а) Двумерный вариант: Перейдем к новой теме. Как в музыкальном произведении, эта тема будет переплетаться с главной темой, в результате чего в дальнейшем возникнут еще более замечательные выводы.

В первую очередь отметим, что неравенство

на котором основывались все выводы в предыдущих параграфах этой главы (см. § 2 п. б)), является простым

следствием тождества

имеющего место не только для неотрицательных чисел но и для любых действительных чисел Теперь рассмотрим произведение

Произведя умножение, получим многочлен

совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении

Отсюда получаем

Так как квадрат неотрицателен, то из (4.37) следует неравенство

для любых действительных чисел Это весьма симпатичное неравенство имеет большое значение для многих вопросов анализа и математической физики. Оно называется неравенством Коши или, более точно, двумерным вариантом неравенства Коши.

Из соотношения (4.37) вытекает, что равенство в (4.38) достигается тогда и только тогда, когда

В этом случае говорят, что две пары чисел и пропорциональны. При с условие (4.39)

можно записать следующим образом:

б) Геометрическая интерпретация. Впервые встретясь с тождеством (4.37), читатель вполне естественно и законно заинтересуется, каким же все-таки образом можно было натолкнуться на этот результат. Тождество выражений (4.35) и (4.36) покажется ему ничем не мотивированным, случайным, некоторым "математическим трюком", свидетельствующим лишь об известной "ловкости рук" автора приведенного доказательства.

Нерушимым принципом математики является то, что в ней нет случайных фактов и положений. Каждый результат, какое бы место он ни занимал, находит свое истолкование, благодаря которому этот результат становится прозрачным, само собой разумеющимся. Это истолкование может не сразу броситься в глаза, и оно может быть найдено не сразу. Часто подлинный смысл математической теоремы проясняется только тогда, когда мы посмотрим на нее, так сказать, "сверху", т. е. с точки зрения более общей теории. Однако истолкование, поясняющее смысл теоремы, имеется всегда - и это исключительно важно. Если бы дело обстояло не так, то математика выродилась бы в набор несвязанных формальных трюков и схоластических выкрутасов.

Часто наиболее простое истолкование алгебраического результата имеет геометрический характер. Формулы, которые кажутся совершенно непонятными и сложными, становятся очевидными, когда раскрывается их геометрическое содержание.

Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 21. Очевидно, что длины отрезков и определяются равенствами

Обозначим угол между сторонами и через 0. На основании теоремы косинусов имеем

Подставляя значения и и упрощая полученное выражение, получаем

Поскольку значение косинуса всегда заключено между мы имеем

Возводя в квадрат равенство (4.40) и учитывая (4.41), получаем

и, наконец,

А это ведь опять двумерный вариант неравенства Коши (4.38) - неравенства, ранее казавшегося таким непонятным и странным.

Рис. 21. Геометрическая интерпретация неравенства Коши.

Кроме того, мы видим, что равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда т. е. тогда и только тогда, когда или другими словами, в том и лишь том случае, когда точки лежат на одной прямой. При этом должно иметь место равенство подъемов прямых и иначе говоря, если с то должно быть

в) Трехмерный вариант неравенства Коши. Вышеприведенная интерпретация неравенства Коши для двумерного случая хороша еще и тем, что позволяет нам при помощи геометрической интуиции легко сообразить, какой вид будут иметь аналогичные результаты, относящиеся к более сложному случаю любого числа измерений.

Перейдем к случаю обыкновенного или трехмерного пространства (пространства трех измерений). Пусть две точки, несовпадающие с началом координат . Тогда косинус угла 9 между прямыми и будет определяться равенством

которое, в силу того что приводит к трехмерному варианту знаменитого неравенства Коши

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда три точки лежат на одной прямой, что выражается соотношениями

имеющими смысл при условии, что все числа стоящие в знаменателях, отличны от нуля.

г) Тождество Коши - Лагранжа и -мерный вариант неравенства Коши. Чисто

алгебраическое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши (4,42) можно вывести из следующего тождества:

Очевидно, что последнее выражение в (4.43) неотрицательно, так как оно состоит из суммы трех неотрицательных членов. Поэтому

Таким образом, еще одним путем доказано неравенство Коши для трехмерного случая. Из тождества (4.43) видно также, когда неравенство Коши обращается в равенство: последнее выражение в (4.43) равно нулю, лишь если каждое из трех его слагаемых равно нулю, т. е. если все числа пропорциональны.

Если вы впоследствии будете изучать аналитическую геометрию в пространстве, то вы узнаете, что тождество (4.43) - это не что иное, как соотношение

Неравенство Коши-Буняковского

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол между векторами и формулой

Для того чтобы можно было определить из этого равенства, нужно доказать, что

или, что то же самое, что

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право определить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши-Буняковского 2.5.

Чтобы доказать его, рассмотрим вектор, где -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4 скалярного произведения

т.е. для любого

Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно трехчлен принимает лишь неотрицательные значения. Следовательно, дискриминант уравнения

не может быть положительным, т.е.

что и требовалось доказать.

Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши-Буняковского.

Для любых векторов и в евклидовом пространстве имеет место неравенство

Доказательство.

так как (в силу неравенства Коши-Буняковского) , то

т.е. , что и требовалось доказать. (См. также 3, стр.)

Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре

В рассматриваемых ниже примерах используется векторное неравенство Коши - Буняковского и его следствие

| · | || · || , (I)

· || · || , (II)

Заметим, что знак «=» достигается а) в неравенстве (I), если векторы и коллинеарны; б) в неравенстве (II), если векторы и сонаправлены.

Пусть векторы и и v имеют координаты: (х1, у1, z1), (x2, y2, z2). Тогда неравенства (I) и (II) примут вид:

Из неравенств(I) и (II) в том случае, когда имеет место знак «=», следует, что = , где 0, что эквивалентно системе

Перейдем теперь к решению примеров

Пример 1. Решить систему уравнений.

Решение. На первый взгляд может показаться, что данная система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано далее, система (1)-(2) имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: и. Тогда

Так как и, то

Учитывая (3) и (4), имеем: и*е= и * е

Следовательно, на основании (3) x=y=z , а с учетом (1) получаем, что х=у=z=

Ответ: (1/3, 1/3, 1/3).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим (x2, y2, z2) и (1; 2; 2). Тогда очевидно, что || = 1, || = и || · || = . Из (6) следует, что · =. Получается · > || · ||, что невозможно. Следовательно, система (5) - (6) решений не имеет.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одно переменное было, равно нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения (1) на х2у2z2 , мы получаем систему, равносильную данной.

Рассмотрим векторы (,), (x, 2y, z).

Тогда · = 12. Из (1,a) и (2) следует, что || = 4 и || = 3. Таким образом,

· = || · ||. (4)

Из (4) на основании (III) следует, что

откуда y2 = и z2 =. Тогда из уравнения (2) имеем:

откуда х = ± . При этом y = ± и z = ± .

Из полученных значений х, у и z составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнений (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3).

Проверкой убеждаемся, что только две тройки и удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями данной системы.

Покажем теперь применение неравенств (I) и (II) при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для произвольных чисел а, b и с справедливо неравенство:

a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c). (1)

Решение. Введем векторы: (ab, bc, ca) и (ас, аb, bс). Для них имеем:

· = а2bс + аb2c + abс2 = abc(a + b + c), (2)

· = а2b2 + b2c + a2с2. (3)

Из (2) и (3) на основании (II) следует (1).

Пример 5. Доказать, что если а, b, с и d - неотрицательные числа, то имеет место неравенство

Решение. Введем векторы (,) и (,). Тогда

Пример 6. Доказать, что если

Решение. Введем векторы: (х, у) и (1, 1). Тогда

: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №655

Приморского района Санкт-Петербурга

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»

2014г.

Ли Нина Юрьевна

8в класс

Аннотация…………………………………………………………………………………….3

Введение …………………………………………………………………………………….. 4

Историческая справка………………………………………………………………………..4

Неравенство Коши……………………………………………………………………………5

Доказательство неравенств…………………………………………………………………..7

Выводы исследования………………………………………………………………………..10

Список литературы……………………………………………………………………………11

Ли Нина

г. Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №655, 8 класс

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши».

руководитель: Мороз Юлия Владимировна, учитель математики

Цель научной работы: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

ВВЕДЕНИЕ

«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».

Э. Беккенбах

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Целью данной работа является расширение знаний в области методов и приемов доказательства неравенств.

Для достижения данной цели исследования мы поставили перед собой задачи:

• сбор информации из различных источников о приемах и методах доказательства неравенств;
• познакомится с неравенством Коши;
• Научится применять опорные неравенства к доказательству более сложных неравенств.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые и поныне знаки неравенства, обосновывая нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге.

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно.

Одним из таких «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса - . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4 :

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Рассмотрим геометрическое доказательство:

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать:

Доказательство:

1. АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
2. В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
3. ∆AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.

Очевидно, что , равенство достигается при

a = b , то есть ABCD – квадрат.

заменим в неравенстве а² на m , b² на n , получим

Или ,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная исследовательская работа была направлена на решение следующих задач:

• сбор информации и изучение различных методов и приемов доказательства неравенств;
• знакомство с замечательным неравенством Коши, его доказательство алгебраическим и геометрическим способом;
• применение полученных знаний для доказательства неравенств;
• знакомство с методом синтеза и использования тождеств в решении поставленных задач.

В процессе решения задач мы достигли поставленной цели нашей исследовательской работы –нахождение оптимально эффективного метода доказательства неравенств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобр. учрежд./ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов.-13-е изд.- М.:Мнемозина,2013.-384с.

1. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации/ И.Е.Феоктистов.-3-е изд.,стер.-М.:Мнемозина,2013.-173 с.

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2008. – 215с., С 185-200.

1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

Замечательное неравенство Коши.

Это знаменитое неравенство принадлежит французскому математику О.Коши, которое было опубликовано в 1821 году. В то время его доказательство занимало несколько страниц сложных выкладок и было основано на методе математической индукции. С тех пор появилось несколько десятков различных доказательств этого неравенства.

Теорема. Для неотрицательных чисел
справедливо неравенство Коши

Равенство достигается тогда и только тогда, когда
.

Доказательство. Пусть числа - положительны и
. Это число называется средним геометрическим положительных чисел , при
(если n=1, то
).

Возведём обе части равенства в n – ную степень. Получим

Умножим числитель и знаменатель этого равенства на

, n = 2, 3, 4, 5,…

Применим неравенство Бернулли (
), заменив в нём q на
. Получим

Таким образом

Если n = 2, то
;

Если n = 3, то
;

Если n = 4, то
;

……………………………..

Сложим эти неравенства почленно, получим:

Перенесём влево, разделим неравенство на n .

, где

Таким образом
.

Равенство достигается, когда все а равны.

Это неравенство справедливо и для неотрицательных чисел.

Существуют и другие варианты записи неравенства Коши:

Возведём обе части неравенства Коши в n - ную степень

Получим:

Рассмотрим задачи на применение неравенства Коши.

Задача № 1. Произведение положительных чисел
. Доказать, что

Решение. Применим неравенство Коши:

;

Задача №2. Решить уравнение:

Решение. При х = 2 правая часть уравнения равна 2, а при
будет меньше 2, поскольку каждое слагаемое меньше 1. Итак, правая часть не превосходит 2. Левую часть представим в виде

(х>1)

Применим неравенство Коши для слагаемых
и
.

(х > 1)

Таким образом правая часть уравнения не превосходит 2, а левая часть не меньше 2. Равенство достигается если обе части равны двум, то есть

Значит при х = 2.

Ответ: х = 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

С помощью неравенства Коши можно находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Для этого потребуются утверждения, вытекающие непосредственно из неравенства Коши:

Задача № 1. Найти наименьшее значение функции
,
.

Решение. Представим функцию
в виде суммы слагаемых

.

Найдем произведение этих слагаемых

.

Это означает, что своё наименьшее значение сумма слагаемых принимает при
, то есть при
.

.

Ответ: у = 4 – наименьшее значение функции, которое достигается при х = 1 .

Задача № 2. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение. Возведём функцию в квадрат, получим:

, разделим обе части на 4:

.

Представим произведение в виде произведения

.

Найдём сумму этих множителей

,

то есть сумма принимает постоянные значения. Следовательно, функция
, а значит и функция достигает наибольшего значения при
.

Найдём значения функции в этих точках

Следовательно, наибольшее значение функции равно
при
.

Задача № 3. При каких значениях х функция достигает наибольшего значения?

Решение. Запишем функцию
в виде

Найдем сумму этих 5 сомножителей

Применим неравенство Коши для n = 5

Следовательно, функция достигает наибольшего значения равного
, если

Ответ: при
функция достигает наибольшее значение.

Задача № 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
.

Решение. Найдём область определения функции
.

1)
- наименьшее значение, так как
.

2) Применим неравенство Коши для n = 2 для слагаемых
и
.

, то есть функция имеет наибольшее значение , оно достигается, если

Действительно,
.

Ответ:

.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Метод анализа .

Это метод, основанный на анализе исследуемого неравенства, причём таком анализе, с помощью которого «обратимыми» рассуждениями строят цепочку переходов от доказываемого неравенства (через ряд промежуточных) к некоторому очевидному (благодаря ранее полученным результатам) неравенству.

Рассмотрим решение задачи методом анализа.

Задача № 1. Доказать, что для любых действительных чисел a , b , c , d таких, что
и
, выполнимо неравенство
.

Решение. Рассмотрим цепочку переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному, учитывая, что и по условию.

Возведём обе части в квадрат, так как они неотрицательны:

Подставим значения c ² и d ² из условия .

Получили очевидное неравенство.

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза.

Задача № 2. Докажите, что для любых неотрицательных a , b , c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

;
;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Метод от противного.

Суть метода состоит в том, что предполагается выполнение всех условий задачи, а вот само неравенство не выполнено. После чего проводится цепочка равносильных преобразований и выявляется гипотеза, устанавливающая противоречия о выполнении данного неравенства.

Рассмотрим задачу № 1, решённую методом анализа. Решим её методом от противного. . Свойства числовых неравенств . Неравенства одинакового смысла. Неравенства противоположного смысла. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое Неравенство Коши ... положительного числа. Стандартный вид положительного ...

Программа модуля «Методы доказательства неравенств»

Программа

... неравенства : 1) (неравенство Коши ) 2) 3) 4) Историческая справка: Неравенство (1) называют в честь французского математика Огюста Коши . Число называют средним арифметическим...

Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста 050201. 65 (1)

Основная образовательная программа

... неравенства и в форме эквивалентности), признаки Даламбера и Коши , интегральный признак сходимости для рядов с положительными членами...

1. Введение

2. Множества в Евклидовом пространстве

Основные метрические понятия

а) Угол между векторами

б) Неравенство треугольника

3. Комплексные пространства со скалярным произведением

Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

а) Неравенство Коши–Буняковского

б) Неравенство треугольника

Введение

Коши Огюстен Луи (1789-1857) - знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши - разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (1789-1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 -1848), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а (т.е. ), если для любого числа можно подобрать такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< | x-а |< ».

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x0 если limf(x)=f(x0)

Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А является пределом последовательности если для любого существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство | ».

О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л. Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ своими результатами в области математического анализа.

Множества в Евклидовом Пространстве

Основные метрические понятия

п.1 Угол между векторами. Угол между парой векторов x и y мы будем называть тот угол (в пределах от 0 до 1800), косинус которого равен отношению .

Чтобы это определение можно было применить в общем евклидовом пространстве, необходимо доказать, что указанное отношение по абсолютной величине не превосходит единицы, каковы бы ни были векторы x и y.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим векторы , где – вещественное число. В силу аксиомы о положительно определенной форме скалярного произведения векторов при любом

Используя формулу

,

мы можем написать это неравенство в виде

В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно с постоянными коэффициентами. Трехчлен этот не может иметь различных вещественных корней, так как тогда он не мог бы сохранять знака для всех значений . Поэтому дискриминант этого трехчлена не может быть положительным. Следовательно,

,

откуда,извлекая квадратный корень, получаем

, (1)

что и требовалось.

Неравенство (1) называют неравенством Коши–Буняковского.

а) В пространстве V3 неравенство Коши–Буняковского, очевидно, вытекает из самого определения скалярного произведения как произведение длин векторов и косинуса угла между ними.

б) В пространстве Rn неравенство Коши–Буняковского имеет вид

;

оно справедливо для любой пары векторов и или, что-то же самое, для любых двух систем вещественных чисел и .

в) В пространстве R2(a,b) неравенство Коши–Буняковского имеет вид

.

Рассмотрим более подробно неравенство Коши в пространстве Rn. Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn

Def. n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле , называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается Rn .*. Составим вспомогательную функцию от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену.