Потенциальная функция и потенциал. - Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции и (от координат x, у, z точки) по соответственным координатам, т.е.

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно,

первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас ("Меcanique celeste"); а самый термин: П. функция встречается в сочинении Грина: "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism", напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил; дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно-малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно-малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно-малому изменению dT живой силы Т системы, то dT=dU и отсюда Т - U=h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию U - потенциальной энергией. Равенство Т - U=h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или как говорят: полная энергия системы остается при движении постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой либо функции f(r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть

Где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил

отталкивания, а нижний (минус) в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс m и M равна отношению e mM к r2, поэтому потенциал этих двух сил будет

Здесь e множитель, точная величина которого может быть определена при

полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Allgemeine Lebrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Krafte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно-велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат x, y, z, сплошная и конечная, b) производные ее

Тоже сплошны и конечны. c) Сумма трех производных второго порядка: при положении точки вне тела и d) эта сумма D2V равна - 4pesm при

положении точки внутри тела; здесь s означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, m - массу ее. Свойство c доказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шара плотности s, радиуса R и массы M =4/3peR2 на точку массы равной единице выражается отношением eM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2pes (R2 - 1/3 r2) и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину 4/3epsr, или

Т.е. равна отношению eM1 к r2, где M1=4/3psr3 есть масса той части

шара, которая находится внутри сферы радиуса у. отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Оригинал этой статьи взят из энциклопедии Брокгауза-Ефрона

==

При создании этой статьи использовался "малый энциклопедический словарь Брокгауза-Ефрона" (энциклопедия Брокгауза - Ефрона). В настоящее время текст этой статьи не является полным, точным и современным.

Прямо сейчас Вы можете внести все необходимые правки, воспользовавшись ссылкой Редактировать эту статью внизу или в панели навигации.

Предположим, что требуется разделить два непересекающихся образа V 1 и V 2 . Это значит, что в пространстве изображений существует, по крайней мере, одна функция, которая полностью разделяет множества, соответствующие образам V 1 и V 2 . Эта функция должна принимать положительные значения в точках, соответствующих объектам, принадлежащим образу V 1 , и отрицательные - в точках образа V 2 . В общем случае таких разделяющих функций может быть много, тем больше, чем компактней разделяемые множества. В процессе обучения требуется построить одну из этих функций, иногда в некотором смысле наилучшую.

Метод потенциальных функций связан со следующей процедурой. В процессе обучения с каждой точкой пространства изображений, соответствующей единичному объекту из обучающей последовательности, связывается функция U(X, X i), заданная на всем пространстве и зависящая от X i как от параметра. Такие функции называются потенциальными, так как они напоминают функции потенциала электрического поля вокруг точечного электрического заряда. Изменение потенциала электрического поля по мере удаления от заряда обратно пропорционально квадрату расстояния. Потенциал, таким образом, может служить мерой удаления точки от заряда. Когда поле образовано несколькими зарядами, потенциал в каждой точке этого поля равен сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из зарядов. Если заряды, образующие поле, расположены компактной группой, потенциал поля будет иметь наибольшее значение внутри группы зарядов и убывать по мере удаления от нее.

Обучающей последовательности объектов соответствует последовательность векторов X 1 , X 2 , …, в пространстве изображений с которыми связана последовательность U(X, X 1), U(X, X 2), … потенциальных функций, используемых для построения функций f(X 1 , X 2 , …). По мере увеличения числа объектов в процессе обучения функция f должна стремиться к одной из разделяющих функций. В результате обучения могут быть построены потенциальные функции для каждого образа:

,
, (ф. 3)

В качестве разделяющей функции f(X) можно выбрать функцию вида:

, (ф. 4)

которая положительна для объектов одного образа и отрицательна для объектов другого.

В качестве потенциальной функции рассмотрим функцию вида

(ф. 5)

где  j (X) - линейно независимая система функций;  j - действительные числа, отличные от нуля для всех j = 1, 2, … ; X i - точка, соответствующая i-му объекту из обучающей последовательности. Предполагается, что  j (X) и U(X, X i) ограничены при XV 1  V 2 ;  j (X)= j  j (X).

В процессе обучения предъявляется обучающая последовательность и на каждом n-м такте обучения строится приближение f n (X) характеризуется следующей основной рекуррентной процедурой:

, (ф. 6)

Разновидности алгоритмов потенциальных функций отличаются выбором значений q n и r n , которые являются фиксированными функциями номера n. Как правило, q n 1, а r n выбирается в виде:

, (ф. 7)

где S(f n , f) - невозрастающие функции, причем

(ф. 8)

Коэффициенты  n представляют собой неотрицательную числовую последовательность, зависящую только от номера n. Кроме того, и(например, n =1/n) или  n =const.

Разработано несколько вариантов алгоритмов потенциальных функций, различие между которыми состоит в выборе законов коррекции разделяющей функции от шага к шагу, т. е. в выборе законов коррекции разделяющей функции от шага к шагу, т. е. в выборе коэффициентов r n . Приведем два основных алгоритма потенциальных функций.

1. Будем считать, что f 0 (X)0 (нулевое приближение). Пусть в результате применения алгоритма после n-го шага построена разделяющая функция f n (X), а на (n+1)-м шаге предъявлено изображение X n +1 , для которого известно действительное значение разделяющей функции f(X n +1). Тогда функция f n+1 (X) строится по следующему правилу:

(ф. 9)

2. Во втором алгоритме также принимается, что f 0 (X)0. Переход к следующему приближению, т. е. переход от функции f n (X) к f n +1 (X), осуществляется в результате следующей рекуррентной процедуры:

(ф. 10)

где  - произвольная положительная константа, удовлетворяющая условию =(1/2)max(X, X i).

Если в (ф. 5) принять

,

и предположить, что x v может иметь только два значения 0 и 1, то в этом случае алгоритм потенциальных функций будет совпадать со схемой перцептрона с индивидуальными порогами А-элементов и с коррекцией ошибок. Поэтому многие теоретические положения метода потенциальных функций могут быть успешно применены для анализа некоторых перцептронных схем.

Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции и (от координат x, у, z точки) по соответственным координатам, т.е. Такая функция U называется функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас ("Меcanique celeste"); а самый термин: Потенциальная функция и потенциал функция встречается в сочинении Грина: "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism", напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил; дает весьма важное значение потенциалу и Потенциальная функция и потенциал функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно-малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно-малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно-малому изменению dT живой силы Т системы, то dT=dU и отсюда Т - U=h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию U - потенциальной энергией. Равенство Т - U=h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или как говорят: полная энергия системы остается при движении постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой либо функции f(r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс m и M равна отношению e mM к r2, поэтому потенциал этих двух сил будет здесь e множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим Потенциальная функция и потенциал функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Allgemeine Lebrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Krafte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали, что Потенциальная функция и потенциал функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно-велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) Потенциальная функция и потенциал функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат x, y, z, сплошная и конечная, b) производные ее тоже сплошны и конечны. c) Сумма трех производных второго порядка: при положении точки вне тела и d) эта сумма D2V равна - 4pesm при положении точки внутри тела; здесь s означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, m - массу ее. Свойство c доказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. Потенциальная функция и потенциал функция однородного шара плотности s, радиуса R и массы M =4/3peR2 на точку массы равной единице выражается отношением eM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то Потенциальная функция и потенциал функция выражается так: 2pes (R2 - 1/3 r2) и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину 4/3epsr, или т.е. равна отношению eM1 к r2, где M1=4/3psr3 есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса у. отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Здравствуйте, я давно читаю Хабрахабр и часто мне попадались статьи про нейронные сети, в частности про однослойный перцептрон. Но пока еще мне не встретилась статья про другие виды распознающих функций перцептронного вида. Как следует из названия статьи данный вид распознающих функций называется методом потенциальных функций .

Сразу оговорюсь, целью данной статьи является не предоставить работающую программу на основе данного метода, а рассказать собственно про сам алгоритм, на чем он основан и в чем его преимущества.

Для начала я опишу основные понятия теории распознавания образов, применяющиеся в данной статьей, затем дам краткое пояснение метода и потом уже распишу его подробно.

Основные понятия
Изображение - отображение объекта на воспринимающие органы. То есть, описание объекта, как множество признаков. Часто объект представляется в виде вектора. Если множество признаков постоянное, то объект отождествляется с его изображением.
Образ (класс) - подмножество множества объектов или изображений.
Решающая функция - функция, на вход которой подается изображение, определяющая принадлежность объекта некоторому классу.

Краткое описание
Суть данного метода, а впрочем, любого алгоритма, применяемого для распознавания образов состоит в том, чтобы составить такую решающую функцию, которая будет для каждого объекта определять принадлежность его к нужному классу.
В данном случае, решающая функция составляется итеративно, по маркированной обучающей выборке (для каждого объекта из ОВ известен его класс).

Физическая интерпретация
Представим n-мерное метрическое пространство, где n - количество признаков, необходимых для описания объекта.
Пусть все объекты обучающей выборки (в дальнейшем обозначим ее как ОВ), принадлежащие классу W1 создают положительный потенциал, который принимает максимальное значение в точке, соответствующей объекту и быстро убывает с расстоянием, а объекты, принадлежащие классу W2 отрицательный.
Тогда в областях, где преобладают объекты класса W1 будет положительный потенциал, и наоборот.
Фактически, каждому объекту из обучающей выборки присваивается заряд, который «притягивает» классифицируемый объект к соответствующему классу.

Потенциальная функция
Перейдем собственно к методу. Для начала опишем собственно потенциальную функцию. Как ясно из раздела про физическую интерпретацию, тут мы проводим аналогии с зарядами и потенциал. Поэтому, в качестве необходимой нам функции нужно взять такую, которая в данной точке даст максимальное значение и будет быстро убывать при увеличении расстояния.
Потенциальную функцию будем обозначать, как K(x,xk), где xk, k=1..m - это один из объектов(векторов) из обучающей выборки.
Обычно, в качестве потенциальной функции используют симметрическую функцию, двух переменных - X и Xk.
Например, K(x,xk) = exp {-a || x-xk||^2 }

Решающая функция. Кумулятивный потенциал.
В качестве решающей функции используем кумулятивный потенциал - положительную совокупность значений отдельных потенциальных функций, если объект принадлежит к классу w1 и отрицательная, если объект принадлежит классу w2.
Кумулятивный потенциал находится следующим образом:

Где Rk+1 =

Условиями прекращения работы алгоритма будет безошибочное определение L0 объектов, подряд. Где L0 - число, заданное пользователем. Задается оно в зависимости от того, какое качество работы алгоритма требуется, исходя из следующих фактов:

P - вероятность совершения ошибки после предъявления Lk выборочных объектов.
Тогда для любых e>0 и a>0, вероятность того, что p L0> log (ea) / log (1-e)

Вывод. Достоинства и недостатки.
В конечном итоге, мы получаем некую функцию K(x), которая определяет принадлежность данного объекта к одному из двух классов с заданной вероятностью ошибки.
Достоинства метода потенциальных функций заключаются в нелинейном разбиении множества объектов. Что позволяет решать задачи, которые сложно решить другими методами.
А недостатки - в трудном выборе подходящей потенциальной функции и трудоемкости вычислений, при большом объеме обучающей выборке.

Статья получилась несколько краткой, но я надеюсь, вы узнали для себя что-то новое. Основную идею я рассказал, за кадром осталось математическое обоснование сходимости алгоритма нахождения решающей функции и скорости сходимости, а так же и более строгое математическое определение потенциальной функции.

Целью данной статьи было рассказать о других, менее распространенных методах, используемых для распознавания образов. Если будет интерес, можно рассказать и про стохастический и логический подходы к данной проблеме.

Поиск слов

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ

Потенциальная
Потенциальная функция и потенциал. - Под силой, приложенной кматериальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию,подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координатвыражаются производными от некоторой функции и (от координат x, у, zточки) по соответственным координатам, т.е. Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно,первым, указавшим на существование такой функции, и именно у силтяготения, был Лаплас ("Меcanique celeste"); а самый термин: П. функциявстречается в сочинении Грина: "An essay on the application ofmathematical analysis to the theories of electricity and magnetism",напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первыйввел это название. Если система материальных точек подвержена толькотаким силам, проекции которых на оси координат суть производные посоответственным координатам от некоторой функции U от координат точексистемы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. Тообстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу такихсил; дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике ифизике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий законизменения живой силы материальной системы, если силы, действующие нанее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких силпри бесконечно-малом перемещении системы равняется дифференциалу илибесконечно-малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, пообщему закону изменения живой силы, равняется бесконечно-маломуизменению dT живой силы Т системы, то dT=dU и отсюда Т - U=h, где hвеличина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живуюсилу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию U -потенциальной энергией. Равенство Т - U=h выражает, что сумма обеихэнергий остается постоянной при движении, или как говорят: полнаяэнергия системы остается при движении постоянной. К числу сил, имеющихпотенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания междудвумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны,направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равныкакой либо функции f(r) расстояния r точек. Потенциал такихвзаимнодействующих сил есть где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае силотталкивания, а нижний (минус) в случае сил притяжения. Например, длясил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжениямежду материальными точками масс m и M равна отношению e mM к r2,поэтому потенциал этих двух сил будет здесь e множитель, точная величина которого может быть определена приполном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величинускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеетсясплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по законуНьютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, еслиопределим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("AllgemeineLebrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadratsder Entfernung wirkenden Krafte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали,что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размерытела не бесконечно-велики и если плотность его нигде не имеет бесконечнобольшой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки естьфункция ее координат x, y, z, сплошная и конечная, b) производные ее тоже сплошны и конечны. c) Сумма трех производных второго порядка: при положении точки вне тела и d) эта сумма D2V равна - 4pesm приположении точки внутри тела; здесь s означает плотность тела в томместе, где находится притягиваемая точка, m - массу ее. Свойство cдоказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шараплотности s, радиуса R и массы M =4/3peR2 на точку массы равной единицевыражается отношением eM к r (где r есть расстояние точки от центрашара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения,действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональнаквадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара быласосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара нарасстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2pes (R2 - 1/3 r2)и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину4/3epsr, или т.е. равна отношению eM1 к r2, где M1=4/3psr3 есть масса той частишара, которая находится внутри сферы радиуса у. отсюда следует, что тотслой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, неоказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемоеоднородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическимисферами или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическимии подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостейкоторого либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полостинет.

Добавить комментарий к слову ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ

Вы можете оставить комментарий к слову ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ . После проверки данных комментарий будет опубликован.