А описание большинства этих моделей на математическом языке так или иначе связано с функциями. Но в математике действует закон: если используется какой-то термин, то его надо точно определить. За два года изучения курса алгебры мы с вами накопили достаточно много примеров, подтверждающих этот закон. Так, в 7-м классе мы ввели термин «степень с натуральным показателем», точно его определив: «под a 2 , где n = 2, 3, 4, ... , понимается произведение n множителей, каждый из которых равен о; под а 1 понимается само число а». В 8-м классе мы ввели термин «квадратный корень из неотрицательного числа», дав ему точное определение: это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a». И так далее и тому подобное - вы сами можете привести аналогичные примеры.

В то же время были случаи, когда мы вводили термин и начинали им пользоваться, но точного определения не формулировали, ограничиваясь приблизительным истолкованием термина. Так было, в частности, с термином «функция». Почему же мы в 7-м классе, как только стали использовать понятие функции, не сформулировали точное определение, почему не сделали этого и в 8-м классе?

Дело в том, что история развития математики показывает: были понятия, которые человечество активно и длительное время использовало как рабочий инструмент, не задумываясь о том, как его определить. Лишь накопив необходимый опыт в работе с тем или иным понятием, математики начинали думать о его формальном определении. Разумеется, не всегда первые попытки определить то или иное понятие, вроде бы ясное на интуитивном уровне, оказывались удачными, их приходилось впоследствии дополнять, уточнять. Так было и с понятием функции .

Проанализируем наш опыт работы с термином «функция». В 7-м классе мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим уравнение с двумя переменными специального вида у = кх + m и рассматривая переменные хи у как неравноправные: х - независимая переменная, у - зависимая переменная. Затем задались вопросом: а не встречаются ли при описании реальных процессов математические модели подобного вида, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = кх + m, а по какой-либо иной формуле? Ответ на этот вопрос был получен сразу: встречаются. В 7-м классе, кроме упомянутой линейной функции, мы изучили математическую модель у = х 2 , в 8-м классе добавили к ним модели
Постепенно мы начали осознавать, что, изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две переменные величины, участвующие в нем (в более сложных процессах участвуют более двух величин, но мы такие процессы пока не рассматривали). Одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную чаще всего обозначают буквой x), а другая переменная принимает значения, каждое из которых каким-то образом зависит от выбранного значения переменной х (такую зависимую переменную чаще всего обозначают буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х: у = fх). Такие математические модели мы называли функциями.

Математическая модель у = f(х) обычно дополняется указанием на то, из какого числового множества берутся значения независимой переменной х. Например, мы говорили о функции , подразумевая, что (график функции изображен на рис. 42), но мы рассматривали и функцию (график функции изображен на рис. 43). Это разные математические модели, значит, и разные функции.

Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной. Вот одна из таких функций: у = g {х), где
изображен на рис. 44. Помните, как строить такие графики? Сначала надо построить параболу у = х 2 и взять ее часть при (левая ветвь параболы), затем построить прямую у = 2х и взять ее часть при х > 0. И, наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т.е. построить в одной координатной плоскости. Этот пример (или аналогичные) мы рассматривали и в 7-м, и в 8-м классах.

Так что же такое функция? Проведенный выше анализ и наш опыт изучения конкретных функций в 7-м и 8-м классах позволяют выделить два существенных момента.

1. Запись у = f(х) представляет собой правило (обычно говорят «правило f»), с помощью которого, зная конкретное значение независимой переменной х, можно найти соответствующее значение переменной у.

2. Указывается числовое множество X (чаще всего какой-то числовой промежуток), откуда берутся значения независимой переменной х.

Теперь мы можем сформулировать одно из главных определений школьного курса алгебры (да, пожалуй, и всей математики).

Определение 1.

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения X; пишут у = f(x), х є X. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной.

Замечание.

В реальной жизни мы часто говорим: «каковы мои функции» или «каковы мои функциональные обязанности», - спрашивая тем самым соответственно: «каков круг моих действий, моих обязанностей» или «что я должен делать, как действовать». Фактически в реальной жизни слово «функция» означает «действие» или «правила действий». Обратите внимание, что фактически тот же смысл имеет и математический термин «функция», который мы разъяснили выше в определении 1.

Итак, D(f) = (-оо, 4].

б) Значение х = - 2 удовлетворяет условию следовательно, f (-2) надо вычислять по первой строке задания функции. Имеем f(х) = -х 2 , значит, f (-2) = -(-2) 2 = - 4.

в) Область значений функции, как мы уже отметили выше, удобнее всего находить с помощью графика функции. Построение графика осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -х 2 и выделим ее часть на луче (-оо, 0] (рис. 46). Затем построим прямую у = х + 1 и выделим ее часть на полуинтервале (0, 2] (рис. 47). Далее построим прямую у - 3 и выделим ее часть на полуинтервале (2, 4] (рис. 48). Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и будет график функции у = f (х) (рис. 49).

Теперь хорошо видно, что область значений функции состоит из двух промежутков: луча (-оо, 0] - он сплошь заполняется ординатами точек ветви параболы у = -х 2 , х < 0 - и полуинтервала (1, 3] - он сплошь заполняется ординатами точек участка прямой у = х+ 1,0<х<2. Итак, Е(f) = (-оо, 0]U(1, 3].

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки 09.07.2015 11259 0

Цель: обсудить определение функции, способы ее задания.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение материала 9 класса

Различные аспекты этой темы уже рассматривались в 7-9 классах. Теперь необходимо расширить и обобщить сведения о функциях. Напомним, что тема является одной из важнейших для всего курса математики. Различные функции будут изучаться вплоть до окончания школы и далее в высших учебных заведениях. Данная тема вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовыми задачами, прогрессиями и т. д.

Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f (x ) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).

Область определения функции f обозначают D (f ). Множество, состоящее из всех чисел f (x ) (область значений функции f ), обозначают E (f ).

Пример 1

Рассмотрим функцию Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения и, наконец, прибавить число 3 Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).

Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).

Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим Так как по определению арифметического корня то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим: или 3 ≤ у < +∞. Находим

В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f (x ) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q (x ) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q (x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x ).

Пример 2

Рациональная функция определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом А U В. Так, объединением отрезков и (3; 9) является промежуток (непересекающиеся промежутки) обозначают .

Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f (x ) принимает все значения, кроме 3. Поэтому

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции

Пример 4

Зависимость уже не является функцией. Действительно, если мы хотим вычислить значение у, например, для х = 1, то, пользуясь верхней формулой, найдем: у = 2 · 1 - 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим: у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению x (x = 1) соответствуют два значения у (у = -1 и у = 2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией.

Пример 5

Приведены графики двух зависимостей y (x ). Определим, какая из них является функцией.

На рис. а приведен график функции, так как любой точке x 0 соответствует только одно значение у0. На рис. б приведен график какой- то зависимости (но не функции), так как существуют такие точки (например, x 0 ), которым отвечает более одного значения у (например, у1 и у2).

Рассмотрим теперь основные способы задания функций.

1) Аналитический (с помощью формулы или формул).

Пример 6

Рассмотрим функции:

Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем: Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.

в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.

2) Табличный

Пример 7

Выпишем таблицу квадратов у для чисел х.

		2,25		6,25

Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y (5) = 25 и т. д.

3) Графический

В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком - графиком функции.

Определение 2. Графиком функции y (x ) называют множество всех точек системы координат, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты - соответствующим значениям зависимой переменной у.

В силу такого определения все пары точек (х0, у0), которые удовлетворяют функциональной зависимости у(х), расположены на графике функции. Любые другие пары точек, не удовлетворяющие зависимости y (x ), на графике функции не лежат.

Пример 8

Дана функция Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Найдем значение функции у при Так как у(-2) = -6, то точка А (-2; -6) принадлежит графику данной функции.

2. Определим значение функции у при Так как y (-3) = -11, то точка В (-3; -10) не принадлежит графику этой функции.

По данному графику функции у = f (x ) легко найти область определения D (f ) и область значений E (f ) функции. Для этого точки графика проецируют на оси координат. Тогда абсциссы этих точек образуют область определения D (f ), ординаты - область значений E (f ).

Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.

Пример 9

Дана функция у = 2х2 - 3х +1.

Найдем: а) y (2); б) y (-3х); в) у(х + 1).

Для того чтобы найти значение функции при каком-то значении аргумента, необходимо подставить это значение аргумента в аналитический вид функции. Поэтому получим:

Пример 10

Известно, что у(3 - х) = 2х2 - 4. Найдем: а) y (x ); б) у(-2).

а) Обозначим буквой z = 3-х, тогда х = 3 - z . Подставим это значение х в аналитический вид данной функции у(3 - х) = 2х2 - 4 и получим: y (3 - (3 - z )) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (9 - 6 z + z 2 ) - 4, или y (z ) = 2х2 - 12 z + 14. Так как безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции - z , х, t или любой другой, то сразу получим: у(х) = 2х2 - 12х + 14;

б) Теперь легко найти у(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Известно, что Найдем х(у).

Обозначим буквой z = x - 2, тогда х = z + 2, и запишем условие задачи: или To же условие запишем для аргумента (- z ): Для удобства введем новые переменные a = y (z ) и b = y (- z ). Для таких переменных получим систему линейных уравнений

Нас интересует неизвестная a .

Для ее нахождения используем способ алгебраического сложения. Поэтому умножим первое уравнение на число (-2), второе уравнение - на число 3. Получим:

Сложим эти уравнения: откуда Так как аргумент функции можно обозначать любой буквой, то имеем:

В заключение заметим, что к концу 9 класса были изучены свойства и графики:

а) линейной функции у = кх + m (график - прямая линия);

б) квадратичной функции у = ах2 + b х + с (график - парабола);

в) дробно-линейной функции (график - гипербола), в частности функции

г) степенной функции у = ха (в частности, функции

д) функции у = |х|.

Для дальнейшего изучения материала рекомендуем повторить свойства и графики указанных функций. На следующих занятиях будут рассмотрены основные способы преобразования графиков.

1. Дайте определение числовой функции.

2. Расскажите о способах задания функции.

3. Что называется объединением множеств А и B ?

4. Какие функции называются целыми рациональными?

5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?

6. Что называют графиком функции f (х)?

7. Приведите свойства и графики основных функций.

IV. Задание на уроках

§ 1, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (a ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.

V. Задание на дом

§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (г); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.

VI. Творческие задания

1. Найдите функцию у = f (х), если:

Ответы:

2. Найдите функцию у = f (x ) если:

Ответы:

VII. Подведение итогов уроков

Определение числовой функции и способы её задания

Что такое функция.

Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного
множества сопоставляется единственный элемент другого
множества называются функциями.
Пишут: у = f(x), x Є X.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Множество всех допустимых значений независимой переменной
является областью определения функции и обозначается D(y).
Переменную у – зависимой переменной.
Множество всех значений зависимой переменной является областью
значений функции и обозначается Е(у).

Способы задания функции

Существуют 4 способа задания функции.
1.Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции
имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.
Х
2
3
4
5
У
4
6
8
10
2.Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот
способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств.
У=2х+5, у= х² -5х+1, у= |х+5|.
3. Графический способ. Функция задается своей геометрической
моделью на координатной плоскости.
4. Описательный способ. Удобно использовать тогда, когда задание другими
способами затруднительно.

§3

четность
нечетность
непрерывность
выпуклость
Монотонность:
Возрастание;
убывание
Свойства
функции
Наибольшее и
наименьшее
значения
функции
Промежутки
знакопостоянства
(промежутки, в которых функция
принимает только положительные
или только отрицательные значения)
нули функции
(значения аргумента,
в которых значение
Функции равно нулю)
периодичность
Экстремумы:
точка максимума,
точка минимума

Линейная функция.

О. Функция вида y=kx+b называется линейной.
Т. Графиком линейной функции y=kx+b, при k≠0 является
прямая, пересекающая
ось ординат в точке (0; b), ось абсцисс в точке (-b/ k; 0)
k<0
D(f) = R
E(f) = R
k>0
k=0

k
Функция y
x
О. Функция вида у=к/х, где к≠0, называется
обратной пропорциональностью.
График обратной пропорциональности (гипербола) получается из
графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к <0 симметрии
относительно оси абсцисс)
D(f) = (-∞;0) U (0;+∞)
E(f) = (-∞;0) U (0;+∞)

Степенная функция с целым показателем.

О. Функция вида у=хⁿ , где n- натуральное число,
называется степенной.
О. График степенной функции с показателем n
называется параболой степени n.
n- четное число
D(f) = (-∞;∞)
E(f) =
возрастает при х Є
Ответ:
X Є [-1;8]

14. Множество значений функции

1.
у= 2sin²x-cos2x
Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1
0 ≤ Sin²x ≤ 1, -1 ≤ 4sin²x-1 ≤ 3
Ответ: -1 ≤ у ≤ 3
2.
у = 1 - 2 |cosx|
Решение: -1 ≤ cosx ≤ 1 , 0 ≤ |cosx| ≤ 1 , -1 ≤ 1 - 2 |cosx| ≤ 1 ≤ 1
Ответ: -1 ≤ у ≤ 1
3.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой
функции.
E(f)=(-2;2]
E(f)= [-3;1]
E(f)= (-∞;4]

15. Решение неравенств

На рисунке изображены графики функций y= f (x) и y= g (x),
заданных на промежутке. Укажите те значения х, для
которых выполняется неравенство f(x)≤ g(x)
Ответ:
f(x)≤ g(x) на отрезке [-3;2]

Что такое функция. Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества называются функциями. Пишут: у = f(x), x Є X. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Множество всех допустимых значений независимой переменной является областью определения функции и обозначается D(y). Переменную у – зависимой переменной. Множество всех значений зависимой переменной является областью значений функции и обозначается Е(у).

Способы задания функции Существуют 4 способа задания функции. 1. Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений. Х2345 У Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств. У=2 х+5, у= х² -5 х+1, у= |х+5|. 3. Графический способ. Функция задается своей геометрической моделью на координатной плоскости. 4. Описательный способ. Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно.

§3 Свойства функции Монотонность: Возрастание; убывание нули функции (значения аргумента, в которых значение Функции равно нулю) непрерывность периодичность четность нечетность Экстремумы: точка максимума, точка минимума выпуклость Наибольшее и наименьшее значения функции Промежутки знакопостоянства (промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения)

О. Функция вида у=к/х, где к 0, называется обратной пропорциональностью. График обратной пропорциональности (гипербола) получается из графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к

Функция у = |х| у=|х |= х, если х 0 -х, если х

0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." class="link_thumb"> 11 Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига. 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига.">

Нахождение области определения функции

Множество значений функции 1.у= 2sin²x-cos2x Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 Ответ: -1 у 3 2. у = |cosx| Решение: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1, |cosx| 1 1 Ответ: -1 у 1 3. Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции. E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Числовые функции. Определение и способы задания.

Напомним Если даны числовое множество и правило, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу из множества определенное число, то говорят, что задана функция с областью определения: – область определения функции; – независимая переменная или аргумент; – зависимая переменная; множество всех значений, называют областью значений функции и обозначают.

Если дана функция, и на координатной плоскости отмечены все точки вида, где, а, то множество этих точек называют графиком функции, .

Графики некоторых функций прямая

парабола

гипербола

Зная график функции с помощью геометрических преобразований можно построить график функции. Для этого надо сделать параллельный перенос графика функции на вектор, то есть на вправо, если, и влево, если на вверх, если, и вниз, если.

Пример -4 0 1 2 3 4

Задать функцию – указать правило, которое поз- воляет по произвольно выбранному значению вычислить соответствующее значение. Чаще всего это правило связано с формулой (например). Такой способ задания функции называется аналитическим.

Пример Пусть – некоторая линия на координатной плоскости

Тем самым на отрезке задана функция. Такой способ задания функции называют графическим. Заметим, что если функция была задана аналитически и нам удалось построить ее график, то тем самым мы фактически осуществили переход от аналитического способа задания функции к графическому.

Табличный способ задания функции – с по-мощью таблицы, в которой указаны значения функции для конечного множества значений аргумента. Например: 5 7 8 9 10 12 5 7 4 6 5 7 8 9 10 12 5 7 4 6

Словесный способ задания функции – способ, при котором правило задания функции описывается словами.