Эта статья является отправной точкой в изучении теории дифференциальных уравнений. Здесь собраны основные определения и понятия, которые будут постоянно фигурировать в тексте. Для лучшего усвоения и понимания определения снабжены примерами.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных .

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x) ).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения .

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X .

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения .

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения .

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения .

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1)=1 , является . Действительно, и .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X .

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0 и x 1 :
f (x 0) = f 0 , f (x 1) = f 1 , где f 0 и f 1 - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей .

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным , если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис сайт позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y" в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y" - 5y" +6y = 0 . Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0 , если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

- общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y" = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x 0) = y 0 , называется задачей Коши.

Решение уравнения y" = f(x,y) , удовлетворяющее начальному условию, y(x 0) = y 0 , называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y" = f(x,y) при условии y(x 0) = y 0 , означает найти интегральную кривую уравнения y" = f(x,y) которая проходит через заданную точку M 0 (x 0 ,y 0 ).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y") = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y" = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0 .

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y"=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.

Для тех y , для которых , уравнение y"=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y"=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x , получим G(y) = F(x) + C – общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x) , C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Пример 1

Решить уравнение y" = xy

Решение. Производную функции y" заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2 , если y 0 = 3 при x 0 = 1

Это-уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x 0 = 1, y 0 = 3 найдем С 9=1-1+C , т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = - 3 найдем C :

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y" = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) - некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y" = f(x)y

Если то уравнение y" = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y" = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y" = ky где k - некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y" = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y" = kx + b ,

где k и b - некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример . Решить уравнение y" + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y" = -2y - 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y" = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv , где u и v - неизвестные функции от x . Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y" = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv .

2. Продифференцировать это равенство y" = u"v + uv"

3. Подставить y и y" в данное уравнение: u"v + uv" = f(x)uv + g(x) или u"v + uv" + f(x)uv = g(x) .

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y" = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y" = u"v + uv"

Подставляя y и y" в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v :

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0 :

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y",y") = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C 1 и C 2 .

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C 1 и C 2 .

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py" +qy = 0 , где p и q - постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py" +qy = 0 .

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r 2 , y" через r , y через 1:r 2 + pr +q = 0

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C , где C - произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C , получим: ,
но , т.к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т.е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т.е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т.е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y 1 = e x и y 2 = e - x линейно независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y 1 = e x и y 2 = 5 e x линейно зависимы, т.к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т.е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т.е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т.е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и - два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Пример 1.

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

.

Пример 2.

Решение y = C 1 e x + C 2 e - x уравнения является общим, т.к. .

Пример 3.

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Замечание

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.