Среди возможных значений истинности лингвистической переменной Истинность два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество и единичный интервал , которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала . Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности не определено и неизвестно соответственно. Для удобства будем обозначать эти значения истинности символами и , понимая при этом, что и определяются выражениями

Значения неизвестно и не определено , интерпретируемые как степени принадлежности, используются также в представлении нечетких множеств типа 1. В этом случае имеются три возможности выражения степени принадлежности точки в : 1) число из интервала ; 2) (не определено ); 3) (неизвестно ).

Рассмотрим простой пример. Пусть

Возьмем нечеткое подмножество множества вида

В этом случае степень принадлежности элемента множеству есть неизвестно , а степень принадлежности есть не определено . В более общем случае может быть

где имеется в виду, что степень принадлежности элемента множеству частично неизвестна, причем член интерпретируется следующим образом:

. (6.56)

Важно четко понимать разницу между и . Когда мы говорим, что степень принадлежности точки множеству есть , мы имеем в виду, что функция принадлежности не определена в точке . Предположим, например, что - множество действительных чисел, а - функция, определенная на множестве целых чисел, причем , если - четное, и , если - нечетное. Тогда степень принадлежности числа множеству есть , а не 0. С другой стороны, если бы была определена на множестве действительных чисел и тогда и только тогда, когда - четное число, то степень принадлежности числа множеству была бы равна 0.

Поскольку мы умеем вычислять значения истинности высказываний и , или и не по заданным лингвистическим значениям истинности высказываний и , нетрудно вычислить и значения , , , когда . Предположим, например, что

, (6.57)

. (6.58)

Применяя принцип обобщения, как в (6.25), получим

, (6.59)

После упрощения (6.59) сводится к выражению

. (6.61)

Другими словами, значение истинности высказывания и , где , есть нечеткое подмножество интервала , степень принадлежности которому точки равна (функции принадлежности ) на интервале .

Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания со значением истинности неизвестно ().

Аналогично находим, что значение истинности высказывания или выражается в виде

. (6.62)

Следует отметить, что выражения (6.61) и (6.62) легко получить с помощью описанной выше графической процедуры (см. (6.38) и далее). Пример, иллюстрирующий это, показан на рис. 6.4.

Обращаясь к случаю , находим

(6.63)

и аналогично для .

Поучительно проследить, что происходит с приведенными выше соотношениями, когда мы применяем их к частному случаю двузначной логики, т. е. к случаю, когда универсальное множество имеет вид

или в более привычном виде

где означает истинный , а - ложный . Поскольку есть , мы можем отождествить значение истинности неизвестно со значением истинный или ложный , т. е.

Результирующая логика имеет четыре значения истинности , , и и является обобщением двузначной логики в смысле замечания 6.5.

Поскольку универсальное множество значений истинности состоит лишь из двух элементов, целесообразно построить таблицы истинности для операций , и в этой четырехзначной логике непосредственно, т. е. без использования общих формул (6.25), (6.29) и (6.31). Так, применяя принцип обобщения к операции , сразу получаем

откуда с необходимостью следует, что

На этом пути мы приходим к обычному определению связки ⟹ в двузначной логике в виде следующей таблицы истинности:

Как показывает рассмотренный выше пример, понятие значения истинности неизвестно в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые из понятий и соотношений обычных двузначной и трехзначной логик. Эти логики, конечно, можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности неизвестно является весь единичный интервал, а не множество 0 + 1.

Здесь: 1 - истина, 0 - ложь.

• 1. Х: треугольник АВС - остроугольный. Х: неверно, что треугольник АВС - остроугольный. Это все равно, что: Х: треугольник АВС - прямоугольный или тупоугольный
• 2. А: Иванова М. На экзамене по математике получила 4. : Неверно, что Иванова М. по математике получила 4.

Определение: Дизъюнкцией высказывания А и В называется высказывание АВ, истинное при условии, что хотя бы одно из высказываний А или В истинно.

Его читают «А или В».

Таблица истинности для АВ

Пример: 1. На этот раз ответчик явился и суд состоялся. - истина

2. В прямоугольном треугольнике сумма двух любых углов больше или равна третьего угла и гипотенуза меньше катета. - ложь

Определение: Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, ложное лишь при условии, что А истинно, а В ложно.

Его читают: «Если А, то В».

Таблица истинности

Пример: 1. Если я сдам зачет, то пойду в кино.

2. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Определение: Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание АВ, истинное в том и только в том случае, когда А и В имеют одну и ту же истинность (т.е. либо оба истинны, либо оба ложны).

Читают: «А тогда и только тогда, когда В» или «А необходимо и достаточно для В»

Таблица истинности

Вторая задача, решаемая средствами алгебры высказываний, состоит в том, чтобы определить истинность конкретного высказывания на основе составления его формулы (процесс формализации) и составления таблицы истинности.

Пример: Если Саратов расположен на берегу Невы, то в Африке обитают белые медведи.

А: Саратов расположен на берегу реки Невы;

В: В Африке обитают белые медведи

Определение: Формула, которая истинна независимо от того, какие значения принимают входящие в нее высказывательные переменные, называется тавтологией или тождественно истинной формулой.

Определение: Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция - тавтология.

Определение: Если формулы F 1 и F 2 равносильны, то предложения Р 1 и Р 2 , которые инициируют эти формулы, называются равносильными в логике высказываний.

Основные, наиболее часто встречающиеся равносильности, называют законами логики. Перечислим некоторые из них:

• 1. Х Х - закон тождества
• 2. Х Л - закон противоречия
• 3. Х И - закон исключения третьего
• 4. Х - закон двойного отрицания

• 5. законы коммутативности
• 6. Х (У Z) (Х У) Z закон ассоциативности

Х (У Z) (Х У) Z закон дистрибутивности

7. законы Де Моргана

8. законы сочленения переменной с константой

Используя законы логики, можно преобразовывать формулы.

4. Из множества формул, равносильных между собой, рассмотрим две. Это - совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Они строятся для данной формулы на основе ее таблицы истинности.

Построение СДНФ:

• -- выбираются строки, соответствующие значениям истинности (1) данной формулы;
• -- для каждой выделенной строки составляем конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам значений переменных, представленных в строке, соответствовали истинные значения конъюнкции (для этого надо переменные, которые в этой строке принимали значения ложь (0) взять со знаком отрицания, а переменные, принимающие значения истинности (1) без отрицания);
• -- составляется дизъюнкция полученных конъюнкций.

Из алгоритма следует, что для любой формулы можно составить СДНФ, и притом единственную, если формула не является тождественно ложной, т.е. принимающей только ложные значения.

Составление СКНФ осуществляется по следующему алгоритму:

• -- выделить те строки таблицы, в которых формула принимает значение ложь (0);
• -- из переменных, стоящих в каждой такой строке, составить дизъюнкцию, которая должна принимать значения - ложь (0). Для этого все переменные должны войти в нее со значением ложь, следовательно те, которые истинны (1), надо заменить их отрицанием;
• -- из полученных дизъюнкций составить конъюнкцию.

Очевидно, что любая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ.

СДНФ и СКНФ используются для получения следствий из данной формулы.

Пример: Составить таблицу истинности СДНФ и СКНФ для формулы: .

Таблица истинности СДНФ и СКНФ

5. Рассмотрим высказывательные форму «Река впадает в Черное море». Она содержит одну переменную и может быть представлена в виде «Река х впадает в Черное море».

В зависимости от значений переменной Х предложение является либо истинным, либо ложным, т.е. задается отображение множества рек на двух элементное множество. Обозначим это отображение, тогда:

Таким образом, имеем функцию, все значения которой принадлежат множеству.

Определение: Функция, все значения которой принадлежат множеству, называется предикатом.

Буквы, обозначающие предикаты, называют предикатными символами.

Предикаты могут задаваться:

a) высказывательной формулой,

b) формулой, т.е. задавая интерпретацию предикатного символа,

c) таблицей.

1) Р - «впадать в Черное море».

Эта формула означает, что «Река а впадает в Черное море».

• 2) Предикат Р задан высказывательной формулой: «быть простым числом на множестве первых 15 натуральных чисел».
• 3) В табличной форме предикат имеет вид:

Областью определения предикатов может быть любое множество.

Если предикат при каком-либо наборе входящих переменных теряет смысл, то принято считать, что этому набору соответствует значение Л.

Если предикат содержит одну переменную, то его называют одноместным, две переменные - двуместным, n переменных - n-местным предикатом.

Для перевода текстов на язык предикатов и определения их истинности необходимо ввести логические операции над предикаторами и кванторы.

Над предикатами выполняются так же операции: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.

Определение: Подмножество множества М, на котором задан предикат Р, состоящий из тех и только тех элементов М, которым соответствует значение И предиката Р, называется множеством истинности предиката Р.

Множество истинности обозначается.

Определение: Отрицанием предиката Р называется предикат, ложный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в истинный, и истинный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в ложный предикат.

Обозначается отрицание.

Быть студентом АБиК.

Не быть студентом АБиК.

Если, то множество, где М - множество, на котором заданы предикаты Р и Q .

Определение: конъюнкцией предикатов и называется предикат истинный при тех и только тех значениях переменных, входящих в него, которые обращают оба предиката и в истинные.

Быть футболистом

Быть студентом

: быть футболистом и быть студентом.

Определение: дизъюнкцией предикатов и называется предикат ложный при тех наборах входящих в него переменных, которые обращают оба предиката в ложные

Быть четным натуральным числом

Быть нечетным натуральным числом

: быть натуральным числом.

Определение: Импликацией предикатов называется предикат, ложный при тех и только тех наборах входящих в него переменных, которые обращают в истинный предикат, а - в ложный.

Обозначается:

Быть простым числом на множестве N

Быть нечетным числом

Ложен при и истинным при других натуральных числах.

Определение: Эквиваленцией предикатов и называется предикат, который становится истинным, если оба предиката и истинны, или оба ложны.

Обозначается:

- «выигрывать», т.е. х выигрывает у

Лучше знать шахматную историю, х знает лучше у

обозначает, что х выигрывает у у в шахматы тогда и только тогда, когда он лучше знает теорию.

Определение: Предикат следует из предиката если импликация истинна при любых входящих в нее значениях переменных.

Обозначаются следования: .

Быть студентом

Ходить в институт

Для превращения предиката в высказывание существуют 2 пути:

1) придание переменной конкретного значения

; х - студент

Иванов - студент.

2) Навешивание кванторов - любой, всякий, каждый

Существует, имеется.

Запись, где обладает свойством Р означает, что всякий предмет х обладает свойством Р. Или по другому, «все х обладают свойством Р».

Запись означает, что существует предмет х, обладающий свойством Р.

Установление истинности сложных высказываний.

Пример 1. Установить истинность высказывания · С

Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

А	В	С		А+		· С

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

13. Равносильные формулы.

Две формулы А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний.

Равносильность обозначается знаком « ». Для преобразования формул в равносильные важную роль играют основные равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

Для любых формул А , В , С справедливы равносильности.

I. Основные равносильности

закон идемпотентности

1-истина

0-ложь

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

закон поглощения

формулы расщепления

закон склеивания

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

закон де Моргана

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

коммутативный закон

ассоциативный закон

дистрибутивный закон

14. Формулы логики высказываний.

Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:

1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно» ;

2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно» ;

3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.

Основные законы классической логики высказываний:

1. Закон тождества: ;

2. Закон противоречия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Законы коммутативности и : , ;

5. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот: , ;

6. Закон удаления истинного члена конъюнкции: ;

7. Закон удаления ложного члена дизъюнкции: ;

8. Закон контрапозиции: ;

9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .

Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных форм для формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является противоречием . Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом . Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой .

15. Предикаты и операции над ними. Кванторы.

Предложение, содержащее одну или несколько переменных и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, обозначаемые соответственно: А(х ), В(х , у ), С(х , у , z ).

Если задан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:

1. Множество (область) определения Х , состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание. При задании предиката обычно указывают его область определения.

2. Множество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание.

Множество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, то есть .

Над предикатами можно совершать те же операции, что и над высказываниями.

1. Отрицанием предиката А(х ), заданного на множестве Х, называется предикат , истинный при тех значениях , при которых предикат А(х ) обращается в ложное высказывание, и наоборот.

Из данного определения следует, что предикаты А(х ) и В(х ) не являются отрицаниями друг друга, если найдется хотя бы одно значение , при котором предикаты А(х ) и В(х ) обращаются в высказывания с одинаковыми значениями истинности.

Множество истинности предиката является дополнением к множеству истинности предиката А(х ). Обозначим через Т А множество истинности предиката А(х ), а через Т - множество истинности предиката . Тогда .

2. Конъюнкцией предикатов А(х ) и В(х х ) В(х х Х, при которых оба предиката обращаются в истинные высказывания.

Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности предиката А(х ) В(х ). Если обозначить множество истинности предиката А(х) через Т А, а множество истинности предиката В(х) через Т В и множество истинности предиката А(х) В(х) через , то

3. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых хотя бы один из предикатов обратился в истинное высказывание.

Множество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих ее предикатов, т.е. .

4.Импликацией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), который ложен при тех и только тех значениях переменной, при которых первый предикат обращается в истинное высказывание, а второй – в ложное.

Множество истинности импликации предикатов есть объединение множества истинности предиката В(х ) с дополнением к множеству истинности предиката А(х ), т.е.

5. Эквиваленцией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат , который обращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменной, при которых оба предиката обращаются либо в истинные высказывания, либо в ложные высказывания.

Множество истинности эквиваленции предикатов есть пересечение множества истинности предиката с множеством истинности предиката .

Кванторные операции над предикатами

Предикат можно перевести в высказывание способом подстановки и способом «навешивание квантора».

Про числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 можно сказать: а) все данные числа простые; б) некоторые из данных чисел четные.

Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения – высказывания.

Если из предложения «а» убрать слово «все», а из предложения «б» - слово «некоторые», то получим следующие предикаты: «данные числа простые», «данные числа нечетные».

Слова «все» и «некоторые» называются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают два основных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

Термины «всякий», «любой», «каждый» носят название – квантор всеобщности. Обозначается .

Пусть А(х ) – определенный предикат, заданный на множестве Х. Под выражением А(х ) будем понимать высказывание истинное, когда А(х ) истинно для каждого элемента из множества Х, и ложное в противном случае.

Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно привести контрпример.

16. Определение бинарного отношения между множествами А и В.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A .

Пример 1 . Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R 1 и R 2 , заданными на множествах A и : , . Подмножество R 1 состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R .

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R .

В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения

17. Способы задания бинарных отношений.

Всякое подмножество декартова произведения A×B называется бинарным отношением, определенным на паре множеств A и B (по латыни «бис» обозначает «дважды»). В общем случае по аналогии с бинарными можно рассматривать и n-арные отношения как упорядоченные последовательностиn элементов, взятых по одному из n множеств.

Для обозначения бинарного отношения применяют знак R. Поскольку R- это подмножество множества A×B, то можно записать R⊆A×. Если же требуется указать, что (a, b) ∈ R, т. е. между элементами a ∈ A и b ∈ B существует отношение R, то пишут aRb.

Способы задания бинарных отношений:

1. Это использование правила, согласно которому указываются все элементы, входящие в данное отношение. Вместо правила можно привести список элементов заданного отношения путем непосредственного их перечисления;

2. Табличный, в виде графов и с помощью сечений. Основу табличного способа составляет прямоугольная система координат, где по одной оси откладываются элементы одного множества, по второй - другого. Пересечения координат образуют точки, обозначающие элементы декартова произведения.

На (рисунке 1.16) изображена координатная сетка для множеств. Точкам пересечения трех вертикальных линий с шестью горизонтальными соответствуют элементы множества A×B. Кружочками на сетке отмечены элементы отношения aRb, где a ∈ A и b ∈ B, R обозначает отношение «делит».

Бинарные отношения задаются двухмерными системами координат. Очевидно, что все элементы декартова произведения трех множеств аналогично могут быть представлены в трехмерной системе координат, четырех множеств- в четырехмерной системе и т. д;

3. Способ задания отношений с помощью сечений используется реже, поэтому рассматривать его не будем.

18. Рефлексивность бинарного отношения. Пример.

В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю - дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли - нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества, говорят, что отношение нерефлексивно.

Основным разделом математической логики является логика высказываний.

Высказыванием называют повествовательное предложение, которое имеет определенное значение истинности: истина или ложь. Истинному высказыванию ставится в соответствии 1, ложному – 0. Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита.

Примеры простых высказываний:

1. А= «Число 100 больше числа 10»

2. В= «Сегодня я в школу не пойду»

Задания.

1) Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:

1. Какого цвета этот дом?

2. Число Х не превосходит единицы.

4. Посмотрите в окно.

5. Пейте томатный сок!

6. Эта тема скучна.

7. Валерий Леонтьев – популярный певец.

2) Приведите примеры простых высказываний, определите их истинность или ложность.

Используя простые высказывания, можно образовать сложные , или составные, высказывания, в которые простые входят в качестве элементарных составляющих. Примеры сложных высказываний:

1. А= «Число 100 больше 10, но меньше 1000»

2. В= «Если завтра будет дождь, то в поход мы не пойдем»

Какие простые высказывания входят в сложные А и В?

В образовании сложных высказываний используются слова: и, или, тогда и только тогда, когда (в том и только в том случае), если..., то..., нет. Их называют логическими связками или логическими операциями.

Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

Логические операции

1) Инверсия (операция отрицания или логическое отрицание, НЕ). Обозначается ù, ` .

Если А - истинное высказывание, то `А – ложное высказывание, и наоборот .

_ А

2) Конъюнкция (логическое умножение, соответствует союзу И). Обозначается Ù, × , & , математическим знаком умножения или опуская его.

Например: С = «Солнце светит и нет дождя».

Обозначим А = «Солнце светит», В= «нет дождя».

Тогда высказывание С можно записать: А Ù В (или А&В, А×В, АВ).

Таблица истинности:

А	В	А&В (АВ)

3) Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), имеет два различных значения. Следует различать исключающее «или» и неисключающее «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю теле­визор или пью чай» союз «или» взят в неисключающем (объедини­тельном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называетсянестрогой дизъюнкцией или просто дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании «Данный глагол I или II спряжения» союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.Такаяоперация называетсястрогой дизъюнкцией.

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

а) Операция дизъюнкция (логическое сложение, нестрогая дизъюнкция), соответствует неисключающему ИЛИ, обозначается Ú , +.

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

4) Импликация . Выражается словосочетанием «если … то». Импликация А ® В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно . Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

А В А®В 1

(Из опыта : Операция импликации (логического следования) является наиболее сложной для учащихся, так как она самая «формально опреде­ленная» и не подкрепляется «здравым смыслом». В процессе ее изучения имеет смысл поговорить о формальном исполнителе и его отличии от неформального .)

Примеры импликаций:

1) Если клятва дана, то она должна выполняться.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»;

1) Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

2) Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Объяснить операцию импликацию можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый .

А®В = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый.»

Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

5) Операция эквиваленция обозначается знаками «, =, Û. Сложное высказывание А«В
(А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

Сводная таблица логических операций

(заполняется учащимися самостоятельно):

Ниже приведена таблица логических операций и их перевода на естественный язык.

Операция	Обозначение	Перевод на естественный язык
Инверсия (отрицание)	Ā, ùА, не А	не А; неверно, что А
Конъюнкция (логическое произведение)	АВ, АÙВ, А и В, А and В, А´В, А&В, А×В	и А, и В; как А, так и В; А вместе с В; А несмотря на В; А, в то время как В
Дизъюнкция простая (логическая сумма, не исключающее ИЛИ)	А+В, А Ú В, А или В, А or В	А или В
Дизъюнкция строгая (исключающее ИЛИ)	А"В, А Å В	или А или В либо А, либо В
Импликация	А®В, АÞВ	Если А, то В; В если А; В необходимо для А; А достаточно для В; А только тогда, когда В; В тогда, когда А; все А есть В
Эквиваленция	А«В, АÛВ	А равно В; А эквивалентно В; А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В

Приоритет выполнения операций : при отсутствии скобок первой всегда выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и в последнюю очередь эквиваленция.

Упражнения.

1. Даны два высказывания:

А={Число 5 - простое},

В={Число 4 - нечетное},

Очевидно, что А=1, В=0.

В чем заключаются высказывания:

а) Ā, б) `В, в) АВ, г) А+В д) А®В

Какие из высказываний а) – г) истинны? Составьте таблицы истинности.

2. Найдите значения выражений:

а) (1 + 1) Ú (1 + 0);

б) ((1 + 0) + 1) + 1;

в) (А + 1) + (В + 0);

г) (0 Ù 1) Ù 1;

д) 1 Ù (1 Ù 1) Ù 1;

е) ((1 Ú 0) Ù (1 Ù 1) Ù (0 Ú 1);

ж) ((1 Ù А) Ú (В Ù 0)) Ú 1;

з) ((1 Ù 1) Ú 0) Ù (0 Ú 1);

и) ((0 Ù 0) Ú 0) Ù (1 Ú 1);

к) ((0 × 1) + (1 + 1)) × 1.

3. Переведите на язык алгебры логики высказывания:

1) «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

2) «Если я поеду в Москву и встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

3) «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

4) «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурно, то пойдут в кино»

5) «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь тогда и только тогда, когда нет ветра».

6) «Если урок по информатике будет интересным, то ни Миша, ни Света, ни Вика не будут смотреть в окно»

Решение:

1) М × (В ® И); 2) (М × В) ® И; 3) В ® С ®`Д;

4) (С ® Л) × (`С ® К); 5) П ® (Д « `В); 6) И ® `М ×`С ×`В

1) «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Руссо).

2) «Чтение художественной литературы – неоценимый источник познания жизни и законов ее борьбы».

4) «Мудрость – это способность предвидеть отдаленные последствия совершаемых действий, готовность пожертвовать сиюминутной выгодой ради больших благ в будущем и умение управлять тем, что управляемо, не сокрушаясь из-за того, что неуправляемо» (Ракофф).

6) «Верность друга нужна и в счастье, в беде же она совершенно необходима».

4. Являются ли высказываниями русские народные пословицы и поговорки? Приведите примеры. (Из опыта : Объявляется конкурс «Знаешь ли ты пословицы, которые являются высказываниями». Победителей обычно несколько, поощряются оценками и поощрительными аплодисментами одноклассников )

Самостоятельная работа №1.

(примерные задания в приложении 1, некоторые решения и ответы в приложении 2)

1) Решить логическую задачу табличным способом;

2) Записать сложные высказывания на языке алгебры логики;

3) Найти значение выражения.

Таблицы истинности

Итак, сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значений простых высказываний, входящих в него.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывания при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания.

В `В А`В А`В А`В ® А

Из полученной таблицы видно, что значения формулы А`В ® А совпадают со значениями формулы А. Такие формулы называются равносильными . Для обозначения равносильности используют обычно знак равенства.

Для составления таблицы истинности сложного высказывания, в которое входит более двух переменных, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

2. Определить число строк в таблице m= 2 n .

3. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

4. Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n–разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n -1.

5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии приоритета операций.

Пример. Построить таблицу истинности для формулы F=A ® B&C

0

Упражнения.

1. Проверьте равносильность следующих формул с помощью таблиц истинности:

1) А (А + В) = А

2) А + АВ = А

3) А ® В = Ā + В

4) А ® В = `А ®`В

5) `А +`В = А В

6) А + В = Ā ×`В

2. Определите значение формулы: F= ((С+В)®В) × (АВ) ®В.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказы­вать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Предложения, используемые в математике, могут быть записаны как в словесной форме, так и в символической. Предложения могут нести верную или ложную информацию.

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Пример . Следующие предложения являются высказываниями:

1) Все студенты МГПУ – отличники (ложное высказывание),

2) На Кольском полуострове водятся крокодилы (ложное высказывание),

3) Диагонали прямоугольника равны (истинное высказывание),

4) Уравнение не имеет действительных корней (истинное высказывание),

5) Число 21 – четное (ложное высказывание).

Следующие предложения не являются высказываниями:

Какая погода будет завтра?

х – натуральное число,

745 + 231 – 64.

Высказывания принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z .

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания . Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, одновременно быть и тем, и другим, оно не может.

Запись [ А ] = 1 означает, что высказываниеА – истинно .

А запись [ А ] = 0 означает, что высказываниеА – ложно .

Предложение
не является высказыванием, так как о нем невозможно сказать: истинно оно или ложно. При подстановке конкретных значений переменнойх оно обращается в высказывание: истинное или ложное.

Пример . Если
, то
– ложное высказывание, а если
, то
– истинное высказывание.

Предложение
называетсяпредикатом или высказывательной формой . Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, которые обозначаются: и т.д.

Пример . 1)
– одноместный предикат,

2) «Прямая х перпендикулярна прямой у » – двухместный предикат.

Также в предикатах переменные могут содержаться неявно. В предложениях: «Число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х – четное», «две прямые х и у пересекаются».

При задании предиката указывают его область определения – множество, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Пример . Неравенство
можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной выбирается из множества действительных чисел. В первом случае областью определения неравенства
будет множество натуральных чисел, а во втором – множество действительных чисел.

Одноместным предикатом , заданным на множестве Х , называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него переменной из множества Х .

Множеством истинности одноместного предиката называется множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание.

Пример . Множеством истинности предиката
, заданном на множестве действительных чисел, будет промежуток
. Множество истинности предиката
, заданном на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 2.

Множество истинности двухместного предиката
состоит из всех таких пар
при подстановке которых в этот предикат получается истинное высказывание.

Пример . Пара
принадлежит множеству истинности предиката
, т.к.
– истинное высказывание, а пара
не принадлежит, т.к.
– ложное высказывание.

Высказывания и предикаты могут быть как простыми, так и сложными (составными). Сложные предложения образуются из простых с помощью логических связок – слов «и », «или », «если…, то … », «тогда и только тогда, когда… ». С помощью частицы «не » или словосочетания «неверно, что » можно из данного предложения получить новое. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными .

Примеры . Составные предложения:

Число 42 – четное и делится на 7. Образовано из двух элементарных предложений: Число 42 четное, число 42 делится на 7 и составлено с помощью логической связки «и ».

Число х больше или равно 5. Образовано из двух элементарных предложений: Число х больше 5 и число х равно 5 и составлено с помощью логической связки «или ».

Число 42 не делится на 5. Образовано из предложения: Число 42 делится на 5 с помощью частицы «не ».

Значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Пример . Выявим логическую структуру предложения: «Если углы вертикальны, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений: А – углы вертикальные, В – углы равны. Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если…, то… ». Данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «если А, то В ».

Выражение «для любого х » или «для всех х » или «для каждого х » называется квантором общности и обозначается
.

при помощи квантора общности, обозначается:
и читается: «Для любого значениях из множества Х имеет место
».

Выражение «существует х » или «для некоторых х » или «найдется такое х » называется квантором существования и обозначается
.

Высказывание, полученное из высказывания или предиката
при помощи квантора существования, обозначается:
и читается: «Для некоторыхх из множества Х имеет место
» или «Существует (найдется) такое значениех из Х , что имеет место
».

Кванторы общности и существования употребляются не только в математических выражениях, но и в повседневной речи.

Пример . Следующие высказывания содержат квантор общности:

а) Все стороны квадрата равны; б) Каждое целое число является действительным; в) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; г) У всех студентов есть зачетная книжка.

Следующие высказывания содержат квантор существования:

а) Существуют числа, кратные 5; б) Найдется такое натуральное число , что
; в) В некоторых студенческих группах учатся кандидаты в мастера спорта; г) Хотя бы один угол в треугольнике острый.

Высказывание
являетсяистинным
– тождество, т.е. принимает истинные значения при подстановке в него любых значений переменной.

Пример . Высказывание
истинно.

Высказывание
ложно , если при некотором значении переменной х предикат

Пример . Высказывание
ложно, т.к. при
предикат
превращается в ложное высказывание.

Высказывание
являетсяистинным тогда и только тогда, когда предикат
не является тождественно ложным, т.е. при некотором значении переменнойх предикат

Пример . Высказывание
истинно, т.к. при
предикат
превращается в истинное высказывание.

Высказывание
ложно , если предикат
является противоречием, т.е. тождественно ложным высказыванием.

Пример . Высказывание
ложно, т.к. предикат
является тождественно ложным.

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данно­го предложения поставить частицу «не » либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что », то получится новое предложение, кото­рое называется отрицанием данного и обозначается:  А или (читают: «не А» или «неверно, что А »).

Отрицанием высказывания А называется высказыва­ние или  А , которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно. Таблица истинности отрицания:

Пример . Если высказывание А : «Вертикальные углы равны», то отрицание этого высказывания  А : «Вертикальные углы не равны». Первое из этих высказываний истинное, а второе – ложное.

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо:

квантор общности заменить квантором существования или наоборот;

высказывание заменить его отрицанием (поставить перед глаголом частицу «не »).

На языке математических символов это запишется так.