Определение. Сфера называется вписанной в многогранник , если плоскости всех граней многогранника касаются сферы в тачках, расположенных внутри этих граней. При этом многогранник называется описанным около сферы.

Теорема 1. В произвольный тетраэдр можно вписать сферу (шар).

Множество точек, равноудаленных от боковых граней тетраэдра есть прямая пересечения двух биссекторных плоскостей двугранных углов при двух боковых ребрах. Эту прямую пересечет биссекторная плоскость двугранного угла при основании. Полученная точка равноудалена от всех граней тетраэдра.

В тетраэдре ABCD плоскости CDN и ADM являются биссекторными плоскостями двугранных углов при боковых ребрах CD и AD. Они пересекаются по прямой OD. Плоскость AKC является бисссекторной плоскостью двугранного угла при основании (ребро AC). Эта плоскость пересечет прямую OD в точке S (P – точка пересечения прямых DM и KC, принадлежащая плоскостям AKC и ADM одновременно, следовательно точка S – точка пересечения AP и OD), которая будет являться точкой, равноудаленной от всех граней тетраэдра и, следовательно, будет являться центром сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Пример 1 . Найти радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр.

Рассмотрим подобные треугольники DPS и DOK (по двум углам: угол D – общий, углы DPS и DOK – прямые).

Тогда PS:KO=DS:DK,

если учесть, что PS=r=SO и DS=DO-SO=DO-r,

, , то .

Ответ: радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр равен

Теорема 2. В правильную пирамиду можно вписать сферу.

Теорема 3. В правильную усеченную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее апофема равна сумме радиусов окружностей, вписанных в ее основания.

Теорема 4. В любую призму можно вписать сферу, если в ее перпендикулярное сечение можно вписать окружность, радиус которой равен половине высоты призмы.

Теорема 5. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в ее основание.

Сферы, описанные около цилиндра, конуса и

Усеченного конуса.

Определение. Сфера называется описанной около цилиндра или усеченного конуса , если все точки окружностей оснований принадлежат сфере; Сфера называется описанной около конуса , если все точки окружности основания, а также вершина конуса принадлежат сфере.

В этих случаях говорят, что цилиндр, усеченный конус или конус вписан в сферу.

Теорема 1. Около произвольного цилиндра можно описать сферу.

О 1 и О 2 – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О 1 О 2 перпендикулярна плоскостям основания. Проведем плоскость, проходящую через середину образующей цилиндра, перпендикулярно этой образующей. Эта плоскость будет параллельна плоскостям основания и пересекать прямую О 1 О 2 в точке О, которая и будет являться центром сферы, описанной около цилиндра. Расстояние от точки О до всех точек основания будет равным, так как О 1 О 2 является ГМТ, равноудаленных от окружности (прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярна плоскости окружности). Значит точка О является центром сферы с радиусом ОА, описанной около цилиндра.

Теорема 2. Около усеченного конуса можно описать сферу.

О 1 и О 2 – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О 1 О 2 перпендикулярна плоскостям основания. Рассмотрим образующую усеченного конуса АВ. Найдем ГМТ, равноудаленных от тачек А и В. Им будет являть плоскость, проходящая через точку Р – середину АВ и перпендикулярная этой прямой. Эта плоскость пересечет О 1 О 2 в точке О, которая будет равноудалена от точек А и В. Также очевидно, что точка О будет равноудалена от все точек оснований усеченного конуса. Следовательно эта точка О будет являться центром сферы с радиусом ОА, описанной около усеченного конуса.

Теорема 3. Около конуса можно описать сферу.

Аналогично прошлой теореме ОА – высота конуса, которая является ГМТ, равноудаленных от окружности. Рассмотрим образующую АВ и найдем ГМТ, равноудаленных от А и В. Полученная плоскость (по предыдущей задаче) пересечет ОА в точке О 1 , которая будет равноудалена от точек А и В, как и от любых точек основания конуса. Таким образом мы получили, что точка О 1 является центром сферы с радиусом О 1 А, описанной около конуса.

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.Цели урока:

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника. Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу. Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы. Сформировать навыки решения задач по теме. Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.

Развитиелогического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

Оборудование:

Интерактивная доска

Презентация «Вписанная и описанная сфера»

Условия задач в рисунках на доске. Раздаточный материал (опорные конспекты).

Планиметрия. Вписанная и описанная окружность. Стереометрия. Вписанная сфера Стереометрия. Описанная сфера

Структура урока:

Постановка целей урока (2 минуты). Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут). Объяснение нового материала (15 минут) Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по теме «Стереометрия. Описанная сфера» и применение темы при решении задач (15 минут). Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся (5 минут). Постановка домашнего задания (2 минуты). Резервные задания.

Ход урока 1. Постановка целей урока.

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника. Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу. Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы. Сформировать навыки решения задач по теме.

2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос). Окружность, вписанная в многоугольник.

Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Как называется многоугольник, в который вписана окружность? Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник? Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник? Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник? Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?

Окружность, описанная около многоугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника? Как называется многоугольник, около которого описана окружность? Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника? Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника? Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника? Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?

3. Объяснение нового материала. А. По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы. Сфера, вписанная в многогранник.

Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник. Как называется многогранник, в который можно вписать сферу? Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы? Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?) Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник? В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях?

В. Учащиеся доказывают теорему. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.С. Учащиеся анализируют решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по « Сфера, описанная около многогранника » и применение при решении задач.

А. Учащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:

Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.

Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?

Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?

Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?

Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?

Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)

Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

5. Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.

Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?

Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?

Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS).

6. Постановка домашнего задания.

А. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». (Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638)

В. Решить из учебника задачу № 640.

С. Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс» решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс»решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Учебно – методический комплект

Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.

Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс», М.: Просвещение.

Учитель математики

ГБОУ лицей-интернат «ЦОД»

г Нижний Новгород

Многогранники, вписанные в шар Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему.

Формула для нахождения радиуса описанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, R - радиус окружности, описанной около основания. Найдем радиус описанной сферы. Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO1 и SAO. Тогда SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Но KS = SA/2. Тогда R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (h 2 +R 2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), где b - боковое ребро.

Параллелепипед, вписанный в шар Теорема: Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае он является прямым и около его основания - параллелограмма - может быть описана окружность (т. к. основание - прямоугольник).

Задача 1 Найти радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а. Решение: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Ответ:SO 1 = a /4. Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведем апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O 1 есть пересечение высоты SO и отрезка DN. Используя формулу из R 1 = b 2 /(2h), получим:

Задача 2 Решение: По формуле R 1 =b 2 /(2h) для нахождения радиуса описанного шара найдем SC и SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найти радиус описанного шара. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·). Ответ: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Многогранники, описанные около шара Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Положение центра вписанной сферы Понятие биссекторной плоскости двугранного угла. Биссекторной называется плоскость, делящая двугранный угол на два равных двугранных угла. Каждая точка этой плоскости равноудалена от граней двугранного угла. В общем случае центр вписанной в многогранник сферы является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он всегда лежит внутри многогранника.

Пирамида, описанная около шара Шар, называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания). Теорема: Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар. Так как двугранные углы при основании равны, то их половинки тоже равны биссектрисы пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка принадлежит всем биссекторным плоскостям при основании пирамиды и равноудалена от всех граней пирамиды – центр вписанного шара.

Формула для нахождения радиуса вписанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, r - радиус вписанной окружности. Найдем радиус описанной сферы. Пусть SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Тогда по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Ответ: r 1 = rh/(+ r).

Параллелепипед и куб, описанные около шара Теорема: В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание - ромб, причем высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность) Теорема: В куб всегда можно вписать сферу. Центр этой сферы - точка пересечения диагоналей куба, а радиус равен половине длины ребра куба.

Комбинации фигур Вписанная и описанная призмы Призма, описанная около цилиндра – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра. Призма, вписанная в цилиндр – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра. Касательная плоскость к цилиндру – плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Вписанная и описанная пирамиды Пирамида, вписанная в конус – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус – образующие конуса. Пирамида, описанная около конуса – пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды – касательные плоскости конуса. Касательная плоскость к конусу – плоскость, проходящая через образующую и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Другие виды конфигураций Цилиндр вписан в пирамиду, если окружность одного его основания касается всех боковых граней пирамиды, а другое его основание лежит на основании пирамиды. Конус вписан в призму, если его вершина лежит на верхнем основании призмы, а его основание – круг, вписанный в многоугольник – нижнее основание призмы. Призма вписана в конус, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее основание призмы лежит на основании конуса.

Задача 1 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара. Решение: Выразим стороны SOK через а и α. OK = a/2. SK = KC · ctg(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Использую формулу r 1 = rh/(+ r), найдем радиус вписанного шара: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Ответ: r 1 = (a/2)

Вывод Тема «Многогранники» изучается учениками в 10 и 11 классах, но в учебной программе очень мало материала на тему «Вписанные и описанные многогранники», хотя она вызывает очень большой интерес у учащихся, так как изучение свойств многогранников способствует развитию абстрактного и логического мышления, что впоследствии пригодится нам в учебе, работе, жизни. Работая над данным рефератом, мы изучили весь теоретический материал на тему «Вписанные и описанные многогранники», рассмотрели возможные комбинации фигур и научились применять весь изученный материал на практике. Задачи на комбинацию тел – наиболее трудный вопрос курса стереометрии 11 класса. Но теперь мы с уверенностью можем сказать, что у нас не возникнет проблем при решении подобных задач, так как в ходе нашей исследовательской работы мы установили и доказали свойства вписанных и описанных многогранников. Очень часто у учащихся возникают трудности при построении чертежа к задаче на данную тему. Но, узнав, что для решения задач на комбинацию шара с многогранником изображение шара бывает излишним и достаточно указать его центр и радиус, мы можем быть уверены, что данных трудностей у нас не возникнет. Благодаря данному реферату мы смогли разобраться в этой трудной, но очень увлекательной теме. Мы надеемся, что теперь у нас не возникнет трудностей при применении изученного материала на практике.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 11 классов Составил учитель математики высшей категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год

2 слайд

Описание слайда:

Многогранники, вписанные в сферу. Тема, аналогична теме курса планиметрии, где говорилось, что окружности можно описать вокруг треугольников и правильных n-угольников. Аналогом окружности в пространстве является сфера, многоугольника – многогранник. При этом аналогом треугольника является треугольная призма, а аналогом правильных многоугольников – правильные многогранники. Определение. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера называется описанной около многогранника.

3 слайд

Описание слайда:

«Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность». Доказательство Если около прямой призмы описана сфера, то все вершины основания призмы принадлежат сфере и, следовательно, окружности, являющейся линией пересечения сферы и плоскости основания. Обратно, пусть около основания прямой призмы описана окружность с центром в точке О1 и радиуса r. Тогда и около второго основания призмы можно описать окружность с центром в точке О2 и тем же радиусом. Пусть О1О2=d, О – середина O1O2. Тогда сфера с центром О и радиуса R= будет искомой описанной сферой. Теорема 1.

4 слайд

Описание слайда:

«Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу, причём только одну». Доказательство. Обратимся к доказательству, аналогичному из курса планиметрии. Прежде всего надо найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух вершин треугольника. Например, А и В. Таким геометрическим местом является серединный перпендикуляр, проведённый к отрезку АВ. Затем находим геометрическое место точек, равноудалённых от А и С. Это серединный перпендикуляр к отрезку АС. Точка пересечения этих серединных перпендикуляров и будет искомым центром О описанной около треугольника АВС окружности. Теорема 2.

5 слайд

Описание слайда:

Теперь рассмотрим пространственную ситуацию и сделаем аналогичные построения. Пусть дана треугольная пирамида DABC, причём точки А, В и С определяют плоскость α. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А, В и С является прямая а, перпендикулярная плоскости α и проходящая через центр О1 описанной около треугольника АВС окружности. Геометрическим местом точек, равноудалённых от точек А и D, является плоскость β, перпендикулярная отрезку АD и проходящая через его вершину – точку Е. Плоскость β и прямая а пересекаются в точке О, которая и будет искомым центром описанной около треугольной пирамиды DABC сферы. Действительно, в силу построения точка О одинаково удалена от всех вершин пирамиды DABC. Причём такая точка будет единственной, так как пересекающиеся прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

6 слайд

Описание слайда:

Шар, описанный около правильной пирамиды. Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды, и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности. Радиус шара R, высота пирамиды H и радиус окружности r, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: R2=(H-R)2+r2 Это соотношение справедливо и в том случае, когда H < R.

7 слайд

Описание слайда:

Задача про шар, описанный около правильной пирамиды. «Около правильной пирамиды РABC описан шар с центром в точке О и радиусом 9√3м. Прямая РО, содержащая в себе высоту пирамиды, пересекает основание пирамиды в точке Н так, что РН:ОН=2:1. Найти объём пирамиды, если каждое её боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45 градусов».

8 слайд

Описание слайда:

Дано: РABC – правильная пирамида; шар(O;R=9√3 м) описан около пирамиды; РО∩(АВС)=Н; РН:ОН=2:1; ∟РАН=∟ РВН=∟ РСН=45о. Найти: Vпир. Решение: Так как РН:ОН=2:1 (по условию), то РН:ОР=2:3 РН:9√3 =2:3 РН=6√3 (м) 2. РН _ (АВС) (как высота пирамиды) => => РН _ АН (по определению) => РАН – прямоугольный. 3. В РАН:

9 слайд

Описание слайда:

4. Так как по условию РАВС – правильная пирамида и РН – её высота, то по определению АВС – правильный; Н – центр описанной около АВС окружности, значит, 5. Ответ: 486 м3.

10 слайд

Описание слайда:

Шар, описанный около призмы. Шар можно описать около призмы, если она прямая, и ее основания являются многоугольниками, вписанными в окружность. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус шара R, высота призмы H и радиус окружности r, описанных около основания призмы, связаны соотношением:

11 слайд

Описание слайда:

Задача про шар, описанный около призмы. «Правильная призма АВСDA1B1C1D1 с высотой равной 6 см вписана в шар (т.О;R=5см). Найти площадь сечения призмы плоскостью, параллельной плоскостям основания и проходящей через точку О – центр шара».

12 слайд

Описание слайда:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная призма; шар(O;R=5 см) описан около призмы; высота призмы h равна 6 см; α║(АВС); О с α. Найти: Sсеч α, Решение: Так как по условию призма вписана в шар, то (r-радиус окружности, описанной около основания призмы) Но по условию дана правильная призма, значит,

13 слайд

Описание слайда:

а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по свойству прямой призмы) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (по свойству параллельных плоскостей) Ho (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) => КМ=НР (по свойству параллельных плоскостей). Значит, КМНР – параллелограмм (по признаку)=> МН=КР и МН ║ КР б) α ║ (АВС) (по построению) α ∩ (АВВ1)=КМ (АВС) ∩ (АВВ1)=АВ => KM ║ АВ (по свойству параллельных плоскостей) 2. 3. Так как по условию АВСDA1B1C1D1 – правильная призма, и сечение плоскостью α параллельно основаниям, то образованная сечением фигура – квадрат. Докажем это: => => =>

14 слайд

Описание слайда:

KMH= ABC=90o (как углы с соответственно сонаправленными сторонами) Значит, ромб КМНР – квадрат (по определению), что и требовалось доказать. Причём, квадраты КМНР и АВСD равны. Следовательно, по свойству их площади равны, а, значит, Sсеч α.=SABCD=32 (см2) Ответ: 32 см2. в) KM ║ АВ (доказали) (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) => КМ=АВ=4√2 см (по свойству параллельных плоскостей). г) Аналогично доказывается, что МН ║ ВС и МН=ВС=4√2 см. Значит, МН=КМ => параллелограмм МНРК – ромб (по определению). д) МН ║ ВС (доказали) КМ ║ АВ (доказали) => =>

15 слайд

Описание слайда:

Цилиндр, описанный около призмы. Цилиндр можно описать около прямой призмы, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность. Радиус цилиндра R равен радиусу этой окружности. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. В случае с четырёхугольной призмой (если в основании прямоугольник), ось цилиндра проходит через точку пересечения диагоналей оснований призмы.

16 слайд

Описание слайда:

Задача про цилиндр, описанный около призмы. Прямая призма АВСDA1B1C1D1 , основание которой – прямоугольник, вписана в цилиндр, образующая которого равна 7 см, а радиус – 3 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если угол между диагоналями АВСD равен 60 градусов. ОО1 – ось цилиндра.

17 слайд

Описание слайда:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямая призма; цилиндр описан около призмы; образующая цилиндра АА1=7 см; радиус основания цилиндра равен 3 см; угол между диагоналями АВCD равен 60о; ОО1 – ось цилиндра. Найти: Sбок.призм. Решение: Так как по условию четырёхугольная призма, в основании которой прямоугольник, вписана в шар, то по свойству АС∩ВD=О. Значит, АОВ=60о и АО=ОВ=3см. 2. В АОВ по теореме косинусов.

Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера при этом называется описанной около многогранника.

Теорема. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.

Многогранники, вписанные в сферу

Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус сферы R вычисляется по формуле

где h – высота призмы, r – радиус окружности, описанной около основания призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда?

Ответ: Да. Ее центром является точка пересечения диагоналей, а радиус равен половине диагонали параллелепипеда

Упражнение 2

Можно ли описать сферу около наклонного параллелепипеда, все грани которого ромбы?

Ответ: Нет.

Упражнение 3

Можно ли описать сферу около наклонной призмы?

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Может ли центр сферы, описанной около призмы, находится вне призмы?

Ответ: Да, если в основании призмы – тупоугольный треугольник.

Упражнение 5

Может ли центр сферы, описанной около пирамиды, находится вне этой пирамиды?

Ответ: Да.

Сфера, описанная около куба

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.

Упражнение 2

Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу.

Упражнение 3

Найдите радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3.

Упражнение 4

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Радиус описанной сферы равен 1,5 . Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда.

Сфера, описанная около тетраэдра

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетраэдра.

Решение. В тетраэдре SABC имеем:

BE = SE =

В прямоугольном треугольнике OBE имеем:

R , находим

Упражнение 2

Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу.

Упражнение 3

Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3. Одно из боковых ребер равно 2 и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Пусть O – центр описанной сферы, Q – центр окружности, описанной около основания, E – середина SC . Четырехугольник CEOQ – прямоугольник, в котором CE = 1, CQ = Следовательно, R=OC= 2.

Ответ: R = 2.

Упражнение 4

На рисунке изображена пирамида SABC , для которой ребро SC равно 2 и перпендикулярно плоскости основания ABC , угол ACB равен 90 о, AC = BC = 1 . Постройте центр сферы, описанной около этой пирамиды и найдите ее радиус.

Решение. Через середину D ребра AB проведем прямую, параллельную SC . Через середину E ребра SC проведем прямую параллельную CD . Их точка пересечения O будет искомым центром описанной сферы. В прямоугольном треугольнике OCD имеем:

OD = CD = По теореме

Пифагора, находим

Упражнение 5

Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1, и плоские углы при вершине равны 90 о.

Решение. В тетраэдре SABC имеем:

AB = AE = SE =

В прямоугольном треугольнике OAE имеем:

Решая это уравнение относительно R , находим

Сфера, описанная около треугольной призмы

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите радиус сферы, описанной около правильной призмы, все ребра которой равны 1.

Решение. Имеем:

AA 1 = 1, AD = OD =

Следовательно, R = AO =

Упражнение 2

Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту призмы.

Решение. Имеем: AO = 2, OD =

Следовательно, h = AA 1 = 2 AO =

Упражнение 3

Около правильной треугольной призмы, высота которой равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите сторону основания призмы.

Решение. Имеем: AO = 1 , OD =

Следовательно, AD =

Значит, AB =

Упражнение 4

Найдите радиус сферы, описанной около прямой треугольной призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, и высота призмы равна 2.

Решение. Радиус сферы равен половине диагонали A 1 C прямоугольника ACC 1 A 1 .

Имеем: AA 1 = 2, AC =

Следовательно, R =

Сфера, описанная около правильной шестиугольной призмы

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.

Решение. Имеем AG = 1, OG =

Следовательно, R=AO=

Сфера, описанная около правильной четырехугольной пирамиды

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

Сфера, описанная около правильной шестиугольной пирамиды

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около правильной 6-угольной пирамиды, ребра основания которой равны 1, а боковые ребра - 2.

Решение. Треугольник SAD – равносторонний со стороной 2. Радиус R описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника SAD . Следовательно,

Сфера, описанная около октаэдра

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около единичного октаэдра.

Решение. Радиус R описанной сферы равен половине диагонали квадрата ABCD со стороной 1. Следовательно,

Сфера, описанная около икосаэдра

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около единичного икосаэдра.

Решение. В прямоугольнике ABCD AB = CD = 1, BC и AD – диагонали правильных пятиугольников со сторонами 1. Следовательно,

BC = AD =

По теореме Пифагора AC =

Искомый радиус равен половине этой диагонали, т.е.

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около единичного додекаэдра.

Решение. ABCDE – правильный пятиугольник со стороной

В прямоугольнике ACGF AF = CG = 1, AC и FG – диагонали пятиугольника ABCDE и, следовательно, AC = FG =

По теореме Пифагора

FC = Искомый радиус

равен половине этой диагонали, т.е.

Упражнение

На рисунке изображен усеченный тетраэдр, получаемый отсечением от углов правильного тетраэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного тетраэдра, ребра которого равны 1.

Упражнение

На рисунке изображен усеченный куб, получаемый отсечением от углов куба треугольных пирамид, гранями которого являются правильные восьмиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного куба, ребра которого равны 1.

Упражнение

На рисунке изображен усеченный октаэдр, получаемый отсечением от углов октаэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного октаэдра, ребра которого равны 1.

Упражнение

На рисунке изображен усеченный икосаэдр, получаемый отсечением от углов икосаэдра пятиугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и пятиугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного икосаэдра, ребра которого равны 1.

Упражнение

На рисунке изображен усеченный додекаэдр, получаемый отсечением от углов додекаэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные десятиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного додекаэдра, ребра которого равны 1.

Упражнение

Найдите радиус сферы, описанной около единичного кубооктаэдра

Решение. Напомним, что кубооктаэдр получается из куба отсечением правильных треугольных пирамид с вершинами в вершинах куба и боковыми ребрами, равными половине ребра куба. Если ребро октаэдра равно 1, то ребро соответствующего куба равно Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра куба до середины его ребра, т.е. равен 1.

Ответ: R = 1.