В разделе узнаете:

· числовые выражения и их виды;

· чем отличаются числовое выражение и выражение с переменными;

· что такое допустимые значения переменных в выражении;

· какие выражения называют целыми;

· как вычислять значения выражения с переменными;

· о способах упрощения выражений;

· какова равенство е тождественностью и как ее доказывать;

· как применить изученный материал на практике

§1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Из курса математики 5-6 классов вы знаете, что такое числовое выражение. Вспомните соответствующую формулировку и сравните его с приведенным в учебнике.

Запись, в которой используются только числа, знаки арифметических действий и скобки, называется числовым выражением.

Например, записи 15 + 3,15 - 3, 15 ∙ 3,15: 3 являются числовыми

выражениями. их называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным чисел 15 и 3. В каждом из этих выражений числа 15 и 3 являются компонентами выражения. Выражение 15 3 также является числовым. Его называют степенью числа 15. В нем число 15 - основание степени, а число 3 - показатель степени.

Если выполнить арифметическое действие в выражении, то получим число - значение числового выражения. Например, значением выражения 15 + 3 является число 18.

Обратите внимание:

числовое выражение показывает, какое арифметическое действие (действия) надо выполнить над числами, но не показывает результат этого действия (действий).

Вы знаете, что действия сложения и вычитания являются действиями первой ступени, действия умножения и деления - второй ступени, а возведение в степень - третьей степени. Вычисляя значение числового выражения, сначала выясняют, действия которых ступеней содержит выражение, а затем выполняют действия, придерживаясь известного вам порядка выполнения действий.

Задача 1. Найдите значение числового выражения:

1)35 - 15 + 9; 2) 35: 7 + 4 . 2 3 .

Решения. 1. Данное выражение содержит только действия первой ступени, поэтому эти действия выполняют по порядку написания слева направо:

2. Выражение 35: 7 + 4 ∙ 2 3 содержит действия трех ступеней, сначала выполняют действие третьей ступени, затем действия второй ступени (слева направо), а после этого - действие первой ступени:

35: 7 + 4 ∙ 2 3 = 35: 7 + 4 ∙ 8 = 5 + 4 ∙ 8 = 5 + 32 = 37.

Зависит ли значение числового выражения от того, какие в нем расставлены скобки? Так. Например, выражение 4 + (30: 6 - 1) и 4 + 30: (6 - 1) имеют разные значения: 4 + (30: 6 - 1) = 8, а 4 + 30: (6 - 1) = 10. Следовательно, можем записать:

4 + (30: 6 - 1) ≠ 4 + 30: (6 - 1).

Обратите внимание:

скобки в выражении меняют порядок выполнения действий.

Задача 2. Можно ли найти значение числового выражения

25: (3 ∙ 8 - 23 - 1)?

Решения. Данное выражение содержит деления числа 25 на выражение, стоящее в скобках. Выполнив действия в скобках, получим: 3 ∙ 8 - 23 - 1 = 24 - 23 - 1 = 0. Следовательно, чтобы найти значение заданного выражения, надо число 25 поделить на 0. А это сделать невозможно. Поэтому значение данного числового выражения найти нельзя.

Коротко говорят: «Данное выражение не имеет значения» или «Данное выражение не имеет смысла».

Обратите внимание:

Делить на 0 нельзя;

Выражение, содержащее деление на ноль не имеет смысла.

Обобщим сведения о порядке выполнения действий в выражениях.

Порядок выполнения действий в выражениях.

1. В выражении, которое содержит действия только одной ступени, действия выполняют в том порядке, в котором они записаны.

2. В выражении, содержащем действия трех степеней, первыми выполняют действия старшего степени в том порядке, в котором они записаны.

3. В выражении со скобками сначала выполняют действия в скобках, а затем - другие действия по известному порядку.

Узнайте больше

1. В курсе математики 5 - 6 классов и в этом параграфе вы встречали предложения, которые содержат слова «называют» или «называется». Это определение понятий. В определении раскрывается содержание понятия. Например, в определении числового значения указывается свойство, с помощью которой можно отличать числовое выражение от любых других записей. Раньше вам встречались записи 3 * 5 + 4, 2 ∙ 3 = 6, (а + 100) ∙ 2. Их нельзя считать числовыми выражениями, поскольку они не удовлетворяют определение числового выражения. Действительно, первая запись содержит знак *, что не является знаком арифметического действия. Вторая запись содержит знак равенства, а третий - букву.

2. Граве Дмитрий Александрович (1863-1939) - выдающийся математик, основатель отечественной алгебраической школы, академик Академии наук УССР (1919), почетный член АН СССР (1929). Окончил Санкт-Петербургский университет (1885). В 1896 г. защитил диссертацию на степень доктора математики «Об основных задачах математической теории построения географических карт». Работал профессором Харьковского (1897), а затем Киевского (1899) университетов. У1934 стал первым директором Института математики АН УССР. Создал в Киеве научную алгебраическую школу. Основные работы относятся к алгебре, прикладной математики, механики, кибернетики, астрономии. Его «Трактат из алгебраического анализа», который увидел мира 1938, имел значительное влияние на развитие математики 20 в.

Его учениками были Бы. Делоне, Н. Кравчук, М. Чеботарев, О. Шмідтта др.

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Что называется числовым выражением? Приведите примеры.

2. Что называют значением числового выражения?

3. Каков порядок выполнения действий в числовом выражении без скобок?

4. В каком порядке надо выполнять действия в числовом выражении со скобками?

5. В любом случае числовое выражение не имеет смысла?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1 . Является числовым выражением запись:

1)14: 2 + 5; 3)24 – 14 = 10; 5)4 ∙ х = 20;

2) 27 > 4 ∙ 3; 4) 5 - 2 ∙ 5,2; 6) 8 4 + 4 2 ?

Ответ объясните.

2 . Приведите пример выражения, для двух чисел:

1) суммой; 2) разницей; 3) произведением; 4) долей; 5) степенью.

3 . Правильно, что значением числового выражения: 1) буква; 2) слово; 3) предложение; 4) сам числовое выражение; 5) число, которое получили, выполнив действие в заданном выражении на одно действие; 6) число, которое получили, правильно выполнив действие в заданном выражении на одно действие; 7) число, которое получили, правильно выполнив какое-то одно действие в заданном выражении на несколько действий; 8) число, которое получили, правильно выполнив все действия в исходном выражении на несколько действий?

4 . В каком порядке надо выполнять действия в числовом выражении, содержащем действия: 1) первой степени; 2) второй степени; 3) первой и второй ступеней; 4) третьей степени; 5) второго и третьего степеней; 6) всех трех степеней?

5 . Правильно, что скобки в выражении: 1) не изменяют порядок выполнения действий; 2) изменяют порядок выполнения действий?

6 . Приведите примеры числовых выражений, которые: 1) имеют смысл; 2) не имеют смысла.

7 . Правильно, что не имеет смысла выражение:

1)5 - 0; 3)5 ∙ 0; 5)5 - (3 - 3); 7)5 ∙ (3 - 3);

2)5 + 0; 4)5: 0; 6)5 + (3 - 3); 8)5: (3 - 3)?

8 . Значением какого выражения является число 2:

9 . Значением какого выражения является число 5:

2) (4 2 + 9) : 5?

10 . Назовите порядок выполнения действий для вычисления значения числового выражения 5 + 2 ∙ 4 - 18: 3 2 . Найдите значение выражения.

11 . Даны числа 2,5 и 4. Составьте числовое выражение, которое является их:

1) суммой; 2) разницей; 3) произведением; 4) долей. Сколько числовых выражений можно получить? Найдите значение этих выражений.

12 . Даны числа 2 и 3. Составьте выражения для подъема одного числа в степень другого. Сколько числовых выражений можно получить? Найдите значение этих выражений.

13 . Даны числа 5 и 2. Составьте числовое выражение, которое является: 1) суммой чисел; 2) разностью чисел; 3) произведением чисел; 4) долей чисел; 5) степенью, в котором одно число возвышается в степень другого. Найдите значение этих выражений.

14 . Найдите значение выражения:

2) 14,275 + 10,8;

4) 84,6 - 12,49;

5) 12,3 ∙ 5,8;

6) 0,28 ∙ 0,125;

Какими правилами выполнения действий с десятичными дробями вы воспользовались?

15 . Найдите значение выражения:

1) 42,5 + 12,52;

2) 34,6 - 15,54;

3) 2,8 ∙ 0,15;

16 . Выполните действия:

Какими правилами выполнения действий с обычными дробями вы воспользовались?

17 . Выполните действия:

4) 5 : 7 s_1.files/image011.png" alt="7klas_1.files/image004.gif" width="10" height="42" />.

18 . Вычислите:

Сформулируйте правило возведение числа а в степень n, которым вы воспользовались.

19 . Вычислите:

20 . Вычислите:

1) -45,2 + 12,15;

4) -2,5 ∙ 1,2;

5) -2,8 ∙ (-);

6) – 14 : (-43).

Сформулируйте правила выполнения действий с рациональными числами, которыми вы воспользовались.

21 . Вычислите:

1)-14,7 + 10,15;

22 . Изменят скобки порядок выполнения действий в выражении 20 + 5 ∙ 2 3 - 6: 2, если их расставить так:

1) (20 + 5) ∙ 2 3 - 6: 2;

2) 20 + (5 ∙ 2 3 - 6) : 2;

3) (20 + 5 ∙ 2 3) - 6: 2;

4) 20 + 5 ∙ (2 3 - 6: 2)?

Ответ объясните.

23 . В каком порядке надо выполнять действия в числовом выражении со скобками, содержащий действия: 1) первой и второй ступеней; 2) второго и третьего степеней; 3) всех трех степеней? Сколько случаев нужно рассмотреть? Приведите примеры.

24

1) произведение суммы чисел 3,5 и -4,5 и числа 42;

2) разность числа 4,67 и произведения чисел 2,18 и 0,5;

3) сумма квадрата числа 3 и числа 5 ;

4) разность куба числа 4 и числа -0,1;

5) произведение числа 3 и квадрата числа ;

6) доля суммы чисел 3,2 и и числа 0,5.

25 . Запишите в виде выражения и найдите его значение:

1) произведение числа -2,5 и суммы чисел 34,8 и -2,8;

2) разность квадрата числа 1,2 и куба числа 4;

3) сумма числа 5 и частного чисел 5 и 7;

4) доля числа 2,5 и произведению чисел 1 и .

26 . Проверьте, имеет ли смысл выражение:

1) 2,5 - (1,4 - 7 ∙ 0,2);

3) 5 ∙ 2,04 +

4) 2 : (17,5 – 8 ∙ 2)

Нужно выполнять все действия? Ответ объясните.

27 . Имеет ли смысл выражение:

2) 12 + 28: (15 ∙ 0,2 - 3)?

28

29 . Составьте числовое выражение, значение которого равно:

30 . Найдите значение выражения:

1) 0,12 ∙ 10 + 2,4 ∙ 5 ∙ 12 ∙ 9: 1,8;

2) (15 ∙ 0,012 + 15: 10 2) : 0,66 - 1,8 2 ;

4) (3,4 + 5,1) ∙ 1 + (1 – 2 ) : .

31 . Найдите значение выражения:

1) 2,5 ∙ 2 3 + 7,5 ∙ (0,04 + 1,62) - 1,8: 90;

2) (4 – 3 ) : 1 + 4 ∙ (- ) + 2,5.

32 . Выполните действия:

1) 6 - 5 : 4 + ∙ + : ;

2) – 3,6;

3) 1,2: (0,171: 0,9 - 0,028 ∙ 2,5) + 0,8 ∙ (3 + 1 – 3 ) - 0,075: 3: 400;

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Одним из понятий алгебры 7 класса являются числовые выражения. Они используются для решения задач. Что собой представляют числовые выражения и как их использовать?

Определение понятия

Какое выражение является числовым в алгебре? Так обозначают запись, составленную из цифр, скобок и знаков вычитания, умножения, деления, сложения.

Понятие числового выражения допустимо только в том случае, если запись несет смысловую нагрузку. К примеру, запись 4-) не является числовым выражением, так как она бессмысленна.

Примеры числовых выражений:

• 25х13;
• 32-4+8;
• 12х(25-5).

Характеристики понятия

Числовое выражение имеет несколько свойств, которые используются в решении примеров и задач. Рассмотрим эти свойства подробнее. Для этого возьмем такой пример – 45+21-(6х2).

Значение

Так как числовое выражение содержит знаки различных арифметических действий, их можно выполнить и получить в результате какое-то число. Оно называется значением числового выражения. Как производится вычисление значений числового выражения? Оно соответствует правилам выполнения арифметических действий:

• в выражениях без скобок выполняют действия, начиная с высших ступеней – умножение, деление, сложение, вычитание;
• если имеется несколько одинаковых действий, их выполняют слева направо;
• если есть скобки, сначала выполняют действия в них;
• при вычислении дробей сначала выполняют действия в числителе и знаменателе, а затем числитель делят на знаменатель.

Применим эти правила к нашему примеру.

• Сначала найдем значение в скобках: 6х2=12.
• Затем произведем сложение: 45+21=66.
• Последним действием найдем разность: 66-12=54.

Итак, число 54 будет являться значением выражения 45+21-(6х2).

Для того, чтобы правильно прочитать числовое выражение нужно определить, какое действие будет являться последним в подсчетах. В выражении 45+21-(6х2) последним действием было вычитание. Соответственно, называть это выражение нужно “разность”. Если бы вместо знака “-” стоял знак “+”, выражение называли бы суммой.

Если у выражения невозможно произвести подсчет значения, его называют не имеющим смысла. Например, смысла не имеет такое выражение: 12:(4-4). В скобках разность равна нулю. А по правилам математики на нуль делить нельзя. Значит, найти значение выражения невозможно.

Равенство

Так называют запись, в которой два числовых выражения разделены знаком “=”. Например, 45+21-(6х2)=66-12. Обе части записи равны числу 54, а значит, они равны друг другу. Такое равенство называют верным.

Если же написать 45+21-(6х2)=35+12, это равенство будет неверным. В левой части равенства значение выражения равно 54, а в правой – 57. эти числа не равны друг другу, значит, и равенство неверное.

Пример задачи

Для того, чтобы лучше понять тему, рассмотрим пример решения задачи. Как решить задачу числовым выражением?

Дано: две машины выезжают из одного пункта в другой. Они поедут по разным дорогам. Одной машине предстоит проехать 35 км., а другой – 42 км. Первая машина едет со скоростью 70 км/ч, а вторая – 84 км/ч Окажутся ли они в конечном пункте в одно и то же время?

Решение: нужно составить два числовых выражения, чтобы найти время в пути у каждой машины. Если они окажутся одинаковыми, значит, машины придут в конечный пункт одновременно. Для того, чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. 35 км:70 км/ч=0,5 ч. 42 км:84 км/ч=0,5 ч.

Итак, обе машины приехали в конечный пункт через полчаса.

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, изучаемой в 7 классе, мы узнали, что числовое выражение – это запись из цифр и знаков арифметических действий. С помощью числовых выражений можно решать задачи. Если последним действием в числовом выражении было вычитание, то его называют “разность”. Если вместо знака “-” стоит знак “+”, выражение называется суммой.

>>Математика: Числовые и алгебраические выражения

Числовые и алгебраические выражения

В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами , решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика» . В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины - свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.

Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления , но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача - помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача - не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.

На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.

Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 - числовое выражение, тогда как 3 + : - не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алгоритмы, формулы, теоремы.

Пример 1 . Упростить числовое выражение:

Решение . Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном примере будет таким:

1) найдем значение А выражения в первых скобках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) найдем значение В выражения во вторых скобках:

3) разделим А на Б - тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);

4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
D = 25 - 37- 0,4;

5) разделим С на D - это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана - половина
успеха!), приступим к его реализации.

1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:

(2,73 + 3,27) + 4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математические факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причем не просто вспомнить, но и использовать).

1. Порядок арифметических действий.

2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки