Матрица гурвица составляется из коэффициентов дифференциального уравнения. Решение задачи по принципу Гурвица. Критерии устойчивости: определение, виды
Для принципа выбора Гурвица характерно использование взвешенных значений принципа гарантированного результата (пессимизма) и принципа оптимизма . Здесь каждая стратегия характеризуется своим коэффициентом важности стратегии α,β = . Функция выбора, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:
u (y*)= α·u 1 (y)+(1-α)·u 2 (y),
где u 1 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;
u 2 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип оптимизма.
Учитывая, что
u 1 (y) = max min U i j
u 2 (y) = max max U i j
можно представить общее выражение для принципа Гурвица в виде
u (y*)= α max min U i j + (1-α)· max max U i j (3)
u (y*)= max [α min U i j + (1-α)· max U i j ]. (4)
Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия Y*, для которой выполняется условие (4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента α можно получить различные стратегии выбора при изменении его в диапазоне 0≤ α ≤ 1:
если α = 1, то получим принцип гарантированного результата ;
если α = 0, получим принцип оптимизма .
Проведем решение исходной задачи (табл.9)с использованием данной методики.
Решение задачи по принципу Гурвица.
Задаём коэффициент , который характеризует ориентацию на принцип максимина или принцип оптимизма и . Пусть = 0,6.
Решаем задачу по формуле Y * max i ( min U ij + (1 - ) max j U ij) в два этапа:
2.1. Для каждой альтернативы находим *min j U ij +(1-)* max j U ij , для чего используем уже вычисленные значения по предыдущим задачам (значения Min U ij , Max U ij в табл.10). Расчет этих значений формируется так.
Исходными данными для выбора по методу Гурвица будут данные, полученные по стратегиям:
Для стратегии гарантированного результата:
Для стратегии оптимизма:
Принцип Гурвица Таблица 10
Альтернати- |
Критерии (цели) |
Знач. предпочт. по Гурвицу | |||||
Пусть весовой коэффициент характеризует степень важности соответствующей первой стратегии и его значение примем = 0,6. Тогда получим для первого этапа
Подставляя соответствующие значения в систему получим:
Подставим их в графу «Значение предпочтений по Гурвицу» табл.10.
2.2. На втором этапе производим выбор в соответствии с правилом:
Оптимальной (по комбинированному принципу Гурвица) будет альтернатива Y 3 , значение функции полезности которой равно 4,2.
Для оценки влияния коэффициента на уровень предпочтений по Гурвицу, проведем анализ значений для различных коэффициентов (табл.11).
Таблица 11
возможные значения весового коэффициента а | ||||||||||
На основании данных значений можно сказать, что общим правилом выбора по всем значениям будет метрика с = 0,1, при этом, эффективной альтернативой является вариант 1 (Y1) с функцией предпочтения = 7,3.
Решение данной задачи в интегрированной системе Excel предполагает процедуру расчета показателей приведенных в табл.10-11, по алгоритму и формулам, приведенным в табл.12 и табл.13. Экранная форма указанных таблиц приведена на рис.10, 11.
Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица, в виде экранной формы приведен на рис.12.
Рис.10. Решение задачи по принципу Гурвица
Рис.11. Анализ оптимального решения (по Гурвицу) при различных значениях коэффициента
Таблица 12
Принцип Гурвица
Критерии (цели) |
Знач. предпочт. по Гурвицу | ||||||||
МАКС(B5:D5) |
H5*E5+(1-H5)*F5 | ||||||||
МАКС(B6:D6) |
H6*E6+(1-H6)*F6 | ||||||||
МАКС(B7:D7) |
H7*E7+(1-H7)*F7 | ||||||||
МАКС(B5:B7) |
МАКС(C5:C7) |
МАКС(D5:D7) |
МАКС(E5:E7) |
МАКС(G5:G7) |
Таблица 13
Значения предпочтений по Гурвицу для различных коэффициентов
=$B$19*E5+(1-$B$19)*F5 |
=$C$19*E5+(1-$C$19)*F5 |
0,3*E5+(1-0,3)*F5 |
0,4*E5+(1-0,4)*F5 |
0,5*E5+(1-0,5)*F5 |
0,6*E5+(1-0,6)*F5 |
0,7*E5+(1-0,7)*F5 |
0,8*E5+(1-0,8)*F5 |
0,9*E5+(1-0,9)*F5 |
||
=$B$19*E6+(1-$B$19)*F6 |
=$C$19*E6+(1-$C$19)*F6 |
0,3*E6+(1-0,3)*F6 |
0,4*E6+(1-0,4)*F6 |
0,5*E6+(1-0,5)*F6 |
0,6*E6+(1-0,6)*F6 |
0,7*E6+(1-0,7)*F6 |
0,8*E6+(1-0,8)*F6 |
0,9*E6+(1-0,9)*F6 |
||
=$B$19*E7+(1-$B$19)*F7 |
=$C$19*E7+(1-$C$19)*F7 |
0,3*E7+(1-0,3)*F7 |
0,4*E7+(1-0,4)*F7 |
0,5*E7+(1-0,5)*F7 |
0,6*E7+(1-0,6)*F7 |
0,7*E7+(1-0,7)*F7 |
0,8*E7+(1-0,8)*F7 |
0,9*E7+(1-0,9)*F7 |
||
МАКС(B20:B22) |
МАКС(C20:C22) |
МАКС(D20:D22) |
МАКС(E20:E22) |
МАКС(F20:F22) |
МАКС(G20:G22) |
МАКС(H20:H22) |
МАКС(I20:I22) |
МАКС(J20:J22) |
Рис. 12. Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица
Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.
Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде
Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.
Порядок построения определителя Гурвица.
1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).
2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.
3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.
4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.
5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).
Условие устойчивости по Гурвицу
Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.
Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.
Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.
Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнений первого порядка
условие устойчивости
а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,
т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).
2. Для уравнений второго порядка
,
условие устойчивости
а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.
Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.
3. Для уравнений третьего порядка
условие устойчивости
а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.
Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.
Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.
Является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста . К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам - малая наглядность.
Формулировка
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.
Тогда согласно критерию Гурвица :
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.
См. также
Система находится на границе апериодической устойчивости, если a с индексом n будет равна 0. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.
Литература
Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- Москва: Наука, 1965.-234 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Критерий Гурвица" в других словарях:
критерий Гурвица - Hurwitzo kriterijus statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Hurwitz s criterion vok. Hurwitzkriterium, n rus. критерий Гурвица, m pranc. critère de Hurwitz, m ryšiai: sinonimas – Hurvico kriterijus … Automatikos terminų žodynas
Критерий Сэвиджа один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения… … Википедия
Критерий устойчивости Рауса Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства… … Википедия
Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия
Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия - Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость… … Википедия
Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев… … Википедия
Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:
- 1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;
- 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
- 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.
Рисунок 5.2.1 - Определитель Гурвица
Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:
- 1) n = 1 => уравнение динамики: a 0 p + a 1 = 0. Определитель Гурвица: = 1 = a 1 > 0 при a 0 > 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0;
- 2) n = 2 => уравнение динамики: a 0 p 2 + a 1 p + a 2 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, D 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 = a 1 a 2 > 0, так как a 3 = 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0;
- 3) n = 3 => уравнение динамики: a 0 p 3 + a 1 p 2 + a 2 p + a 3 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, 3 = a 32 > 0, условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0;
Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.
Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.
Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя n = a nn-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя n-1 . Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.
Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.
Критерий Гурвица.
Линейная система, характеристический полином которой равен
где a 0 >0, устойчива, если положительны n главных определителей матрицы Гурвица:
(5.8)
Порядок составления матрицы Гурвица следующий. На главной диагонали записываются все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняются строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.
Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица D i (i = 1, 2, ... , n), которые получают из матрицы (5.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.
Система устойчива, если D i > 0 для всех i = 1, 2, ... , n.
Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен
D n = a n ´ D n -1 .
Поэтому его положительность сводится при D n -1 >0 к условию a n >0,
Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a i .
Если определитель D n =0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая: апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; колебательная граница устойчивости, если определитель D n -1 =0. Из условия D n -1 =0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.
Пример.
Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде: . Исследовать устойчивость системы.
Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы
D(p)=0, где .
Откуда следует
Раскрыв скобки, получим
T 1 T 2 p 3 + (T 1 + T 2)p 2 + p + k = 0.
Тогда имеем: a 0 = T 1 T 2 ; a 1 = (T 1 + T 2); a 2 = 1; a 3 = k.
Коэффициенты характеристического уравнения положительны.
Составляем матрицу Гурвица
и найдем определители этой матрицы. Для устойчивости системы все они должны быть положительными:
D 1 = a 1 , откуда (T 1 + T 2) > 0;
D 2 = a 1 ´a 2 - a 0 ´a 3 , откуда (T 1 + T 2) - kT 1 T 2 > 0;
D 3 = a 1 ´a 2 ´a 3 - a 0 ´a 3 2 = a 3 (a 1 ´a 2 - a 0 ´a 3), откуда a 3 >0 , то есть k > 0.
Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид
(T 1 + T 2) > kT 1 T 2 или k < ( + ).
Границы устойчивости:
1) a n = 0, k = 0;
2) D n -1 = 0, k гр = ( + );
3) a 0 = 0, T 1 T 2 = 0.
Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров k, T 1 , T 2 и найти области устойчивости системы.
Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру k (общий коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости - точки на ней: k = 0 и k = k гр (рис.5.6). Область устойчивости лежит между этими точками.
Рис. 5.6. Область устойчивости по одному параметру
Те же границы устойчивости системы можно построить на плоскости двух параметров, например: k и T 1 (рис.5.7). Первая граница k = 0 лежит на оси T 1 . Вторая граница = k - имеет вид гиперболы с асимптотами k = 0 и k = . Третья граница T 1 = 0 совпадает с осью k. Штриховка границ сделана в сторону области устойчивости.