим, что скорость тележки после падения груза уменьшилась.

Уменьшение скорости тележки объясняется тем, что часть своего начального горизонтально направленного импульса она передала грузу, разгоняя его до скорости к. Когда тележка разгоняла груз, он, согласно третьему закону Ньютона, тормозил тележку.

Обратите внимание на то, что в рассматриваемом процессе суммарный импульс тележки и груза не сохранялся. Неизменной осталась лишь проекция суммарного импульса тел на горизонтально направленную ось x.

Проекция же суммарного импульса тел на вертикально направленную ось у в данном процессе изменилась: перед падением груза она была отлична от нуля (груз двигался вниз), а после падения груза она стала равной нулю (оба тела движутся горизонтально).

4. В стоящую на рельсах тележку с песком массой 20 кг влетает груз массой 10 кг. Скорость груза непосредственно перед попаданием в тележку равна 6 м/с и направлена под углом 60º к горизонту (рис. 26.4). Трением между колесами тележки и рельсами можно пренебречь.

а) Какая проекция суммарного импульса в данном случае сохраняется?
б) Чему равна горизонтальная проекция импульса груза непосредственно перед его попаданием в тележку?
в) С какой скоростью будет двигаться тележка с грузом?

3. Удары, столкновения, разрывы, выстрелы

В этих случаях происходит значительное изменение скорости тел (а значит, и их импульса) за очень краткий промежуток времени. Как мы уже знаем (см. предыдущий параграф), это означает, что в течение этого промежутка времени тела действуют друг на друга с большими силами. Обычно эти силы намного превышают внешние силы, действующие на тела системы.
Поэтому систему тел во время таких взаимодействий можно с хорошей степенью точности считать замкнутой, благодаря чему можно использовать закон сохранения импульса.

Например, когда во время пушечного выстрела ядро движется внутри ствола пушки, силы, с которыми действуют друг на друга пушка и ядро, намного превышают горизонтально направленные внешние силы, действующие на эти тела.

5. Из пушки массой 200 кг выстрелили в горизонтальном направлении ядром массой 10 кг (рис. 26.5). Ядро вылетело из пушки со скоростью 200 м/с. Какова скорость пушки при отдаче?

При столкновениях тела также действуют друг на друга с довольно большими силами в течение краткого промежутка времени.

Наиболее простым для изучения является так называемое абсолютно неупругое столкновение (или абсолютно неупругий удар). Так называют столкновение тел, в результате которого они начинают двигаться как единое целое. Именно так взаимодействовали тележки в первом опыте (см. рис. 25.1), рассмотренном в предыдущем параграфе, Найти общую скорость тел после абсолютно неупругого столкновения довольно просто.

6. Два пластилиновых шарика массой m 1 и m 2 движутся со скоростями 1 и 2 . В результате столкновения они стали двигаться как единое целое. Докажите, что их общую скорость можно найти с помощью формулы

Обычно рассматривают случаи, когда тела до столкновения движутся вдоль одной прямой. Направим ось x вдоль этой прямой. Тогда в проекциях на эту ось формула (3) принимает вид

Направление общей скорости тел после абсолютно неупругого столкновения определяется знаком проекции v x .

7. Объясните, почему из формулы (4) следует, что скорость «объединенного тела» будет направлена так же, как начальная скорость тела с большим импульсом.

8. Две тележки движутся навстречу друг другу. При столкновении они сцепляются и движутся как единое целое. Обозначим массу и скорость тележки, которая вначале ехала вправо, m п и п, а массу и скорость тележки, которая вначале ехала влево, m л и л. В каком направлении и с какой скоростью будут двигаться сцепленные тележки, если:
а) m п = 1 кг, v п = 2 м/с, m л = 2 кг, v л = 0,5 м/с?
б) m п = 1 кг, v п = 2 м/с, m л = 4 кг, v л = 0,5 м/с?
в) m п = 1 кг, v п = 2 м/с, m л = 0,5 кг, v л = 6 м/с?

Дополнительные вопросы и задания

В заданиях к этому параграфу предполагается, что трением можно пренебречь (если не указан коэффициент трения).

9. На рельсах стоит тележка массой 100 кг. Бегущий вдоль рельсов школьник массой 50 кг с разбега запрыгнул на эту тележку, после чего она вместе со школьником стала двигаться со скоростью 2 м/с. Чему была равна скорость школьника непосредственно перед прыжком?

10. На рельсах недалеко друг от друга стоят две тележки массой M каждая. На первой из них стоит человек массой m. Человек перепрыгивает с первой тележки на вторую.
а) Скорость какой тележки будет больше?
б) Чему будет равно отношение скоростей тележек?

11. Из зенитного орудия, установленного на железнодорожной платформе, производят выстрел снарядом массой m под углом α к горизонту. Начальная скорость снаряда v0. Какую скорость приобретет платформа, если ее масса вместе с орудием равна M? В начальный момент платформа покоилась.

12. Скользящая по льду шайба массой 160 г ударяется о лежащую льдинку. После удара шайба скользит в прежнем направлении, но модуль ее скорости уменьшился вдвое. Скорость же льдинки стала равной начальной скорости шайбы. Чему равна масса льдинки?

13. На одном конце платформы длиной 10 м и массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Каково будет перемещение платформы относительно земли, когда человек перейдет к ее противоположному концу?
Подсказка. Примите, что человек идет с постоянной скоростью v относительно платформы; выразите через v скорость платформы относительно земли.

14. В лежащий на длинном столе деревянный брусок массой M попадает летящая горизонтально со скоростью и пуля массой m и застревает в нем. Сколько времени после этого брусок будет скользить по столу, если коэффициент трения между столом и бруском равен μ?