Что такое логическая связка. Основные логические связки
Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.
В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как
элементы, из соединения которых возникают сложные структуры.
Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Австралии”, мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Сибири”, мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “Ь”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.
Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.
Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.
Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания - внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.
Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п.
Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:
а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подберезовики и маслята”. Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.
Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: а v Ь.
Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., либо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.
Импликация. В естественном языке ей соответствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “->”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а -> Ь. Пример: “Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз “если... то” обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.
Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: “Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишься - тогда молчи и поворачивай восвояси!
Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?
В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.
Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “Ù”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:
“Интересная книга лежит на столе” и “Красиво оформленная книга лежит на столе”, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.
В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (а ^ b) = (b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.
В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь”.
О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены
символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:
“Не только А, но и В Как А, так и В.
В, хотя и А.А вместе с В.
В, несмотря на А А, в то время как В”".
Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.
В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная а b и а ύ b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библиотеку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.
В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а b) и строгая дизъюнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а ύ b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности.
Отрицание (знак ). Если А - высказывание, то (читается: не А) также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно или истинно высказывание А. Видим, что операция в теории высказываний вполне соответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова. Операция отрицания может быть описана таблицей
Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции употребляется знак л, а также & (иными словами, союз and - и).
Если А и В - высказывания, то А ˄ В (читается: А и В ) - новое высказывание. Оно истинно тогда и только тогда, когда А истинно и В истинно.
В отличие от операции отрицания, зависящей от одного элементарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных высказываний, поэтому они называются двуместными связками, отрицание же - связка одноместная.
Для задания двухместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания, столбцы - значениям другого элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.
Значение истинности сложного высказывания А ˄ В задается матрицей:
Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответствует обыденному значению союза «u». Например, проблема защищенности автоматизированных линий от возникновения аварии существенно зависит от надежности работы ЭА. Влияние вибраций, возникающих при замыкании контактов, на коммутационную износостойкость ЭА регулируется соотношением механической и тяговой характеристик электромагнитного привода.
Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции употребим знак ˅. Если Аи В - высказывания, то A v В (читается: А или В) - новое высказывание. Оно ложное, если А и В ложны; во всех остальных случаях A v В истинно. Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так:
Операция дизъюнкции соответствует обычному значению союза «или». Например, контроль износа контактов осуществляется выбором провала или взвешиванием до и после работы контактов на весах.
Импликация. В качестве знака для импликации будем употреблять знак . Если А и В - два высказывания, то А В (читается: А имплицирует В) - новое высказывание. Оно всегда истинно, кроме того случая, когда А истинно, а В ложно.
Матрица истинности операции импликации следующая:
В импликации А В первый член А называется антецедентом, второй член В -консеквентном.
Импликация описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «если А , то В », «из А следует В », «А - достаточное условие для В».
Если нарастание сопротивления в межконтактном промежутке после прохождения тока через нуль проходит интенсивнее, чем нарастание напряжения, то повторного зажигания дуги не произойдет. Если ток короткого замыкания значительно превышает ток плавления плавкой вставки, то плавкая вставка перегорает и предохранитель отключает электрическую цепь.
Эквиваленция. Для этой операции употребляется знак ⇔. Операция определяется так: если А и В - высказывания, то А ⇔ В (читается: А эквивалентно В ) - новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба ложны.
С помощью введенных связок можно строить сложные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний.
В режимах номинальных токов 25...600 А пара контактов может выполнять двойную роль: длительное пропускание тока во включенном положении и отключение, сопровождающееся возникновением дуги. В первом случае контакты должны иметь малое переходное сопротивление; во втором - накладываются требования высокого переходного сопротивления. В обоих случаях применяют одну и ту же одноступенчатую контактную систему. Оба процесса влияют на износ контактов.
Примечание.
Нестрогое неравенство представляет собой дизъюнкцию А<В ˅ (А = В).Оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простых высказываний. Примерами сложных высказываний, встречающихся в практике, являются так называемые двойные неравенства А< В < С(А < В) ˄ (В < С), а, например, означает сложное высказывание (А< В) ˄ ((В Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение истинности сложного высказывания. Пусть дано сложное высказывание ((В ˅ С) ⇔ (В ˄ А)) и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие значения истинности: А = Л, В = И, С =
И. Тогда В ˅ С= И, В ˄ А = Л, так что рассматриваемое высказывание ((В ˅ С) ⇔ (В ˄ А)) ложно. Чтобы
заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких
логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация
применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические
значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение
истинности высказывания и
, зная лингвистические значения
истинности высказываний и . При рассмотрении этой проблемы
полезно иметь в виду, что если - нечеткое подмножество универсального
множества и
, то два
следующих утверждения эквивалентны: Таким
образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания и
, если заданы
лингвистические значения истинности и ?» аналогичен вопросу, который мы
поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента множеству, если заданы степени
принадлежности элемента множествам и ?» Чтобы
ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем
придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не
,
а также связок и
, или
и влечет
применительно к лингвистическим значениям истинности. В
частности, если -
точка в ,
представляющая значение истинности высказывания «» (или просто ), где - элемент универсального
множества ,
то значение истинности высказывания не
(или) определяется выражением Предположим
теперь, что -
не точка в ,
а нечеткое подмножество интервала , представленное в виде где
- точки в , а - их степени
принадлежности множеству . Тогда, применяя принцип обобщения
(3.80) к (6.7), получим выражения для как нечеткого подмножества интервала , т. е. В
частности, если значение истинности есть истинно
, т.
е. то
значение истинности ложно
можно записать в виде Например,
если то
значение истинности высказывания не
имеет вид Замечание
6.1. Следует отметить, что если то
согласно (3.33), имеем Однако
если То
же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно
определению неопределенности очень
(см. (5.38)), С
другой стороны, значение истинности высказывания очень
равно Перейдем
к бинарным связкам. Пусть и - лингвистические значения истинности
высказываний и
соответственно.
Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда и – точки в: имея
при этом в виду, что в случае, когда и - точки в , операции , и сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и
вычитания из единицы соответственно. где
и - точки в , а и - соответствующие им
степени принадлежности множествам и , то, применяя принцип обобщения к , получим Таким
образом, значение истинности высказывания и
есть нечеткое подмножество
интервала ,
носитель которого состоит из точек вида с
соответствующими степенями принадлежности . Отметим, что выражение (6.25)
эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких
множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности. Пример
6.2.
Предположим, что Тогда, используя (6.25), получаем Аналогично,
для значения истинности высказывания или
получим Значение
истинности высказывания зависит от того, как определена связка для числовых
значений истинности. Так, если для случая, когда и - точки в , мы положим (см. (8.24)) то,
применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20) для
случая, когда и
- нечеткие
подмножества интервала . Замечание
6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и
в терме,
скажем, истинный
и не очень истинный
и символом в высказывании истинный
не
истинный
. В первом случае нас интересует смысл терма истинный и
не истинный
, и связка и
определяется отношением где
- смысл
терма (см.
определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный не истинный
нас в
основном интересует значение истинности высказывания истинный не истинный
,
которое получается из равенства (см. (6.19)) Таким
образом, в (6.32)символ обозначает операцию пересечения
нечетких множеств, а в (6.33) символ обозначает операцию конъюнкции.
Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть , а и - нечеткие подмножества
множества ,
определяемые следующим образом: в
то время как Отметим,
что такое же различие имеет место и в случае отрицания не
и
операции ,
как указывалось в замечании 6.1. Замечание
6.4. Следует отметить, что, применяя принцип обобщения (3.96) к вычислению
значений , и , мы молчаливо
предполагали, что и
-
невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если и - взаимодействующие
переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в
форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между и возникает даже в том
случае, когда и
- точки в , а не нечеткие
переменные. Замечание
6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций , , и применительно к
лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматриваем нечеткую
логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать
классическую трёхзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64))., от 0 до 1.истинный
и ложный
, можно заключить, что что
согласуется с (6.25). Логическим
умножением
или конъюнкцией
называется операция, выражаемая связкой
«и» и обозначаемая точкой « » (или
знаками & или
).
Высказывание А
В
истинно тогда и только тогда, когда оба
высказывания А и В истинны. Таблица
истинности функции логического умножения
F=
А
В
Логическим
сложением
или дизъюнкцией
называется операция, выражаемая связкой
“или” (в неразделительном смысле этого
слова) и обозначаемая «+» (или знаком
).
Высказывание А
В
ложно тогда и только тогда, когда оба
высказывания А и В ложны. Таблица
истинности функции логического сложения
F=
А
В
Импликацией
называется операция, выражаемая связками
“если..., то”, “из... следует”.
Высказывание А
В
ложно тогда и только тогда, когда А
истинно, а В – ложно. Таблица
истинности логической функции «импликация»
F=
А
В
В
обычной речи связка “если..., то”
описывает причинно-следственную связь
между высказываниями. Но в логических
операциях смысл высказываний не
учитывается. Высказывания А и В, образующие
составное высказывание A
В,
могут быть совершенно не связаны по
содержанию. Рассматривается только их
истинность или ложность. Логическим
равенством
или эквиваленцией
(или двойной
импликацией
)
называется операция, выражаемая связками
“тогда и только тогда”, "необходимо
и достаточно”, “... равносильно...”, и
обозначается знаком
или ~
. Высказывание АВ
истинно тогда и только тогда, когда
значения А и В совпадают. Таблица
истинности логической функции
«эквиваленция»
F=
А
В
Импликацию можно
выразить через дизъюнкцию и отрицание: А
В = Ā
В. Эквиваленцию
можно выразить через отрицание, дизъюнкцию
и конъюнкцию: А
В = (Ā
В)
(
А). Таким
образом, операций отрицания, дизъюнкции
и конъюнкции достаточно, чтобы описывать
и обрабатывать логические высказывания. Для
каждого составного высказывания можно
построить таблицу истинности, которая
будет определять его истинность или
ложность при различных комбинациях
исходных значений простых высказываний.
Для примера рассмотрим таблицу истинности
логического выражения
(А
В)
(Ā
) Таблица истинности
А
В
Ā
(А
В)
(Ā
) Пример
.
Определите результат логической операции
F
= (A
B)
(C
D)
при заданных значениях логических
переменных A,
B,
C
– истина, D
– ложь. Решение
. (A
B)
(C
D) Из
построенной таблицы истинности следует,
что F=1. (6.7)
, (6.10)
. (6.11)
(6.28)
(6.29)
(6.31)
(6.32)