Трудности классического объяснения фотоэффекта

Как можно было бы объяснить фотоэффект с точки зрения классической электродинамики и волновых представлений о свете?

Известно, что для вырывания электрона из вещества требуется сообщить ему некоторую энергию A , называемую работой выхода электрона. В случае свободного электрона в металле это работа по преодолению поля положительных ионов кристаллической решетки, удерживающего электрон на границе металла. В случае электрона, находящегося в атоме, работа выхода есть работа по разрыву связи электрона с ядром.

В переменном электрическом поле световой волны электрон начинает совершать колебания.

А если энергия колебаний превысит работу выхода, то электрон будет вырван из вещества.

Однако в рамках таких представлений невозможно понять второй и третий законы фотоэффекта. Почему кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности излучения? Ведь чем больше интенсивность, тем больше напряженность электрического поля в электромагнитной волне, тем больше сила, действующая на электрон, тем больше энергия его колебаний и с тем большей кинетической энергией электрон вылетит из катода. Но эксперимент показывает иное.

Откуда берется красная граница фотоэффекта? чем «провинились» низкие частоты? Казалось бы, с ростом интенсивности света растет и сила, действующая на электроны; поэтому даже при низкой частоте света электрон рано или поздно будет вырван из вещества когда интенсивность достигнет достаточно большого значения. Однако красная граница ставит жесткий запрет на вылет электронов при низких частотах падающего излучения.

Кроме того, при освещении катода излучением сколь угодно слабой интенсивности (с частотой выше красной границы) фотоэффект начинается мгновенно в момент включения освещения. Между тем, электронам требуется некоторое время для «расшатывания» связей, удерживающих их в веществе, и это время «раскачки» должно быть тем больше, чем слабее падающий свет. Аналогия такая: чем слабее вы толкаете качели, тем дольше придется их раскачивать до заданной амплитуды. Выглядит опять-таки логично, но опыт единственный критерий истины в физике! этим доводам противоречит.

Так на рубеже XIX и XX столетий в физике возникла тупиковая ситуация: электродинамика, предсказавшая существование электромагнитных волн и великолепно работающая в диапазоне радиоволн, отказалась объяснять явление фотоэффекта.

Выход из этого тупика был найден Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Он нашел простое уравнение, описывающее фотоэффект. Все три закона фотоэффекта оказались следствиями уравнения Эйнштейна.

Главная заслуга Эйнштейна состояла в отказе от попыток истолковать фотоэффект с позиций классической электродинамики. Эйнштейн привлек к делу смелую гипотезу о квантах, высказанную Максом Планком пятью годами ранее.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Гипотеза Планка говорила о дискретности излучения и поглощения электромагнитных волн, то есть о прерывистом характере взаимодействия света с веществом. При этом Планк считал, что распространение света это непрерывный процесс, происходящий в полном соответствии с законами классической электродинамики.

Эйнштейн пошел еще дальше: он предположил, что свет в принципе обладает прерывистой структурой: не только излучение и поглощение, но также и распространение света происходит отдельными порциями квантами, обладающими энергией E = h ν .

Планк рассматривал свою гипотезу лишь как математический трюк и не решился опровергнуть электродинамику применительно к микромиру. Физической реальностью кванты стали благодаря Эйнштейну.

Кванты электромагнитного излучения (в частности, кванты света) стали впоследствии называться фотонами. Таким образом, свет состоит из особых частиц фотонов, движущихся в вакууме со скоростью c . Каждый фотон монохроматического света, имеющего частоту, несет энергию h ν .

Фотоны могут обмениваться энергией и импульсом с частицами вещества; в таком случае мы говорим о столкновении фотона и частицы. В частности, происходит столкновение фотонов с электронами металла катода.

Поглощение света это поглощение фотонов, то есть неупругое столкновение фотонов с частицами (атомами, электронами). Поглощаясь при столкновении с электроном, фотон передает ему свою энергию. В результате электрон получает кинетическую энергию мгновенно, а не постепенно, и именно этим объясняется безынерционность фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта есть не что иное, как закон сохранения энергии. На что идет энергия фотона h ν при его неупругом столкновении с электроном? Она расходуется на совершение работы выхода A по извлечению электрона из вещества и на придание электрону кинетической энергии mv 2 /2: h ν = A + mv 2 /2 (4)

Слагаемое mv 2 /2 оказывается максимальной кинетической энергией фотоэлектронов. Почему максимальной? Этот вопрос требует небольшого пояснения.

Электроны в металле могут быть свободными и связанными. Свободные электроны «гуляют» по всему металлу, связанные электроны «сидят» внутри своих атомов. Кроме того, электрон может находиться как вблизи поверхности металла, так и в его глубине.

Ясно, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона получится в том случае, когда фотон попадет на свободный электрон в поверхностном слое металла тогда для выбивания электрона достаточно одной лишь работы выхода.

Во всех других случаях придется затрачивать дополнительную энергию на вырывание связанного электрона из атома или на «протаскивание» глубинного электрона к поверхности. Эти лишние затраты приведут к тому, что кинетическая энергия вылетевшего электрона окажется меньше.

Замечательное по простоте и физической ясности уравнение (4) содержит в себе всю теорию фотоэффекта:

1. число выбиваемых электронов пропорционально числу поглощенных фотонов. С увеличением интенсивности света количество фотонов, падающих на катод за секунду, возрастает. Стало быть, пропорционально возрастает число поглощенных фотонов и, соответственно, число выбитых за секунду электронов.

2. Выразим из формулы (4) кинетическую энергию: mv 2 /2 = h ν - A

Действительно, кинетическая энергия выбитых электронов линейно растет с частотой и не зависит от интенсивности света.

Зависимость кинетической энергии от частоты имеет вид уравнения прямой, проходящей через точку (A / h ; 0). Этим полностью объясняется ход графика на рис. 3.

3. Для того, чтобы начался фотоэффект, энергии фотона должно хватить как минимум на совершение работы выхода: h ν > A . Наименьшая частота ν 0 , определяемая равенством

h ν о = A ;

Как раз и будет красной границей фотоэффекта. Как видим, красная граница фотоэффекта ν 0 = A / h определяется только работой выхода, т. е. зависит лишь от вещества облучаемой поверхности катода.

Если ν < ν 0 , то фотоэффекта не будет сколько бы фотонов за секунду не падало на катод. Следовательно, интенсивность света роли не играет; главное хватает ли отдельному фотону энергии, чтобы выбить электрон.

Уравнение Эйнштейна (4) дает возможность экспериментального нахождения постоянной Планка. Для этого надо предварительно определить частоту излучения и работу выхода материала катода, а также измерить кинетическую энергию фотоэлектронов.

В ходе таких опытов было получено значение h , в точности совпадающее с (2). Такое совпадение результатов двух независимых экспериментов на основе спектров теплового излучения и уравнения Эйнштейна для фотоэффекта означало, что обнаружены совершенно новые «правила игры», по которым происходит взаимодействие света и вещества. В этой области классическая физика в лице механики Ньютона и электродинамики Максвелла уступает место квантовой физике теории микромира, построение которой продолжается и сегодня.

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия , где - действия соответственно для гравитационного поля и материи 2). Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т. е. величины

Вычислим вариацию . Имеем:

Подставляя сюда, согласно (86,4),

Для вычисления заметим, что хотя величины и не составляют тензора, но их вариации образуют тензор. Действительно, есть изменение вектора при параллельном переносе (см. (85,5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р. Поэтому есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными Ты) из точки Р в одну и ту же точку Р. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому есть тензор.

Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все . С помощью выражения (92,7) для имеем (помня, что первые производные от равны теперь нулю):

Поскольку есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде

(заменяя на и пользуясь (86,9)). Следовательно, второй интеграл справа в (95,1) равен

и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от по гиперповерхности, охватывающей весь -объем.

Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация равна

Заметим, что если бы мы исходили из выражения

для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,

Сравнивая это с (95,2), находим следующее соотношение:

Для вариации действия материи можно написать согласно (94,5)

где - тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроскопическими телами. Соответственно этому для надо обычно писать выражение (94,9).

Таким образом, из принципа наименьшего действия находим:

откуда ввиду произвольности

или в смешанных компонентах

Это и есть искомые уравнения гравитационного поля - основные уравнения общей теории относительности. Их называют уравнениями Эйнштейна.

Упрощая (95,6) по индексам i и k, находим:

Поэтому уравнения поля можно написать также в виде

Уравнения Эйнштейна нелинейны. Поэтому для гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Этот принцип справедлив лишь приближенно для слабых полей, допускающих линеаризацию уравнений Эйнштейна (к ним относятся, в частности, гравитационные поля в классическом, ньютоновском пределе см. § 99).

В пустом пространстве и уравнения гравитационного поля сводятся к уравнениям

Напомним, что это отнюдь не значит, что пустое пространство время является плоским, - для этого требовалось бы выполнение более сильных условий

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля обладает тем свойством, что (см. (33,2)). Ввиду (95,7) отсюда следует, что при наличии одного только электромагнитного поля без каких-либо масс скалярная кривизна пространства-времена равна нулю.

Как мы знаем, дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю:

Поэтому должна быть равна нулю также и дивергенция лево части уравнения (95,6). Это действительно так в силу тождества (92,10).

Таким образом, уравнения (95,10) по существу содержатся в уравнениях поля (95,6). С другой стороны, уравнения (95,10), выражая собой законы сохранения энергии и импульса, содержат в себе уравнения движения той физической системы, к которой относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравнений Максвелла).

Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле. Поэтому распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы произвольным образом. Напротив, они должны быть определены (посредством решения уравнений поля при заданных начальных условиях) одновременно с самим создаваемым этой материей полем.

Обратим внимание на принципиальное отличие этой ситуации от того, что мы имели в случае электромагнитного поля. Уравнения этого поля (уравнения Максвелла) содержат в себе только уравнение сохранения полного заряда (уравнение непрерывности), но не уравнения движения самих зарядов. Поэтому распределение и движение зарядов могут буть заданы произвольным образом, лишь бы полный заряд был постоянным. Заданием этого распределения зарядов определяется тогда посредством уравнений Максвелла создаваемое ими электромагнитное поле.

Надо, однако, уточнить, что для полного определения распределения и движения материи в случае гравитационного поля к уравнениям Эйнштейна надо присоединить еще (не содержащееся, конечно, в них) уравнение состояния вещества, т. е. уравнение, связывающее между собой давление и плотность. Это уравнение должно быть задано наряду с уравнениями поля.

Четыре координаты могут быть подвергнуты произвольному преобразованию. Посредством этого преобразования можно произвольным образом выбрать четыре из десяти компонент тензора . Поэтому независимыми неизвестными функциями являются только шесть из величин Далее, четыре компоненты входящей в тензор энергии-импульса материи 4-скорости связаны друг с другом соотношением , так что независимыми являются только три из них. Таким образом, мы имеем, как и следовало, десять уравнений поля (95,5) для десяти неизвестных величин: шести из компонент , трех из компонент и плотности материи (или ее давления ). Для гравитационного поля в пустоте остается всего шесть неизвестных величин (компонент ) и соответственно понижается число независимых уравнений поля: десять уравнений связаны четырьмя тождествами (92,10).

Отметим некоторые особенности структуры уравнений Эйнштейна. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Однако в уравнения входят вторые производные по времени не от всех 10 компонент . Действительно, из (92,1) видно, что вторые производные по времени содержатся только в компонентах тензора кривизны, куда они входят в виде члена (точкой обозначаем дифференцирование по ); вторые же производные от компонент метрического тензора вообще отсутствуют. Ясно поэтому, что и получающийся путем упрощения из тензора кривизны тензор , а с ним и уравнения (95,5) тоже содержат вторые производные по времени лишь от шести пространственных компонент

Легко также видеть, что эти производные входят лишь в -уравнения (95,6), т. е. в уравнения

(95,11)

Уравнения же и , т. е. уравнения

содержат производные по времени лишь первого порядка. В этом можно убедиться, проверив, что при образовании путем свертывания величин компоненты вида действительно выпадают. Еще проще увидеть это из тождества (92,10) записав его в виде

Старшие производные по времени, входящие в правую часть этого равенства, - вторые производные (фигурирующие в самих величинах ). Поскольку (95,13) - тождество, то и его левая сторона должна, следовательно, содержать производные по времени не выше второго порядка. Но одно дифференцирование. по времени фигурирует уже в нем явным образом; поэтому сами выражения могут содержать производные по времени не выше первого порядка.

Более того, левые стороны уравнений (95,12) не содержат также и первых производных (а лишь производные ). Действительно, из всех эти производные содержат только , а эти величины в свою очередь входят только в компоненты тензора кривизны вида , которые, как мы уже знаем, выпадают при образовании левых сторон уравнений (95,12).

Если интересоваться решением уравнений Эйнштейна при заданных начальных (по времени) условиях, то возникает вопрос о том, для скольких величин могут быть произвольно заданы начальные пространственные распределения.

Начальные условия для уравнений второго порядка должны включать начальные распределения как самих дифференцируемых величин, так и их первых производных по времени. Однако поскольку в данном случае уравнения содержат вторые производные лишь от шести , то в начальных условиях не могут быть произвольно заданы все . Так, можно задать (наряду со скоростью и плотностью материи) начальные значения функций и , после чего из 4 уравнений (95,12) определятся допустимые начальные значения ; в уравнениях же (95,11) останутся еще произвольными начальные значения

Встав на путь геометрического описания гравитационного поля, мы пришли к выводу, что для формулировки точных общековариантных уравнений теории, ранее известной в линейном приближении в пространстве Минковского, достаточно отыскать такие объекты тензорной природы, которые в локально лоренцевой системе переходили бы в соответствующие

Объекты линеаризованной теории. Теперь в нашем распоряжений есть все необходимое, чтобы сформулировать точные уравнения гравитационного поля, которые обобщили бы уравнения (4.3.4) линеаризованной теорий. Можно утверждать, что таковыми являются следующие уравнения:

Преждё всего обратимся к правой части (4.6.1). При сопоставлении с линеаризованной теорией следует иметь в виду, что в последней в выражении для источника тензорного поля гравитацией нужно было пренебречь. С учётом этого очевидно, что правая часть (4.6.1) с точностью до коэффициента переходит в правую часть уравнения (4.3.4). Далее непосредственным вычислением можно убедиться в том, что левая часть (4.6.1) при Подстановке в качестве метрики разложения (4.4.1) в линейном приближении переходит в левую часть (4.3.4) с точностью до коэффициента. Далее, принимая во внимание значение константы линеаризованной теории, следующее из (4.3.24), находим, что указанное соответствие уравнений (4.6.1) и (4.3.4) является точным. Точно также можно убедиться в том, что в локально лоренцевой системе отсчета (4.6.1) в точности переходит в (4.3.4). Наконец, тензорный характер смысле риманова пространства, событий) уравнения (4.6.1) говорит о том, что сделанное утверждение правильно.

Перепишем уравнения (4.6.1) в виде

(более удобном для дальнейшего анализа. Эти уравнения, называемые уравнениями Эйнштейна, как трудно видеть, свободны от противоречия, от которого страдали уравнения (4.3.4) линеаризованной теории - как правая так и левая часть теперь имеют равную нулю ковариантную дивергенцию: левая часть в силу тождества. Бианки (4.5.2), а правая - в силу ковариантного условия консервативности тензора энергии-импульса полной материальной системы в присутствии гравитационного поля:

Тем самым нам удалось избавиться от основного противоречия, неизбежно возникающего при попытке сформулировать теорию в пространстве Минковского, когда изменения правой части уравнений с целью удовлетворить условию консервативности с учетом гравитационного взаимодействия приводила к изменению левой части и т. д. По существу, уравнения Эйнштейна и представляют собой компактную запись получаемого таким образом итерационного ряда.

Построив уравнения в обвдековариантной форме, мы тем самым, сделали калибровочную инвариантность точным свойством теории.

Нетривиальной особенностью уравнений Эйнштейна является то, что они содержат внутри себя и уравнения материальной системы, порождающей самосогласованное гравитационное поле. Эти уравнения содержатся в ковариантном законе сохранения (4.6.3). Проиллюстрируем это на примере точечной частицы. Тензор энергии-импульса можно записать в виде

Вычисление ковариантной дивергенции этого выражения дает

Нетрудно видеть, что стоящее под знаком интеграла выражение тождественно абсолютной производной вектора 4-скорости, и потому условие консервативности приводит к воспроизведению уравнения геодезических.

Обсуднм теперь вопрос о выборе лагранжиана для уравнений Эйнштейна. Прежде всего заметим, что из сопоставления линеаризованного выражения для символов Кристоффеля (4.5.22) и лагранжиана линеаризованной теории (4.2.3) можно сделать вывод, что последний представим в форме

Оказывается, что варьирование этого лагранжиана как точного по метрике действительно приводит к уравнениям Эйнштейна. Недостатком этого лагранжиана является то, что символы Кристоффеля калибровочно-неииварнантные величин Неудивительно, что и в линеаризованной теории удалось добиться калибровочной инвариантности лишь относительно бесконечно малых преобразований. Можно, однако, добавить к «гамма-гамма» лагранжиану (4.6.6) полную дивергенцию

После преобразований находим

где скалярная кривизна. Этот лагранжиан калибровочно-инвариантев, и данный выбор может показаться удовлетворительным, однако скалярная кривизна содержит вторые производные от метрики и при варьировании следует учитывать более точно граничные условия. Если многообразие имеет

границу, причем нормальные вариации на границе не обращаются в нуль, то для получения уравнений Эйнштейна к этому лагранжиану нужно добавить еще поверхностный член вида

где К - след второй фундаментальной формы поверхности, определитель метрики, индуцируемой на поверхности.

Правая часть уравнений Эйнштейна естественным образом возникает при варьировании действия материальной системы по метрике. Такой тензор энергии-импульса, называемый метрическим, симметричен, ковариантно сохраняется

Левая часть уравнений Эйнштейна (4.6.2) представляет собой нелинейное выражение от компонент метрики и ее первых производных по координатам Пусть одна из компонент выбрана в качестве времени, и мы хотим проследить за эволюцией решения, заданного на начальной гиперповерхности. Оказывается, что не все десять уравнений (4.6.2) являются динамическими, т. е. содержат вторые производные от метрики по времени. Действительно, из тождеств Бианки (4.5.20) вытекает

Правая часть содержит производные от метрики по координатам не выше второго порядка, следовательно, компоненты» тензора не могут содержать производные по времени выше первого порядка. Таким образом, уравнения

являются не динамическими уравнениями относительно метрики, а связями. Связи возникают вследствие ковариантности уравнений Эйнштейна относительно группы диффеоморфизмов (4.4.6). Для устранения произвола в выборе координат метрический тензор можно подчинить четырем независимым условиям калибровки. Наиболее близким к калибровке (4.2.10) линеаризованной теории является выбор гармонических координат посредством наложения условий

или, что то же самое,

(преобразование обращающее нуль осуществляется функциями каждая из которых удовлетворяет «гармоническому» уравнению Условие гармоничности можно

представить в форме недостающих динамических уравнений. для компонент метрики

взамен уравнений связей (4.6.12), которые следует рассматривать как уравнения, определяющие согласованный набор начальных значений метрики и ее первых производных.

Итак, решение уравнений Эйнштейна определяет метрику лишь с точностью до произвольного выбора четырех калибровочных функций, что физически отвечает свободе выбора координатных систем. Более того, тензор кривизны, описывающий «истинное» гравитационное поле, также не определяется полностью источником в правой части уравнений Эйнштейна. Действительно, из (4.6.2) однозначно определяется тензор Риччи (4.5.16), который в свою очередь определяет тензор кривизны (4.5.18) с точностью до задания тензора Вейля Фактически, однако, дивергенция тензора Вейля связана с тензором Риччи в силу тождеств Бианки (4.5.15), записанных с учетом разложения (4.5.18):

С точностью до этого соотношения, тензор Вейля определяет свободное гравитационное поле.

Подобная ситуация имеет место и в электродинамике, где к решению неоднородных уравнений Максвелла с источником может быть добавлено решение однородного уравнения, описывающего свободные электромагнитные волны. Однако есть и отличие, связанное с тем, что уравнения Эйнштейна нелинейны. В силу этого гравитационные поля не удовлетворяют принципу линейной суперпозиции и отделение «свободного» гравитационного поля от ноля, создаваемого некоторым материальным, источником, вообще говоря, невозможно. Интерпретация того, или инод) решения уравнений Эйнштейна представляет непростую задачу, поскольку практически при построении решения приходится фйксировать калибровку, после чего метрика находится однозначно, а вместе с ней кривизна и тензор Вейля.

Еще одно важное отличие от электродинамики состоит в том, что источник в правой части уравнений Эйнштейна не может быть задан произвольно. Тождества Бианки (4.5.20) требуют выполнения условия консервативности тензора энергии - импульса (4.6.3), которое с физической точки зрения означает выполнение уравнений движения для материальной системы - источника гравитационного роля - в создаваемом ею поле. Соответствующее условие сохранения тока в электродинамике является значительно менее жестким. В теорий гравитации мы. с необходимостью сталкиваемся рассмотрением самосогласованной системы уравнений для материи и создаваемого ею

гравитационного поля. Это по существу и является физической причиной невозможности последовательного построения линейной теории тензорного поля в пространстве Минковского с учетом взаимодействия с материей.

В заключение коснемся вопроса об энергии-импульсе самого гравитационного поля. Уже в рамках линеаризованной теории мы столкнулись с тем, что канонический тензор энергии-импульса зависит от калибровки. В общей теории относительности эта трудность находит свое отражение в том, что в теории отсутствует объект, который можно было бы интерпретировать как плотность энергии и импульса гравитационного поля и имеющий статус тензора в многообразии. Известны способы введения так называемых псевдотензоров, ковариантных относительно ограниченных преобразований координат. В частности, канонический тензор энергии-импульса линеаризованной теории оказывается низшим членом разложения псевдотензора Эйнштейна, а симметризованный тензор линеаризованной теории соответствует псевдотензору Ландау - Лифшица. В существующей литературе эти проблемы обсуждаются достаточно широко, и нет смысла повторять здесь это обсуждение.

Объяснение законов фотоэффекта дал в 1905 г. немецкий ученый Альберт Эйнштейн на основе гипотезы световых квантов. Вслед за Планком он предположил, что, если излучение энергии атомами происходит дискретно в виде порций или квантов, то ее распространение в пространстве и поглощение веществом происходит порциями (квантами) . Энергия кванта равна:

где v - частота падающего света,
h = 6.63 ∙ 10 -34 (Дж/с) - постоянная Планка.

Заметим, что в механике есть величина, которую называют действием . Она имеет размерность "энергия × время". Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия .

Кванты света называются фотонами.

Поэтому с квантовой точки зрения свет представляет собой поток фотонов .

Уравнение Эйнштейна объясняет все закономерности внешнего фотоэффекта. Оно представляет собой по сути дела закон сохранения энергии. Каждый фотон взаимодействует с одним электроном и передает ему энергию hv . Эта энергия затрачивается на то, чтобы совершить работу выхода электрона из металла - A и сообщить ему кинетическую энергию. Причем, если электрон вырывается с поверхности металла, а не из глубины, то кинетическая энергия электрона будет максимальной.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид

Покажем, как из уравнения Эйнштейна (5.2) можно объяснить законы фотоэффекта.

1. Из формулы (5.2) легко можно найти красную границу фотоэффекта. Если кинетическая энергия равна нулю, т. е. если , то . Тогда красная граница фотоэффекта равна:

Если частота падающего света больше или равна красной границе , то фотоэффект наблюдается, иначе - нет. Работа выхода зависит от химической природы вещества. Ее можно найти в справочнике. Значение работы выхода обычно указывают в электронвольтах . Из формулы (3.21) следует, что

Длину волны λ тоже называют красной границей фотоэффекта.

2. Из уравнения (5.2) можно выразить максимальную кинетическую энергию вылетевших электронов

Из формулы (5.4) следует, что максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов линейно зависит от частоты падающего света. Экспериментальное значение можно найти, зная задерживающую разность потенциалов (рис. 5.2):

,

где e - заряд электрона, U з - задерживающая разность потенциалов.

3. Третий закон фотоэффекта - закон Столетова - можно объяснить так: изменение светового потока Ф пропорционально изменению числа фотонов n ф, падающих на единицу поверхности металла в единицу времени.

При этом изменяется число электронов, взаимодействующих с фотонами n ф , а значит изменяется фототок. Фототок насыщения соответствует такому состоянию, когда все вылетевшие из катода электроны попадут на анод. Следовательно, можно написать цепочку пропорциональностей

.

Если перейти от пропорциональности к равенству, получим формулу для записи закона Столетова

Таким образом, в явлении фотоэффекта проявляется квантовая природа света.

Термин используется и в единственном числе: «уравне́ние Эйнште́йна », так как в тензорной записи это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных.

Выглядят уравнения следующим образом:

R μ ν − R 2 g μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , {\displaystyle R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}

где R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} - тензор Риччи , получающийся из тензора кривизны пространства-времени R a b c d {\displaystyle R_{abcd}} посредством свёртки его по паре индексов , R - скалярная кривизна , то есть свёрнутый тензор Риччи, g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} - метрический тензор , Λ {\displaystyle \Lambda } - космологическая постоянная , а T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} представляет собой тензор энергии-импульса материи, (π - число пи , c - скорость света в вакууме, G - гравитационная постоянная Ньютона).

Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры симметричны , то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 скалярным уравнениям. Тождества Бьянки приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6.

В более краткой записи вид уравнений таков:

G μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}

где G μ ν = R μ ν − R 2 g μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }} - тензор Эйнштейна , который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных.

Часто лямбда-член Λg μν в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается:

G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}

Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, c = G = 1 (т. н. геометризованная система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме:

G = 8 π T . {\displaystyle \mathbf {G} =8\pi \mathbf {T} .}

Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени (левая часть уравнения) с материей и её движением (правая часть).

Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их нелинейность , приводящая к невозможности использования при их решении принципа суперпозиции .

Исторический очерк

Работа Эйнштейна над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с 1907 года по 1917 год . В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов метрический тензор на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к уравнению Пуассона ньютоновской теории гравитации. Затем, в 1913 году вместе с Гроссманом получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна - Гроссмана), совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса).

Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет , где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт , лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в