Ускорение любой точки движущейся плоской фигуры можно определить двумя способами: 1) как геометрическую сумму ускорений этой точки в поступательном и вращательном движениях фигуры и 2) как ускорение этой точки во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений, причем мгновенным центром ускорений называется такая точка Плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю.

Если известны ускорение некоторой точки А фигуры (ускорение полюса), а также угловая скорость и угловое ускорение фигуры, то ускорение любой ее точки В определяется по формуле

Здесь вектор - ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса касательная и нормальная составляющие этого ускорения.

Следовательно,

при этом вектор направлен вдоль АВ (от точки В к точке А), а вектор перпендикулярен к АВ.

Угол между векторами и ВА определяется по формуле

при этом в случае ускоренного вращения фигуры векторы (вращательная скорость точки В вокруг полюса А) лежат по одну сторону от прямой АВ, в противном случае эти векторы расположены по разные стороны от этой прямой.

Если угловая скорость фигуры постоянна, т. е. , то , а следовательно, и , т. е. вектор совпадает по направлению с вектором ВА. Если же в данный момент , то и вектор перпендикулярен к вектору ВА.

На основании равенства (78) ускорение точки В можно найти построением многоугольника ускорений и применением затем метода проекций, спроектировав векторное равенство (78) на выбранные оси.

Если мгновенный центр ускорений Q принять за полюс, то для ускорения произвольно выбранной точки М фигуры имеем:

но , а потому

т. e. ускорение любой точки М плоской фигуры определяется как ускорение во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений (рис. 108).

При этом ускорение направлено по прямой MQ от точки М к центру Q, а ускорение перпендикулярно к MQ и

Ускорение точки М равно по модулю

и составит с направлением MQ угол

(84)

Отсюда следует: 1) угол а для всех точек фигуры имеет в данный момент одно и то же значение; 2) ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений.

Чтобы определить для данного момента положение мгновенного центра ускорений нужно:

1) найти ускорение какой-либо точки А фигуры [обычно при решении задач рассматриваемого типа ускорение одной точки фигуры (механизма) или задается, или его можно легко найти];

2) повернуть полупрямую, по которой направлен вектор , вокруг точки А на острый угол или в направлении вращения фигуры, если это вращение является ускоренным, или в противоположном направлении в противном случае;

3) на полученной после этого поворота полупрямой отложить отрезок

Отметим два частных случая:

1) пусть , тогда , следовательно, ускорение любой точки М движущейся фигуры направлено , т. е. проходит через центр Q. Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом случае можно найти как точку пересечения прямых, по которым направлены ускорения двух каких-либо точек фигуры;

2) пусть , тогда следовательно, ускорение любой точки М фигуры перпендикулярно к MQ. Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом случае можно найти как точку пересечения перпендикуляров, восставленных из двух каких-либо точек движущейся фигуры к ускорениям этих точек.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие четыре группы:

1) задачи, в которых заданы векторы скорости и ускорения одной точки и прямолинейная траектория второй точки плоской фигуры, ускорение которой требуется найти (задачи 566-571, 573-579);

2) задачи, в которых заданы векторы скорости и ускорения одной точки и криволинейная траектория второй точки плоской фигуры, ускорение которой требуется найти (задачи 572, 573, 575);

3) задачи, в которых требуется определить ускорение точки катящегося без скольжения колеса (задачи 556-563);

4) задачи, в которых заданы ускорения двух точек плоской фигуры, а требуется определить ускорение третьей точки этой фигуры (задачи 564, 574, 576-578).

Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сумму поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся с ускорением a A полюса A , и вращательного

движения вокруг этого полюса, получаем формулу для определения ускорения какой-либо точки B плоской фигуры в виде

a B =		a A +		a BA =		a A + a BAв +	a BAц .
Здесь a						ускорение	полюса A ; a		Ускорение

вращательного движения точки B вокруг полюса A , которое как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси векторно

складывается из вращательного ускорения a BA в и центро-

стремительного ускорения a BA ц . Модули этих ускорений определяются по формулам

модуль углового ускорения. Вращательное ускорение a BA в направлено перпендикулярно отрезку AB в сторону дуговой стрелки ε , а центростремительное ускорение a BA ц направлено по линии AB от точки B к полюсу A (рис. 12). Модуль полного ускорения a BA точки B относительно полюса A в силу условия a BA в a BA ц вычисляется по формуле

Рис 12. Определение ускорения точки B

с использованием полюса A.

Для нахождения ускорения a B по формуле (2.18)

рекомендуется использовать аналитический способ . В этом способе вводится прямоугольная декартова система координат (система Bxy на рис. 12) и вычисляются проекции a Bx , a By

искомого ускорения как алгебраические суммы проекций ускорений, входящих в правую часть равенства (2.18):

(a в

(a ц

a cosα

ц ;

(a в

(a ц

sinα

где α - угол между вектором a A

и осью Bx . По найденным

Изложенный способ определения ускорений точек плоской фигуры применим для решения задач, в которых задано движение полюса A и угол поворота фигуры

уравнениями (2.14). Если зависимость угла поворота от времени неизвестна, то для заданного положения фигуры приходится определять мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение. Способы их определения рассматриваются далее в примерах выполнения задания 2.

Отметим также, что при определении ускорений точек плоской фигуры может использоваться мгновенный центр ускорений – точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Однако применение мгновенного центра ускорений связано с довольно трудоемкими методами нахождения его положения, поэтому определение ускорений точек плоской фигуры рекомендуется выполнять по формуле

2.4 Задание 2. Определение скоростей и ускорений точек плоского механизма

Механизмы (см. с. 5) называются плоскими , если все его точки движутся в одной или в параллельных друг другу плоскостях, иначе механизмы называются пространствен-

ными.

В задании 2.1 рассматриваются планетарные механизмы ,

в задании 2.2 – кривошипно-позунные механизмы, а в задании

2.3 помимо названных двух типов изучается движение механизмов других типов. Большинство рассматриваемых механизмов являются механизмами с одной степенью свободы ,

в которых для определения движения всех звеньев нужно задать закон движения одного звена.

Задание 2.1

В планетарном механизме (рис. 13) кривошип 1 длиной OA = 0.8 (м ) вращается вокруг неподвижной оси O , перпендикулярной плоскости рисунка, по закону

ϕ OA (t ) = 6t − 2t 2 (рад). В точке A кривошип шарнирно соединен

с центром диска 2 радиуса r = 0.5 (м), находящегося во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом 3, соосным с

кривошипом OA . На диске 2 в момент времени t 1 = 1 (с) задана точка B , положение которой определяется расстоянием AB = 0.5 (м) и углом α = 135° . (В заданный момент времени угол α отсчитывается от оси Ax в направлении против хода часовой стрелки при α > 0 или в противоположном направлении при

α < 0).

Рис 13. Планетарный механизм и способ задания положения точки B.

Определить в момент времени t 1

1) скорость точки B двумя способами: с использованием мгновенного центра скоростей (МЦС) диска 2 и с использованием полюса A ;

2) ускорение точки B с использованием полюса A .

1) Определение скорости точки B .

Вначале требуется выполнить графическое изображение

механизма в выбранном масштабе (например, в 1 см рисунка – 0.1 м отрезка OA и радиуса r ) и показать заданное положение точки B (рис. 14).

Рис 14. Определение скорости точки B с использованием мгновенного центра скоростей Р и полюса А.

По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем скорость центра А диска 2. Определяем угловую скорость кривошипа в заданный момент времени t 1 = 1 (c ):

ω OA = ϕ ! OA = (6 t −				6 − 4 t ;	ω OA (t 1 ) = 2 (рад / с ).

Полученная величина ω OA (t 1 ) является положительной, поэтому дуговую стрелку ω OA направляем против хода часовой стрелки, то есть в положительном направлении отсчета угла ϕ .

Вычисляем модуль скорости

v A = ω OA (t 1 ) OA = 2 0.8 = 1.6 (м/с )

и строим вектор скорости v A перпендикулярно ОА в сторону дуговой стрелки ω OA .

дуговая стрелка ω OA и вектор v A изображаются в противоположном направлении, а для расчета v A используется модуль

ω OA (t 1 ) .

Мгновенный центр скоростей (точка Р ) диска 2 расположен в точке его соприкостновения с колесом 3 (см. п. 5 на с. 34). Определим мгновенную угловую скорость ω диска по найденной величине скорости v A :

ω = v A / AP = v A / r = 1.6 / 0.5 = 3.2 (рад / c )

и изображаем на рисунке ее дуговую стрелку (рис. 14).

Для определения скорости точки В с использованием МЦС находим расстояние ВР по теореме косинусов из треугольника АВР :

BP = AB2 + AP2 − 2 AB AP cos135 " =

0.5 2 + 0.52 − 2 0.52 (− 2 / 2) ≈ 0.924 (м ).

Скорость v B равна по модулю

v B = ω PB = 3.2 0.924 ≈ 2.956 (м / c )

и направлена перпендикулярно отрезку РВ в сторону дуговой стрелки ω .

Тот же вектор v B может быть найден с использованием полюса А по формуле (2.15): v B = v A + v BA . Перенесем вектор v A в точку В и построим вектор v BA , перпендикулярный отрезку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω . Модуль

что угол между векторами v A и v BA равен 45° . Тогда по формуле (2.16) находим

vB = vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 " =

1.6 2 + 1.62 + 2 1.62 ( 2 / 2) ≈ 2.956 (м / c ).

На рисунке вектор v B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы v A и v BA . Это достигается построением векторов v A , v B и v BA в выбран-

ном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 0.5 м/с ). Отметим, что приведенные в рассмотренном примере масштабы можно изменять и назначать самостоятельно.

2). Определение ускорения точки В .

Ускорение точки В определим по формуле (2.18) с использованием полюса А , ускорение которого складывается векторно из касательного и нормального ускорений:

a B = a A + a BA в + a BA ц = a τ A + a A n + a BA в + a BA ц .

По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем его угловое ускорение:

ε OA = ω ! OA = (6 − 4t ! ) = − 4 (рад / с 2 ).

Полученная величина ε OA является отрицательной, поэтому дуговую стрелку ε OA направляем по ходу часовой стрелки, то

есть в отрицательном направлении, а в дальнейшем расчете будем брать эту величину по модулю.

Модули касательного и нормального ускорений полюса А в заданный момент времени t 1 находим по формулам (2.11):

a τ A = ε OA OA = 4 0.8 = 3.2 (м / c 2 ); a n A = ω OA 2 OA = 22 0.8 = 3.2 (м / c 2 ).

Касательное ускорение a τ A направлено перпендикулярно кривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ε OA , а нормальное ускорение a A n - от тоски А к точке О при любом направлении угловой скорости кривошипа (рис. 15). Полное ускорение a A определять не требуется.

Рис 15. Определение ускорения точки B с использованием полюса А.

ω = v A / r = ω OA (OA / r ) .
	по определению угловое	ускорение	диска (при
OA/r = const) равно
ε = ω ! =	ω ! OA (OA / r ) = ε OA (OA / r ) = −	4 (0.8 / 0.5) =	− 6.4 (рад / c 2 ).

угловую стрелку ε направляем в противоположном направлении к дуговой стрелки ω .

Вычислим модули вращательного и центростремительного ускорений точки В относительно полюса А по формулам

a BAв						AB =	6.4 0.5 = 3.2 (м / c 2 );
a BAц						2 AB =	3.22 0.5 = 5.12 (м / c 2 ).

Вектор a BA в направлен перпендикулярно отрезку АВ в сторону

дуговой стрелки ε , а вектор a BA ц - от точки В к полюсу А

Ускорение точки В найдем по его проекциям на оси координатной системы Axy :

a Bx = (a τ A ) x +					(a An ) x + (a BAв ) x + (a BAц ) x =
	0 − a n A −			a BA в cos 45" +			a BAц	cos 45" =
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	− 1.84 (м / c 2 );
a By = (a τ A ) y +					(a An ) y + (a BAв ) y + (a BAц ) y =
		a τ A +	0 −		a BAв	cos45"	− a BA ц cos 45" =
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	− 9.08 (м / c 2 ).
Модуль a B =		a Bx2			a By2	≈ 9.27 (м / c 2 ).
					ускорения		a τ A ,	a A n ,	a BA в , a BA ц требуется

изобразить в выбранном масштабе и построить в этом же масштабе вектор a B по найденным проекциям (рис. 15).

Исходные данные для самостоятельного выполнения задания 2.1 приведены в таблице на с. 44.

				Кинематика твердого тела
		ϕ OA (t), рад				α , град	t 1 , c
		t2 + 3t
		8t – 3t2
		t2 - 4t
		3t – 2t2
		2t2 - t
		4t – t2
		2t2 - 6t
		2t – 3t2
		3t2 - 4t
		8t – 2t2
		4t2 - 6t
		3t – 4t2
		4t2 - 2t
		6t – t2
		2t2 - 4t
		4t – 3t2
		2t2 + t
		4t – 2t2
		3t2 - 10t
		t – 2t2
		3t2 + 2t
		6t – 3t2
		3t2 - 8t
		2t – 4t2

Согласно рассмотренному ранее, движение плоской фигуры складывается из поступательного и вращательного движений. Покажем, что ускорение любой точки плоской фигуры складывается геометрически из ускорений, которые точка получает в каждом из этих движений.

Положение точки В (согласно рис. 35) можно определить по формуле:

где – радиус-вектор полюса А, – вектор, определяющий положение точки В относительно полюса А.

Согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры:

Очевидно, что ускорение точки В будет равно:

где – ускорение полюса А. Т.к. и исходя из свойств плоской фигуры, можно утверждать, что –ускорение точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А.

Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения этой точки в ее врщении вместе с фигурой вокруг полюса:

Следовательно, ускорение некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются и (рис. 40).

Рис. 40. Построение вектора ускорения точки В

При решении задач вектор раскладывают на составляющие:

где – касательная составляющая ускорения (и направлен в сторону вращения на рис. 41, 42);

– нормальная составляющая ускорения (всегда направлен из точки В к полюсу А).

Модуль полного ускорения определяют по формуле:

Рис. 41. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай ускоренного вращения)Рис. 42. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай замедленного вращения)

При графическом определении ускорения точки В удобно пользоваться углом, тангенс которого находят из выражения:

Если известны траектории полюса A и точки B, ускорение которой надо найти, то ускорения этих точек для удобства вычисления раскладывают на нормальные и касательные составляющие. Тогда теорема об ускорениях точек плоской фигуры примет развернутый вид:

Таким образом, для определения ускорения произвольной точки В необходимо знать ускорение какой-либо точки плоской фигуры А, принимаемой за полюс, угловую скорость  плоской фигуры и ее угловое ускорение  в данный момент времени.

Модуль ускорения точки В (или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:

• графически;
• аналитически (способом проекций): ,

где аВх, аВу – проекции ускорения точки В на заранее выбранные оси х и у прямоугольной системы координат.

Учебное пособие для студентов технических вузов

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Рабочая программа. Наименование учебного предмета: Математика 1 класс

Количество часов по учебному плану всего: 132 часа в год; в неделю 4 часа. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта НОО Программа разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования

Гражданское право

Готовые ответы по гражданском праву. ГК РФ - гражданский кодекс Российской Федерации. Вопросы юридический и физических лиц. Сделки договоры и договоренности, какие сделки считаются действительными, а какие недействительными; их регулирование законом.

Рабочая программа учебной дисциплины «Административное право»

Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой (общепрофессиональной) части профессионального цикла студентам очной формы обучения по направлению подготовки «Юриспруденция»

Коммерческая деятельность в рыночной экономике

Коммерческая деятельность в рыночной экономике осуществляют не только отдельные предприниматели и их объединения, но и государство в лице своих органов и специализированных предприятий, которые имеют статус юридического лица.

Глобальные проблемы человечества

Глобальные проблемы человечества – это совокупность социально-природных проблем, от решения которых зависит социальный прогресс человечества и сохранение цивилизации. Глобальные проблемы угрожают существованию человечества

Рис.40

Рис.39

Рис.38

Свойства плана скоростей.

а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендику­лярны соответствующим прямым на плоскости тела.

Действительно, . Но на плане скоростей . Значит причём перпендикулярна АВ , по­этому и . Точно так же и .

б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим от­резкам прямых на плоскости тела.

Так как , то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость звена ОА .

Чтобы построить план ско­ростей должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В на­шем примере можно определить скорость точки А : и направление её вектора .

Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе Известно направление вектора скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b , определяющая скорость этой точки В . Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно АВ до пересечения с прямой I . Точка пересечения определит точку b , а значит и скорость точки В : . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить аb пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости (если с соединить с точкой О ).

Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает с точкой О .

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором где . Тогда

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А , а второе слагаемое определяет ускорение , которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A . следовательно,

Значение , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как

где и - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а - угол между вектором и отрезком МА (рис.41).составляющими и пред­ставить в виде