С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил , ,.., . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Про­ектируя обе части равенства на эти оси и учитывая,что и т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

Рис.4

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Пример 3. Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту, рассматривая его как материальную точку массы т. При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р =const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось вертикально вверх; горизонтальную ось Ox расположим в плоскости, проходящей через Оy и вектор , а ось Oz проведём перпендикулярно первым двум осям (рис.5). Тогда угол между вектором и осью Ox будет равен .

Рис.5

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести , проекции которой на оси координат равны: , , .

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что и т.д. мы после сокращения на m получим:

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

при t =0:

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

, , .

Подставляя эти значения С 1 , С 2 и С 3 в найденное выше решение и заменяя , , на придём к уравнениям:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Подстановка начальных данных даёт С 4 =С 5 =С 6 =0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде:

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Оxy .

Имея уравнение движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений (1) время t, получим уравнение траектории точки:

Это - уравнение параболы с осью, параллельной оси Оy. Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжёлая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т.е. измеренное вдоль оси Оx расстояние ОС=Х . Полагая в равенстве (2) y =0, найдём точки пересечения траектории с осью Ох . Из уравнения:

получаем

Первое решение дает точку О , второе точку С . Следовательно, Х=Х 2 и окончательно

Из формулы (3) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле , для которого , т.е. если угол . Следовательно, при данной начальной скорости в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: на­стильной () и навесной ().

При заданной начальной скорости наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда , т.е. при угле .

3. Высота траектории. Если положить в уравнении (2)

То найдется высота траектории Н :

4. Время полета. Из первого уравнения системы (1) следует, что полное время полета Т определяется равенством . Заменяя здесь Х его значением, получим

При угле наибольшей дальности все найденные вели­чины равны:

Полученные результаты практически вполне приложимы для ориен­тировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка 200…600 км, так как при этих дальностях (и при ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивле­ние воздуха, а при дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной.

Пример 4. Из пушки, установленной на высоте h , произвели выстрел под углом к горизонту (рис. 6). Ядро вылетело из ствола орудия со скоростью u . Определим уравнения движения ядра.

Рис.6

Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения, надо решать подобные задачи по определённой схеме.

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис.6).

в) Показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В этом примере – это только сила , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам: . Отсюда получим два уравнения: и .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 7).

Рис.7

На точку М кроме заданных активных сил , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции по естественным осям

Министерство Общего и профессионального технического образования

Московский Государственный Технический Университет МАМИ

Кафедра: Теоретическая механика

Реферат на тему:

Дифференциальные уравнения движения точки.

Решение задач динамики точки.

Студент: Зиновьев М.Ю.

Группа: 3-АиУ-1

Преподаватель:

Введение в динамику. Законы динамики.

Основные понятия и определения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Движение с чисто геометрической точки зрения рассматривается в кинематике. Отличие динамики состоит в том, что при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

Понятие о силе, как об основной мере механического действия, оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но статика не касается вопроса о возможных изменениях действующих сил с течением времени., а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы (Активной обычно называют силу, которая, начав действовать на покоящееся тело, может привести его в движение) и реакции связей.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит Ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды. В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела (Масса является еще мерой гравитационных свойств тела), В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц, т.е. от распределения масс в теле.

Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки.

Из кинематики известно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении конкретных задач материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изучении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т.п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Изучать динамику обычно начинают с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела.

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ.

ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных изучению движения тел, и проверенные обширной общественно-производственной практикой человечества. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687г. (Есть прекрасный русский перевод, сделанный А. Н. Крымовым. См.: Собрание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII. М.- Л., 1936). Сформулировать эти законы можно следующим образом.

Первый закон (закон инерции):

изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении. Важно отметить, что развитие динамики как науки стало возможным лишь после того, как Галилеем был открыт этот закон (1638 г.) и тем самым опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой системе отсчета справедлив закон инерции. Ньютон предполагал, что существует некое неподвижное (абсолютное) пространство, по отношению к которому этот закон выполняется. Но по современным воззрениям пространство - это форма существования материи, и какого-то абсолютного пространства, свойства которого не зависят от движущейся в нем материи, не существует. Между тем, поскольку закон имеет опытное происхождение (еще Галилей указал, что к этому закону можно прийти, рассматривая движение шарика по наклонной плоскости со все убывающим углом наклона), должны существовать системы отсчета, в которых с той или иной степенью приближения данный закон будет выполняться. В связи с этим в механике, переходя, как обычно, к научной абстракции, вводят понятие о системе отсчета, в которой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и называют инерциальной системой отсчета.

Можно ли данную реальную систему отсчета при решении тех или иных задач механики рассматривать как инерциальную, устанавливается путем проверки того, в какой мере результаты, полученные в предположении, что эта система является инерциальной, подтверждаются опытом. По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной с высокой степенью точности можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики)

устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость

та= F . (1")

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как это следует из закона параллелограмма сил, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей , равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

Этот же результат можно получить, используя вместо закона параллелограмма закон независимости действия сил, согласно которому при одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит:

две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Этим законом пользуются в статике. Он играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

При взаимодействии двух свободных материальных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с ускорениями, обратно пропорциональными их массам.

Задачи динамики . Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:

1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики);

2) 2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая, или основная, задача динамики).

Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверхности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

Для измерения всех механических величин оказывается достаточным ввести независимые друг от друга единицы измерения каких-нибудь трех величин. Двумя из них принято считать единицы длины и времени. В качестве третьей оказывается наиболее удобным выбрать единицу измерения или массы, или силы. Так как эти величины связаны равенством (1), то произвольно единицу измерения каждой из них выбрать нельзя. Отсюда вытекает возможность введения в механике двух принципиально отличных друг от друга систем единиц.

Первый тип систем единиц.

В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и массы, а сила измеряется производной единицей.

К таким системам относится Международная система единиц измерения физических величин (СИ), в которой основными единицами измерения механических величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей же измерения силы является производная единица - 1 ньютон (Н);

1 Н - это сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/с 2 (1Н==1 кг-м/с 2). О том, что собой представляют 1 м, 1 кг и 1 с, известно из курса физики. Международная система единиц (СИ) введена в России как предпочтительная с 1961 г

Второй тип систем единиц.

В этих системах за основные принимаются единицы длины, времени и силы, а масса измеряется производной единицей.

К таким системам относится имевшая большое распространение в технике система МКГСС, в которой основными единицами являются метр (м), килограмм силы (кГ) и секунда (с). Единицей измерения массы в этой системе будет 1 кГс 2 / м, т. е. масса, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение 1 м/с 2 .

Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГСС таково: 1 кГ=9,81 Н или 1 Н=0,102 кГ.

В заключение необходимо отметить, что надо различать понятия размерность величины и единица ее измерения. Размерность определяется только видом уравнения, выражающего значение данной величины, а единица измерения зависит еще от выбора основных единиц. Например, если, как это принято, обозначать размерность длины, времени и массы соответственно символами L, Т и М, то размерность скорости L/Т, а единицей измерения может быть 1 м/с, 1 км/ч и т. д.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СИЛ

Рассмотрим следующие постоянные или переменные силы (законы изменения переменных сил, как правило, устанавливаются опытным путем).

Сила тяжести . Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности. Модуль силы тяжести равен весу тела.

Опытом установлено, что под действием силы любое тело при свободном падении на Землю (с небольшой высоты и в безвоздушном пространстве) имеет одно и то же ускорение , называемое ускорением свободного падения, а иногда ускорением силы тяжести ( Закон свободного падения тел был открыт Галилеем. Значение q в разных местах земной поверхности различно; оно зависит от географической широты места над уровнем моря. На широте Москвы (на уровне моря) q= 9,8156м/с2

Тогда из уравнения (1") следует, что

Р=т q или т=Р/ q . (3)

Эти равенства позволяют, зная массу тела, определить его вес (модуль действующей на него силы тяжести) или, зная вес тела, определить его массу. Вес тела или сила тяжести, как и величина q, изменяются с изменением широты и высоты над уровнем моря; масса же является для данного тела величиной неизменной.

Сила трения . Так будем кратко называть силу трения скольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством

где f - коэффициент трения, который будем считать постоянным;

N - нормальная реакция.

Сила тяготения . Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга, выражается равенством

где f-гравитационная постоянная (в СИ/=6,673*).

Сила упругости . Эта сила тоже зависит от расстояния. Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. В частности, для силы упругости пружины получается значение

где l - удлинение (или сжатие) пружины; с - так называемый коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

Сила вязкого трения . Такая сила, зависящая от скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде (или при наличии жидкой смазки) и может быть выражена равенством

где v - скорость тела; m, - коэффициент сопротивления. Зависимость вида (7) можно получить исходя из закона вязкого трения, открытого Ньютоном.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления . Эта сила тоже зависит от скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде, как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством

(8)

где р - плотность среды; S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя);

Сx:-безразмерный коэффициент сопротивления, определяемый обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно ориентировано при движении.

Инертная и гравитационная массы.

Для экспериментального определения массы данного тела можно исходить из закона (1), куда масса входит как мера инертности и называется поэтому инертной массой. Но можно исходить и из закона (5), куда масса входит как мера гравитационных свойств тела и называется соответственно гравитационной (или тяжелой) массой. В принципе ни откуда не следует, что инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же величину. Однако целым рядом экспериментов установлено, что значения обеих масс совпадают с очень высокой степенью точности (по опытам, проделанным советскими физиками (1971 г.),- с точностью до ). Этот экспериментально установленный факт называют принципом эквивалентности. Эйнштейн положил его в основу своей общей теории относительности (теории тяготения).

Исходя из изложенного, в механике пользуются единым термином «масса», определяя массу как меру инертности тела и его гравитационных свойств.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из следующих двух систем уравнений.

Уравнения в декартовых координатах .

Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями:

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т.е. уравнения (9). Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у, zг этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил ., по отношению к инерциальной системе отсчета Охуг. Проектируя обе части равенства (2), т.е. равенства оси х, у, zг и учитывая, что и т.д., получим

(10)

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,

Это и будут искомые уравнения, т.е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, и от скорости, т. е. от , , то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, х, у, z, одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника . Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства на оси M t nb, т.е. на касательную М t: к траектории точки, главную нормаль Мп, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb

Тогда, учитывая, что , , получим

(11)

Уравнения (11), где v=ds!dt, представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

(ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ)

Если ускорение движущейся точки задано, то действующая сила или реакция связи сразу находится по уравнениям (1) или (2). При этом для вычисления реакции надо дополнительно знать активные силы. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы можно воспользоваться уравнениями (10) или (11).

РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (10), т. е. уравнением

или (12)

Уравнение (12) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

(13)

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (или когда сами силы зависят от х), уравнение (13) преобразуют к переменному х. Так как dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, то вместо (13) получим

(14)

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t). Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Чтобы яснее было, к чему сводится эта математическая задача, напомним, что входящие в правую часть уравнения (12) силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от х, и от ее скорости, т. е. от Vy=x. Следовательно, в общем случае уравнение (12) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид .

Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (12) будет проинтегрировано, то в полученное решение войдут две постоянные интегрирования и и общее решение уравнения (12) будет иметь вид

(15)

Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных . Для этого используются обычно так называемые начальные условия.

Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент - начальной скоростью (начальную скорость точка может иметь или потому, что до момента t=0 она двигалась по инерции, или в результате действия на нее до момента t=0 каких-то других сил). Чтобы решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени.

В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в виде

При t=0 ,. (16)

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных и найти частное решение уравнения (12), дающее закон движения точки, в виде

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Пусть точка М движется под действием нескольких сил (рис. 13.2). Составим основное уравнение динамики и спроектируем это векторное равенство на оси x , y , z :

Но проекции ускорения на оси есть вторые производные от координат точки по времени. Поэтому получим

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис. 13.3.).

в) Показать силы действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В примере 13.2 – это только сила , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам (13.1): . Отсюда получим два уравнения: и .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Полученные здесь уравнения – линейные уравнения второго порядка, в правой части – постоянные. Решение этих уравнений элементарно.

и

Осталось найти постоянные интегрирования. Подставляем начальные условия (при t = 0 x = 0, y = h , , ) в эти четыре уравнения: u cosa = C 1 , u sina = D 1 , 0 = С 2 , h = D 2 .

Подставляем в уравнения значения постоянных и записываем уравнения движения точки в окончательном виде

Имея эти уравнения, как известно из раздела кинематики, можно определить и траекторию движения ядра, и скорость, и ускорение, и положение ядра в любой момент времени.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 13.4.).

На точку М кроме заданных активных сил , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции по естественным осям

Составим основное уравнение динамики и спроектируем его на естественные оси

Рис. 13.4.

Так как то получим дифференциальные уравнения движения, такие

(13.2)

Здесь сила - сила трения. Если линия, по которой движется точка, гладкая, то Т =0 и тогда второе уравнение будет содержать только одну неизвестную – координату s :

Решив это уравнение, получим закон движения точки s=s(t) , а значит, при необходимости, и скорость и ускорение. Первое и третье уравнения (13.2) позволят найти реакции и .

Рис. 13.5.

Пример 13.3. Лыжник спускается по цилиндрической поверхности радиуса r . Определим его движение, пренебрегая сопротивлениями движению (рис. 13.5).

Схема решения задачи та же, что и при координатном способе (пример 13.2). Отличие лишь в выборе осей. Здесь оси N и Т движутся вместе с лыжником. Так как траектория – плоская линия, то ось В , направленную по бинормали, показывать не нужно (проекции на ось В действующих на лыжника сил будут равны нулю).

Дифференциальные уравнения по (13.2) получим такие

(13.3)

Первое уравнение получилось нелинейным: . Так как s =r j, то его можно переписать так: . Такое уравнение можно один раз проинтегрировать. Запишем Тогда в дифференциальном уравнении переменные разделятся: . Интегрирование дает решение Так как при t =0 j= 0 и , то С 1 =0 и а

Рыков В.Т.

Учебное пособие. - Краснодар: Кубанский государственный университет, 2006. - 100 с.: 25 ил.Первая часть курса лекций с заданиями по теоретической механике для физических специальностей классического университетского образования.
Пособие представляет собой вторую часть учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды. Оно содержит конспект лекций трех разделов курса теоретической механики и механики сплошной среды: «Основное дифференциальное уравнение динамики», «Движение в центрально-симметричном поле» и «Вращательное движение твердого тела». Как часть учебно-методического комплекса пособие содержит контрольные задания (варианты контрольных работ) и вопросы итогового компьютерного тестирования (экзамена). Данный курс дополняет электронное учебное пособие с фрагментами лекций (на лазерном диске).
Пособие предназначено для студентов 2-го и 3-го курсов физических и физико-технических факультетов университетов, может быть полезно студентам технических вузов, изучающим основы теоретической и технической механики.Содержание
Основное дифференциальное уравнение динамики (второй закон Ньютона)
Структура раздела
Описание движения материальной точки
Прямая и обратная задачи динамики
Вывод закона сохранения импульса из основного дифференциального уравнения динамики
Вывод закона сохранения энергии из основного дифференциального уравнения динамики
Вывод закона сохранения момента импульса из основного дифференциального уравнения динамики
Интегралы движения

Контрольное задание
Движение в центрально-симметричном поле
Структура раздела
Понятие центрально-симметричного поля
Скорость в криволинейных координатах
Ускорение в криволинейных координатах
Скорость и ускорение в сферических координатах
Уравнения движения в центрально симметричном поле
Секторная скорость и секторное ускорение
Уравнение движения материальной точки в поле тяжести и кулоновском поле
Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Приведенная масса
Формула Резерфорда
Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах
Вращательное движение твердого тела
Структура раздела
Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение
Кинетическая энергия твердого тела
Тензор инерции
Приведение тензора инерции к диагональному виду
Физический смысл диагональных компонент тензора инерции
Теорема Штейнера для тензора инерции
Момент импульса твердого тела
Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат
Углы Эйлера
Движение в неинерциальных системах отсчета
Контрольная работа по теме: Вращательное движение твердого тела
Рекомендуемая литература
Приложение
Приложение
Некоторые основные формулы и соотношения
Предметный указатель

You can write a book review and share your experiences. Other readers will always be interested in your opinion of the books you"ve read. Whether you"ve loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Краснодар 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r(t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Учебное пособие) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = В.Т. Рыков Рыков В.Т. ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ Учебное пособие Конспект лекций Контрольные задания Вопросы итогового тестирования (комбинированный экзамен) Краснодар 2006 УДК 531.01 ББК 22.25я73 Р 944 Рецензент: Доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой строительной механики Кубанского технологического университета И. М. Дунаев Рыков В. Т. Р 944 Основное дифференциальное уравнение динамики: Учеб. пособие. Краснодар: Кубан. гос. ун-т, 2006. – 100 с. Ил. 25. Библиогр. 6 назв. ISBN Пособие представляет собой вторую часть учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды. Оно содержит конспект лекций трех разделов курса теоретической механики и механики сплошной среды: «Основное дифференциальное уравнение динамики», «Движение в центрально-симметричном поле» и «Вращательное движение твердого тела». Как часть учебно-методического комплекса пособие содержит контрольные задания (варианты контрольных работ) и вопросы итогового компьютерного тестирования (экзамена). Данный курс дополняет электронное учебное пособие с фрагментами лекций (на лазерном диске). Пособие предназначено для студентов 2 и 3-го курсов физических и физико-технических факультетов университетов, может быть полезно студентам технических вузов, изучающим основы теоретической и технической механики. Печатается по решению Совета физико-технического факультета Кубанского государственного университета УДК 531(075.8) ББК 22.25я73 ISBN © Кубанский государственный университет, 2006 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие....................................................................... 6 Глоссарий............................................................................ 8 1. Основное дифференциальное уравнение динамики (второй закон Ньютона) ............................ 11 1.1. Структура раздела................................................ 11 1.2. Описание движения материальной точки.......... 11 1.2.1. Декартова система координат........................ 12 1.2.2. Естественный способ описания движения точки. Сопровождающий трехгранник............................................................ 13 1.3. Прямая и обратная задачи динамики.................. 16 1.4. Вывод закона сохранения импульса из основного дифференциального уравнения динамики................................................................... 21 1.5. Вывод закона сохранения энергии из основного дифференциального уравнения динамики................................................................... 24 1.6. Вывод закона сохранения момента импульса из основного дифференциального уравнения динамики................................................. 26 1.7. Интегралы движения............................................ 27 1.8. Движение в неинерциальных системах отсчета....................................................................... 28 1.9. Контрольное задание............................................ 28 1.9.1. Пример решения задачи.................................. 28 1.9.2. Варианты контрольных заданий.................... 31 1.10. Тесты итогового контроля (экзамена) ................ 35 1.10.1. Поле A ............................................................ 35 1.10.2. Поле B ............................................................ 36 1.10.3. Поле C ............................................................ 36 2. Движение в центрально-симметричном поле........... 38 2.1. Структура раздела................................................ 38 2.2. Понятие центрально-симметричного поля........ 39 3 2.3. Скорость в криволинейных координатах........... 39 2.4. Ускорение в криволинейных координатах........ 40 2.5. Скорость и ускорение в сферических координатах............................................................... 41 2.6. Уравнения движения в центральносимметричном поле.................................................. 45 2.7. Секторная скорость и секторное ускорение...... 46 2.8. Уравнение движения материальной точки в поле тяжести и кулоновском поле.......................... 48 2.8.1. Эффективная энергия...................................... 48 2.8.2. Уравнение траектории..................................... 49 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии....................................................... 51 2.9. Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Приведенная масса.......................................... 52 2.10. Формула Резерфорда............................................ 54 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах............. 58 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах................................ 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий.................. 59 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) ................ 61 2.12.1. Поле A ............................................................ 61 2.12.2. Поле B ............................................................ 62 2.12.3. Поле C ............................................................ 63 3. Вращательное движение твердого тела..................... 65 3.1. Структура раздела................................................ 65 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение........................................ 66 3.3. Кинетическая энергия твердого тела.................. 69 3.4. Тензор инерции..................................................... 71 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду................................................. 72 4 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции.................................... 74 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции........... 76 3.8. Момент импульса твердого тела......................... 78 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат................................................................... 79 3.10. Углы Эйлера.......................................................... 82 3.11. Движение в неинерциальных системах отсчета....................................................................... 86 3.12. Контрольная работа по теме: Вращательное движение твердого тела........................................... 88 3.12.1. Примеры выполнения контрольных заданий.................................................................... 88 3.12.2. Домашнее контрольное задание.................. 92 3.13. Тесты итогового контроля (экзамена) ................ 92 3.13.1. Поле A ............................................................ 92 3.13.2. Поле B ............................................................ 94 3.13.3. Поле C ............................................................ 95 Рекомендуемая литература.............................................. 97 Приложение 1 ................................................................... 98 Приложение 2. Некоторые основные формулы и соотношения............................................................... 100 Предметный указатель................................................... 102 5 ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга представляет собой «твердую компоненту» учебно-методического комплекса по курсу «Теоретическая механика и основы механики сплошной среды», являющегося частью государственного образовательного стандарта по специальностям: «физика» – 010701, «радиофизика и электроника» – 010801. Ее электронная версия (pdf-формат) помещается на сайте Кубанского государственного университета и в локальной сети физикотехнического факультета КубГУ. Всего разработано четыре основных части учебнометодического комплекса по теоретической механике и основам механики сплошной среды. Векторный и тензорный анализ – первая часть комплекса – предназначен для укрепления, а в значительной мере и для формирования базовых знаний в области математических основ не только курса теоретической механики, но всего курса теоретической физики. Собственно курс теоретической механики разбивается на две части, одна из которых содержит изложение методов решения механических задач, исходя из основного дифференциального уравнения динамики – второго закона Ньютона. Вторая часть представляет собой изложение основ аналитической механики (третья часть учебно-методического комплекса). Четвертая часть комплекса содержит основы механики сплошной среды. Каждая часть комплекса и все вместе поддерживаются электронными учебными курсами – видоизменяемыми компонентами, представляющими собой HTML-страницы, дополняемые средствами активного обучения – функциональными элементами обучения. Эти средства помещаются в архивированном виде на сайте КубГУ и распространяются на лазерных дисках, либо прилагаемых к твердой копии, либо отдельно. В отличие от твердой компоненты электронные составляющие будут подвергаться постоянной модификации с целью повышения их эффективности. 6 Основой «твердой компоненты» УМК является конспект лекций, дополненный «глоссарием», разъясняющим базовые понятия данного раздела и алфавитным указателем. После каждого из трех разделов данного пособия предлагается контрольное задание с примерами решения задач. Два контрольных задания данной компоненты выполняются дома – это задания к разделам 2 и 3. задание 3 является общим для всех и представляется преподавателю для проверки в тетрадях для практических занятий. В задании 2 каждым студентом выполняется один из 21 вариантов по указанию преподавателя. Задание 1 выполняется в аудитории в течение одного учебного занятия (пары) на отдельных листочках и сдается для проверки преподавателю. В случае неудачного выполнения задания работа должна быть либо скорректирована студентом (домашние работы), либо выполнена заново с другим вариантом (аудиторные задания). Последние выполняются вне учебного расписания в предложенное преподавателем время. Предлагаемая часть учебного пособия содержит также вспомогательный материал: в приложении 1 представлены компоненты метрического тензора – промежуточные цели контрольной работы 3, а в приложении 2 – основные формулы и соотношения, запоминание которых обязательно для получения удовлетворительной оценки на экзамене. Каждый раздел каждой части пособия заканчивается тестовыми задачами – составной частью комбинированного экзамена, основой которого является компьютерное тестирования с параллельным заполнение предлагаемых бланков и последующего собеседования на основе оценок компьютера и бланка тестирования. Поле «B» теста предполагает краткую запись в бланке математических преобразований, приводящих к выбранному в наборе ответов варианту. В поле «С» следует записать в бланк все вычисления, а численный ответ набрать на клавиатуре. 7 ГЛОССАРИЙ Аддитивная величина – физическая величина, значение которой для всей системы равно сумме ее значений для отдельных частей системы. Вращательное движение – движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю. Вторая космическая скорость – стартовая скорость с не вращающейся планеты, выводящая космический аппарат на параболическую траекторию. Импульс материальной точки – произведение массы точки на ее скорость. Импульс системы материальных точек – аддитивная величина, определяемая как сумма импульсов всех точек системы. Интегралы движения – сохраняющиеся при определенных условиях величины, полученные в результате однократного интегрирования основного дифференциального уравнения динамики – системы уравнений второго порядка. Кинетическая энергия материальной точки – энергия движения, равная работе, необходимой для сообщения данной точке определенной скорости. Кинетическая энергия системы материальных точек – аддитивная величина, определяемая как сумма энергий всех точек системы. Ковариантные компоненты вектора – коэффициенты разложения вектора по векторам взаимного базиса. Коэффициенты аффинной связности – коэффициенты разложения производных от векторов базиса по координатам по векторам самого базиса. Кривизна кривой – величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности. Мгновенный центр скоростей – точка, скорость которой равна нулю в данный момент времени. 8 Механическая работа постоянной силы – скалярное произведение силы на перемещение. Механическое движение – изменение положение тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Обратная задача динамики – по заданным силам (известным функциям координат, времени и скорости) найти уравнения движения материальной точки. Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно себе. Потенциальная энергия материальной точки – энергия полевого взаимодействия тел или частей тела, равная работе сил поля по перемещению данной материальной точки из данной точки пространства на нулевой потенциальный уровень, выбираемый произвольно. Приведенная масса – масса гипотетической материальной точки, к движению которой в центрально-симметричном поле сводится задача двух тел. Прямая задача динамики – по заданным уравнениям движения определить силы, действующие на материальную точку. Символы Кристоффеля – симметричные коэффициенты аффинной связности. Система центра масс (центра инерции) – Система отсчета, в которой импульс механической системы равен нулю. Скорость – векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени. Соприкасающаяся окружность – окружность, имеющая с кривой соприкосновение второго порядка, т.е. с точностью до бесконечно малых второго порядка уравнения кривой и соприкасающейся окружности в окрестности данной точки неотличимы друг от друга. 9 Сопровождающий трехгранник – тройка единичных векторов (касательный, вектор нормали и бинормали), используемых для введения сопровождающей точку декартовой системы координат. Твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. Тензор инерции – симметричный тензор второго ранга, компоненты которого определяют инерционные свойства твердого тела по отношению к вращательному движению. Траектория – след движущейся точки в пространстве. Уравнения движения – уравнения, определяющие положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Ускорение – векторная величина, численно равная изменению скорости в единицу времени. Ускорение нормальное – ускорение, перпендикулярное скорости, равное центростремительному ускорению при движении точки с данной скоростью по соприкасающейся с траекторией окружности. Центрально-симметричное поле – поле, в котором потенциальная энергия материальной точки зависит только от расстояния r до некоторого центра «O». Энергия – способность тела или системы тел совершать работу. 10 1. ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ (ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА) 1.1. Структура раздела «traces» «facade» Прямая и обратная задачи динамики «facade» Описание движения материальной точки «traces» «traces» «traces» «facade» Закон сохранения импульса «facade» Естественное уравнение кривой «traces» «facade» Контрольная работа «traces» «facade» Тесты итогового контроля «facade» Закон сохранения энергии «traces» «traces» «facade» Векторная алгебра «traces» «traces» «facade» Закон сохранения момента импульса Рисунок 1 – Основные элементы раздела 1.2. Описание движения материальной точки Механическое движение определяется как изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Это определение ставит две задачи: 1) выбор метода, с помощью которого можно было бы отличить одну точку пространства от другой; 2) выбор тела, относительно которого определяется положение других тел. 11 1.2.1. Декартова система координат Первая задача ассоциируется с выбором системы координат. В трехмерном пространстве каждой точке пространства ставятся в соответствие три числа, называемые координатами точки. Наиболее наглядными являются прямоугольные ортогональные координаты, которые принято называть декартовыми (по имени французского ученого Рене Декарта). 1 Рене Декарт первым ввел понятие масштаба, которое и лежит в основе построения декартовой системы координат. В некоторой точке трехмерного пространства строятся три взаимно ортогональных, одинаковых по величине вектора i , j , k , которые одновременно являются масштабными единицами, т.е. их длина (модуль) по определению равен единице измерения. Вдоль этих векторов направляются числовые оси, точки на которых ставятся в соответствие точкам пространства путем «проецирования» – проведения перпендикуляра от точки до числовой оси, как это показано на рисунке 1. Операция проецирования в декартовых координатах приводит к сложению векторов ix, jy и kz по правилу параллелограмма, который в данном случае вырождается в прямоугольник. В результате положение точки в пространстве можно определять с помощью вектора r = ix + jy + kz , называемого «радиус-вектором», т.к. в отличие от других векторов начало этого вектора всегда совпадает с началом координат. Изменение положения точки в пространстве с течением времени приводит к появлению зависимости от времени координат точки x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Латинизированное имя Рене Декарта – Картезий (Cartesius), поэтому в литературе можно встретить название «картезианские координаты». 12 и радиус-вектора r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Эти функциональные соотношения носят название уравнений движения в координатной и векторной формах, соответственно z kz k r jy i y j ix x Рисунок 2 – Декартова система координат Скорость и ускорение точки определяются как первая и вторая производные по времени от радиус-вектора v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Везде в дальнейшем точка и двойная точка над обозначением некоторой величины будет обозначать первую и вторую производную от этой величины по времени. 1.2.2. Естественный способ описания движения точки. Сопровождающий трехгранник Уравнение r = r (t) называют обычно уравнением кривой в параметрической форме. В случае уравнений движения параметром является время. Так как всякое движение 13 происходит вдоль некоторой кривой, называемой траекторией, то с этим движением связывается и отрезок траектории (путь) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 являющийся монотонной функцией времени. Путь, пройденный телом, можно рассматривать как новый параметр, который принято называть «естественным» или «каноническим» параметром. Соответствующее уравнение кривой r = r (s) называется уравнением в канонической или естественной параметризации. τ m n Рисунок 3 – Сопровождающий трехгранник Вектор dr ds представляет собой вектор, касательный к траектории (рисунок 3), длина которого равна единице, т.к. dr = ds . Из τ= 14 dτ перпендикуляds рен вектору τ , т.е. направлен по нормали к траектории. Чтобы выяснить физический (а, точнее, как мы увидим позже, геометрический) смысл этого вектора, перейдем к дифференцированию по параметру t, рассматривая его как время. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Последнее из этих соотношений можно переписать следующим образом a 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 условия τ 2 = 1 следует, что вектор τ′ = где v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – вектор полноdt 2 го ускорения. Т. к. полное ускорение равно сумме нормального (центростремительного) и касательного ускорений, то рассматриваемый нами вектор равен вектору нормального ускорения, деленному на квадрат скорости. При движении по окружности нормальное ускорение равно – касательное ускорение, а вектор a = an = n v2 , R где n – вектор нормали к окружности, а R – радиус окружности. Отсюда следует, что вектор τ′ можно представить в виде τ′ = Kn , 1 где K = – кривизна кривой – величина, обратная радиуR су соприкасающейся окружности. Соприкасающейся окружностью называется кривая, имеющая с данной кривой 15 соприкосновение второго порядка. Это значит, что, ограничиваясь в разложении уравнения кривой в степенной ряд в некоторой точке бесконечно малыми второго порядка, мы не сможем отличить данную кривую от окружности. Вектор n иногда называют вектором главной нормали. Из касательного вектора τ и вектора нормали можно построить вектор бинормали m = [ τ, n ] . Три вектора τ , n и m образуют правую тройку – сопровождающий трехгранник, с которым можно связать сопутствующую точке декартову систему координат, как это показано на рисунке 3. 1.3. Прямая и обратная задачи динамики В 1632 году был открыт Галилео Галилеем, а затем в 1687 году сформулирован Исааком Ньютоном закон, перевернувший взгляды философов на методы описания движения: «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят изменить его это состояние». 1 Значение этого открытия трудно переоценить. До Галилея философы считали, что основной характеристикой движения является скорость, и, чтобы тело двигалось с постоянной скоростью, необходимо прикладывать постоянную силу. В самом деле, опыт, кажется, свидетельствует именно об этом: прикладываем силу – тело движется, престали прикладывать – тело остановилось. И только Галилей заметил, что, прикладывая силу, мы на самом деле только уравновешиваем, действующую в реальных условиях на Земле помимо нашего желания (а часто и наблюдения) силу трения. Следовательно, сила нужна не для того, чтобы поддерживать скорость постоянной, а для того, чтобы изменять ее, т.е. сообщать ускорение. 1 И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. 16 Правда в условиях Земли реализовать наблюдение за телом, на которое не действовали бы другие тела, невозможно, поэтому механика вынуждена постулировать существование специальных систем отсчета (инерциальных), в которых и должен выполняться первый закон Ньютона (Галилея).1 Математическая формулировка первого закона Ньютона требует дополнения утверждения пропорциональности силы ускорению утверждением их параллельности как величин векторных?какой F ∼W ⎫ F скаляр ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ где Δv d v d dr = = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Опыт подсказывает нам, что скалярным коэффициентом может быть величина, которую принято называть массой тела. Таким образом, математическое выражение первого закона Ньютона с учетом дополнения его новыми постулатами принимает вид F = mW , 1 Вот только с какими реальными телами можно было бы связать такую систему отсчета до сих пор не ясно. Гипотеза эфира (см. «Теория относительности») могла бы решить эту проблему, но отрицательный результат опыта Майкельсона исключил такую возможность. Тем не менее, механика нуждается в таких системах отсчета и постулирует их существование. 17 который известен как второй закон Ньютона. Так как ускорение определено для данного конкретного тела, на которое может действовать несколько сил, то второй закон Ньютона удобно записывать в форме n mr = ∑ Fa = F (t , r (t), r (t)) . a =1 Сила в общем случае при этом рассматривается как функция координат, скоростей и времени. От времени эта функция зависит как явно, так и неявно. Неявная зависимость от времени означает, что сила может изменяться вследствие изменения координат (сила зависит от координат) и скорости (сила зависит от скорости) движущегося тела. Явная же зависимость от времени говорит о том, что, если тело покоится в данной фиксированной точке пространства, то сила все равно изменяется с течением времени. Второй закон Ньютона с точки зрения математики порождает две задачи, связанные с двумя взаимно обратными математическими операциями: дифференцирования и интегрирования. 1. Прямая задача динамики: по заданным уравнениям движения r = r (t) определить силы, действующие на материальную точку. Эта задача является задачей фундаментальной физики, ее решение направлено на поиск новых законов и закономерностей, описывающих взаимодействие тел. Примером решения прямой задачи динамики является формулировка И. Ньютоном закона всемирного тяготения на основе эмпирических законов Кеплера, описывающих наблюдаемое движение планет Солнечной системы (см. раздел 2). 2. Обратная задача динамики: по заданным силам (известным функциям координат, времени и скорости) найти уравнения движения материальной точки. Это задача прикладной физики. С точки зрения этой задачи второй 18 закон Ньютона представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка d 2r m 2 = F (t , r (t), r (t)) , (1.1) dt решения которых являются функциями времени и постоянных интегрирования. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Чтобы из бесконечного множества решений выбрать решение, соответствующее конкретному движению, необходимо систему дифференциальных уравнений дополнить начальными условиями (задача Коши) – задать в некоторый момент времени (t = 0) значения координат и скоростей точки: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0). ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Замечание 1. В законах И. Ньютона сила понимается как величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого тела деформируются, или приобретают ускорение. Однако часто бывает удобно свести задачу динамики к задаче статики, введя, как это сделал Даламбер (D’Alambert) в своем «Рассуждении об общей причине ветров» (1744 г.), силу инерции, равную произведению массы тела на ускорение системы отсчета, в которой рассматривается данное тело. Формально это выглядит как перенос правой части второго закона И. Нью19 тона в левую часть и присвоение этой части имени «сила инерции» F + (− mW) = 0, или F + Fин = 0 . Получившаяся в результате сила инерции, очевидно, не удовлетворяет определению силы, данному выше. В связи с этим силы инерции часто называют «фиктивными силами», понимая при этом, что как силы они воспринимаются и измеряются только неинерциальным наблюдателем, связанным с ускоренно движущейся системой отсчета. Следует, однако, подчеркнуть, что для неинерциального наблюдателя силы инерции воспринимаются как реально действующие на все тела системы отсчета силы. Именно наличием этих сил «объясняется» равновесие (невесомость) тел в постоянно падающем спутнике планеты и (частично) зависимость ускорения свободного падения на Земле от широты местности. Замечание 2. Со вторым законом Ньютона как системой дифференциальных уравнений второго порядка связана также задача однократного интегрирования этих уравнений. Полученные таким образом величины носят названия интегралы движения и самыми важными являются два, связанных с ними обстоятельства: 1) эти величины являются аддитивными (addition – сложение), т.е. такая величина для механической системы представляет собой сумму соответствующих величин для отдельных ее частей; 2) при определенных физически понятных условиях эти величины не изменяются, т.е. сохраняются, выражая тем самым, законы сохранения в механике. 20 1.4. Вывод закона сохранения импульса из основного дифференциального уравнения динамики Рассмотрим систему N материальных точек. Пусть «a» – номер точки. Запишем для каждой точки «a» II закон Ньютона dv (1.2) ma a = Fa , dt где Fa – результирующая всех сил, действующих на точку «a». Учитывая, что ma = const, умножая на dt, складывая все N уравнений (1.2) и интегрируя в границах от t до t + Δt, получим N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = где v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) – скорость точки «a» в момент времени t, а ua = ra (t + Δt) – скорость точки «a» в момент времени t + Δt. Представим далее силы, действующие на точку «a» в виде суммы внешних Faex (exterior – внешний) и внутренних Fain (interior – внутренний) сил Fa = Fain + Faex . Внутренними мы будем называть силы взаимодействия точки «a» с другими точками, включенными нами в СИСТЕМУ, внешними – с точками, не включенными нами в систему. Покажем, что сумма внутренних сил обращается в нуль в силу третьего закона Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению Fab = − Fab , если точки «a» и «b» принадлежат СИСТЕМЕ. В самом деле, сила, действующая на точку «a» со стороны других точек системы, равна 21 N Fain = ∑ Fab . b =1 Тогда N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Таким образом, сумма всех сил, действующих на систему материальных точек, вырождается в сумму только внешних сил. В результате получаем N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) – изменение импульса системы материальных точек равно импульсу внешних сил, действующих на систему. Система называется замкнутой, если на нее не дейстN вуют внешние силы ∑F a =1 = 0 . В этом случае импульс ex a системы не изменяется (сохраняется) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Обычно именно это утверждение трактуют как закон сохранения импульса. Однако и в обыденной речи под сохранением чего-то мы понимаем не утверждение неизменяемости содержания этого чего-то в чем-то другом, а понимание того, во что превратилось это исходное что-то. Если деньги потрачены на приобретение полезной вещи, то они не исчезли, а преобразились в эту вещь. А вот если их покупательная способность сократилась вследствие инфляции, то проследить цепочку превращений оказывается весьма сложно, что и создает ощущение не сохранения. Результат измерения импульса, как и всякой кинематической величины, зависит от системы отсчета, в которой производятся измерения (расположены физические приборы, измеряющие эту величину). 22 Классическая (нерелятивистская) механика, сравнивая результаты измерений кинематических величин в разных системах отсчета, молчаливо исходит из предположения, что понятие одновременности событий не зависит от системы отсчета. В силу этого соотношение между координатами, скоростями и ускорениями точки, измеряемыми неподвижным и движущимся наблюдателем, являются геометрическими соотношениями (рисунок 4) dr du Скорость u = = r и ускорение W = = u , измеdt dt ряемые наблюдателем K принято называть абсолютными dr ′ скоростью и ускорением. Скорость u′ = = r ′ и ускореdt du′ ние W ′ = = u ′ , измеряемые наблюдателем K′ – относиdt тельными скоростью и ускорением. А скорость V и ускорение A системы отсчета – переносными. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Рисунок 4 – Сравнение измеряемых величин Используя закон преобразования скорости, который часто называют теоремой сложения скоростей Галилея, получим для импульса системы материальных точек, измеренного в системах отсчета K и K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Система отсчета, в которой импульс механической системы равен нулю 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a называется системой центра масс или центра инерции. Очевидно, что скорость такой системы отсчета равна N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Так как в отсутствие внешних сил импульс механической системы не изменяется, то и скорость системы центра масс также не изменяется. Интегрируя (1.5) по времени, воспользовавшись произвольностью выбора начала координат (постоянную интегрирования полагаем равной нулю), приходим к определению центра масс (центра инерции) механической системы N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1.6) a 1.5. Вывод закона сохранения энергии из основного дифференциального уравнения динамики Рассмотрим систему N материальных точек. Запишем для каждой точки «a» II закон Ньютона (1.2) и умножим dr обе части скалярно на скорость точки va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ После преобразований, умножая обе части на dt, интегрируя в границах от t1 до t2 и полагая, что ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1) , ua = va (t2) , получаем 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra Далее представим силу Fa в виде суммы потенциальных и диссипативных сил Fa = Faпот + Faд. Диссипативными (dissipation – рассеяние) называются силы, приводящие к рассеянию механической энергии, т.е. переходу ее в другие виды энергии. Потенциальными называются силы, работа которых по замкнутому контуру равна нулю. A = ∫ (Faпот, dra) = 0 . (1.8) L Покажем, что потенциальное поле является градиентным, т.е. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Faпот = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa В самом деле, в соответствие с теоремой Стокса можно записать пот пот ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa , ds) , L S где S – поверхность, натянутая на контур L рисунок 5. S L Рисунок 5 – Контур и поверхность Теорема Стокса приводит к доказательству справедливости (1.9) в силу очевидного соотношения rot Faпот = ⎣⎡∇, Faпот ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 т.е., если векторное поле выражается через градиент скалярной функции, то его работа по замкнутому контуру с необходимостью равна нулю. Справедливо и обратное утверждение: если циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна нулю, то всегда можно найти соответствующее скалярное поле, градиентом которого является данное векторное поле. С учетом (1.9) соотношение (1.7) можно представить в виде R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Всего мы имеем N таких уравнений. Складывая все эти уравнения, получим закон сохранения энергии в классической механике 1: изменение полной механической энергии системы равно работе диссипативных сил ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + Π a (ra) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () Если диссипативные силы отсутствуют, полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия механической системы не изменяется (“консервируется”) и система называется консервативной. 1.6. Вывод закона сохранения момента импульса из основного дифференциального уравнения динамики Рассмотрим систему N материальных точек. Запишем для каждой точки «a» II закон Ньютона (1.2) и умножим обе части слева векторно на радиус-вектор точки ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Такое представление о превращениях механической энергии оказывается адекватным объективной реальности лишь до тех пор, пока мы рассматриваем явления, не сопровождающиеся превращением вещественной материи в полевую и обратно. 26 Величина K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) называется моментом силы Fa относительно начала координат. В силу очевидного соотношения d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎥ dt dt ⎦ ⎣ dt dt ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ d ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = Ka . dt Как и прежде число таких уравнений – N, и складывая их, получим dM =K, (1.12) dt где аддитивная величина N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 называется моментом импульса механической системы. Если момент сил, действующих на систему, равен нулю, то момент импульса системы сохраняется N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Интегралы движения Рассмотренные в пунктах 1.4–1.6 сохраняющиеся при определенных условиях величины: импульс, энергия и момент импульса получены в результате однократного интегрирования основного дифференциального уравнения динамики – уравнения движения, т.е. являются первыми интегралами дифференциальных уравнений второго порядка. В силу этого все эти физические величины принято называть интегралами движения. Позже в разделе, посвященном изучению уравнений Лагранжа второго рода (уравнения, в которые преобразу27 ется второй закон Ньютона в конфигурационном пространстве) мы покажем, что интегралы движения можно рассматривать как следствия свойств ньютоновского пространства и времени. Закон сохранения энергии является следствием однородности временной шкалы. Закон сохранения импульса вытекает из однородности пространства, а закон сохранения момента импульса – из изотропии пространства. 1.8. Движение в неинерциальных системах отсчета 1.9. Контрольное задание 1.9.1. Пример решения задачи Найти уравнения движения точки под действием силы притяжения к центру С1 и силы отталкивания о центра С2, пропорциональных расстояниям до центров. Коэффициенты пропорциональности равны соответственно k1m и k2m, где m – масса точки М. Координаты центров в произвольный момент времени определяются соотношениями: X1(t) = aсosωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. В начальный момент времени точка имела координаты x = a; y = 0; z=0 и скорость с компонентами vx = vy = vz =0. Решить задачу при условии k1 > k2. Движение материальной точки под действие двух сил F1 и F 2 (рисунок 5) определяется основным дифференциальным уравнением динамики – вторым законом Ньютона: mr = F1 + F2 , где две точки над символом означают повторное дифференцирование по времени. По условию задачи силы F1 и F2 определяются соотношениями: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2 . Искомой величиной является радиус-вектор точки М, поэтому векторы r1 и r2 следует выразить через радиусвектор и известные векторы R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k ch λt и R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k ch λt , где i , j , k – векторы базиса декартовой системы координат. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 “О” – начало координат, R1 и R2 – радиусы-векторы притягивающего и отталкивающего центров, r – радиус-вектор точки М, r1 и r2 – векторы, определяющие положение точки М относительно центров. Рисунок 6 – Точка M в поле двух центров Из рисунка 6 получаем r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Подставляя все эти соотношения во второй закон Ньютона, и деля обе части уравнения на массу т, получим неодно29 родное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Так как по условию задачи k1 > k2, то имеет смысл ввести обозначение – положительную величину k2 = k1 – k2. Тогда полученное дифференциальное уравнение принимает вид: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt . Решение этого уравнения следует искать в виде суммы общего решения ro однородного уравнения ro + k 2 ro = 0 и частного решения rч неоднородного уравнения r = ro + rч. Для построения общего решения составляем характеристическое уравнение λ2 + k2 = 0, корни которого являются мнимыми: λ1,2 = ± ik, где i = −1 . В силу этого общее решение однородного уравнения следует записать в виде r = A cos kt + B sin kt , где А и B векторные постоянные интегрирования. Частное решение можно найти по виду правой части, введя неопределенные коэффициенты α1 , α 2 , α 3 rч = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt , rч = −ω2α1 cos ωt − ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Подставляя это решение в неоднородное уравнение, и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях времени в левой и правой частях уравнений, получим систему уравнений, определяющую неопределенные коэффициенты: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2 . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k ch λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которые можно записать в векторной форме: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . Для определения постоянных интегрирования необходимо знать скорость точки в произвольный момент времени ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sh λt. k + λ2 Подставив в найденное решение начальные условия, получим (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Найдем отсюда постоянные интегрирования и подставим их в уравнение в уравнения движения k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Это выражение представляет собой искомые уравнения движения в векторной форме. Эти уравнения движения, как и весь процесс их поиска можно записать в проекциях на оси декартовой системы координат. + 1.9.2. Варианты контрольных заданий Найти уравнения движения материальной точки под действием силы притяжения к центру О1 и силы отталкивания от центра О2. Силы пропорциональны расстояниям до центров, коэффициенты пропорциональности равны k1m и k2m, соответственно, где т – масса точки. Координаты 31 центров, начальные условия и условия, накладываемые на коэффициенты, приведены в таблице. В первой колонке указан номер варианта. В нечетных вариантах считать k1 > k2, в нечетных – k2 > k1. Варианты контрольных заданий приведены в таблице 1. Во втором и третьем столбцах приведены координаты притягивающего и отталкивающего центра в произвольный момент времени t. Последние шесть столбцов определяют начальные координаты материальной точки и компоненты ее начальной скорости, необходимые для определения постоянных интегрирования. Таблица 1. Варианты контрольной работы 1. Величины а, b, c, R, λ и ω – постоянные величины Вариант 1 1 Координаты центра О1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + ch λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt ; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Начальные значения Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Координаты центра О2 Y2 = Y1 + ash λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Продолжение таблицы 1 1 6 7 2 X 1 = ash λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct ; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = ash λt ; X 2 = X 1 + RCosωt ; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt . 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = ach λt ; Z1 = ash λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X 2 = X1 ; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = ash λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 . X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Окончание таблицы 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = ash λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 . X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt . Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + ash λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = a sin ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X 2 ; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = ashλt ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 а 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = ashλt ; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 а a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Литература к контрольному заданию 1. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986. С. 202. (Задачи № 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М., 1974. С. 43 – 63. 34 1.10. Тесты итогового контроля (экзамена) 1.10.1. Поле A А.1.1. Основное дифференциальное уравнение динамики материальной точки имеет вид … А.1.2. Решить прямую задачу динамики – это значит … А1.3. Решить обратную задачу динамики – это значит … А.1.5. Сумма внутренних сил, действующих на систему материальных точек, обращается в нуль в силу... А.1.6. Импульс силы – это … А.1.7. Системой центра инерции называется система отсчета, в которой А.1.8. Центр масс это … А.1.9. Координаты центра масс определяются формулой А.1.10. Скорость системы центра инерции определяется формулой … А.1.11. Закон сохранения импульса системы материальных точек в наиболее общей его форме записывается в виде … А.1.12. Потенциальное силовое поле определяется соотношением … (основное определение) А.1.13. Потенциальное силовое поле определяется соотношением … (следствие основного определения) А.1.14. Если поле F – потенциальное, то … А.1.15. Моментом импульса системы материальных точек называется величина … А.1.16. Момент сил, действующих на механическую систему можно определить соотношением … А.1.17. Если момент сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то сохраняется … А.1.18. Если сумма внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то сохраняется … А.1.19. Если на механическую систему не действуют диссипативные силы, то сохраняется … А.1.20. Механическая система называется замкнутой, если 35 1.10.2. Поле B ua B.1.1. Результатом вычисления интеграла ∑ ∫ d (m d v) a a a va является выражение … B.1.2. Импульс механической системы в системе отсчета K связан с импульсом движущейся относительно нее со скоростью V системы отсчета K′ соотношением … B.1.3. Если F = −∇Π , то … B.1.4. Работа силы F = −∇Π по замкнутому контуру обращается в нуль в силу … d va2 B1.5. Производная по времени равна … dt B.1.6. Производная по времени от момента импульса d равна … dt 1.10.3. Поле C С.1.1. Если точка массой m движется так, что в момент времени t ее координаты равны x = x(t), y = y(t), z = z (t) , то на нее действует сила F , компонента Fx (Fy, Fz) которой равна … С.1.2. Если точка движется под действием силы kmr и, если при t = 0 она имела координаты (м) {x0, y0, z0} и скорость (м/с) {Vx, Vy, Vz}, то в момент t = t1 c ее координата x будет равна …(м) С.1.3. В вершинах прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и c расположены точечные массы m1, m2, m3 и m4. Найдите координату (xc, yc, zc) центра инерции. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Рисунок 7 – К заданию С.1.3 С.1.4. Плотность стержня длиной изменяется по закону ρ = ρ(x). Центр масс такого стержня находится от начала координат на расстоянии … С.1.5. Сила F = {Fx , Fy , Fz } приложена к точке с координатами x = a, y = b, z = c. Проекции момента этой силы относительно начала координат равны … 37 2. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОСИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 2.1. Структура раздела «uses» Скорость и ускорение в криволинейных координатах Тензорный анализ «traces» «uses» Интегралы движения ОУД «traces» «uses» Секторная скорость Векторное произведение «traces» «uses» Уравнение траектории Определенный интеграл «traces» «uses» «uses» Формула Резерфорда Стерадиан Рисунок 8 – Структура раздела «центрально-симметричное поле 38 2.2. Понятие центрально-симметричного поля Назовем центрально-симметричным такое поле, в котором потенциальная энергия материальной точки зависит только от расстояния r до некоторого центра “O”. Если в точке “O” поместить начало декартовой системы координат, то таким расстоянием будет модуль радиус-вектора точки, т.е. П = П(r), r = x 2 + y 2 + z 2 . В соответствии с определением потенциального поля на точку действует сила ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er . ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r В таком поле эквипотенциальные поверхности П(r) = const совпадают с координатными поверхностями r = const в сферических координатах. Сила (2.1), которая в декартовых координатах имеет три отличные от нуля компоненты, в сферических координатах имеет только одну не нулевую компоненту – проекцию на вектор базиса er . Все вышесказанное заставляет обратиться к сферическим координатам, симметрия которых совпадает с симметрией физического поля. Сферические координаты являются частным случаем ортогональных криволинейных координат. 2.3. Скорость в криволинейных координатах Пусть xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) – декартовы координаты, а ξ = ξi(xk) – криволинейные координаты – взаимно однозначные функции декартовых координат. По определению вектор скорости dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt где векторы ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 образуют так называемый координатный (или голономный, или интегрируемый) базис. Квадрат вектора скорости равен v 2 = (ei , e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j . Величины ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j j j ⎝ ∂ξ ∂ξ ⎠ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ представляют собой ковариантные компоненты метрического тензора. Кинетическая энергия материальной точки в криволинейных координатах принимает вид mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. Ускорение в криволинейных координатах В криволинейных координатах от времени зависят не только координаты движущейся точки, но и векторы движущегося вместе с ней базиса, коэффициенты разложения по которым являются измеряемыми компонентами скорости и ускорения. В силу этого в криволинейных координатах дифференцированию подлежат не только координаты точки, но и векторы базиса dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt По правилу дифференцирования сложной функции dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Производная от вектора по координате также является век∂ei тором, поэтому каждый из девяти векторов может ∂ξ j быть разложен по векторам базиса ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Коэффициенты разложения Γijk называются коэффициентами аффинной связности. Пространства, в которых коэффициенты аффинной связности определены, называются пространствами аффинной связности. Пространства, в которых коэффициенты аффинной связности равны нулю, называются аффинными пространствами. В аффинном пространстве в самом общем случае могут быть введены только прямолинейные косоугольные координаты с произвольными масштабами вдоль каждой из осей. Векторы базиса в таком пространстве одинаковы во всех его точках. Если выбран координатный базис (2.3), то коэффициенты аффинной связности оказываются симметричными по нижним индексам и в этом случае они называются символами Кристоффеля. Символы Кристоффеля могут быть выражены через компоненты метрического тензора и их производные по координатам ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Величины gij представляют собой контравариантные компоненты метрического тензора – элементы матрицы, обратной gij. Коэффициенты разложения вектора ускорения по векторам основного базиса Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt представляют собой контравариантные компоненты вектора ускорения. 2.5. Скорость и ускорение в сферических координатах Сферические координаты ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ связаны с декартовыми координатами x, y и z следующими соотношениями (рисунок 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ. 41 z θ у r ϕ х х Рисунок 9 – Связь декартовых координат х, у, z со сферическими координатами r, θ, ϕ. Компоненты метрического тензора найдем, подставив эти соотношения в выражение (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ g11 = 1 1 + 1 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g 22 = 2 2 + 2 2 + 2 2 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r2; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю, т.к. сферические координаты – ортогональные кри42 волинейные координаты. В этом можно убедиться путем непосредственных вычислений или путем построения касательных к координатным линиям базисных векторов (рисунок 10). er eϕ θ eθ Рисунок 10 – Координатные линии и базисные векторы в сферических координатах Помимо основного и взаимного базисов часто используется так называемый физический базис – единичные векторы, касательные к координатным линиям. В этом базисе физическая размерность компонент вектора, которые также принято называть физическими, совпадает с размерностью его модуля, что и обуславливает название базиса. Подставляя полученные компоненты метрического тензора в (2.5), получим выражение для кинетической энергии материальной точки в сферических координатах 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 . 2 2 Так как сферические координаты отражают симметрию центрально-симметричного поля, то выражение (2.10) используется для описания движения материальной точки в центрально симметричном поле. () 43 Чтобы найти контравариантные компоненты ускорения по формуле (2.9) необходимо сначала найти контравариантные компоненты метрического тензора как элементы матрицы, обратной матрице gij, а затем символы Кристоффеля по формулам (2.8). Так как в ортогональных координатах матрица gij диагональная, то элементы обратной ей матрицы (также диагональной) просто обратны элементам gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Выясним сначала, какие из символов Кристоффеля будут отличными от нуля. Для этого запишем соотношение (2.8), положив верхний индекс равным 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Так как недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю, а компонента g11 = 1 (постоянна), то последние два слагаемых в скобках обращаются в нуль, а первое слагаемое будет отличным от нуля для i = j = 2 и i = j = 3. Таким образом, среди символов Кристоффеля с индексом 1 вверху отличными от нуля будут только Γ122 и Γ133 . Аналогично находим отличные от нуля символы Кристоффеля с индексами 2 и 3 вверху. Всего отличных от нуля символов Кристоффеля оказывается 6: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Подставляя эти соотношения в выражение (1.3), получим контравариантные компоненты ускорения в сферических координатах: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θϕ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θϕ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Уравнения движения в центральносимметричном поле В сферических координатах вектор силы имеет лишь одну отличную от нуля компоненту d Π (r) (2.13) Fr = − dr В силу этого второй закон Ньютона для материальной точки принимает вид d Π (r) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θϕ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ = 0 r Уравнение (2.15) имеет два частных решения ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Первое из этих решений противоречит условию, накладываемому на криволинейные координаты, при θ = 0 якобиан преобразований обращается в нуль J = g = r 2 sin θ = 0 () θ= 0 С учетом второго решения (2.17) уравнения (2.14) и (2.16) принимают вид d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Уравнение (2.19) допускает разделение переменных d ϕ dr = r ϕ и первый интеграл r 2ϕ = C , (2.20) где С – постоянная интегрирования. В следующем пункте будет показано, что эта постоянная представляет собой удвоенную секторную скорость, и, следовательно, сам интеграл (2.20) – второй закон Кеплера или интеграл площадей. Чтобы найти первый интеграл уравнения (2.18), подставим в (2.18) соотношение (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ и разделим переменные dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr В результате интегрирования получаем ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 т.е. закон сохранения механической энергии, в чем нетрудно убедиться, подставив (2.17) и (2.20) в (2.10). 2.7. Секторная скорость и секторное ускорение Секторная скорость – величина, численно равная площади, выметаемой радиус-вектором точки в единицу времени dS σ= . dt Как видно из рисунка 11 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 а секторная скорость определится соотношением 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 В случае плоского движения в цилиндрических координатах r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) принимает вид i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Рисунок 11 – Площадь, выметаемая радиус-вектором Таким образом, постоянная интегрирования C представляет собой удвоенную секторную скорость. Вычисляя производную по времени от выражения (2.22), получим секторное ускорение 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ Согласно второму закону Ньютона выражение (2.24) представляет собой половину момента силы, деленному на массу и обращение этого момента в нуль приводит к сохранению момента импульса (см. п. 1.2). Секторная же скорость – это половина момента импульса, деленного на массу. Иначе говоря, первые интегралы уравнений движения в центрально симметричном поле можно было бы записать, не интегрируя явно дифференциальные уравнения движения, исходя только из того, что 1) движение происходит в отсутствие диссипативных сил; 2) момент сил 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m обращается в нуль. σ= 2.8. Уравнение движения материальной точки в поле тяжести и кулоновском поле 2.8.1. Эффективная энергия Переменные в соотношении (2.21) легко разделяются dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ и полученное соотношение (2.26) можно проанализировать. В случаях кулоновского и гравитационного полей потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию до центра α ⎧α > 0 − силы притяжения; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α < 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Полная энергия точки, находящейся на поверхности планеты массой M и радиусом R определится соотношением mv 2 GMm α2 − = − . E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Траектория точки – гипербола. Полная энергия точки больше нуля. 2.9. Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Приведенная масса Рассмотрим задачу движения двух тел под действием силы взаимодействия только друг с другом (рисунок 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – начало координат; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел Рисунок 14 – Задача двух тел Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ (2.35) Для вектора r имеем r = r2 − r1 . (2.36) Поставим задачу, выразить векторы r1 и r2 через вектор r . Одного уравнения (2.36) для этого недостаточно. Неоднозначность определения этих векторов обусловлена произвольностью выбора начала координат. Не ограничивая каким-либо образом этот выбор, невозможно единственным образом выразить векторы r1 и r2 через вектор r . Так как положение начала координат должно определяться только положением этих двух тел, то его имеет смысл совместить с центром масс (центром инерции) системы, т.е. положить m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Выражая с помощью (2.37) вектор r2 через вектор r1 и подставляя в (2.36), получим m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Подставляя эти соотношения в (2.35) вместо двух уравнений получим одно mr = F (r) , где введена величина m, называемая приведенной массой mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Таким образом, задача движения двух тел в поле взаимного действия друг на друга сводится к задаче движения точки с приведенной массой в центрально-симметричном поле в системе центра инерции. 53 2.10. Формула Резерфорда В соответствии с результатами предыдущего пункта задача столкновения двух частиц и их последующего движения может быть сведена к движению частицы в центральном поле неподвижного центра. Эта задача была рассмотрена Э. Резерфордом для объяснения результатов опыта по рассеянию α-частиц атомами вещества (рисунок 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Рисунок 15 – rm ϕ ϕ χ Рассеяние α-частицы неподвижным атомом Траектория отклоняемой атомом частицы должна быть симметрична относительно перпендикуляра к траектории, опущенного из рассеивающего центра (биссектрисы угла, образуемого асимптотами). В этот момент частица оказывается на наименьшем расстоянии rm от центра. расстояние, на котором находится источник α-частиц намного больше rm, поэтому можно считать, что частица движется из бесконечности. Скорость этой частицы на бесконечности обозначена на рисунке 15 V∞ . Расстояние ρ линии вектора скорости V∞ от параллельной ей линии, проходящей через рассеивающий центр, называется прицельным расстоянием. Угол χ, образуемый асимптотой траектории рассеянной частицы с линией центра (одновременно – поляр54 ной осью полярной системы координат), называется углом рассеяния. Особенность эксперимента состоит в том, что прицельное расстояние в принципе не может быть определено в ходе эксперимента. Результатом же измерений может быть только число dN частиц, углы рассеяния которых принадлежат некоторому интервалу [χ,χ + dχ]. Не может быть определено и число падающих в единицу времени N частиц N, и плотность их потока n = (S – площадь попеS речного сечения падающего пучка). В силу этого в качестве характеристики рассеяния рассматривается так называемое эффективное сечение рассеяния dσ, определяемого формулой (2.39) dN . (2.39) dσ = n Полученное в результате простого расчета выражение dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ не зависит от плотности потока падающих частиц, но все еще зависит от прицельного расстояния. Не трудно видеть, что угол рассеяния является монотонной (монотонно убывающей) функцией прицельного расстояния, что позволяет эффективное сечение рассеяния выразить следующим образом: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ < 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным линейным уравнениям второго порядка, либо с помощью вспомогательной комплексной переменной ω = ω1 + iω2. Умножая второе из этих уравнений на i = −1 и складывая с первым для комплексной величины ω получим уравнение dω = iΩω, dt решение которого имеет вид ω = AeiΩt, где A – постоянная интегрирования. Приравнивая действительную и мнимую части, получим ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. Проекция вектора угловой скорости на плоскость, перпендикулярную оси симметрии волчка ω⊥ = ω12 + ω22 = const , оставаясь постоянной по величине, описывает вокруг оси x3 окружность с угловой скоростью (3.26), называемой угловой скоростью прецессии. 3.10. Углы Эйлера Теорема Эйлера: Произвольное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки можно осуществить 82 тремя последовательными поворотами вокруг трех осей, проходящих через неподвижную точку. Доказательство. Предположим, что конечное положение тела задано и определяется положением системы координат Oξηζ (рисунок 25). Рассмотрим прямую ON пересечения плоскостей Оху и Oξηζ. Эта прямая называется линией узлов. Выберем на линии узлов ON положительное направление так, чтобы кратчайший переход от оси Oz к оси Oζ, определялся бы в положительном направлении (против направления хода часовой стрелки), если смотреть со стороны положительного направления линии узлов. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Рисунок 25 – Углы Эйлера Первый поворот на угол ϕ (угол между положительными направлениями оси Ох и линии узлов ON) производим вокруг оси Oz. После первого поворота ось Oξ, которая в начальный момент времени совпадала с осью Ох, будет совпадать с линией узлов ON, ось Oη – с прямой Oy". Второй поворот на угол θ производим вокруг линии узлов. После второго поворота плоскость Oξη совместится со своим конечным положением. Ось Oξ при этом попрежнему будет совпадать с линией узлов ON, ось Oη – с 83 прямой Oy″. Co своим конечным положением совместится ось Oζ. Третий (последний) поворот производим вокруг оси Oζ на угол ψ. После третьего поворота оси подвижной системы координат займут свое конечное, наперед заданное положение. Теорема доказана. Из сказанного выше видно, что углы ϕ, θ и ψ определяют положение тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Эти углы называются: ϕ – угол прецессии, θ – угол нутации и ψ – угол собственного вращения. Очевидно, каждому моменту времени соответствует определенное положение тела и определенные значения углов Эйлера. Следовательно, углы Эйлера являются функциями времени ϕ = ϕ(t), θ = θ(t), и ψ = ψ(t). Эти функциональные зависимости называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки, так как они определяют закон его движения. Чтобы иметь возможность записать любой вектор во вращающейся системе координат, необходимо выразить векторы базиса покоящейся системы координат i , j , k через векторы e1 , e2 , e3 вращающейся системы координат, вмороженной в твердое тело. С этой целью введем три вспомогательных вектора. Обозначим единичный вектор линии узлов через n . Построим два вспомогательных координатных триэдра: n , n1 , k и n , n 2 , k , ориентированные как правые системы координат (рисунок 22), причем вектор n1 лежит в плоскости Оху, а вектор n 2 – в плоскости Oξη. Выразим единичные векторы покоящейся системы координат через эти вспомогательные векторы 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Вспомогательные векторы в свою очередь можно легко выразить через векторы вращающейся системы координат n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Подставляя (3.27) в (3.28), получим окончательную связь векторов базиса покоящейся системы координат с базисными векторами вращающейся системы координат i = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) cos ϕ − −[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Эти преобразования можно записать в матричной форме L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 Матрица поворотов определяется элементами L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Тогда компоненты произвольного вектора угловой скорости вращения вокруг общего начала координат можно выразить через компоненты угловой скорости во вмороженной в твердое тело вращающейся системе координат следующим образом: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . L33 Задание. Запишите обратные преобразования, от покоящейся системы координат к вращающейся системе координат. 3.11. Движение в неинерциальных системах отсчета В пункте 1.4. мы рассматривали переход от одной системы отсчета (K) к другой (K´), движущейся поступательно относительно первой радиус-векторы произвольной точки «M», измеренные в этих системах отсчета (этими наблюдателями) связаны соотношением (рисунок 4, с. 23) r = r′ + R . Вычислим, как и в пункте 1.4, производную по времени от этого выражения dr dr ′ dR , = + dt dt dt предполагая теперь, что система отсчета K´ и связанная с ней система координат вращаются с некоторой угловой скоростью ω(t). В случае поступательного движения первое слагаемое в правой части последнего выражения представляло собой скорость точки M, измеренную наблюдате86 лем K´. В случае же вращательного движения оказывается, что вектор r ′ измеряется наблюдателем K´, а производная по времени вычисляется наблюдателем K. Чтобы выделить относительную скорость точки M, воспользуемся формулой (3.22), определяющей связь производной по времени от вектора в поступательно движущейся системе отсчета с производной во вращающейся системе отсчета dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′] , dt dt где d ′r ′ u′ = dt Производная по времени, измеренная наблюдателем K´. Выбирая, таки образом, в качестве полюса начало координат системы K´, определяемое радиус-вектором R , получим теорему сложения скоростей для вращающейся системы координат u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) где обозначения соответствуют обозначениям пункта 1.4. Вычисляя производную по времени от выражения (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ и преобразуя производную du′ d ′u′ = + [ ω, u′] , dt dt получим связь между ускорениями du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ dt dt dt Распространенные обозначения этих ускорений соответствуют их физическому смыслу: du Wабс = – ускорение точки M, измеренное покоящимся dt наблюдателем – абсолютное ускорение; 87 dV ′ – ускорение наблюдателя K´ относительно наdt блюдателя K – переносное ускорение; d ′u′ Wотн = – ускорение точки M, измеренное наблюдатеdt лем K´ – относительное ускорение; WКор = 2 [ ω, u′] – ускорение, возникающее вследствие двиWпер = жения точки M во вращающейся системе отсчета со скоростью, не параллельной вектору угловой скорости, – ускорение Кориолиса; [ ε, r ′] – ускорение, обусловленное неравномерностью вращательного движения системы отсчета K´, общепринятого наименования не имеет; Wцс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – нормальное или центростремительное ускорение, смысл названия которого становится очевидным в частном случае вращающегося диска, когда вектор ω перпендикулярен вектору r ′ . В самом деле, в этом случае Wцс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – вектор направлен перпендикулярно (нормально) линейной скорости по радиусу к центру. 3.12. Контрольная работа

Основной закон механики, как указывалось, устанавливает для материальной точки связь между кинематическими (w - ускорение) и кинетическими ( - масса, F - сила) элементами в виде:

Он справедлив для инерциальных систем, которые выбираются в качестве основных систем, поэтому фигурирующее в нем ускорение резонно называть абсолютным ускорением точки.

Как указывалось, сила, действующая на точку, в общем случае зависит от времени положения точки, которое можно определить радиусом-вектором и скорости точки Заменяя ускорение точки его выражением через радиус-вектор, основной закон динамики запишем в виде:

В последней записи основной закон механики представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, служащее для определения уравнения движения точки в конечной форме. Уравнение, приведенное выше, называется уравнением движения точки в дифференциальной форме и векторном виде.

Дифференциальные уравнение движения точки в проекциях на декартовы координаты

Интегрирование дифференциального уравнения (см. выше) в общем случае представляет собой сложную задачу и обычно для решения ее от векторного уравнения переходят к скалярным уравнениям. Так как сила, действующая на точку, зависит от времени положения точки или ее координат и скорости точки или проекции скорости то, обозначая проекции вектора силы на прямоугольную систему координат соответственно дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме будут иметь вид:

Естественная форма дифференциальных уравнений движения точки

В тех случаях, когда заранее известна траектория точки, например, когда на точку наложена связь, определяющая ее траекторию, удобно пользоваться проекцией векторного уравнения движения на естественные оси, направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории. Проекции силы, которые назовем соответственно будут в этом случае зависеть от времени t, положения точки, которое определяется дугой траектории и скорости точки, или Так как ускорение через проекции на естественные оси записывается в виде:

то уравнения движения в проекции на естественные оси имеют вид:

Последние уравнения называются естественными уравнениями движения. Из этих уравнений следует, что проекция действующей на точку силы на бинормаль равна нулю и проекция силы на главную нормаль определяется после интегрирования первого уравнения. Действительно, из первого уравнения будет определено как функция времени t при заданной тогда, подставляя во второе уравнение найдем так как при заданной траектории радиус кривизны ее известен.

Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах

Если положение точки задано ее криволинейными координатами то, проектируя векторное уравнение движения точки на направления касательных к координатным линиям, получим уравнения движения в виде.