При равномерном движении по окружности тело движется с центростремительным ускорением. Определим это ускорение.

Ускорение направлено туда же, куда и изменение скорости, следовательно, ускорение направлено к центру окружности. Важное допущение: угол настолько мал, что длина хордыABсовпадает с длиной дуги:

по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно:

–модуль центростремительного ускорения.

Основы динамики Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея

Любое тело остается неподвижным, пока на него не действуют другие тела. Тело, двигавшееся с некоторой скоростью, продолжает двигаться равномерно и прямолинейно до тех пор, пока не него не подействуют другие тела. К таким выводам о законах движения тел впервые пришел итальянский ученый Галилео Галилей.

Явление сохранения скорости движения тела при отсутствии внешних воздействий называется инерцией .

Всякий покой и движение тел относительны. Одно и то же тело может находиться в состоянии покоя в одной системе отсчета и двигаться с ускорением в другой. Но существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела . Это утверждение называется первым законом Ньютона (законом инерции).

Системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии внешних воздействий движется прямолинейно и равномерно, называют инерциальными системами отсчета .

Инерциальных систем отсчета может быть сколь угодно много, т.е. любая система отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно по отношению к инерциальной, также является инерциальной. Истинных (абсолютных) инерциальных систем отсчета нет.

Причиной изменения скорости движения тел всегда является его взаимодействие с другими телами.

При взаимодействии двух тел всегда изменяются скорости и первого, и второго тела, т.е. оба тела приобретают ускорения. Ускорения двух взаимодействующих тел могут быть различными, они зависят от инертности тел.

Инертность – способность тела сохранять свое состояние движения (покоя). Чем больше инертность тела, тем меньшее ускорение оно приобретет при взаимодействии с другими телами, и тем будет ближе его движение к равномерному прямолинейному движению по инерции.

Масса – физическая величина, характеризующая инертность тела. Чем большей массой обладает тело, тем меньшее ускорение оно получает при взаимодействии.

За единицу массы в СИ принят килограмм: [m]=1 кг.

В инерциальных системах отсчета любое изменение скорости тела происходит под действием других тел. Сила – это количественное выражение действия одного тела на другое.

Сила – векторная физическая величина, за ее направление принимают направление ускорения тела, которое вызывается этой силой. У силы всегда есть точка приложения.

В СИ за единицу силы принимаются сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 . Эта единица называется Ньютоном:

.

Второй закон Ньютона

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение :

.

Таким образом, ускорение тела прямо пропорционально действующей на тело силе и обратно пропорционально его массе:

.

При изучении движения в физике важную роль играет понятие траектории. Именно она определяет во многом тип перемещения объектов и, как следствие, вид формул, с помощью которых описывают это перемещение. Одной из распространенных траекторий движения является окружность. В данной статье рассмотрим, центростремительное при движении по окружности.

Понятие о полном ускорении

Прежде чем характеризовать при движении по окружности центростремительное ускорение рассмотрим понятие полного ускорения. Под ним полагают физическую величину, которая одновременно описывает изменение значения абсолютного и вектора скорости. В математическом виде это определение выглядит так:

Ускорение является полной производной скорости по времени.

Как известно, скорость v¯ тела в каждой точке траектории направлена по касательной. Этот факт позволяет представить ее в виде произведения модуля v на единичный касательный вектор u¯, то есть:

Тогда можно вычислить следующим образом:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Величина a¯ представляет собой сумму векторную двух слагаемых. Первое слагаемое направлено по касательной (как скорость тела) и называется Оно определяет быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое - Рассмотрим его подробнее далее в статье.

Полученное выше выражение для нормальной компоненты ускорения a n ¯ запишем в явном виде:

a n ¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v 2 /r*r e ¯

Здесь dl - пройденный телом вдоль траектории путь за время dt, r e ¯ - единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории, r - радиус это кривизны. Полученная формула приводит к нескольким важным особенностям компоненты a n ¯ полного ускорения:

• Величина a n ¯ растет как квадрат скорости и убывает обратно пропорционально радиусу, что отличает ее от тангенциальной компоненты. Последняя не равна нулю только в случае изменения модуля скорости.
• Нормальное ускорение направлено всегда к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.

Таким образом, главным условием существования ненулевой величины a n ¯ является кривизна траектории. Если такой кривизны не существует (прямолинейное перемещение), то a n ¯ = 0, так как r->∞.

Ускорение центростремительное при движении по окружности

Окружность - геометрическая линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от некоторой точки. Последняя называется центром окружности, а упомянутое расстояние - это ее радиус. Если скорость тела во время вращения не изменяется по модулю, то говорят о равнопеременном движении по окружности. Ускорение центростремительное в этом случае легко рассчитать по одной из двух формул ниже:

Где ω - угловая скорость, измеряется в радианах в секунду (рад/с). Второе равенство получено благодаря формуле связи между угловой и линейной скоростями:

Силы центростремительная и центробежная

При равномерном движении тела по окружности ускорение центростремительное возникает за счет действия соответствующей центростремительной силы. Ее вектор всегда направлен к центру окружности.

Природа этой силы может быть самой разнообразной. Например, когда человек раскручивает привязанный к веревке камень, то на своей траектории его удерживает сила натяжения веревки. Другим примером действия центростремительной силы является гравитационное взаимодействие между Солнцем и планетами. Именно оно заставляет двигаться по круговым орбитам все планеты и астероиды. Центростремительная сила не способна изменить кинетическую энергию тела, поскольку направлена она к его скорости перпендикулярно.

Каждый человек мог обратить внимание на то, что во время поворота автомобиля, например, налево, пассажиров прижимает к правому краю салона транспортного средства. Этот процесс является результатом действия центробежной силы вращательного движения. На самом деле эта сила является ненастоящей, поскольку обусловлена инерционными свойствами тела и его стремлением двигаться по прямой траектории.

Центробежная и центростремительная силы равны друг другу по величине и противоположны по направлению. Если бы этого не было, то круговая траектория движения тела нарушилась бы. Если учесть второй закон Ньютона, то можно утверждать, что при вращательном движении ценробежное ускорение равно центростремительному.

Центростремительное ускорение - компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая компонента, тангенциальное ускорение , характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение ». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой .

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

Осестремительное ускорение в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}\ } a n = ω 2 R , {\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R\ ,}

  где a n {\displaystyle a_{n}\ } - нормальное (центростремительное) ускорение, v {\displaystyle v\ } - (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, ω {\displaystyle \omega \ } - (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, R {\displaystyle R\ } - радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая v = ω R {\displaystyle v=\omega R\ } ).

  Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на e R {\displaystyle \mathbf {e} _{R}} - единичный вектор от центра кривизны траектории к данной её точке:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R {\displaystyle \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{R}={\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} } a n = ω 2 R . {\displaystyle \mathbf {a} _{n}=\omega ^{2}\mathbf {R} .}

  Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение ) a τ = d v / d t {\displaystyle a_{\tau }=dv/dt\ } , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью) .

  Мотивация и вывод

  То, что разложение вектора ускорения на компоненты - одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) - может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

  Формальный вывод

  Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное

  d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ }

  и, из геометрических соображений,

  d e τ d l = e n R . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.} v 2 R e n {\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ }

  Нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что e n {\displaystyle \mathbf {e} _{n}\ } - действительно вектор нормали) - будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, - достаточно простой факт; в данном случае мы применяем это утверждение для d e τ d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}}

  Замечания

  Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

  Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой (поскольку в случае, когда кривая - окружность, R {\displaystyle R} совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что окружность в плоскости e τ , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau },\,e_{n}} с центром в направлении e n {\displaystyle e_{n}\ } от данной точки на расстоянии R {\displaystyle R} от неё - будет совпадать с данной кривой - траекторией - с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

  История

  Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс . Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач и т.д.

  Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

  К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

  Равномерное движение по окружности характеризуется движением тела вдоль окружности. При этом меняется только направление скорости, а ее модуль остаётся постоянным.

  В общем случае тело движется по криволинейной траектории, и его сложно описать. Для упрощения описания криволинейного движения его разбивают на более простые виды движения. В частности один из таких видов и является равномерное движение по окружности. Любую кривую траекторию движения можно разбить на участки достаточно малой величины, на которых тело будет приближённо двигаться по дуге являющуюся частью окружности.

  При движении тела по окружности линейная скорость направлена по касательной. Следовательно, даже если тело движется по дуге с постоянной по модулю скоростью, то направление движения в каждой точке будет разным. Таки образом всякое движение по окружности является движением с ускорением.

  Представьте себе окружность, по которой движется материальная точка. В нулевой момент времени она находится в положении A. Через некоторый интервал времени она оказывается в точке B. Если провести два радиус вектор из центра окружности к точке A и точке B, то между ними получится некоторый угол. Назовем его угол фи. Если за одинаковые промежутки времени точка поворачивается на одинаковый угол фи, то такое движение называется равномерным, а скорость называется угловой.

  Рисунок 1 - угловая скорость.
  

  
  

  Угловая скорость измеряется в оборотах в секунду. Один оборот в секунду это когда точка проходит вдоль всей окружности и возвращается в начальное положение, затратив на это одну секунду. Такой оборот называется периодом обращения. Величина обратная периоду вращения называется частота вращения. То есть сколько оборотов успевает совершить точка в течении одной секунды. Угол образованный двумя радиус векторами измеряется в радианах. Радиан это угол между двумя радиус векторами, которые вырезают на поверхности окружности дугу длинной в радиус.

  Скорость движения точки по окружности можно измерять и в радианах в с секунду. В таком случае перемещение точки на один радиан в секунду и называется скоростью. Такая скорость называется угловой. То есть на какое количество единичных углов успевает повернуться радиус вектор в течении одной секунды. При равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна.

  Для определения ускорения движения по окружности построим на рисунке вектора скорости точек А и В. Угол между этими векторами равен углу между радиус векторами. Так как ускорение это разница между скоростями, взятыми через определенный интервал времени деленная на этот интервал. То с помощью параллельного переноса перенесем начало вектора скорости в точке А в точку В. Разностью этих векторов будет вектор дельта V. Если его разделить на хорду соединяющую точки А и В, при условии что расстояние между точками бесконечно мало, то мы и получим вектор ускорения направленный к центру окружности. Который так же называют центростремительным ускорением.

  В природе движение тела чаще происходит по кривым линиям. Почти любое криволинейное движение можно представить как по­следовательность движений по дугам окружностей. В общем случае, при движении по окружности скорость тела изменяется как по величине, так и по направлению.

  Равномерное движение по окружности

  Движение по окружности называется равномерным, если ве­личина скорости остается неизменной.

  

  

  По третьему закону Ньютона всякое действие вызывает равное и противоположно направленное противодействие. Центростреми­тельной силе, с которой связь действует на тело, противодействует равная по модулю и противоположно направленная сила, с которой тело действует на связь. Эту силу F 6 назвали центробежной, так как она направлена по радиусу от центра окружности. Центробеж­ная сила равна по модулю центростремительной:

  Примеры

  Рассмотрим случай, когда спортсмен вращает вокруг своей го­ловы предмет, привязанный к концу нити. Спортсмен ощущает при этом силу, приложенную к руке и тянущую ее наружу. Для удер­жания предмета на окружности спортсмен (посредством нити) тянет его внутрь. Следовательно, по третьему закону Ньютона, предмет (опять-таки посредством нити) действует на руку с равной и противоположно направленной силой, и это та сила, которую ощущает рука спортсмена (рис. 3.23). Сила, действующая на пред­мет - это направленная внутрь сила натяжения нити.

  

  Другой пример: на спортивный снаряд «молот» действует трос, удерживаемый спортсменом (рис. 3.24).

  

  Напомним, что центробежная сила действует не на вращающее­ся тело, а на нить. Если бы центробежная сила действовала на те­ло, то при обрыве нити оно улетело бы по радиусу в сторону от центра, как показано на рис 3.25, а. Однако на самом деле при об­рыве нити тело начинает двигаться по касательной (рис 3.25, б) в направлении скорости, которую оно имело в момент обрыва нити.

  

  

  

  Центробежные силы находят широкое применение.

  Центрифуга - устройство, предназначенное для тренировок и испытаний летчиков, спортсменов, космонавтов. Большой радиус (до 15 м) и большая мощность двигателей (несколько МВт) позво­ляют создавать центростремительное ускорение до 400 м/с 2 . Цент­робежная сила при этом прижимает тела с силой, превосходящей нормальную силу тяжести на Земле больше чем в 40 раз. Человек может выдерживать временную перегрузку в 20-30 раз, если он ле­жит перпендикулярно направлению центробежной силы, и в 6 раз, если лежит вдоль направления этой силы.

  3.8. Элементы описания движения человека

  Движения человека носят сложный характер и с трудом под­даются описанию. Однако в ряде случаев можно выделить суще­ственные моменты, отличающие одни виды движений от других. Рассмотрим, например, чем отличается бег от ходьбы.

  Элементы шагательных движений при ходьбе представлены на рис. 3.26. В шагательных движениях каждая нога поочередно быва­ет опорной и переносной. В опорный период входят амортизация (торможение движения тела по направлению к опоре) и отталки­вание, в переносной - разгон и торможение.

  Последовательные движения тела человека и его ног при ходь­бе представлены на рис. 3.27.

  Линии А и В дают качественное изображение движения стоп ног в процессе ходьбы. Верхняя линия А относится к одной ноге, нижняя линия В - к другой. Прямые участки соответствуют мо­ментам опоры стопы о землю, дугообразные участки - моментам движения стоп. В течение промежутка времени (а) обе ноги опи­раются на землю; затем (Ь) - нога А в воздухе, нога В продолжает опираться; а после (с) - вновь обе ноги опираются о землю. Чем быстрее ходьба, тем короче становятся промежутки (а и с).

  На рис. 3.28 представлены последовательные движения тела человека при беге и графическое изображение движений стоп. Как видно на рисунке, при беге существуют промежутки времени { b , d , /), когда обе ноги находятся в воздухе, а промежутков од­новременного касания ног земли нет. Этим и отличается бег от ходьбы.

  Другим распространенным видом движения является отталки­вание от опоры при различных прыжках. Отталкивание соверша­ется за счет выпрямления толчковой ноги, маховых движений рук и туловища. Задача отталкивания - обеспечить максимальную ве­личину вектора начальной скорости общего центра масс спортсме­на и его оптимальное направление. На рис. 3.29 показаны фазы

  

  \ Глава 4

  ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

  Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение тела с учетом его взаимодействия с другими телами.

  В разделе «Кинематика» были введены понятия скорости и ус­корения материальной точки. Для реальных тел эти понятия нуж­даются в уточнении, так как для различных точек реального тела эти характеристики движения могут быть различны. Например, закрученный футбольный мяч не только движется вперед, но и вра­щается. Точки вращающегося тела движутся с разными скоростями. По этой причине сначала рассматривается динамика материальной точки, а затем полученные результаты распространяются на реаль­ные тела.