Сопромат момент инерции сечения. Моменты инерции поперечного сечения. Полярный момент инерции
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Решение:
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Решение:
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:
Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:
Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.
Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.
Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.
Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:
где - момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; - площадь сечения; - расстояние между осями.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Чему равен осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси Z, проходящей через центр тяжести () треугольника, параллельно его основанию? Высота треугольника равна .
|
Решение | Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что:
Площадь выделенного прямоугольника с учетом (1.1) равна: Для нахождения осевого момента инерции используем его определение в виде: |
Ответ |
ПРИМЕР 2
Задание | Найдите осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей X и Y (рис.2) сечения в виде круга диаметр которого равен d.
|
Решение | Для решения задачи удобнее начать с нахождения полярного момента относительно центра сечения (). Все сечение разобьем на бесконечно тонкие кольца толщиной , радиус которых обозначим . Тогда элементарную площадь найдем как: |
Результат расчетов зависит не только от площади сечения, поэтому при решении задач по сопромату не обойтись без определения геометрических характеристик фигур : статических, осевых, полярного и центробежного моментов инерции. Обязательно необходимо уметь определять положение центра тяжести сечения (от положения центра тяжести зависят перечисленные геометрические характеристики). К дополнению к геометрическим характеристикам простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольников, круга, полукруга . Указаны центр тяжести и положение главных центральных осей, и определены относительно них геометрические характеристики при условии, что материал балки однородный.
Геометрические характеристики прямоугольника и квадрата
Осевые моменты инерции прямоугольника (квадрата)
Геометрические характеристики прямоугольного треугольника
Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника
Геометрические характеристики равнобедренного треугольника
Осевые моменты инерции равнобедренного треугольника
Для простых сечений статические моменты и моменты инерции находятся по формулам (2.1)-(2.4) с помощью интегрирования. Рассмотрим, например, вычисление осевого момента инерции J x для произвольного сечения, изображенного на рис. 2.9. Учитывая, что в прямоугольной системе координат элемент площади dF=dxdy, получим
гдех^(у) и х в (у) - координаты точек контура при некотором фиксированном значении у.
Выполняя интегрирование по х, найдем
Величина Ь(у) представляет собой ширину сечения на уровне у (см. рис. 2.9), а произведение b(y)dy = dF - площадь заштрихованной элементарной полосы, параллельной оси Ох. С учетом этого формула для / преобразуется к виду
Аналогичное выражение можно получить для момента инерции J y .
Прямоугольник. Найдем моменты инерции относительно главных центральных осей, которые в соответствии со свойством 2 (§ 2.5) совпадают с осями симметрии прямоугольника (рис. 2.10). Так как ширина сечения постоянна, то по формуле (2.14) получим
Момент инерции относительно оси О х х х определим по первой из формул (2.6):
Моменты инерции / и J находятся аналогично. Запишем формулы для осевых моментов инерции прямоугольника:
Произвольный треугольник. Вначале найдем момент инерции относительно оси 0 { x v проходящей через основание треугольника (рис. 2.11). Ширина сечения Ь(у {) на уровне у { находится из подобия треугольников:
Подставляя эту величину в формулу (2.14) и производя интегрирование, получим
Моменты относительно осей Ох и 0 2 х 2 , параллельных основанию и проходящих соответственно через центр тяжести и через вершину треугольника, находим с помощью формул (2.6):
В этих формулах b { =h/ 3 и b 2 = -2h /3 - соответственно ординаты центра тяжести треугольника О в системе координат О х х 1 у 1 и 0 2 х 2 у т
1 ° 2 р Г* аУ 1
ТЛ П *2
г >4 ™ _ °21
Д__V_!_*_ / ^ *3
V XV* ;-7^Лт^
U_ У-_XI - UZ__у
О, | ь *, 0 Ь/ Ъ 2%*1
Рис. 2.11 Рис. 2.12
Запишем формулы для осевых моментов инерции треугольника относительно осей, параллельных основанию:
Прямоугольный и равнобедренный треугольники. Для прямоугольного треугольника (рис. 2.12) определим центробежный момент инерции J относительно центральных осей Ох и Оу, параллельных катетам. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (2.3). Однако решение задачи можно упростить, если применить следующий прием. С помощью медианы 0 { 0 3 разделим заданный треугольник на два равнобедренных треугольника 0 { 0 3 А и Ofi 3 B. Оси 0 3 х 3 и 0 3 у 3 являются осями симметрии для этих треугольников и на основании свойства 2 (§ 2.5) будут главными осями каждого из них по отдельности, а следовательно, и всего треугольника О х АВ. Поэтому центробежный момент инерции J =0. Центробеж-
ный момент треугольника относительно осей Ох и Оу найдем с помощью последней из формул (2.6):
Запишем формулы для моментов инерции прямоугольного треугольника:
Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси симметрии Оу (рис. 2.13) определим, используя четвертую из формул (2.17), как удвоенный момент инерции прямоугольного треугольника с основанием h и высотой Ь/ 2:
Таким образом, моменты инерции равнобедренного треугольника относительно главных центральных осей Ох и Оу определяются по формулам
Круг. Вначале удобно вычислить полярный момент инерции круга по формуле (2.4), воспользовавшись полярной системой координат (рис. 2.14).
Учитывая, что dF-rdrdQ, найдем
Поскольку полярный момент согласно (2.4) равен сумме двух осевых моментов, получим
Кольцо. Моменты инерции кольца (рис. 2.15) находятся как разность моментов инерции двух кругов с радиусами Я 2 и R { :
Полукруг (рис. 2.16). Выделим в плоскости полукруга элемент площади dF с полярными координатами г, 0 и декартовыми координатами x v y v для которых в соответствии с рис. 2.16 имеем:
По формулам (2.1) и (2.5) найдем соответственно статический момент полукруга относительно оси 0 { х { и ординату у 0 центра тяжести О в системе координат 0 { х { Уу
Относительно осей 0,х, и 0 { y v которые являются главными осями для полукруга, осевые моменты инерции равны половине моментов инерции круга:
Момент инерции относительно главной центральной оси определяется с помощью первой формулы (2.6):
Эллипс. Для вычисления осевого момента инерции эллипса с полуосями а и b относительно оси Ох (рис. 2.17) поступим следующим образом. Вокруг эллипса опишем окружность и выделим две элементарные полосы шириной dx и высотой 2у к для круга и 2у э для эллипса. Моменты инерции этих двух полос можно определить по первой из формул (2.15) для прямоугольника:
Интегрируя эти выражения в пределах от -а
до а,
получим
Рис. 2.16
Рис. 2.17
Из уравнений окружности и эллипса имеем
С учетом этого
Аналогичное выражение можно получить для момента инерции относительно оси Оу. В результате для эллипса будем иметь следующие формулы для осевых моментов:
Прокатные стержни. Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавры, швеллеры, уголки) приведены в таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение).
Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см 3 , м 3 ]
Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:
прямоугольник:
;
круг:W x =W y =
,
трубчатое
сечение (кольцо): W x =W y =
,
где =
d Н /d B .
Полярный
момент сопротивления - отношение
полярного момента инерции к расстоянию
от полюса до наиболее удаленной точки
сечения:
.
Для
круга W р =
.
Кручение
Т
акой
вид деформации, при котором в поперечных
сечениях возникает только одни крутящие
моменты - М к.
Знак крутящего момента М к
удобно определять по направлению
внешнего момента. Если при взгляде со
стороны сечения внешний момент направлен
против час.стр., то М к >0
(встречается и обратное правило). При
кручении происходит поворот одного
сечения относительно другого на угол
закручивания
-.
При кручении круглого бруса (вала)
возникает напряженное состояние чистого
сдвига (нормальные напряжения отсутствуют),
возникают только касательные напряжения.
Принимается, что сечения плоские до
закручивания остаются плоскими и после
закручивания - закон
плоских сечений
.
Касательные напряжения в точках сечения
изменяются пропорционально расстоянию
точек от оси. Из закона Гука при сдвиге:
=G,
G - модуль сдвига,
,
- полярный момент сопротивления круглого
сечения. Касательные напряжения в центре
равны нулю, чем дальше от центра, тем
они больше. Угол закручивания
,GJ p
- жесткость
сечения при кручении
.
-относительный
угол закручивания
.
Потенциальная энергия при кручении:
.
Условие прочности:
,
[]
=,
для пластичного материала за пред
принимается предел текучести при сдвиге
т,
для хрупкого материала – в
– предел прочности, [n]
– коэффициент запаса прочности. Условие
жесткости при кручении: max []
– допустимый угол закручивания.
Кручение бруса прямоугольного сечения
При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются –депланация поперечного сечения.
Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.
;
,J k
и W k
- условно называют моментом инерции и
моментом сопротивления при кручении.
W k =
hb 2 ,
J k = hb 3 , Максимальные касательные напряжения max будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: = max , коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.
Изгиб
П
лоский
(прямой) изгиб
- когда изгибающий момент действует в
плоскости, проходящей через одну из
главных центральных осей инерции
сечения, т.е. все силы лежат в плоскости
симметрии балки. Основные
гипотезы
(допущения): гипотеза о не надавливании
продольных волокон: волокна, параллельные
оси балки, испытывают деформацию
растяжения – сжатия и не оказывают
давления друг на друга в поперечном
направлении; гипотеза плоских сечений:
сечение балки, плоское до деформации,
остается плоским и нормальным к
искривленной оси балки после деформации.
При плоском изгибе в общем случае
возникают внутренние
силовые факторы
:
продольная сила N,
поперечная сила Q
и изгибающий момент М. N>0,
если продольная сила растягивающая;
при М>0 волокна сверху балки сжимаются,
снизу растягиваются.
.
С
лой,
в котором отсутствуют удлинения,
называетсянейтральным
слоем
(осью,
линией). При N=0
и Q=0,
имеем случай чистого
изгиба.
Нормальные напряжения:
,
- радиус кривизны нейтрального слоя,
y
- расстояние от некоторого волокна до
нейтрального слоя. Закон
Гука при изгибе
:
,
откуда (формула Навье):
,J x
- момент инерции сечения относительно
главной центральной оси, перпендикулярной
плоскости изгибающего момента, EJ x
- жесткость при изгибе,
- кривизна нейтрального слоя.
М
аксимальные
напряжения при изгибе возникают в
точках, наиболее удаленных от нейтрального
слоя:
,J x /y max =W x -момент
сопротивления сечения при изгибе,
.
Если сечение не имеет горизонтальной
оси симметрии, то эпюра нормальных
напряжений
не будет симметричной. Нейтральная ось
сечения проходит через центр тяжести
сечения. Формулы для определения
нормального напряжения для чистого
изгиба приближенно годятся и когда Q0.
Это случай поперечного
изгиба
. При
поперечном изгибе, кроме изгибающего
момента М, действует поперечная сила
Q
и в сечении возникают не только нормальные
,
но и касательные
напряжения. Касательные напряжения
определяются формулой
Журавского:
,
гдеS x (y)
- статический момент относительно
нейтральной оси той части площади,
которая расположена ниже или выше слоя,
отстоящего на расстоянии "y"
от нейтральной оси; J x
- момент инерции всего
поперечного сечения относительно
нейтральной оси, b(y)
- ширина сечения в слое, на котором
определяются касательные напряжения.
Д
ля
прямоугольного сечения:
,F=bh,
для круглого сечения:
,F=R 2 ,
для сечения любой формы
,
k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).
M
max
и Q max
определяются из эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил. Для этого балка
разрезается на две части и рассматривается
одна из них. Действие отброшенной части
заменяется внутренними силовыми
факторами М и Q,
которые определяются из уравнений
равновесия. В некоторых вузах момент
М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра
моментов строится на растянутых волокнах.
При Q=
0 имеем экстремум эпюры моментов.
Дифференциальные
зависимости между М,
Q
и
q
:
q - интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]
Главные напряжения при поперечном изгибе :
.
Расчет
на прочность при изгибе
:
два условия прочности, относящиеся к
различным точкам балки: а) по нормальным
напряжениям
,
(точки наиболее удаленные от С); б) по
касательным напряжениям
,
(точки на нейтр.оси). Из а) определяют
размеры балки:
,
которые проверяют по б). В сечениях балок
могут быть точки, где одновременно
большие нормальные и большие касательные
напряжения. Для этих точек находятся
эквивалентные напряжения, которые не
должны превышать допустимых. Условия
прочности проверяются по различным
теориям прочности
I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3);
- применяются редко.
теория
Мора:
,
(используется для чугуна, у которого
допускаемое напряжение на растяжение
[ р ][ с ]
– на сжатие).