Занятие 9 . Плоскость и прямая в пространстве.

9.1. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор.

9.3. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости двух прямых в пространстве.

9.1. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор.

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид, где
- числовые коэффициенты,
- координаты произвольной точки плоскости.

Это уравнение получается при решении следующей задачи.

Задача 1 . Найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
перпендикулярно вектору
.

Решение. Обозначим искомую плоскость через
. Используем далее такую цепочку выводов:

Отметим полную аналогию между общим уравнением прямой на плоскости
и общим уравнением плоскости в пространстве.

Из решения задачи видно, что из общего уравнения плоскости сразу же можно найти вектор
перпендикулярныйплоскости. Этот вектор называетсянормалью (илинормальным вектором ) к плоскости. Например, из общего уравнения плоскости
(в этом уравнении) получаем такой нормальный вектор
. Коэффициентне имеет особой смысловой нагрузки, относительно него можно только сказать, что при
плоскость проходит через начало координат
, а при
не проходит через начало координат. Следует также отметить, что уравнение
задает в пространстве
плоскость с нормалью
, которая показывает, что данная плоскость проходит параллельно оси
. Это же уравнение
на плоскости
определяет прямую.

Аналогично, уравнение
в пространстве
представляет общее уравнение координатной плоскости
. Нормалью к этой плоскости служит орт
- единичный вектор положительного направления оси
.

При нахождении уравнений плоскостей часто используются условие ортогональности двух векторов (как это делается в задаче 1) и условие компланарности трех векторов.

Пример 1 . Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Решение. Сначала убедимся, что данные три точки не лежат на одной прямой (если эти точки лежат на одной прямой, то существует бесконечно много плоскостей, содержащих данные точки). Найдем векторы . Их координаты не пропорциональны. Значит, точки
не лежат на одной прямой и через них проходит только одна плоскость. Найдем эту плоскость, которую обозначим
, двумя способами.

1) - компланарны
смешанное произведение векторов
равно нулю

Общее уравнение плоскости
.

2)
- вектор нормали к плоскости
, т.к. по определению векторного произведенияперпендикулярен векторам
, параллельным
. Дальнейшие рассуждения повторяют решение задачи 1.

Общее уравнение плоскости
.

Пример 2 . Найти уравнение плоскости
, проходящей через точку
параллельно плоскости
:
.

Решение.
:- вектор нормали к плоскости
. Этот же вектор служит вектором нормали к плоскости
. Остается повторить решение задачи 1.

Общее уравнение плоскости
.

Пример 3 .Найти двугранный угол, под которым пересекаются плоскости
и
.

:
,
:
.

Решение. Двугранный угол (тупой или острый) между плоскостями равен углу между их нормалями.

:,
:.

- тупой угол,

. Острый двугранный угол между
и
равен
.

9.2. Прямая в пространстве
: канонические, параметрические уравнения.

1). Прямую в пространстве
можно определить как линию пересечения двух плоскостей. Следовательно, система из двух уравнений плоскостей
,

(1)

задает прямую в пространстве
при обязательном условии, что нормали
,
к этим плоскостям не параллельны. Если и
параллельны, то плоскости
,
либо параллельны, либо совпадают. И в том и другом случае система (1) уже не будет давать прямую.

Замечание. Задание прямой системой (1) не совсем удобно, т.к. из него не видно ни направления прямой, ни одной из точек на этой прямой. Эту информацию можно добыть из системы (1) лишь посредством дополнительных вычислений.

Более предпочтительными в плане сделанного замечания являются канонические и параметрические уравнения прямой в
.

2). Канонические уравнения прямой в пространстве
имеют вид

. (2)

Здесь
- заданные числа, они имеют следующий геометрический смысл:
- координаты фиксированной точки
на прямой;

- координаты направляющего вектора прямой .

- координаты произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в
имеют вид

(3)

Геометрический смысл величин
и величин
тот же, что и выше.

Уравнения (2),(3) получаются при решении пространственного варианта задачи 2 из занятия 8.

Замечание. У прямой на плоскости есть нормаль , которая также как и направляющий вектор прямой, позволяет установить направление этой прямой.Для прямой в пространстве вектор нормали не имеет смысла , т.к. существует бесконечно много перпендикулярных к пространственной прямой векторов с разным направлением, и один заданный перпендикулярный к этой прямой вектор не дает однозначного ответа о ее направлении.

Пример 4 . Найти канонические уравнения прямой
, заданной как пересечение двух плоскостей
:
и
:
.

Система уравнений
задает прямую
в пространстве, т.к. нормальные векторы к плоскостям
и
, а это векторы
и
не параллельны. Найдем две фиксированные точки
на прямой
.

1. Подставим в систему значение
, получим

.

Геометрический смысл точки
: это - точка пересечения прямой
с плоскостью
.

2. Подставим в систему значение
, получим

.

Точка
, это точка пересечения прямой
с плоскостью
.

3. - направляющий вектор прямой
.

4. координаты векторов
пропорциональны

. Это и есть каноническое уравнение прямой
.

5. Замечание. Направляющий вектор прямой
можно было найти по векторам
и
. Для этого надо вычислить векторное произведение.

Вектор перпендикулярен векторами
одновременно. Следовательно,параллелен прямой
и служит другим (по сравнению с вектором) направляющим вектором этой прямой. Кстати:
, что тоже указывает на параллельность векторапрямой
. При таком подходе канонические уравнения прямой
получаются после выполнения пунктов 1., 4. и 5. изложенного решения. Только ответ уже получится в виде
.

Пример 5 . Найти параметрические уравнения прямой
, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
:
.

Решение.
- вектор нормали к плоскости
. Этот вектор параллелен прямой
и, значит, является ее направляющим вектором. Следовательно,

Пример 6 . Найти канонические и параметрические уравнения прямой
, проходящей через точку
параллельно прямой
:
.

Решение.
- направляющий вектор прямой
. Этот же вектор является направляющим вектором искомой прямой
. Следовательно,

координаты векторов
пропорциональны

- канонические уравнения прямой


- параметрические уравнения прямой
.

9.3. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

Расстояние от точки
до плоскостинаходится по формуле
.

Наиболее полезную информацию о взаимном расположении двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве можно извлечь из направляющих векторов прямых и нормалей к плоскостям.

Пример 8 . Найти расстояниеот точки
до плоскости
.

Решение. .

Пример 9 . При каком значении параметраплоскость
:
параллельна плоскости
:
?

Решение. Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы
и
, т.е. должно быть
. Это двойное равенство не выполняется ни при каком, т.к.
. Следовательно, плоскости
и
не параллельны при всех значениях параметра.

Пример 10 . При каких значениях параметров
прямая
:
лежит в плоскости
:
?

По каноническим уравнениям прямой
запишем ее параметрические уравнения

.

все точки прямой
удовлетворяют уравнению плоскости

ответ:
.

Можно эту задачу решить по другому.
- направляющий вектор прямой
и
- фиксированная точка этой прямой.
- вектор нормали к плоскости
. Далее строим такую цепочку рассуждений.

Пример 11 . Выяснить взаимное расположение двух прямых

:
и
:
.

Решение. Прямые в пространстве могут скрещиваться, могут пересекаться в одной точке, могут быть параллельны, могут совпадать. Выясним, какой из указанных четырех случаев реализуется в этом примере.

Из уравнения
выводим:и
.

Из уравнения
выводим:
и
.

.

Если прямые
и
пересекаются или параллельны, или совпадают, то тройка векторов
- компланарна. А если прямые
и
скрещиваются, то тройка векторов
-некомпланарна. Найдем смешанное произведение этих трех векторов.

тройка
-некомпланарна

прямые
и
скрещиваются.

Приведенные в занятиях 8, 9 примеры наглядно демонстрируют мощь векторных методов и исключительную роль условий: коллинеарности двух векторов; ортогональности двух векторов; компланарности трех векторов при нахождении уравнений прямых и плоскостей .

Домашнее задание .

1. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через три точки .

2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением плоскостей .

3. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
, с этой плоскостью.

§ 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой

Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Так как всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собою, то один из них получается из другого умножением на некоторое число .

Ббльшая часть этой главы исследованию прямых линий на плоскости; лишь в §§ 4 и 10 рассматриваются прямые в пространстве; прямые в пространстве будут изучаться еще и в главе X.

Предположим, что в данной плоскости раз навсегда выбрана некоторая аффинная система координат.

Рассматриваем сначала случай прямой d, параллельной одной из координатных осей. Если прямая d параллельна оси ординат, то (согласно замечанию на стр. 40) ее направляющими векторами являются все векторы вида и только они (здесь - произвольное число ). Точно так же ненулевые векторы вида и только эти векторы являются направляющими векторами любой прямой, параллельной оси абсцисс.

Пусть прямая d параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке (рис. 63). Тогда все векторы ОМ, где М - произвольная точка прямой, при проектировании на ось абсцисс (вдоль оси ординат) переходят в один и тот же вектор для всех точек М нашей прямой (и только для них) имеем

Это и есть уравнение прямой, параллельной оси ординат. Аналогично прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение

(При этом параллельность понимается в широком смысле - сама ось ординат имеет уравнение , а ось абсцисс

Имеет место следующее простое предложение:

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

В самом деле, если - два направляющих вектора данной прямой d, то , т. е. одновременно

и, значит (так как ),

Замечание 1. Направляющий вектор прямой, параллельной оси ординат, имеет вид поэтому угловой коэффициент прямой, параллельной оси ординат, равен .

Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, есть 0,

Замечание 2. Всякий вектор , для которого отношение равно угловому коэффициенту k данной прямой d, есть направляющий вектор этой прямой.

Для прямых, параллельных какой-нибудь из осей координат, утверждение очевидно (так как тогда или и вектор , для которого , параллелен соответствующей оси координат). Пусть прямая d не параллельна ни одной из осей координат и есть какой-нибудь направляющий вектор этой прямой. Тогда , т. е. вектор и коллинеарен направляющему вектору их прямой d и, следовательно, сам является ее направляющим вектором.

Замечание 3. Если система координат прямоугольная, то для углового коэффициента k прямой d имеем , где а есть угол наклона любого направляющего вектора прямой d к оси абсцисс.

Найдем теперь уравнение прямой d, не параллельной оси ординат (система координат снова произвольная аффинная).

Обозначим угловой коэффициент прямой d через k, а точку ее пересечения с осью через (рис. 64).

Если произвольная точка прямой d, отличная от точки Q, то вектор есть направляющий вектор прямой d и, следовательно,

Другими словами, все точки прямой d удовлетворяют уравнению

Обратно, всякая точка , удовлетворяющая уравнению (1), лежит на прямой d: в самом деле, существует единственная точка М с абсциссой лежащая на прямой d, и эта точка, имея ту же абсциссу , что и точка удовлетворяет уравнению (1) и, значит, имеет ординату ту же, что и точка . Значит, т. е. точка лежит на прямой .

Итак, уравнению (1) удовлетворяют все точки прямой d и только они, а это и значит, что уравнение (1) есть уравнение прямой .

Пусть мы каким бы то ни было способом нашли уравнение вида (1), которому удовлетворяют все точки данной прямой d и только они.

Докажем, что тогда непременно есть ордината Q пересечения прямой d с осью ординат, a k есть угловой коэффициент этой прямой.

Первое утверждение очевидно: для нахождения точки Q пересечения прямой d с осью ординат надо в уравнение (1) подставить получаем , т. е. . Далее, при любом выборе отличной от Q точки прямой d вектор есть направляющий вектор этой прямой, и, следовательно, есть угловой коэффициент прямой .

Итак, существует единственное уравнение вида (1), являющееся уравнением данной прямой d (не параллельной оси ординат). Это уравнение - первой степени; так как и прямая, параллельная оси ординат, определяется уравнением первой степени , то мы доказали, что всякая прямая на плоскости определяется некоторым уравнением первой степени, связывающим координаты ее точек.

Докажем обратное предложение. Пусть

Произвольное уравнение первой степени относительно . Докажем, что оно является уравнением некоторой прямой.

Возможны два случая: или ВО.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Основные виды уравнений плоскости.

1) -общее уравнение плоскости ;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точкуМ 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) перпендикулярно нормальному вектору
;

3)
-уравнение плоскости в отрезках , где а , b , с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох ,О y , О z соответственно;

4)
-уравнение плоскости , проходящей через три точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) , М 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , М 3 (x 3 , y 3 , z 3 ).

Основные виды уравнений прямой.

1)
-общее уравнение прямой , как пересечение двух плоскостей, где направляющий вектор прямой находится из векторного произведения нормальных векторов плоскостей

;

2)
-каноническое уравнение прямой или уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) параллельно вектору;.

3)
- уравнение прямой, проходящей через две точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и М 2 (x 2 , y 2 , z 2 );

4)
-векторное уравнение прямой , где
- радиус-вектор точки, лежащей на прямой,
- направляющий вектор прямой, или в параметрической форме
.

Расстояние от точки
до плоскости определяется по формуле
.

Угол между двумя прямыми , заданными в канонической форме , определяется как угол между их направляющими векторами

.

Угол между прямой
и плоскостью определяется так:

.

Задача. А(1,2,3) параллельно прямой
.

Решение. Так как прямые параллельны, значит направляющий вектор для искомой прямой будет таким же, как и для данной, т.е.
. Поэтому применяем каноническое уравнение прямой, проходящей через точкуА (1,2,3) параллельно вектору
, т.е.
.

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2,-3,5) параллельно прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей:
.

Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей

.

Тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-3,5) параллельно вектору
будет
.

Задача. Дана пирамида АВС D с вершинами А(1,5,7), В(-1,0,1), С (3,-2,4), D (0,1,-1 ). Найти угол между ребром А D и гранью АВС.

Решение. Найдем уравнение грани АВС , т.е. уравнение плоскости, проходящей через три точки А , В и С .

Уравнение ребра AD - уравнение прямой, проходящей через две точки А и D :

Тогда угол между ребром и гранью будем находить по формуле угла между прямой и плоскостью:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,3) и через прямую, данную в виде пересечения двух плоскостей

.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей, проходящих через данную прямую . Так как плоскость должна проходить через точкуА , то, подставив ее координаты в уравнение пучка, найдем λ :

.

Теперь, подставив λ в уравнение пучка, получим искомую плоскость:

Задача. Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.

Решение. Параметрически уравнения прямой запишутся в виде . Далее, подставив в уравнение плоскости, найдемt :
.

По данному t найдем координаты точки пересечения

Задание 4.1.

Даны координаты вершин пирамиды АВС D . Найти:

1) Уравнение грани АВС ;

2) Уравнение высоты DM , опущенной из точки D на грань АВС;

3) Длину высоты ДМ ;

4) Уравнение ребра DC ;

5) Угол наклона ребра DC к плоскости АВС.

1. А(-3;-2;-4), B (-4;2;-7), C (5;0;3), D (-1;3;0)

2. A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)

3. A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)

4. A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)

5. A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)

6. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)

7. A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)

8. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)

9. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)

10. A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)

11. A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)

12. A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)

13. A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;9;-2)

14. A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)

15. A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)

16. A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)

17. A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)

18. A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)

19. A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)

20. A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)

21. A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)

22. A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)

23. A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)

24. A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)

25. A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)

Задание 4.2.

Даны координаты точек А, В, С . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой АВ ;

2) составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ ;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ;

4) найти следы этой плоскости на координатных плоскостях.

1. A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1), C(0;1;-1).

3. A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2), C(1;-3;2).

5. A(-3;1;2), B(1;3;-2), C(-2;0;-2). 6. A(-2;3;1), B(2;5;-3), C(-1;2;-3).

7. A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4), C(2;3;-4).

9. A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0), C(6;4;0).

11. A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2), C(-1;2;1).

13. A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1), C(2;0;2).

15. A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2), C(-7;13;-3).

17. A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4).

19. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4).

21. A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4), C(3;1;-4).

23. A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1), C(7;-1;-8).

25. A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).

Задание 4.3.

Даны уравнение прямой в виде пересечения двух плоскостей и координаты точки А. Требуется:

1) составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и точку А;

2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельно оси О X ;

Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.

Определение . Уравнение вида

F (x , y )=0 (1)

называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Степень уравнения (1) определяет порядок линии . Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L .

Определение . Уравнение вида

Ах+Ву+С=0 (2)

при произвольных коэффициентах А , В , С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой .

Уравнение (2) есть уравнение первой степени, таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение (2) является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1)Если С=0 , то уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат т.к. координаты (0,0) удовлетворяют данному уравнению.

2)Если В=0 (А≠0 ), то уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси ординат. Разрешив это уравнение относительно переменной х получим уравнение вида х=а , гдеа=-С/А , а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси абсцисс. Если а=0 (С=0 Оу (рис.1а). Таким образом, прямая х=0 определяет ось ординат.

3)Если А=0 (В≠0 ), то уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Разрешив это уравнение относительно переменной у получим уравнение вида у= b , гдеb =-С/В , b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси ординат. Если b =0 (С=0 ), то прямая совпадает с осью Ох (рис.1б). Таким образом, прямая у=0 определяет ось абсцисс.

а) б)

Уравнение прямой в отрезках .

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С в правую часть и разделим на -С обе части.

Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках »:

Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Пример 2х-3у+6=0 . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить эту прямую.

Решение

Чтобы построить эту прямую, отложим на оси Ох отрезок а=-3 , а на оси Оу отрезок b =2 . Через полученные точки проведем прямую (рис.2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициент В не равен нулю. Выполним следующие преобразования

Уравнение (4), где k =- A / B , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Определение . Углом наклона данной прямой к оси Ох назовем угол α , на который нужно повернуть ось Ох , чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту, т.е k = tgα . Докажем, что –А/В действительно равно k . Из прямоугольного треугольника ΔОАВ (рис.3) выразим tgα , выполним необходимые преобразования и получим:

Что и требовалось доказать.

Если k =0 , то прямая параллельна оси Ох , и её уравнение имеет вид у= b .

Пример . Прямая задана общим уравнением 4х+2у-2=0 . Составить для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.

Решение . Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:

где k=-2, b=1 .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с данным угловым коэффициентом.

Пусть задана точка М 0 (х 0 ,у 0) прямой и её угловой коэффициент k . Запишем уравнение прямой в виде (4), где b —пока неизвестное число. Так как точка М 0 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (4): . Подставляя выражение для b в (4), получаем искомое уравнение прямой:

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и под наклоном к оси Ох под углом 45 0 .

Решение . k = tgα = tg 45 0 =1 . Отсюда: .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:

Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)

Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :

l 1 : , , и

l 2 : , ,

φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .

Отсюда , или

l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ =0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 = k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Линейность уравнения прямой и обратное утверждение.


Направляющий и нормальный векторы.

Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.