Лекция 9.

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А , если каждому вектору х R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор Ах R .

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным , если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

А( х + у )=Ах + Ау ,А(λх ) = λ Ах . (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным , если оно преобразует любой вектор х в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е:Ех = х .

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е 1 , е 2 , е 3 , в котором задано линейное преобразование А . Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае 1 , Ае 2 , Ае 3 , принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

Ае 1 = а 11 е 1 + а 21 е 2 +а 31 е 3 ,

Ае 2 = а 12 е 1 + а 22 е 2 + а 32 е 3 ,(9.2)

Ае 3 = а 13 е 1 + а 23 е 2 + а 33 е 3 .

Матрица называется матрицей линейного преобразования А в базисе е 1 , е 2 , е 3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е .

Для произвольного вектора х =х 1 е 1 + х 2 е 2 + х 3 е 3 результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах , который можно разложить по векторам того же базиса:Ах =х` 1 е 1 + х` 2 е 2 + х` 3 е 3 , где координаты x ` i можно найти по формулам:

х ` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ,(9.3)

x ` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А .

Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису.

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е 1 , е 2 , е 3 и е 1 , е 2 , е 3 . Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса { e k } к базису { e k }. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А , а во втором – матрицей А , то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С -1 А С(9.4)

Действительно, , тогда А . С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе { e k }, т.е. , и в базисе { e k }: соответственно - связаны матрицей С : , откуда следует, что СА=А С . Умножая обе части этого равенства слева на С -1 , получимС -1 СА= = С -1 А С , что доказывает справедливость формулы (9.4).

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А , если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх , то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А , является умножение этого вектора на число λ . Само число λ называется собственным числом матрицы А .

Подставив в формулы (9.3) x ` j = λ x j , получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

Отсюда

.(9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ , называемое характеристическим уравнением . Кратко его можно представить так:

| A -λ E | = 0,(9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А- λЕ . Многочлен относительно λ| A -λ E | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.Доказательство. (с м. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и | A -λ E | не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а ij = a ji ), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х 1 , х 2 , х 3 , соответствующих собственным значениямλ 1 , λ 2 , λ 3 матрицы А , то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7)Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы С оставим характеристическое уравнение: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 } – собственный вектор, соответствующий λ 1 =-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х (1) ={ a ,0,- a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы | x (1) |=1, х (1) =

Подставив в систему (9.5) λ 2 =3, получим систему для определения координат второго собственного вектора- x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц – одна из наиболее сложных задач линейной алгебры, возникающих в процессе моделирования и анализа процессов функционирования динамических систем, статистического моделирования. Так, например, собственные векторы ковариационной матрицы случайного вектора определяют направления главных осей гиперэллипсоида рассеивания значений этого вектора, а собственные числа – растяжение или сжатие гиперэллипсоида по его главным осям. В механике собственные векторы и числа тензора инерции характеризуют направление главных осей и главные моменты инерции твёрдого тела.

Различают полную (алгебраическую или, иначе, матричную ) проблему собственных значений , предполагающую нахождение всех собственных пар некоторой матрицы , и частичные проблемы собственных значений , состоящие, как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел и, возможно, соответствующих им собственных векторов . Чаще всего, в последнем случае речь идет о нахождении наибольшего и наименьшего по модулю собственных чисел; знание таких характеристик матрицы позволяет, например, делать заключения о сходимости тех или иных итерационных методов, оптимизировать их параметры и т.д.

Задачу на собственные значения можно сформулировать так: для каких ненулевых векторов и чисел линейное преобразование вектора с помощью матрицы не изменяет направления этого вектора в пространстве, а сводится лишь «растяжению» этого вектора в раз? Ответ на этот вопрос заключается в нетривиальных решениях уравнения

, (1.2)

где – единичная матрица. Теоретически эта задача легко решаема: нужно найти корни так называемого характеристического уравнения

(1.3)

и, подставляя их поочередно в (1.2), получать из соответствующих переопределенных систем собственные векторы.

Практическая реализация такого подхода сопряжена с рядом трудностей, возрастающих с ростом размерности решаемой задачи. Трудности эти обусловлены развертыванием определителя и вычислением корней получающегося при этом многочлена n -й степени, а также поиском линейно независимых решений вырожденных систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим, такой непосредственный подход к решению алгебраической проблемы собственных значений обычно применяют лишь при очень малых размерах матриц (n = 2, 3). Уже при n > 4 на первый план выходят специальные численные методы решения таких задач, один из которых, опирающийся на матричное преобразование подобия , будет рассмотрен далее. Напомним, что подобными называются матрицы и , где С – произвольная невырожденная матрица.

Перечислим кратко основные свойства собственных чисел и векторов:

1. Если – собственная пара матрицы А , а – некоторое число, то также является собственной парой для А . Это означает, что каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов, различающихся лишь скалярным множителем.

2. Пусть – собственная пара матрицы , где – некоторое действительное число. Тогда – собственная пара матрицы А . Таким образом, прибавление к данной матрице А диагональной матрицы не изменяет ее собственных векторов и смещает спектр исходной матрицы на число (влево при ). Спектром матрицы называется множество всех ее собственных значений.

3. Если – собственная пара обратимой матрицы , то – собственная пара матрицы .

4. Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются их диагональные элементы, т.к. характеристическое уравнение (1.3) с учётом (1.1) для таких матриц может быть записано в виде:

.

Последнее равенство показывает, что диагональные и треугольные вещественные матрицы имеют только вещественные собственные значения (ровно n с учетом возможной их кратности). Вещественность собственных чисел присуща и очень важному в приложениях классу симметричных матриц, к числу которых относятся ковариационные матрицы и тензоры инерции.

5. Если – собственная пара матрицы , то – собственная пара матрицы А Таким образом, преобразование подобия сохраняет неизменным спектр любой матрицы.

6. Пусть А – матрица простой структуры размерности , а матрицы и образованы из ее собственных чисел и собственных векторов соответственно. Тогда справедливо равенство . Так как для диагональной матрицы , образованной из собственных чисел, собственными векторами могут служить единичные векторы исходного базиса ( , ), то, используя свойство 5 и принимая и (т.е. ), свойство 6 можно сформулировать иначе: если является собственной парой матрицы , то есть собственная пара матрицы А .

Собственные значения (числа) и собственные векторы.
Примеры решений

Будь собой

Из обоих уравнений следует, что .

Положим , тогда: .

В результате: – второй собственный вектор.

Повторим важные моменты решения:

– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);

– «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше.

– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ .

Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.

В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками) . Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы .

Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример.

Пример 2

Матрицы

Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:

записать каноническое разложение матрицы

Что это такое?

Если собственные векторы матрицы образуют базис , то она представима в виде:

Где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами.

Такое разложение матрицы называют каноническим или диагональным .

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны)и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:
– ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору.

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Осталось записать каноническое разложение матрицы :

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости . Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы . В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Пусть

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда:

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ : собственные векторы:

Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно») , по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы.

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение , то здесь это возможно, т.к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу .

Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов , то ответ даём в виде . Разница есть, и разница существенная! Ибо оная матрица – есть матрица «дэ».

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:

Пример 6

Найти собственные числа и собственные векторы

Решение

Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:

Лучшей комбинации не найти:
Собственный вектор:

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений :

Собственные векторы – это в точности векторы
фундаментальной системы решений

Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений , будут вынуждены вкурить её сейчас.

Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два .

Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:

Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:

Примечание : искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.

Ответ : собственные числа: , собственные векторы:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:

Пример 8

Решение : составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1) С корнем затруднений не возникает:

Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.

Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:

Из обоих уравнений следует:

Пусть , тогда:

2-3) Для кратных значений получаем систему .

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

Будем говорить, что на множестве векторов R заданопреобразование А , если каждому векторух R по некоторому правилу поставлен в соответствие векторА х R .

Определение 9.1. ПреобразованиеА называетсялинейным , если для любых векторовх иу и для любого действительного числаλ выполняются равенства:

А(х + у )=А х + А у ,А(λ х ) =λ А х . (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называетсятождественным , если оно преобразует любой векторх в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Е х = х .

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е 1 , е 2 , е 3 , в котором задано линейное преобразованиеА . Применив его к базисным векторам, мы получим векторыА е 1 , А е 2 , А е 3 , принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

А е 1 = а 11 е 1 + а 21 е 2 +а 31 е 3 ,

А е 2 = а 12 е 1 + а 22 е 2 + а 32 е 3 , (9.2)

А е 3 = а 13 е 1 + а 23 е 2 + а 33 е 3 .

Матрица
называетсяматрицей линейного преобразования А в базисее 1 , е 2 , е 3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е .

Для произвольного вектора х =х 1 е 1 + х 2 е 2 + х 3 е 3 результатом применения к нему линейного преобразованияА будет векторА х , который можно разложить по векторам того же базиса:А х =х` 1 е 1 + х` 2 е 2 + х` 3 е 3 , где координатыx ` i можно найти по формулам:

х ` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x ` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А .

Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису.

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е 1 , е 2 , е 3 ие 1 , е 2 , е 3 . Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {e k } к базису {e k }. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицейА , то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С -1 А С (9.4)

Действительно,
, тогдаА
. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразованияА в базисе {e k }, т.е., и в базисе {e k }: соответственно- связаны матрицейС :
, откуда следует, чтоСА= А С . Умножая обе части этого равенства слева наС -1 , получимС - 1 СА = = С -1 А С , что доказывает справедливость формулы (9.4).

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Векторх называетсясобственным вектором матрицыА , если найдется такое числоλ, что выполняется равенство:А х = λ х , то есть результатом применения кх линейного преобразования, задаваемого матрицейА , является умножение этого вектора на числоλ . Само числоλ называетсясобственным числом матрицыА .

Подставив в формулы (9.3) x ` j = λ x j , получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ , называемоехарактеристическим уравнением . Кратко его можно представить так:

| A - λ E | = 0, (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ . Многочлен относительноλ | A - λ E | называетсяхарактеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

Если выбрать базис из собственных векторов х 1 , х 2 , х 3 , соответствующих собственным значениямλ 1 , λ 2 , λ 3 матрицыА , то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрицаА имеет диагональный вид.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7λ ² + 36 = 0,λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что еслих (1) ={x 1 , x 2 , x 3 } – собственный вектор, соответствующийλ 1 =-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в видех (1) ={a ,0,-a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x (1) |=1,х (1) =

Подставив в систему (9.5) λ 2 =3, получим систему для определения координат второго собственного вектора -x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, откудах (2) ={b ,- b , b } или, при условии |x (2) |=1,x (2) =

Для λ 3 = 6 найдем собственный векторx (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c ,2 c , c } или в нормированном варианте

х (3) =
Можно заметить, чтох (1) х (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.