Z преобразование. Z–преобразование
Лекция 8. Цифровые САУ
Основные положения и определения
Система называется цифровой, если в контуре имеется хотя бы один импульсный элемент. На рисунке 8.1 приведена цифровая САУ на базе микроконтроллера, т.е. функции сумматора и регулятора реализуются программным путем в микроконтроллере, с выхода которого сигналы поступают на объект управления с известной ПФ.
Рисунок 8.1 – Структурная схема цифровой системы
Микроконтроллер приближенно можно описать ПФ запаздывающего звена
Рисунок 8.2 – Выходная характеристика запаздывающего звена
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) это модуляция, при которой амплитуда импульса модулированного сигнала У пропорциональна величине информационного сигнала Х, подаваемого на вход модулятора.
Рисунок 8.3 – Виды АИМ
Существует 2 вида АИМ: первого и второго рода. В АИМ 1-го рода амплитуда модулированного сигнала в течение длительности импульса τ повторяет информационный сигнал Х. При АИМ 2-го рода амплитуда импульса в течение длительности импульса τ постоянна. Например, в АЦП используется АИМ 2-го рода.
Рисунок 8.4 – Временная диаграмма работы АЦП
В АЦП преобразование происходит в 2 этапа: дискретизация по времени с периодом Т и квантование по уровню аналогового сигнала.
Поэтому блок АЦП можно представить в виде 2-х элементов: импульсного элемента, осуществляющего дискретизацию по времени и формирователя импульсов, выполняющий квантование по уровню (рисунок 8.5,а). Цифровая система (ЦС), содержащее АЦП, приведена на рисунке 8.5,б.
Рисунок 8.5 – Структурная схема ЦС с АЦП
При увеличении разрядности АЦП (числа квантований) ошибка между значением цифрового сигнала и аналогового уменьшается.
Таблица 8.1 - Относительные ошибки АЦП
Решетчатая функция. Например, .
Разностное уравнение 1-го порядка;
Разностное уравнение 2-го порядка;
Разностное уравнение k-го порядка.
Z-преобразование
Для описания ЦС используется z-преобразование. Для этого необходимо перейти из области t в область р, а затем в область Z.
Преобразование Лапласа имеет вид
.
Приближенно интеграл можно представить в виде суммы
.
Примем , тогда
или
. (8.1)
Пример 1. Найти z-изображение .
.
В правой части уравнения сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен
.
Таблица 8.2 – Примеры перехода из t в Z и P области
F(t) | Р-преобразование | Z-преобразование |
1(t) t t 2 exp(-at) | 1/р 1 /p 2 1 /p 3 1/(p+a) | z / z-1 Tz / (z-1) 2 T 2 z(z+1) /(z-1) 3 z/ (z-e -at) |
Пример 2. Дана x(t) = 1(t). Требуется получить z-изображение другим способом.
Как и при первом способе, получим изображение единичной функции в виде ряда Тейлора
x(z) = 1 + z -1 + z -2 +…..+z - n .
Умножим на z -1 обе части уравнения
x(z) ∙ z -1 = z -1 + z -2 + z - n -1 ,
и вычтем из первого выражения x(z), полученное x(z) ∙ z -1 .
x(z) – x(z) ∙ z -1 = 1.
Пример 3. Дана функция x(t)= t ∙ 1(t). Получить z-изображение.
x(z) ∙ z -1 = Tz -2 + 2Tz -3 + …;
Теоремы Z- преобразования
1) Суммирование и вычитание. Если f 1 (t) и f 2 (t) имеют z-преобразование, то
2) Умножение на константу. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то
3) Сдвиг во временной области. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то
Пример 4. Найти z- преобразование единичной ступенчатой функции 1(t) при задержке ее на один период квантования Т.
4) Об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если f(t) имеет изображение f(z), то
5) Теорема о начальном значении. Если f(t) имеет z- преобразование F(z) и если существует предел , то
Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z = ∞.
6) Теорема о конечном значении. Если f(t) имеет z-преобразование F(z) и если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее, то
Пример 5. Найти конечное значение f(nT) для заданного z-преобразования
Приведем заданную функцию к виду
Определим корни знаменателя, т.е. определим полюса ПФ. Поскольку функция не имеет полюсов на единичной окружности, то
7) Теорема дифференцирования. Если z-преобразование функции f(t,a) есть F(z,a), где а – независимая переменная или константа, то
Пример 6. Определить z-преобразование функции f(t) = te -α t с помощью теоремы дифференцирования.
Обратное z- преобразование
Преобразование Лапласа и его обратное преобразование для непрерывных функций является однозначным. Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(nT), который равен f(t) только в моменты t = nT.
Рисунок 8.6 иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/(z-1) и соответствует последовательности единичных импульсов. Обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единицы в моменты t=0,T,2T. Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений этого метода.
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое z-преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. В данном параграфе излагаются основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.
Определение z -преобразования. Пусть - числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменнойz :
Назовем эту сумму, если она существует, z -преобразованием последовательности{х к }. Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя ихz-преобразования обычными методами математического анализа.
На основании формулы (2.113) можно непосредственно найти z-преобразования дискретныхсигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретному сигналу с единс твенным отсчетом соответствует .
Если же, например,
Сходимость ряда. Если в ряде (2.113) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию
при любых . ЗдесьМ > 0 иR 0 > 0 - постоянные вещественные числа. Тогда ряд (2.113) сходится при всех значенияхz, таких, что |z| >R 0 . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменнойz, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.
Рассмотрим,например,дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчетами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любыхzв кольце .
Суммируя прогрессию, получаем
На границе области аналитичности при z= 1эта функция имеет единственный простой полюс.
Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , гдеа - некоторое вещественное число. Здесь
Данное выражение имеет смысл в кольцевой области .
z -преобразование непрерывных функций. Полагая, что отсчеты есть значения непрерывной функцииx (t ) в точках , любому сигналуx (t ) можно сопоставить егоz-преобразование при выбранном шаге дискретизации:
Например, если , то соответствующееz-преобразование
.
является аналитической функцией при .
Обратное z -преобразование. ПустьX (z) - функция комплексной переменнойz, аналитическая в кольцевой области |z| >R 0 . Замечательное свойствоz-преобразования состоит в том, что функцияX (z) определяет всю бесконечную совокупность отсчетов .
Действительно, умножим обе части ряда (2.113) на множитель :
. (2.115)
а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z). При этом воспользуемся –фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:
.
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером т, поэтому
Данная формула называется обратным z -преобразованием .
Связь с преобразованиями Лапласа и Фурье . Определим при сигнал вида идеальнойМИП:
.
Преобразовав его по Лапласу, получим изображение
которое непосредственно переходит в z-преобразование, если выполнить подстановку . Если же положить , то выражение
Ряд Фурье
Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье
где Асо - период дискретизации по частоте:
Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):
к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):
где: At - период дискретизации по времени:
х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):
к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.
На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:
Т Аса = Q At.
Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.
Z-преобразование и его свойства
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.
Пусть имеется некоторая числовая последовательность
Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.
Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же
то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.
Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование
являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем
На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.
Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим
Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что
Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем
Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.
Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).
Преобразование Лапласа от него имеет вид
Если формально положить z = ехр(/?Д),
то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.
Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение
будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.
Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.
- 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
- 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
- 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)
Контрольные вопросы
Записать преобразование Лапласа.
Записать преобразование Фурье.
Записать ряд Фурье.
Записать Z-преобразование.
Записать обратное Z-преобразование.
Записать свойства Z-преобразования.
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемые z-преобразования, играющие по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.
Определение z-преобразования
Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:
Назовём эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности . Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа. В математике z-преобразование называют также производящей функцией исходной последовательности.
На основании формулы (1.46) можно непосредственно найти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчётов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует . Если же, например, , то
Сходимость ряда
Если в ряде (1.46) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию
при любых . Здесь и – постоянные вещественные числа.
Тогда ряд (1.46) сходится при всех значениях z, таких, что . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.
Рассмотрим, например, дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд
является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце . Суммируя прогрессию, получим:
На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а – некоторое вещественное число. Здесь:
Данное выражение имеет смысл в некоторой кольцевой области .
Z-преобразование непрерывных функций
Полагая, что отсчёты есть значения непрерывной функции в точках , любому сигналу можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:
Например, если , то соответствующее z-преобразование
является аналитической функцией при .
Обратное z-преобразование
Пусть p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> – функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области . Замечательное свойство z-преобразования состоит в том, что функция определяет всю бесконечную совокупность отсчётов . Действительно, умножим обе части ряда (1.46) на множитель :
Затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы :
Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, против часовой стрелки.
Для решения уравнения (1.50) воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части выражения (1.50) обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m , поэтому
Формула (1.51) называется обратным z-преобразованием.
Пример
Задано z-преобразование вида . Найти коэффициенты дискретного сигнала , отвечающего этой функции.
Прежде всего, определим, что функция аналитична во всей плоскости, за исключением точки , поэтому она действительно может быть z-преобразованием некоторого дискретного сигнала.
Перед тем, как решать данную задачу, вспомним из курса высшей математики методику решения криволинейных интегралов с использованием теории вычетов и теоремы Коши о вычетах. Пусть точка есть изолированная особая точка функции . Вычетом функции в точке называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:
В качестве контура g можно взять окружность с центром в точке достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции
И не содержала внутри других особых точек функции . Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности точки : . Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Если точка есть полюс n -го порядка функции , то
В случае простого полюса ()
Если функция в окрестности точки представима как частное двух аналитических функций
причем , т.е. есть простой полюс функции , то
Обращаясь к формуле (1.48), находим, что
при любых idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид:
Связь с преобразованием Лапласа и Фурье
Определим при сигнал вида идеальной МИП:
Преобразовав его по Лапласу, получим изображение при любых постоянных a и b. Доказать данное свойство можно путём подстановки суммы в формулу (1.46). – последовательность чисел, общий член которой равен:
Подобную дискретную свёртку в отличие от круговой иногда называют линейной свёрткой.
Вычислим z-преобразование дискретной свёртки:
Свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение их z-преобразований.