Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально и движущегося под действием одной только силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Например, представим себе, что шару, лежащему на столе, сообщают толчок, и он докатывается до края стола и начинает свободно падать, имея начальную скорость , направленную горизонтально (рис. 174).

Спроектируем движение шара на вертикальную ось и на горизонтальную ось . Движение проекции шара на ось - это движение без ускорения со скоростью ; движение проекции шара на ось - это свободное падение с ускорением бее начальной скорости под действием силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Компонента скорости остается постоянной и равной . Компонента растет пропорционально времени: . Результирующую скорость легко найти по правилу параллелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.

Рис. 174. Движение шара, скатившегося со стола

Рис. 175. Шар, брошенный горизонтально со скоростью имеет в момент скорость

Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально. Координаты тела в момент времени имеют значения

Чтобы найти уравнение траектории, выразим из (112.1) время через и подставим это выражение в (112.2). В результатё получим

График этой функции показан на рис. 176. Ординаты точек траектории оказываются пропорциональными квадратам абсцисс. Мы знаем, что такие кривые называются параболами. Параболой изображался график пути равноускоренного движения (§ 22). Таким образом, свободно падающее тело, начальная скорость которого горизонтальна, движется по параболе.

Путь, проходимый в вертикальном направлении, не зависит от начальной скорости. Но путь, проходимый в горизонтальном направлении пропорционален начальной скорости. Поэтому при большой горизонтальной начальной скорости парабола, по которой падает тело, более вытянута в горизонтальном направлении. Если из расположенной горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177), то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик, двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная скорость воды и тем дальше от крана попадает струя на дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начерченными на нем параболами, можно убедиться, что струя воды действительно имеет форму параболы.

112.1. Какова будет через 2с полета скорость тела, брошенного горизонтально со скоростью 15м/с? В какой момент скорость будет направлена под углом 45° к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

112.2. Шарик, скатившийся со стола высоты 1м, упал на расстоянии 2м от края стола. Какова была горизонтальная скорость шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обновлено:

На нескольких примерах (которые я изначально решал, как обычно, на otvet.mail.ru) рассмотрим класс задач элементарной баллистики: полет тела, запущенного под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью, без учета сопротивления воздуха и кривизны земной поверхности (то есть направление вектора ускорения свободного падения g считаем неизменным).

Задача 1. Дальность полета тела равна высоте его полета над поверхностью Земли. Под каким углом брошено тело? (в некоторых источниках почему-то приведен неправильный ответ - 63 градуса).

Обозначим время полета как 2*t (тогда в течение t тело поднимается вверх, и в течение следующего промежутка t - спускается). Пусть горизонтальная составляющая скорости V1, вертикальная - V2. Тогда дальность полета S = V1*2*t. Высота полета H = g*t*t/2 = V2*t/2. Приравниваем
S = H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Отношение вертикальной и горизонтальной скоростей есть тангенс искомого угла α, откуда α = arctan(4) = 76 градусов.

Задача 2. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью V0 под углом α к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела: а) в начале движения; б) в верхней точке траектории.

В обоих случая источник криволинейности движения - это гравитация, то есть ускорение свободного падения g, направленное вертикально вниз. Все что здесь требуется - найти проекцию g, перпендикулярную текущей скорости V, и приравнять ее центростремительному ускорению V^2/R, где R - искомый радиус кривизны.

Как видно из рисунка, для начала движения мы можем записать
gn = g*cos(a) = V0^2/R
откуда искомый радиус R = V0^2/(g*cos(a))

Для верхней точки траектории (см. рисунок) имеем
g = (V0*cos(a))^2/R
откуда R = (V0*cos(a))^2/g

Задача 3. (вариация на тему) Снаряд двигался горизонтально на высоте h и разорвался на два одинаковых осколка, один из которых упал на землю через время t1 после взрыва. Через какое время после падения первого осколка упадёт второй?

Какую бы вертикальную скорость V ни приобрел первый осколок, второй приобретет ту же по модулю вертикальную скорость, но направленную в противоположную сторону (это следует из одинаковой массы осколков и сохранения импульса). Кроме того, V направлена вниз, поскольку иначе второй осколок прилетит на землю ДО первого.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Второй полетит вверх, потеряет вертикальную скорость через время V/g, и затем через такое же время долетит вниз до начальной высоты h, и время t2 его задержки относительно первого осколка (не время полета от момента взрыва) составит
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

дополнено 2018-06-03

Цитата:
Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определить тангенциальное и нормальное ускорение тела спустя 1,0 с после начала движения, радиус кривизны траектории в этот момент времени, длительность и дальность полета. Какой угол образует вектор полного ускорения с вектором скорости при t = 1,0 с

Начальная горизонтальная скорость Vг = V*cos(60°) = 10*0.5 = 5 м/с, и она не меняется в течение всего полёта. Начальная вертикальная скорость Vв = V*sin(60°) = 8.66 м/с. Время полёта до максимально высокой точки t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 сек, а значит длительность всего полёта 2*t1 = 1.767 с. За это время тело пролетит по горизонтали Vг*2*t1 = 8.84 м (дальность полёта).

Через 1 секунду вертикальная скорость составит 8.66 - 9.8*1 = -1.14 м/с (направлена вниз). Значит угол скорости к горизонту составит arctan(1.14/5) = 12.8° (вниз). Поскольку полное ускорение здесь единственное и неизменное (это ускорение свободного падения g , направленное вертикально вниз), то угол между скоростью тела и g в этот момент времени составит 90-12.8 = 77.2°.

Тангенциальное ускорение - это проекция g на направление вектора скорости, а значит составляет g*sin(12.8) = 2.2 м/с2. Нормальное ускорение - это перпендикулярная к вектору скорости проекция g , она равна g*cos(12.8) = 9.56 м/с2. И поскольку последнее связано со скоростью и радиусом кривизны выражением V^2/R, то имеем 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R, откуда искомый радиус R = 2.75 м.

Тело можно бросить и так, чтобы его начальная скорость v 0 будет направлена горизонтально (α = 0). Так направлена, например, начальная скорость тела, оторвавшегося от горизонтально летящего самолета. Легко понять, по какой траектории будет двигаться тело. Обратимся к рисунку 15, на котором показана параболическая траектория движения тела, брошенного под углом α к горизонту. В высшей точке траектории параболы скорость тела как раз и направлена горизонтально. Как мы уже знаем, за этой точкой тело движется по правой ветви параболы. Очевидно, что и всякое тело, брошенное горизонтально, тоже будет двигаться по ветви параболы.

Траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно наглядно изучить в простом опыте. Сосуд, наполненный водой, располагают на некоторой высоте над столом и соединяют резиновой трубкой с наконечником, снабженным краном. Выпускаемые струи воды непосредственно показывают траектории движения частиц воды. Таким образом можно наблюдать траектории при разных значениях угла падения α и скорости v 0 .

Время движения тела, брошенного горизонтально с некоторой начальной высоты, определяется только тем временем, которое необходимо для свободного падения тела с этой начальной высоты. Поэтому, например, пуля, выпущенная стрелком из ружья в горизонтальном направлении, упадет на землю одновременно с пулей, оброненной случайно в момент выстрела (при условии, что стрелок роняет пулю с той же высоты, на которой она находится в ружье в момент выстрела!..). Но оброненная пуля упадет у ног стрелка, а пуля, вылетевшая из ружейного ствола - во многих сотнях метров от него.

Пример решения задачи

Именно этот пример был выбран по той причине, что рассматриваемая задача имеет достаточно общий характер и позволяет на примере ее решения лучше понять все особенности движения тела под действием силы тяжести.

Исходные предположения, налагаемые на условия решения задачи

При решении этой задачи мы будем использовать только два исходных предположения:

1. мы будем пренебрегать зависимостью величины модуля вектора ускорения свободного падения от высоты, на которой находится тело в любой момент движения (см. рис. 11 и комментарий к нему)
2. мы будем пренебрегать кривизной земной поверхности при анализе движения тела (см. рис. 11 и комментарий к нему)

Условие задачи:

Из точки с координатами x 0 , y 0 брошено тело под углом α 0 к горизонту со скоростью v 0 (см. рисунок 16). Найти:

• положение и скорость тела через время t ;
• уравнение траектории полета;
• нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории в момент t ;
• полное время полета;
• наибольшую высоту подъема;
• угол, под которым надо бросить тело, чтобы высота его подъема была равна дальности полета (при условии, что x 0 = y 0 = 0).

Решение

Направим оси прямоугольной системы координат X и Y по направлениям горизонтального и вертикального перемещений точки. Поскольку вектор ускорения свободного падения не имеет компоненты, параллельной оси X , то есть , векторные уравнения движения тела имеют вид:

В явном виде выражение для проекций векторных величин, входящих в первое уравнение, на оси системы координат, имеет вид, определяющий положение тела в момент времени t:

Поскольку каждый вектор можно представить в виде суммы его проекций (это тоже векторы) на оси координат, каждое векторное уравнение может быть представлено в виде двух векторных уравнений, но уже для проекций. Выразив проекции векторных величин, входящих во второе уравнение, на оси системы координат, находим составляющие скорости

и выражение для результирующей скорости (использована теорема Пифагора) Тангенс угла между направлением результирующей скорости и осью X равен то есть он меняется с течением времени. Это и понятно, поскольку величина скорости имеет геометрическую интерпретацию в виде величины тангенса угла наклона касательной к зависимости координаты или радиус-вектора от времени.

Исключив t из обоих уравнений, определяющих положение тела в момент t , получим уравнение траектории полета

Чтобы определить тангенциальное и нормальное ускорения тела в точке с координатами x, y , заметим, что полное ускорение тела все время направлено вниз и представляет собой только ускорение силы тяжести, (других сил и ускорений по условию задачи нет) . Тангенциальное ускорение равно проекции вектора на касательную к траектории (т. е. −g sinγ , как видно на пояснительном рисунке к задаче), а нормаль ускорения к касательной равна проекции −g cosγ (см. рис. 16)

то

Найдем попутно приближенное значение радиуса кривизны (R) траектории в момент t . Принимая, что точка движется по дуге окружности (это приближение, упрощающее конечную математическую формулу результата, на самом деле не имеющее места и лучше всего выполняющееся вблизи точки максимального подъема тела), воспользуемся формулой

тогда

Если тело брошено из точки на поверхности, где и y = 0 , задача существенно упрощается. Сокращая на (x max − x 0) , находим, что

Полное время полета можно определить из формулы откуда

Наибольшая высота подъема тела достигается в момент t тогда, когда v y = 0 . Так как составляющая вектора скорости вдоль оси Y равна , то в точке максимального подъема тела имеет место равенство v y = 0 , откуда получаем

Если скорость \(~\vec \upsilon_0\) направлена не вертикально, то движение тела будет криволинейным.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со скоростью \(~\vec \upsilon_0\) (рис. 1). Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy . Начало отсчета координат совместим с начальным положением тела. Из рисунка 1 видно, что υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, g x = 0, g y = g .

Тогда движение тела опишется уравнениями:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0,\ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac{gt^2}{2}. \qquad (2)\)

Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, т. е. тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением \(~\vec g\), т. е. так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Найдем уравнение траектории. Для этого из уравнения (1) найдем время \(~t = \frac{x}{\upsilon_0}\) и, подставив его значение в формулу (2), получим\[~y = \frac{g}{2 \upsilon^2_0} x^2\] .

Это уравнение параболы. Следовательно, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к параболе (см. рис. 1). Модуль скорости можно рассчитать по теореме Пифагора:

\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 + (gt)^2}.\)

Зная высоту h , с которой брошено тело, можно найти время t 1 , через которое тело упадет на землю. В этот момент координата y равна высоте: y 1 = h . Из уравнения (2) находим\[~h = \frac{gt^2_1}{2}\]. Отсюда

\(~t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}. \qquad (3)\)

Формула (3) определяет время полета тела. За это время тело пройдет в горизонтальном направлении расстояние l , которое называют дальностью полета и которое можно найти на основании формулы (1), учитывая, что l 1 = x . Следовательно, \(~l = \upsilon_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}\) - дальность полета тела. Модуль скорости тела в этот момент \(~\upsilon_1 = \sqrt{\upsilon^2_0 + 2gh}.\).

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 15-16.

Теперь нам нетрудно выяснить, как станет двигаться тело, если ему сообщить начальную скорость, направленную не под произвольным углом к горизонту, а горизонтально. Так движется, например, тело, оторвавшееся от горизонтально летящего самолета (или сброшенное с него).

По-прежнему считаем, что на такое тело действует только сила тяжести. Она, как всегда, сообщает ему ускорение направленное вниз.

В предыдущем параграфе мы видели, что тело, брошенное под углом к горизонту, в определенный момент времени достигает высшей точки своей траектории (точка В на рисунке 134). В этот момент скорость тела направлена горизонтально.

Мы уже знаем, как движется тело после этого. Траекторией его движения является правая ветвь параболы, изображенной на рисунке 134. Подобную траекторию движения будет иметь и всякое другое тело, брошенное горизонтально. На рисунке 135 изображена такая траектория. Ее тоже называют параболой, хотя это только часть параболы.

Тело, брошенное горизонтально, движется по ветви параболы. Вычислим дальность полета для этого движения тела.

Если тело брошено с высоты то время, в течение которого оно будет падать, мы получим из формулы

Все время, пока тело падает вниз с ускорением вертикальная ось (рис. 133) движется в горизонтальном направлении со скоростью

Поэтому за время падения она переместится на расстояние

Следовательно,

Эта формула позволяет определить дальность полета тела, брошенного на высоте горизонтально с начальной скоростью

Мы рассмотрели несколько примеров движения тела под действием силы тяжести. Из них видно, что во всех случаях тело движется с ускорением сообщаемым ему силой тяжести. Это ускорение совершенно не зависит от того, движется ли еще тело и в горизонтальном направлении или нет. Можно даже сказать, что во всех этих случаях тело совершает свободное падение.

Поэтому, например, пуля, выпущенная стрелком из ружья в горизонтальном направлении, упадет на землю одновременно с пулей, случайно оброненной стрелком в момент выстрела. Но оброненная пуля упадет у ног стрелка, а вылетевшая из ружейного ствола - в нескольких сотнях метров от него.

На цветной вклейке представлена стробоскопическая фотография двух шариков, из которых один падает вертикально, а второму одновременно с началом падения первого сообщена скорость в горизонтальном направлении. На фотографии видно, что в одни и те же моменты времени (моменты вспышек света) оба шарика находятся на одной и той же высоте и, конечно, одновременно достигают земли.

Траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно наглядно увидеть в простом опыте. Бутыль, наполненную водой, помещают на некоторой высоте над столом и соединяют ее резиновой трубкой с наконечником, снабженным краном (рис. 136). Выпускаемые струи непосредственно показывают траектории частиц воды. Изменяя угол, под которым выпускают струю, можно убедиться в том, что наибольшая дальность достигается при угле 45°.

Рассматривая движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, мы считали, что оно находится под действием только силы тяжести. В действительности это не так. Наряду с силой тяготения на тело всегда действует сила сопротивления (трения) со стороны воздуха. А она приводит к уменьшению скорости.

Поэтому дальность полета тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, всегда меньше, чем это следует из формул,

полученных нами в этом параграфе и § 55; высота подъема тела, брошенного по вертикали, всегда меньше, чем вычисленная по формуле, приведенной в § 21, и т. д.

Действие силы сопротивления приводит также к тому, что траекторией движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, оказывается не парабола, а более сложная кривая.

Упражнение 33

При ответах на вопросы этого упражнения трением пренебречь.

1. Что общего в движении тел, брошенных вертикально, горизонтально и под углом к горизонту?

3. Одинаково ли ускорение тела, брошенного горизонтально, во всех точках его траектории?

4. Находится ли тело, брошенное горизонтально, во время своего движения в состоянии невесомости? А тело, брошенное под углом к горизонту?

5. Тело брошено горизонтально с высоты 2 м над землей со скоростью 11 м/сек. Через какое время оно упадет? Какое расстояние пролетит тело в горизонтальном направлении?

6. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/сек в горизонтальном направлении на высоте 20 м над поверхностью Земли. На каком расстоянии от точки бросания оно упадет на землю? С какой высоты его нужно бросить с такой же скоростью, чтобы дальность полета стала вдвое больше?

7. Самолет летит в горизонтальном направлении на высоте 10 км со скоростью 720 км/ч. На каком расстоянии от цели (по горизонтали) летчик должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель?