Приложение 1. О веб-квесте.

Веб-квест: немного истории

Выработка решения по острой проблеме на основе достижения соглашения между различными точками зрения.
По многим проблемам между людьми существуют различия, обусловленные разными системами ценностей, источниками достоверной информации и идеологической обработкой.
В этом несовершенном мире полезно познакомить учащихся с различиями во взглядах взрослых и дать им практику для их решения. Хорошо это или плохо, текущие события из недавней истории предоставляют множество таких возможностей для практики.

Суть задачи достижения консенсуса является требование, чтобы различные точки зрения были представлены и четко сформулированы. Хорошо разработанная задача достижения консенсуса:

учит учащихся принимать во внимание различные точки зрения, изучая разные источники; основана на подлинных разногласиях; имеет целью создание общего доклада, который имеет определенную аудиторию (реальную или смоделированную) и который создан в формате, аналогичном используемым в мире (например, официальный документ, рекомендации некоторым государственным органам, меморандум о взаимопонимании и т. п.).

Использованные материалы

1. Education World. Интервью с Б. Дождем http://www. /a_issues/chat/chat015.shtml

2. Dodge B. Some Thoughts About WebQuests (Некоторые размышления на тему "Web-quest"). . http://webquest. sdsu. edu/about_webquests. html

3. Dodge B. WebQuest Taskonomy: A Taxonomy of Tasks (Таксономия задач) http://webquest. sdsu. edu/taskonomy. html

4. Concept to Classroom. Workshop: Webquests (Мастерская: веб-квесты) http://www. thirteen. org/edonline/concept2class/webquests/index. html

5. Teachnology Tutorials. Webquests (Веб-квест: образовательные технологии) http://www. /tutorials/web_quests/

6. Webquest. org http://webquest. org/index-resources. php

7. Teacher Tap: Webquests http:///tap/topic4.htm

Цель модуля: сформировать понятие о Веб-квесте и об образовательном Веб-квесте.
Веб-квест от английского "web-quest” – «Интернет поиск».
«Образовательный Веб-квест - это сайт в Интернете, с которым работают учащиеся, выполняя ту или иную учебную задачу. Разрабатываются такие веб-квесты для максимальной интеграции Интернета в различные учебные предметы на разных уровнях обучения в учебном процессе. Они охватывают отдельную проблему, учебный предмет, тему, могут быть и межпредметными.
Различают два типа Веб-квестов: для кратковременной (цель: углубление знаний и их интеграция, рассчитаны на одно-три занятия) и длительной работы (цель: углубление и преобразование знаний учащихся, рассчитаны на длительный срок - может быть, на семестр или учебный год).

Особенностью образовательных Веб-квестов является то, что часть или вся информация для самостоятельной или групповой работы учащихся с ним находится на различных Веб-сайтах. Кроме того, результатом работы с Веб-квестом является публикация работ учащихся в виде Веб-страниц и Веб-сайтов (локально или в Интернет)».*
Разработчиками Веб-квеста как учебного задания является Берни Додж, профессор образовательных технологий Университета Сан-Диего (США).
Веб-квест является новым средством использования технологий в целях создания урока ориентированного на учеников вовлеченных в учебный процесс и поощряющим их критическое мышление.
Веб-квест является веб-проектом, в котором все материалы, с которыми работают учащиеся, исходят из Интернета. Дизайн Веб-квеста предполагает рациональное планирование времени учащихся, сфокусированного не на поиске информации, а на её использовании.
Веб-квест способствует: поиску Интернет информации, которую поручает учащимся учитель, развитию мышления учащихся на стадии анализа, обобщения и оценки информации, развитию компьютерных навыков учащихся и повышению их словарного запаса, поощрению учеников учиться независимо от учителя. Так как многие подростки буквально "без ума" от компьютера Веб-квест также является забавным методом, как обучения, так и учения.

Веб-квест в образовании

Современные требования ФГОС к организации учащихся предусматривают такие формы работы учащихся как проектная и .

В процессе формируется человек, умеющий действовать не только по образцу, но и самостоятельно получающий необходимую информацию из максимально большего числа источников, умеющий ее анализировать, выдвигать гипотезы, строить модели, экспериментировать и делать выводы, принимать решения в сложных ситуациях.

Применение метода проектов имеет большие преимущества.

Во-первых, он способствует успешной социализации выпускников за счет создания адекватной информационной среды, в которой учащиеся учатся ориентироваться самостоятельно.

Во-вторых, актуальность тем исследования, возможность ярко, наглядно познакомить с результатами своих поисков широкую аудиторию позволяют организовать процесс познания, поддерживающий деятельностный подход к обучению на всех его этапах.

В-третьих, обучающиеся осваивают технологию проведения исследования, которая включает в себя следующие этапы:

Выявление проблемы исследования; постановка цели и задач; формулировка гипотез исследования; определение методов сбора и обработки данных, сбор информации; аналитическая работа; корректировка поставленных задач и хода исследования; дальнейший поиск информации; анализ новых фактов; обобщение; оформление результатов исследования; обсуждение и транслирование полученных результатов.

В-четвертых, выбирая проблему исследования и решая конкретную задачу внутри группы, ученики исходят из своих интересов и степени подготовленности.

Одной из форм проектной деятельности является образовательный Веб-квест.
Веб – квест - это сайт в Интернете, с которым работают учащиеся, выполняя ту или иную учебную задачу. Разрабатываются такие Веб-квесты для максимальной интеграции Интернета в различные учебные предметы на разных уровнях обучения в учебном процессе. Они охватывают отдельную проблему, учебный предмет, тему, могут быть и межпредметными. Особенностью образовательных Веб-квестов является то, что часть или вся информация для самостоятельной или групповой работы учащихся с ним находится на различных веб-сайтах. Кроме того, результатом работы с Веб-квестом является публикация работ учащихся в виде Веб-страниц и Веб-сайтов (локально или в Интернет)»

Как работает Веб-квест?
Прежде чем разделить учащихся на группы, весь класс знакомится с общими сведениями по изучаемой теме, тем самым погружается в проблему предстоящего проекта. Учитель отбирает ресурсы сети Интернет и классифицирует их так, чтобы каждая группа ознакомилась лишь с одним проблемным аспектом темы. После изучения, обсуждения и полного понимания конкретной проблемы в каждой первичной группе учащиеся перегруппировываются так, чтобы во вновь образованных группах было по одному представителю из каждой первичной группы. В процессе обсуждения все учащиеся узнают друг от друга уже все аспекты обсуждаемой проблемы. При таком обсуждении учащиеся должны высказывать свое собственное мнение, делать выводы, прогнозировать дальнейший возможный ход действия (если это приемлемо). В ходе решения веб-квеста через изучение материала и его обсуждение обучающиеся должны ответить на один общий вопрос дискуссионного характера. Веб-квест – это не что иное, как сценарий организации проектной деятельности учащихся по любой теме.

В основе веб-квеста лежит индивидуальная или групповая работа учащихся (часто с распределением ролей) по решению заданной проблемы с использованием интернет-ресурсов, подготовленных автором – учителем. Веб-квест – это не простой поиск информации в сети. Учащиеся, работая над заданием, собирают, анализируют, обобщают информацию, делают выводы, формируя и защищая собственную точку зрения. Творческий процесс преобразования информации из разных источников способствует развитию мышления и дает основу прочных знаний.
Итак, Веб-квест – это формат урока с ориентацией на развитие познавательной, исследовательской деятельности учащихся, на котором основная часть информации добывается через ресурсы Интернет.
Веб-квест является одним из популярных и современных видов образовательных интернет-технологий.

Виды веб-квестов

Веб-квесты могут быть краткосрочными и долгосрочными.

Целью краткосрочных проектов является приобретение знаний и осуществление их интеграции в свою систему знаний. Работа над кратковременным Веб-квестом может занимать от одного до трёх занятий. Они могут быть легко использованы на школьных уроках по многим предметам.

Долгосрочные Веб-квесты направлены на расширение и уточнение понятий. По завершении работы над долгосрочным Веб-квестом, ученик должен уметь вести глубокий анализ полученных знаний, уметь их трансформировать, владеть материалом настолько, чтобы суметь создать задания для работы по теме. Работа над долгосрочным Веб-квестом может длиться от одной недели до месяца, может быть, на четверть или даже учебный год.

Преимуществом Веб-квестов является использование активных методов обучения. Веб-квест может быть предназначен как для групповой, так и для индивидуальной работы.

Следует отметить, что обучение с помощью технологии веб-квестов позволяет повысить интерес к изучаемой теме, усилить мотивацию.

Некоторые дополнения:

Веб-квесты лучше всего подходят для работы в мини-группах, однако существуют и web-квесты, предназначенные для работы отдельных учеников.

Дополнительную мотивацию при выполнении Веб-квеста можно создать, предложив учащимся выбрать роли (например, ученый, журналист, детектив, архитектор и т. п.) и действовать в соответствии с ними.

Веб-квест может касаться одного предмета или быть межпредметным. Исследователи отмечают, что во втором случае данная работа эффективнее.

Формы Веб-квеста также могут быть различными.

Создание по проблеме, все разделы которой готовят ученики. Создание микромира, в котором учащиеся могут передвигаться с помощью гиперссылок, моделируя физическое пространство. Написание интерактивной истории (ученики могут выбирать варианты продолжения работы; для этого каждый раз указываются два-три возможных направления; этот прием напоминает знаменитый выбор дороги у дорожного камня русскими богатырями из былин). Создание документа, дающего анализ какой-либо сложной проблемы и приглашающий учащихся согласиться или не согласиться с мнением авторов. Интервью on-line с виртуальным персонажем. Ответы и вопросы разрабатываются учащимися, глубоко изучившими данную личность. Данный вариант работы лучше всего предлагать не отдельным ученикам, а мини-группе, получающей общую оценку (которую дают остальные учащиеся и учитель) за свою работу.

Формирование и развитие навыков и умений ученика 21 века

Веб-квест является инструментом, с помощью которого педагог получает возможность формировать и развивать навыки и умения 21 века.

Характеристики веб-квестов

· в Веб-квесте присутствует некий «крючок», позволяющий учащимся сохранять интерес к на протяжении всех её этапов. Таким «крючком» может быть запутанный сюжет, загадка, детектив, поиск «сокровищ» или какая-либо другая деятельность в форме игры. Эти «крючки» являются важным мотивирующим фактором, и будет очень хорошо, если вы используете ваше воображение в создании стимулов для учащихся;

· Веб-квест содержит материалы, соответствующие возрастной категории и способностям учащихся. Информационное богатство сети предоставляет отличный способ обеспечить ресурсами и возможностью полноценного участия в командной работе учащихся с разными уровнями способностей;

· выполнение задания Веб-квеста предполагает совместную деятельность. Оценка вклада члена команды в общее дело со стороны учащихся также является хорошим мотивирующим фактором;

· в качестве материалов используются разнообразные форматы мультимедиа-источников, таких как фотографии, карты, анимацию, видео и звук. Не секрет, что зрительная память способствует лучшему усвоению информации, поэтому использование визуальных ресурсов сети – еще один способ удерживать интерес учащихся;

· Веб-квест прост в использовании. Навигация по разделам Веб-квеста должна быть интуитивно понятной, учащиеся должны иметь возможность легко перемещаться из одного места в другое. Это одна из причин привлекательности Веб-квестов, созданных в виде веб-страниц.

· Веб-квест разработан с учетом его интеграции с другими видами учебных материалов по изучаемой теме;

· Веб-квест содержит встроенный механизм оценки. Оценка дает учащимся хороший ориентир на то, как работа должна быть выполнена.

Веб-квест - это сайт в Интернете, с которым работают учащиеся, выполняя ту или иную учебную задачу.

Различают два типа веб-квестов: для кратковременной (цель: углубление знаний и их интеграция, рассчитаны на одно-три занятия) и длительной работы (цель: углубление и преобразование знаний учащихся, рассчитаны на длительный срок - может быть, на семестр или учебный год).

Особенностью образовательных веб-квестов является то, что часть или вся информация для самостоятельной или групповой работы учащихся с ним находится на различных веб-сайтах. Кроме того, результатом работы с веб-квестом является публикация работ учащихся в виде веб-страниц и веб-сайтов (локально или в Интернет).

Технология веб-квест позволяет формироваться следующим компетенциям:
-использование ИТ для решения профессиональных задач (в т.ч. для поиска необходимой информации, оформления результатов работы в виде компьютерных презентаций, веб-сайтов, флеш-роликов, баз данных и т.д.);
-самообучение и самоорганизация;
-работа в команде (планирование, распределение функций, взаимопомощь, взаимоконтроль);
-умение находить несколько способов решений проблемной ситуации, определять наиболее рациональный вариант, обосновывать свой выбор;
-навык публичных выступлений (обязательно проведение предзащиты и защиты проектов с выступлениями авторов, с вопросами, дискуссиями).

Структура веб-квеста, требования к его отдельным элементам.

Ясное вступление , где четко описаны главные роли участников или сценарий квеста, предварительный план работы, обзор всего квеста.

Центральное задание , которое понятно, интересно и выполнимо. Четко определен итоговый результат самостоятельной работы (например, задана серия вопросов, на которые нужно найти ответы, прописана проблема, которую нужно решить, определена позиция, которая должна быть защищена, и указана другая деятельность, которая направлена на переработку и представление результатов, исходя из собранной информации).

Список информационных ресурсов (в электронном виде - на компакт-дисках, видео и аудио носителях, в бумажном виде, ссылки на ресурсы в Интернет, адреса веб-сайтов по теме), необходимых для выполнения задания. Этот список должен быть аннотированным.

Описание процедуры работы , которую необходимо выполнить каждому участнику квеста при самостоятельном выполнении задания (этапы).

Описание критериев и параметров оценки веб-квеста. Критерии оценки зависят от типа учебных задач, которые решаются в веб-квесте.

Руководство к действиям (как организовать и представить собранную информацию), которое может быть представлено в виде направляющих вопросов, организующих учебную работу (например, связанных с определением временных рамок, общей концепцией, рекомендациями по использованию электронных источников, представлением "заготовок" веб-страниц и др.).

Заключение , где суммируется опыт, который будет получен участниками при выполнении самостоятельной работы над веб-квестом. Иногда полезно включить в заключение риторические вопросы, стимулирующие активность учащихся продолжить свои опыты в дальнейшем.
Этапы работы над квестом:

Начальный этап (командный)

Учащиеся знакомятся с основными понятиями по выбранной теме, материалами аналогичных проектов.
Распределяются роли в команде: по 1-4 человека на 1 роль.
Все члены команды должны помогать друг другу и учить работе с компьютерными программами.

Ролевой этап

Индивидуальная работа в команде на общий результат. Участники одновременно, в соответствии с выбранными ролями, выполняют задания. Так как цель работы не соревновательная, то в процессе работы над веб-квестом происходит взаимное обучение членов команды умениям работы с компьютерными программами и Интернет. Команда совместно подводит итоги выполнения каждого задания, участники обмениваются материалами для достижения общей цели — создания сайта.

Задачи :

1) поиск информации по конкретной теме;
2) разработка структуры сайта;
3) создание материалов для сайта;
4) доработка материалов для сайта.

Заключительный этап

Команда работает совместно, под руководством педагога, ощущает свою ответственность за опубликованные в Интернет результаты исследования.

По результатам исследования проблемы формулируются выводы и предложения. Проводится конкурс выполненных работ, где оцениваются понимание задания, достоверность используемой информации, ее отношение к заданной теме, критический анализ, логичность, структурированность информации, определенность позиций, подходы к решению проблемы, индивидуальность, профессионализм представления. В оценке результатов принимают участие как преподаватели, так и учащиеся путем обсуждения или интерактивного голосования.

Реальное размещение веб-квестов в сети позволяет значительно повысить мотивацию учащихся на достижение наилучших учебных результатов.

Быховский Я.С. «Образовательные веб-квесты»

Вебквест – это отличный вариант организации занятия с использованием компьютерных технологий, который позволяет ученикам или студентам работать в группах или самостоятельно. Учащиеся используют интернет для поиска информации на определенную тему, заданную вебквестом. Вебквест заставляет учащихся задействовать мыслительные навыки высшего порядка и решать ту проблему, которую вы, как преподаватель, перед ними поставите. Задания такого типа учат оценивать информацию и использовать возможности сети интернет для чего-то большего, чем сидение в социальных сетях или просмотр видеороликов, в которых черепахи поедают помидоры. Начните с Шага1 ниже и научитесь создавать вебквесты самостоятельно!

Шаги

Часть 1

Понять, из каких частей он должен состоять

Сделайте титульную страницу. Вы можете выбрать любой, удобный вам существующий формат (вебсайт, презентация Power Point, текстовый файл Google Doc, текстовый файл Word Doc, распечатки и т.д.). Но при выборе любого формата у вас обязательно должна быть титульная страница. Она задает тон всему заданию и создает вашей работе профессиональный имидж. Титульная страница должна содержать название квеста и ваше имя. Обязательно придумайте своему вебквесту интересное название!

Сделайте страницу-введение. Введение позволит вам... как вы уже сами догадались, ввести своих студентов в курс задания. Во введении обычно описываются понятия, с которыми учащимся придется столкнуться во время выполнения задания. Очень часто вебквест имеет какую-то сопутствующую историю, которая как раз и может быть изложена во введении, вместе с кратким описанием того, что учащимся предстоит усвоить и выполнить.

Сделайте страницу с заданием. На странице с заданием должно быть четко прописано, что учащиеся должны усвоить к концу работы с заданием. Все время помните: цель этого задания, этого учебного путешествия – это те знания, которые учащиеся приобретут в конце. Используйте эту учебную цель для создания истории вебквеста, в который вы собираетесь отправить своих учеников.

Сделайте страницу с пошаговыми инструкциями. На этой странице должно быть подробно описано, какие задания и в какой последовательности студентам нужно выполнять. Постарайтесь все описать максимально подробно и понятно: ваши ученики должны справиться со всеми заданиями без дополнительных разъяснений с вашей стороны.

Сделайте страницу со списком источников. На этой странице находятся адреса всех сайтов, информацию из которых им нужно будет использовать. Это значит, что вам нужно будет ограничить круг источников информации, которую ваши студенты должны усвоить. Вам нужно хорошо уметь пользоваться поисковыми сайтами, составлять поисковые запросы с ключевыми словами и использовать различные специальные поисковые символы, чтобы найти необходимую информацию.

Сделайте страницу оценки. Эта страница должна иметь деление на рубрики, чтобы учащиеся четко представляли, чего вы от них хотите и что им нужно сделать, чтобы получить хорошую отметку.

Сделайте заключительную страницу. Эта страница завершает весь вебквест, повторяет основные моменты, которые ваши студенты должны были усвоить в ходе этого задания, и вдохновляет их на дальнейшее изучение вопроса. Возможно, вы захотите указать здесь дополнительные источники, чтобы те, кто заинтересовался данной темой или просто справился с заданием раньше остальных, смогли продолжить ее изучение.

Часть 2

Сделать его отличным

Выберите формат. Старый-добрый вариант оформления вебквеста – это текстовый документ Microsoft Word со вставленными гиперссылками или простейшая веб-страница. Если вы хотите избежать творческих мук в процессе создания своего вебсайта, то существует множество шаблонов или можно просто использовать другие средства для создания своего вебквеста. Документ, созданный при помощи Google Docs или Spreadsheet точно так же даст вашим студентам необходимую информацию без излишней нагрузки на вас.

Сделайте задание занимательным. Задание должно быть интересным само по себе. Подходите к делу творчески! Само слово «квест» обязывает вас мыслить не шаблонно. Добавьте заданию загадочности, а учащимся – ощущения того, что они движутся к какой-то значимой цели.

Добавьте «липу». Сначала дайте своим студентам основной сайт, на котором есть все необходимые цитаты, доказательства, логические построения и т.д., чтобы они научились определять ценность источника информации. Потом, скажите им, что один из ваших источников – подделка, «липа» и содержит неверные сведения. Заранее выберите «фальшивый» сайт, который выглядит как можно убедительнее и правдоподобнее, тогда ваши учащиеся смогут отработать свои навыки определения ценности источников информации.

Выберите хорошие вебсайты и источники информации. Вы же хотите показать своим студентам хороший пример, познакомив их с качественными сайтами и научив их оценивать информацию в сети интернет. Ищите материал, подходящий вашим учащимся по возрасту, и берите его из авторитетных источников, подбирайте подходящие цитаты и современную информацию.

Помогите своим студентам критически относиться к материалу. Вы же не хотите давать своим студентам материал в готовом виде или подавать им информацию однобоко. Дайте им увидеть много разных мнений и фактов, чтобы научить их критически относиться к информации и самим принимать решения, что верно, а что нет.

Объединяйте учащихся в группы, если это возможно. Таким образом вы не только научите их работать вместе над решением одной задачи, но они также могут заставить друг друга думать и обсуждать достоверность информации, которую они находят в интернете.

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение Воронежской области
«Лискинский промышленно-транспортный техникум имени А.К. Лысенко»

(ГБПОУ ВО «ЛПТТ имени А.К. Лысенко»)

Методическое пособие

по математике

«Основные приёмы решения систем уравнений»

Преподаватель Варова О.А.

2017 г.

Решением системы называют числа, при подстановке которых в уравнения системы каждое уравнение становится верным числовым равенством. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что система не имеет решения.

Основная идея решения систем уравнений состоит в постепенном переходе от одной системы к другой более простой, но равносильной заданной. Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод введения новых переменных абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Если же в процессе решения системы использовались неравносильные преобразования (возведение в квадрат обеих частей уравнения, умножение уравнений или преобразования, которые привели к расширению области определения какого-либо уравнения системы), то все найденные решения следует проверить подстановкой в исходную систему.

Рассмотрим теперь конкретные системы алгебраических уравнений и продемонстрируем различные методы их решений. Предварительно отметим, что, строго говоря, невозможно выделить один метод решения достаточно сложной системы, поскольку, как правило, последовательно задействуются различные приёмы. Но методически очень полезно в каждом примере выделить один метод, не заостряя внимания на других.

Основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

Системы уравнений появляются при решении задач, в которых неизвестной является не одна величина, а несколько. Это величины связаны определёнными зависимостями, которые записываются в виде уравнений.

Один из основных методов решения систем – метод подстановки.

а) Рассмотрим, например, систему двух уравнений с двумя неизвестными

х и у:

Часто удаётся одно уравнение преобразовать так, чтобы неизвестное явно выражалось как функция другого. Тогда, подставляя его во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным.

б) Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными методом подстановки:

2. Метод алгебраического сложения.

а) Решим систему Умножим первое уравнение на 2 и складывая полученное уравнение со вторым, приходим к уравнению 22х=33, х=1,5. Подставив в любое уравнение значение х, получим у=-0,5.

б) Решим систему:

Умножая первое уравнение на 5, а второе на 7 и складывая полученные результаты, приходим к уравнению

Заметим, что пара чисел (0;0), являясь решением полученного уравнения, не удовлетворяет исходной системе. Поэтому подстановкой x = ty сводим уравнение к виду Разделив обе части на получим уравнение

Таким образом , исходная система равносильна совокупности систем:

Решая первую систему получим х=4, у=5 и х=-4, у=-5; решение второй – х=3у=х=-3у=

в) Решим систему:

Складывая почленно уравнения данной системы, получаем уравнение которое равносильно следующему (х+у-7)(х+у+7)=0.

Система равносильная исходной, распадается на две системы:

Совокупность этих систем равносильна исходной системе, т.е. каждое решение исходной системы является решением или системы (А), или системы (В) и всякое решение систем (А) и (В) есть решение исходной системы.

Система (А) приводится к виду

Отсюда ясно, что она имеет решение (4;3). Аналогично система (В) имеет решение (-4;-3). Объединив эти решения, находим все решения исходной системы.

Ответ: (4;3),(-4;-3).

г) Решим систему:

Обратим внимание на то, что левые части уравнений содержат одни и те же комбинации неизвестных. Поэтому целесообразно умножить уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим сложив второе уравнение с первым, умноженным на -3. В результате получим уравнение которое путём замены xy = t приведём к виду Очевидно, что Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим Если х=1, то у=2, а если х=-1, то у=-2.

Во втором случае, исключая у, получаем Поэтому вторая из двух последних систем не имеет действительных решений.

Ответ: (1;2), (-1;-2).

3. Метод введения новых переменных.

а ) Решим систему: (А)

Полагая преобразуем систему к виду (Б)

Эта система равносильна каждой из следующих систем:

и

Квадратное уравнение имеет корни Значит система (Б) имеет решения: () и (;, а система (А) имеет решения (2;3) и (3;2).

Рассмотренная система состоит из симметрических уравнений (м етод решения симметричных систем см.ниже).

б) Решим систему:

z =

Тогда первое уравнение примет вид z + = 2. Решим его:

Возвращаясь к переменным х,у, получаем уравнение

Преобразуем его: 3х-2у=2х, х=2у.

Итак, первое уравнение данной системы заменим более простым х=2у, получим систему:

для решения которой используем метод подстановки, подставив первое уравнение во второе.

Соответственно получим: .

Т.к. в процессе решения системы использовался «ненадёжный» метод – возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, - найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что посторонних корней нет.

Ответ: (2;1), (1;

в) Решим систему: (А)

Преобразуем первое уравнение системы:

Введём новые неизвестные u = x + y , v = xy . После упрощения получим (Б)

Система (Б) равносильна каждой из следующих систем:

Последняя система имеет два решения:

Поэтому система (А) равносильна совокупности систем: и

Система (В) имеет решения (2;1) и (1;2); система (Г) решений не имеет.

Ответ: (2; 1), (1;.

г) Решим систему:

«Переделаем» данное разложение уравнений, записав систему в ином виде:

Пусть и учитывая, что запишем исходную систему иначе:

Отсюда и тогда

Таким образом, исходная система равносильная системе

Распадается на две линейные системы:

Ответ: (4; 3), (3;.

4. Метод использования графика.

Каждое из уравнений системы можно рассматривать как уравнение кривой. Поэтому решения системы двух уравнений с двумя неизвестными можно интерпретировать как координаты точек пересечения двух кривых.

5. Метод решения симметричных систем.

Система уравнений называется симметричной, если она составлена из выражений, симметричных относительно неизвестных:

,

Возьмём две буквы.

Два выражения – сумма u = и произведение v = являются основными симметричными выражениями относительно

Другие симметричные выражения можно так же выразить через u и v :

Теорема Виета выражает основные симметричные выражения относительно корней квадратного уравнения

Любое выражение, симметричное относительно корней квадратного уравнения, можно выразить через его коэффициенты, не находя самих корней.

Можно сформулировать теорему, обратную теореме Виета: если числа удовлетворяют системе уравнений то они являются корнями уравнения.

Симметричную систему можно упростить заменой симметричных выражений выражениями через сумму и произведений неизвестных.

а)Например, систему заменой можно привести к системе

Зная по теореме, обратной к теореме Виета, находим х и у из квадратного уравнения

Ответ:

Решение некоторых уравнений полезно сводить к решению симметричных систем.

б)Например, при решении линейной системы часто можно воспользоваться её симметрией:

Сложим все уравнения и получим 10

Теперь вычтем это уравнение из первого, из второго – предварительно умножив это уравнение на 2 и из третьего – предварительно умножив это уравнение на 3, получим:

Разность первой пары уравнений даёт 4

второго и третьего уравнений 4

6.Метод обращения к одному из следствий.

а)Решить систему уравнений:

На первый взгляд кажется, что надо избавиться от дробей, приводя их к общему знаменателю. Однако этот приём не упрощает систему и не даёт возможность исключить одно из неизвестных. К успеху приводит почленное перемножение уравнений системы:

Введём новую переменную z = xy . Получим: (z -6)(z +24)= т.е. ху=8.

Это уравнение рассмотрим совместно с первым:

Теперь воспользуемся методом подстановки . Выразим из второго уравнения через и подставим полученное выражение вместо в первое уравнение:

После упрощений второе уравнение примет вид Его корни Но:

Итак, получили 2 решения: (4;2) и (-4;-2). Но поскольку в процессе решения системы применялся «ненадёжный» метод, найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что пары чисел (4;2) и (-4;-2) являются решениями исходной системы.

Ответ: (4;2) и (-4;-2).

б)Решить систему:

На первый взгляд кажется, что надо избавиться от дробей, приводя их к общему знаменателю. Однако этот приём не упрощает систему и не даёт возможность исключить одно из неизвестных. К успеху приводит почленное перемножение уравнений системы. В результате этой операции получаем уравнение которое вместе с первым уравнением образует систему, являющуюся следствием данной. Исключив из полученной системы, приходим к уравнению Его корни Соответствующие значения найдём из уравнения. Проверка показывает, что пары чисел (2;3) и (-2;-3) являются решениями исходной системы.

Ответ: (2;3) и (-2;-3).

в)Решить систему:

На первый взгляд кажется, что надо попытаться разложить левую часть уравнений на множители, применив метод группировки. Однако это очень сложно. К успеху приводит приём, состоящий в том, что одно из уравнений системы рассматривается как квадратное относительно х или у.

Представим первое уравнение системы как квадратное относительно х:

Представим второе уравнение системы как квадратное относительно х:

и запишем формулу для вычисления корней

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем:

Первая из систем не имеет решения, другие системы имеют соответственно решения: (-2;0), (-3;3), (-4;2).

Ответ: (-2;0), (-3;3), (-4;2).

Методы решения иррациональных систем.

Системы иррациональных уравнений обычно сводят к системам рациональных уравнений с помощью операции возведения обеих частей уравнения в натуральную степень n . При этом следует иметь в виду, что если n - чётное число, то в результате этой операции получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. среди его корней могут оказаться посторонние, поэтому необходимо сделать проверку. Но если n - нечётное число, то полученное уравнение равносильно исходному.

Но не следует торопиться «освобождаться от корней», применяя упомянутый метод. Он может оказаться неэффективен в начале решения, т.к. приводит к громоздким выражениям. Нужно присмотреться к системе и попытаться упростить её. Например: 1. Решим систему:

Сравнивая левые части уравнений системы, замечаем, что они представляют собой сопряжённые выражения. В таком случае следует воспользоваться приёмом почленного умножения уравнений. Осложнений не будет, т.к. После почленного умножения получаем у=16. Подставляя это значение в первое уравнение, получим. Возведя в квадрат обе части уравнения, получаем Снова возводим в квадрат обе части уравнения, приведя его к виду: , а у=16, то. Значит х=20.

В преобразованиях было дважды применено возведение обеих частей уравнения в чётную степень, т.е. дважды могли получить посторонние корни. Поэтому значения х=20 и у=16 следует проверить подстановкой в исходную систему.

Ответ: (20; 16).

2. Решить систему уравнений:

Воспользуемся методом введения новой переменной: z =

Тогда первое уравнение системы примет вид

Решим это уравнение:

Возвращаясь к переменной х, у, получаем уравнение

Решим это уравнение: 3х-2у=2х, х=2у, а это первое уравнение системы. Получили более простую систему уравнений:

Для решения которой используем метод подстановки, подставив первое уравнение во второе: ,

Получим

Т.к. в процессе решения системы использовался «ненадёжный» (с точки зрения равносильности) метод – возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, - найденные значения надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что посторонних корней нет.

Ответ: (2;1); (1;

Пять решений одной системы уравнений.

Математики считают, что полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним. При поиске новых методов решения задачи иногда обнаруживается связь между разными разделами математики. Приведу один пример.

Решить систему уравнений:

1 способ. Выразим в 1 уравнении через, подставив полученное выражение во 2 уравнение и преобразовав его, получим:

Решим это уравнение как квадратное относительно

D =)= D при всех значениях

Следовательно уравнение (3) имеет решение только при D ,т.е. при

Тогда =1. Подставляя найденные значения, находим

Ответ:

2 способ. Возводим первое уравнение в квадрат и вычтем второе, получим:

или xy + xz + yz =3=

2 xy - 2 xz - 2 yz =0, или

3 способ. Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Уравнение (1) описывает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(3;0;0), В(0;3;0) и С(0;0;3), а уравнение (2) – сферу с центром в начале координат и радиусом равным

Для выяснения того, что представляет собой пересечение сферы с плоскостью, нужно сравнить радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Расстояние от точки О до плоскости АВС можно найти, вычислив высоту О D тетраэдра ОАВС, записав двумя способами объём тетраэдра

Треугольник АВС правильный, т.к. его стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников и равны 3 Тогда

Подставляя найденные значения в соотношение (4), получим, что т.е. радиус сферы в точности равен расстоянию от её центра до плоскости. Это означает, что плоскость касается сферы и исходная система имеет единственное решение, которое легко угадывается:

4 способ. Докажем, что система не имеет других решений. Введём другие переменные: a = x +1, b = y +1, c = z +1. Тогда уравнение примет вид a + b + c =0. (5) Преобразуем второе уравнение:

)=0.

С учётом соотношения (5) получим, что система имеет единственное нулевое решение, что влечёт за собой единственное решение в старых переменных.

5 способ. Рассмотрим случайную величину принимающую с равной вероятностью значения Тогда левые части уравнений исходной системы представляют собой соответственно 3 М и 3М

М Следовательно М =М и дисперсия D =М- (М=0, т.е. = const и, значит,

Итак, одну и ту же задачу мы решили с помощью алгебры, геометрии и теории вероятностей!

Литература:

1.Башмаков М.И.

Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -4-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256с.

2.Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа.10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов.- 7-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 424 с.: ил.

3.Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа.11 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов.- 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 287 с.: ил.

4.Журнал «Математика в школе» №6, 2008.