Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

доказать формулы сокращенного умножения геометрическим и аналитическим способом;

уметь применять их при разложении на множители, при решении уравнений и в других нестандартных ситуациях;

научить распознавать формулы сокращенного умножения в многочленах более сложного вида.

Ход урока

1. Класс делится на две группы: группа исследователей и группа оппонентов. Группа исследователей выполняет действие умножения многочлена на многочлен:

А) (а-в)(а+в)=

Г) (а+в)(а 2 +ав+в 2) =

Д) (а-в)(а 2 +ав+ в 2)=

Другая группа оппонентов повторяют правило умножения многочлена на многочлен.

А) (m-2х)(m+n)=

В) (3х-у)(у+х)=

Проверяется на экране, причем в первом задании отрабатывается обучающая роль ошибки: Прочитать верный ответ.

Повторяется правило умножения многочлена на многочлен. На следующем слайде вступают в работу “Исследователи”, которые озвучивают результаты, а затем по щелчку мыши на экране проверяются ответы.

Оппоненты сообщают о том, что 1,2,3,5 являются формулами сокращенного умножения, а 4 нет, т.к. содержится ошибка.

Пример разбирается:

(а+в)(а 2 +ав+ в 2)= а 3 + а 2 в+а в 2 +в а 2 +а в 2 + в 3 = а 3 +2 а 2 в+2а в 2 + в 3

Чтобы она была формулой сокращенного умножения необходимо уничтожить слагаемые а 2 в и ав 2 .

Это можно достичь лишь, когда во второй скобке будет - ав.

2. Геометрическая интерпретация формул сокращённого умножения.

Работа с презентацией. (Рис.1)

1. Выразить площадь квадрата со стороной (а+в). S= (а+в) 2
2. Из каких фигур состоит данный квадрат?
3. Как можно по-другому найти площадь этого квадрата

S= а 2 + в 2 +2ав (рис.2)

Доказать геометрически формулу: (а–в) 2 = а 2 -2ав+ в 2

(а-в) 2 = а 2 – 2в (а-в) - в 2 = а 2 – 2ав + 2в 2 - в 2 = а 2 - 2ав + в 2

Используя этот прием изобразить док-во формулы (а-в)(а+в)

Исследователи включаются в работу.

Оппоненты доказывают аналитически формулы (а+в) 3 и (а–в) 3

По щелчку мыши проверяются верные ответы.

Исследователи предоставляют свой результат.

3. Закрепление.

На слайде предлагается устно проверить возведение во вторую степень суммы и разности. По щелчку мыши проверяются верные ответы.

Итог урока.

Вставьте пропущенные выражения на следующем слайде. Задание выполняется по уровню сложности: 1 уровень и 2 уровень – выполняется более сильными детьми.

4. Домашнее задание.

Изобразить геометрическую интерпретацию формул:

(а+в) 3 = а 3 + 3 а 2 в+3а в 2 + в 3

(а-в) 3 = а 3 - 3 а 2 в+3а в 2 - в 3

«Тесты по математике» - ТЕСТ по математике. Чему ты научился в первом классе?». Цель – проверить усвоение состава однозначных чисел и терминов. 5. Уменьши число 9 на 4. Какое число получится? 1. Выбери сумму, значение которой равно 7. 3. Какое число пропущено в записи: … + 4 = 7? 2. Выбери пару выражений, которые имеют одинаковые значения.

«Вычисления» - Длительность: 3 мин 16 сек. Викторина. Вычислить! Математика, 5 класс Автор - Логунова Л.В. Автоматический показ. По математике!

«Формула разности квадратов» - Задачи: Разминка. Формула разности квадратов.

«Творческие работы по математике» - Развитие общеучебных умений и навыков. Темы творческих работ. Основные этапы организации творческой работы. Реализация творческих возможностей учителя и учащихся. Интерес учащихся. Авраменко Владислава Учитель математики Нарвская Солдинаская гимназия. Специфические черты и особенности учебного предмета.

«Свойства натуральных чисел» - Сочетательное свойство умножения. Сложение. Свойства деления. Свойства сложения. На нуль делить нельзя! Свойство вычитания числа из суммы. Сложение и вычитание - действия 1 ступени. Вычитание из числа равного ему числа. Умножение и деление - действия 2 ступени. Умножение. Cвойства умножения. Вычитание.

«Большие числа» - Миллион дней – более 27 столетий. Таблица больших чисел. Среднее расстояние от Земли до Солнца – 150 млн. км. 1 000 000 000 000 - триллион. В каждом кубическом сантиметре воздуха (примерно в напёрстке) насчитывается от 20 до 30 триллионов молекул. Банан – высокое, иногда гигантское (до 15 метров) травянистое растение.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

Для тех, кто как-либо связан с архитектурой или строительством, необходимо разбираться в форматах. Сегодня, стандартный А4 используется только для распечатки текста, а для создания разнообразных чертежей или рисунков требуются ватманы. Размер А2 в сантиметрах 21х29,7, он идеально подходит для набросков и выполнения макетов небольшого масштаба.

Что такое формат

Формат – это размер листа бумаги. Они являются одинаковыми для большей части мира, и где бы вы не были, бумага размером А2 будет такой по площади, как и на родине.

В Европе такие стандарты были приняты в середине 20-го века и уже оттуда, распространились по всему миру. До этого, каждое издательство использовало свои размеры. Чаще всего это было «Золотое сечение», которое так любили живописцы и архитекторы эпохи Возрождения, но оно было не очень удобно для типографского дела.

Со временем, стал применяться лист, стороны которого относились друг к другу как единица к квадратному корню из двух. Такой лист, если его сложить пополам, имел такие же параметры, то есть он являлся уменьшенной копией первоначального «куска» бумаги.

В 20-х годах 20 века была принята единая система ISO 216, согласно которой, размеры формата А2 равны 210х297 миллиметров . Еще одним популярным стандартом бумаги является североамериканский, но маркировка этой системы в нашей стране встречается достаточно редко.

Международные стандарты

ISO 216 имеет несколько серий параметров бумаги:

Каждая из них применяется в разных сферах, и адаптирована под требования именно этих отраслей.

За основу принято считать формат А0, имеющий площадь ровно 1м 2 , но он используется только в специфических сферах, в повседневной жизни люди практически не используют его. Уже от него просчитывается каким должен быть, например, лист А2 в сантиметрах или миллиметрах. Каждый последующий формат – это половина предыдущего. То есть, лист размером А2 в см будет четвертая часть от А0.

Самыми популярными являются листы А4. В англоговорящих странах они приняты как стандарт для делового письма. В нашей стране тоже чаще всего используется именно это размер.

Следующим по популярности является - А2. Какой размер имеет лист формата А2 мы уже говорили, а его диагональ равна 364 миллиметра, а площадь – 0,24948 м 2 . Именно такие листы вы можете видеть вокруг себя каждый день – А2 чаще всего используется для печати газет.

Существуют размеры и больше, чем А0, они используются в основном в технических сферах. Более мелкий формат, такой как А5 или А6 применяют для создания блокнотов, тетрадей и прочей канцелярской бумаги.

Система ISO 216 допускает некоторые погрешности в размерах листов. Обычно они не превышают нескольких миллиметров.

Международный стандарт измерения удобен тем, что любой формат можно с легкостью перевести в другой.

Любое изображение можно отредактировать, применив нужный масштаб. Причем можно это сделать как вручную, так и с помощью техники, так как практически все, что мы используем для распечатки, или для представления документов в электронном виде, ориентировано на использование именно европейской системы измерения листов.

Отечественная система

В нашей стране, размеры формата А2 отличаются от принятых по Госту. Но так как используется в основном импортная техника, которая ориентирована на европейские стандарты, Гост отходит на второй план. Система ISO 216 очень актуальна на сегодняшний день.

Несмотря на то, что во всех сферах жизни преобладает техника, она не всегда может выполнить или показать то, что может человек, сколько бы люди ее не совершенствовали. Например, людям, которым часто приходится использовать какие-либо наглядные пособия, очень удобно использовать ватманы размерами А2, так как они имеют оптимальную площадь: достаточно большие, чтобы можно было показать все детали, и в то же время достаточно компактные. Их используют для:

наглядной демонстрации каких-либо данных;

демонстрации таблиц, диаграмм;

печати газет.

Таблица размеров

	Высота x Длина (мм)	Высота x Длина (" дюймы)	Пиксели *
	2378 x 1682 мм	93.6 x 66.2 " дюймов	28087 x 19866 px
	1682 x 1189 мм	66.2 x 46.8 " дюймов	19866 x 14043 px
		46.8 x 33.1 " дюймов
		33.1 x 23.4 " дюймов
		23.4 x 16.5 " дюймов
		16.5 x 11.7 " дюймов
		11.7 x 8.3 " дюймов
		8.3 x 5.8 " дюймов
		5.8 x 4.1 " дюймов
		4.1 x. 2.9 " дюймов
		2.9 x 2.0 " дюймов
		2.0 x 1.5 " дюймов
		1.5 x 1.0 " дюймов