Шифрами замены называют такие шифры, шифрование с помощью которых осуществляется путем замены каждого символа исходного текста другими символами (шифрообозначениями), при этом порядок символов не меняется. Формально шифр замены можно описать так: каждой букве ос исходного текста ставится в соответствие некоторое множество символов М а, которое называют множеством шифрообозначений для буквы а. Таблица соответствий и порядок выбора шифрообозначения из множества символов являются ключом шифра замены.

Если множества состоят из одного элемента, то такой шифр называют шифром простой замены.

В качестве ключа в системе Цезаря используется таблица, состоящая из двух строк (первая строка - алфавит исходного сообщения, вторая строка - тот же алфавит, но со сдвигом на несколько букв; при этом алфавитный порядок букв сохраняется).

При шифровании каждой буквы исходного текста ее заменяют буквой, которая находится под ней во второй строке таблицы. Ключ такого шифра легко запомнить по первой букве второй строки. Процесс дешифрации выполняется в обратном порядке - каждую букву шифротекста находят во второй строке таблицы и заменяют на букву над ней (с первой строки). Число ключей такого шифра не превышает количество букв алфавита (для русскоязычных текстов Т = 33).

Шифрами сложной замены называют такие шифры, шифрование с помощью которых осуществляется путем замены каждого символа исходного текста другими символами (шифрообозначениями), при этом порядок символов не меняется. Шифры сложной замены называют многоалфавитными, так как для шифрования каждого символа исходного текста используют свой шифр простой замены. Многоалфавитная подстановка обеспечивает цикличное использование в соответствии с ключом нескольких алфавитов замены, использование которых определяется местом зашифровываемого символа в исходном тексте.

Такое шифрование приводит к изменению статистики повторяемости символов в шифротексте по сравнению с исходным текстом, что лишает криптоаналитиков важной информации при попытке вскрытия шифра.

Этот шифр сложной замены реализуется с помощью таблицы шифрования (квадрата) Вижинера. Эта таблица используется как для шифрования, так и для дешифрования текстов (рис. 5.1).

> Матрица букв

шифрограмм

Столбец ключа

Строка букв

открытого

Рис. 5.1. Таблица Вижинера

Верхнюю строку подчеркнутых символов используют для поиска очередной буквы исходного текста, крайний левый столбец чисел - соответствующий ей числовой ключ (если ключ - некоторая буква ключевой фразы, то ее берут из соседнего числовому ключу столбца). На пересечении выбранных строки и столбца находят букву замены для шифротекста.

Для того чтобы зашифровать исходное сообщение, его записывают в строку и под каждой его буквой записывают подряд буквы ключевой фразы или цифры числового ключа. Если ключ оказался короче исходного текста, его циклически повторяют.

Задача 5.5

Пусть необходимо зашифровать следующий открытый текст : «ТО BE OR NOT ТО BE THAT IS THE QUESTION», используя секретный ключ «RELATIONS».

Решение.

Разобьем процесс шифрования на следующие этапы.

1. Записываем секретный ключ над открытым текстом столько раз, сколько потребуется, чтобы длина ключа совпала с длиной открытого текста, т.е. получим периодический ключ.

• 2. Чтобы зашифровать открытый текст с помощью полученного периодического ключа и таблицы замены, приведенной выше, необходимо:
  • найти букву, стоящую на пересечении строки, названием которой является очередная буква открытого текста, и столбца, названием которого является очередной символ периодического ключа;
  • записать полученный символ криптограммы;
  • повторять предыдущие пункты до тех пор, пока не будет зашифрован весь текст.

После шифрования получим криптограмму:

«КЗ МЕ НЕЕ ВВЬ КБ МЕ МРСЮ А1 ХЭЕ,Ю5ЕЕ78У».

Для расшифровки такой криптограммы используется следующий алгоритм.

• 1. Необходимо найти столбец, названием которого является очередной символ секретного ключа.
• 2. В этом столбце нужно найти строку, содержащую очередной символ криптограммы.
• 3. В качестве очередного символа открытого текста надо записать название полученной строки.

Дешифрование выполняют аналогично - под строкой шифро-текста записывают ключ, при необходимости циклически его повторяя. Каждую пару символов, расположенных в одном столбце, заменяют буквой исходного текста: по букве ключа находят строку в таблице 3, затем в этой строке находят букву шифротекста, которая определяет столбец; исходный символ - первая буква столбца.

Наиболее известными и часто используемыми шифрами являются шифры замены. Они характеризуются тем, что отдельные части сообщения (буквы, слова, ...) заменяются на какие-либо другие буквы, числа, символы и т. д. При этом замена осуществляется так, чтобы потом по шифрованному сообщению можно было однозначно восстановить передаваемое сообщение.

Пусть, например, зашифровывается сообщение на русском языке и при этом замене подлежит каждая буква сообщения. Формально в этом случае шифр замены можно описать следующим образом. Для каждой буквы а исходного алфавита строится некоторое множество символов так, что множества попарно не пересекаются при а то есть любые два различные множества не содержат

одинаковых элементов. Множество называется множеством Шифр-обозначений для буквы а.

является ключом шифра замены. Зная ее, можно осуществить как зашифрование, так и расшифрование.

При зашифровании каждая буква а открытого сообщения, начиная с первой, заменяется любым символом из множества Если в сообщении содержится несколько букв ее, то каждая из них заменяется на любой символ из За счет этого с помощью одного ключа (1) можно получить различные варианты зашифрованного сообщения для одного и того же открытого сообщения. Например, если ключом является таблица

то сообщение «я знаком с шифрами замены» может быть зашифровано, например, любым из следующих трех способов:

Так как множества попарно не пересекаются, то по каждому символу шифрованного сообщения можно однозначно определить, какому множеству он принадлежит, и, следовательно, какую букву открытого сообщения он заменяет. Поэтому расшифрование возможно и открытое сообщение определяется единственным образом.

Часто состоит из одного элемента. Например, в романе Верна «Путешествие к центру Земли» в руки профессора Лиденброка попадает пергамент с рукописью из знаков рунического письма. Каждое множество состоит из одного элемента. Элемент каждого множества выбирается из набора символов вида

В рассказе А. Конан Дойла «Пляшущие человечки» каждый символ изображает пляшущего человечка в самых различных позах

На первый взгляд кажется, что чем хитрее символы, тем труднее вскрыть сообщение, не имея ключа. Это, конечно, не так. Если каждому символу однозначно сопоставить какую-либо букву или число, то легко перейти к зашифрованному сообщению из букв или чисел. В романе Верна «Путешествие к центру Земли» каждый рунический знак был заменен на соответствующую букву немецкого языка, что облегчило восстановление открытого сообщения. С точки зрения криптографов использование различных сложных символов не усложняет шифра. Однако, если зашифрованное сообщение состоит из букв или цифр, то вскрывать такое сообщение удобнее.

Рассмотрим некоторые примеры шифров замены. Пусть каждое множество состоит из одной буквы. Например,

Такой шифр называется шифром простой однобуквенной замены. По ключу (4) удобно проводить зашифрование и расшифрование: при зашифровании каждая буква открытого текста заменяется на соответствующую букву из второй строки (а на ) При расшифровании, наоборот, заменяется на а и т. д. При шифровании и расшифровании надо помнить вторую строчку в (4), то есть ключ.

Запомнить произвольный порядок букв алфавита достаточно сложно. Поэтому всегда пытались придумать какое-либо правило, по которому можно просто восстановить вторую строчку в (4).

Одним из первых шифров, известных из истории, был так называемый шифр Цезаря, для которого вторая строка в (4) является последовательностью, записанной в алфавитном порядке, но начинающейся не с буквы а:

В одной из задач (задача 4.4) используется шифр Цезаря. Запомнить ключ в этом случае просто - надо знать первую букву второй строки (4) (последовательность букв в алфавите предполагается известной). Однако такой шифр обладает большим недостатком. Число различных ключей равно числу букв в алфавите. Перебрав эти варианты, можно

однозначно восстановить открытое сообщение, так как при правильном выборе ключа получится «осмысленный» текст. В других случаях обычно получается «нечитаемый» текст. Задача 4.4 именно на это и рассчитана. Несмотря на то, что используется фраза на латинском языке, которого школьники не знают, многие участники олимпиады смогли указать открытое сообщение.

Другим примером шифра замены может служить лозунговый шифр. Здесь запоминание ключевой последовательности основано на лозунге - легко запоминаемом слове. Например, выберем слово-лозунг «учебник» и заполним вторую строку таблицы по следующему правилу: сначала выписываем слово-лозунг, а затем выписываем в алфавитном порядке буквы алфавита, не вошедшие в слово-лозунг. Вторая строка в (4) примет вид

В данном случае число вариантов ключа существенно больше числа букв алфавита.

Рассмотренные шифры имеют одну слабость. Если в открытом сообщении часто встречается какая-либо буква, то в шифрованном сообщении часто будет встречаться соответствующий ей символ или буква. Поэтому при вскрытии шифра замены обычно стараются наиболее часто встречающимся символам шифрованного сообщения поставить в соответствие буквы открытого сообщения с наибольшей предполагаемой частотой появления. Если шифрованное сообщение достаточно большое, то этот путь приводит к успеху, даже если вы не знаете ключа.

Кроме частоты появления букв, могут быть использованы другие обстоятельства, помогающие раскрыть сообщение. Например, может быть известна разбивка на слова, как в задаче 4.2, и расставлены знаки препинания. Рассматривая небольшое число возможных вариантов замены для предлогов и союзов, можно попытаться определить часть ключа. В этой задаче существенно используется, какие гласные или согласные могут быть удвоенными: «нн», «ее», «ии» и др.

При анализе шифрованного сообщения следует исходить из того, что число различных вариантов для части определяемого ключа не такое уж большое, если вы находитесь на правильном пути. В противном случае либо вы получите противоречие, либо число вариантов ключа будет сильно возрастать. Обычно, начиная с некоторого момента определение открытого сообщения становится делом техники. Так, в задаче 4.2, если вы определили «денно и нощно», то дальнейшее определение открытого текста не представляет труда.

Вообще-то можно сказать, что вскрытие шифров замены является искусством и достаточно трудно формализовать этот процесс.

Популярные у школьников криптограммы (типа рассмотренной в задаче 1.5) по сути дела являются шифром замены с ключом

шифрзамены в котором каждой цифре ставится в соответствие буква. При этом должны соблюдаться правила арифметики. Эти правила значительно облегчают определение открытого текста, так же, как правила синтаксиса и орфографии в задаче 4.2 облегчают нахождение четверостишия В. Высоцкого.

Любые особенности текста, которые могут быть вам известны, - ваши помощники. Например, в задаче 5.2 прямо сказано, что в тексте есть выражения «зпт», «тчк», как часто бывает в реальных телеграммах. И эта подсказка - путь к решению задачи.

Шифрование даже относительно небольших текстов на одном ключе для рассмотренных шифров замены создает условия для вскрытия открытых сообщений. Поэтому такие шифры пытались усовершенствовать. Одно из направлений - построение шифров разнозначной замены, когда каждой букве ставится в соответствие один или два символа. (Простейшим примером является шифр, определяемый в задаче 4.2.) Например,

Если шифрованное сообщение написано без пробелов между символами, то появляется дополнительная трудность при разбиении шифрованного сообщения на отдельные символы и слова.

Другое направление создания шифров замены состоит в том, чтобы множества шифробозначений содержали более одного элемента. Такие шифры получили название шифров многозначной замены. Они позволяют скрыть истинную частоту букв открытого сообщения, что существенно затрудняет вскрытие этих шифров. Главная трудность, которая возникает при использовании таких шифров, заключается в запоминании ключа. Надо запомнить не одну строчку, а для каждой буквы алфавита а - множество ее шифробозначений Как правило, элементами множеств являются числа. Из художественной литературы и кинофильмов про разведчиков вам известно, что во время второй мировой войны часто использовались так называемые книжные шифры. Множество шифробозначений для каждой буквы определяется всеми пятизначными наборами цифр, в каждом из которых первые две цифры указывают номер страницы, третья цифра - номер строки, четвертая и пятая цифры - номер места данной буквы в указанной

строке. Поэтому при поимке разведчика всегда пытались найти книгу, которая могла быть использована им в качестве ключа.

Мы не останавливаемся здесь на более сложных методах построения шифров замены. Приведенных примеров достаточно, чтобы оценить многообразие таких шифров. Но все они имеют серьезный недостаток - на одном ключе нельзя шифровать достаточно длинные сообщения. Поэтому, как правило, шифры замены используются в комбинации с другими шифрами. Чаще всего - с шифрами перестановки, о которых вы прочитаете в следующем разделе.

В заключение, следуя героям известных литературных произведений, вскроем некоторые шифры замены. Обратите внимание на то, какие неожиданные обстоятельства при этом используются. Действительно, вскрытие шифров - искусство.

Методы шифрования заменой (подстановкой) основаны на том, что символы исходного текста, обычно разделенные на блоки и записанные в одном алфавите, заменяются одним или несколькими символами другого алфавита в соответствии с принятым правилом преобразования.

Одноалфавитная замена

Одним из важных подклассов методов замены являются одноалфавитные (или моноалфавитные) подстановки, в которых устанавливается однозначное соответствие между каждым знаком a i исходного алфавита сообщений A и соответствующим знаком e i зашифрованного текста E . Одноалфавитная подстановка иногда называется также простой заменой, так как является самым простым шифром замены.

Примером одноалфавитной замены является шифр Цезаря, рассмотренный ранее. В рассмотренном в "Основные понятия криптографии" примере первая строка является исходным алфавитом, вторая (с циклическим сдвигом на k влево) – вектором замен.

В общем случае при одноалфавитной подстановке происходит однозначная замена исходных символов их эквивалентами из вектора замен (или таблицы замен). При таком методе шифрования ключом является используемая таблица замен.

Подстановка может быть задана с помощью таблицы, например, как показано на рис. 2.3 .

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

Полученный таким образом текст имеет сравнительно низкий уровень защиты, так как исходный и зашифрованный тексты имеют одинаковые статистические закономерности. При этом не имеет значения, какие символы использованы для замены – перемешанные символы исходного алфавита или таинственно выглядящие знаки.

Зашифрованное сообщение может быть вскрыто путем так называемого частотного криптоанализа . Для этого могут быть использованы некоторые статистические данные языка, на котором написано сообщение.

Известно, что в текстах на русском языке наиболее часто встречаются символы О, И . Немного реже встречаются буквы Е, А . Из согласных самые частые символы Т, Н, Р, С . В распоряжении криптоаналитиков имеются специальные таблицы частот встречаемости символов для текстов разных типов – научных, художественных и т.д.

Криптоаналитик внимательно изучает полученную криптограмму, подсчитывая при этом, какие символы сколько раз встретились. Вначале наиболее часто встречаемые знаки зашифрованного сообщения заменяются, например, буквами О . Далее производится попытка определить места для букв И, Е, А . Затем подставляются наиболее часто встречаемые согласные. На каждом этапе оценивается возможность "сочетания" тех или иных букв. Например, в русских словах трудно найти четыре подряд гласные буквы, слова в русском языке не начинаются с буквы Ы и т.д. На самом деле для каждого естественного языка (русского, английского и т.д.) существует множество закономерностей, которые помогают раскрыть специалисту зашифрованные противником сообщения.

Возможность однозначного криптоанализа напрямую зависит от длины перехваченного сообщения. Посмотрим, с чем это связано. Пусть, например, в руки криптоаналитиков попало зашифрованное с помощью некоторого шифра одноалфавитной замены сообщение:

ТНФЖ.ИПЩЪРЪ

Это сообщение состоит из 11 символов. Пусть известно, что эти символы составляют целое сообщение, а не фрагмент более крупного текста. В этом случае наше зашифрованное сообщение состоит из одного или нескольких целых слов. В зашифрованном сообщении символ Ъ встречается 2 раза. Предположим, что в открытом тексте на месте зашифрованного знака Ъ стоит гласная О, А, И или Е . Подставим на место Ъ эти буквы и оценим возможность дальнейшего криптоанализа таблица 2.1

Таблица 2.1. Варианты первого этапа криптоанализа

Зашифрованное сообщение
Т	Н	Ф	Ж	.	И	П	Щ	Ъ	Р	Ъ
После замены Ъ на О
								О		О
После замены Ъ на А
								А		А
После замены Ъ на И
								И		И
После замены Ъ на Е
								Е		Е

Все приведенные варианты замены могут встретиться на практике. Попробуем подобрать какие-нибудь варианты сообщений, учитывая, что в криптограмме остальные символы встречаются по одному разу ( таблица 2.2).

Таблица 2.2. Варианты второго этапа криптоанализа

Зашифрованное сообщение
Т	Н	Ф	Ж	.	И	П	Щ	Ъ	Р	Ъ
Варианты подобранных дешифрованных сообщений
Ж	Д	И		С	У	М	Р	А	К	А
Д	Ж	О	Н	А		У	Б	И	Л	И
В	С	Е	Х		П	О	Б	И	Л	И
М	Ы		П	О	Б	Е	Д	И	Л	И

Оценим размер такой таблицы замен. Если исходный алфавит содержит N символов, то вектор замен для биграммного шифра должен содержать N 2 пар "откр. текст – зашифр. текст" . Таблицу замен для такого шифра можно также записать и в другом виде: заголовки столбцов соответствуют первой букве биграммы, а заголовки строк – второй, причем ячейки таблицы заполнены заменяющими символами. В такой таблице будет N строк и N столбцов ( таблица 2.4).

Таблица 2.4. Другой вариант задания таблицы замен для биграммного шифра

	а	б	...	я
а	кх	цу	...	...
б	пу	пш	...	...
в	жа	вь	...	...
...	...	...	...	...
ю	...	...	...	ек
я	ис	...	...	рт

Возможны варианты использования триграммного или вообще n-граммного шифра. Такие шифры обладают более высокой криптостойкостью, но они сложнее для реализации и требуют гораздо большего количества ключевой информации (большой объем таблицы замен). В целом, все n-граммные шифры могут быть вскрыты с помощью частотного криптоанализа, только используется статистика встречаемости не отдельных символов, а сочетаний из n символов.

Шифрами замены называются такие шифры, преобразования из которых приводят к замене каждого символа открытого текста на другие символы – шифрообозначения, причем порядок следования шифрообозначений совпадает с порядком следования соответствующих им символов открытого сообщения.

Простейшим из шифров замены является одноалфавитная подстановка , называемая также шифром простой замены . Ключом такого шифра является взаимно однозначное отображение (подстановка ) F алфавита открытого текста (X ) в алфавит шифртекста (Y ): F : X ↔Y . Зафиксируем нумерацию символов в алфавитах X и Y : X = {x 1 , x 2 , … x n }, Y = {y 1 , y 2 , … y n }. Тогда отображение F фактически задается перестановкой p порядка n = |X | = |Y |: при шифровании символ x i открытого текста заменяется на символ y p ( i ) шифртекста. Эта перестановка может быть задана либо таблицей, либо с помощью формулы. При задании с помощью формулы значение p(i ) представляется в виде выражения, зависящего от i .

Типичным примером шифра замены является шифр Цезаря . Этот шифр реализует следующее преобразование текста, записанного с помощью латинского алфавита: каждая буква открытого текста заменяется буквой, стоящей на три позиции позже нее в алфавите (при этом алфавит считается записанным по кругу, то есть после буквы "z" идет буква "a"). Например, открытый текст "secret" будет преобразован в "vhfuhw". Ключ для шифра Цезаря можно задать в виде следующей таблицы (см. рис. 2.3). В первой строке записаны буквы открытого текста, во второй – соответствующие им буквы шифртекста.

Шифр Цезаря можно описать и в виде формулы. Для этого пронумеруем буквы латинского алфавита числами от 0 до 25: a = 0, b = 1, …, z = 25. Тогда правило замены можно описать следующим образом: буква с номером i i +3 (mod 26), где операция "mod 26" означает вычисление остатка от деления на 26.

Разумеется, возможен обобщенный вариант шифра Цезаря, при котором буква с номером i заменяется на букву с номером i +k (mod 26). В этом случае ключом шифра является число k .

Еще больше обобщив этот метод, мы придем к семейству аффинных шифров . Для алфавита из n символов {a 1 , a 2 , …, a n } аффинным шифром называется процедура, заменяющая входной символ a i на символ a j , где j = k ⋅i +l (mod n ). Для того чтобы имелась возможность расшифрования числа n и k должны быть взаимно простыми, то есть НОД(n , k ) = 1.

Шифры простой замены в настоящее время не используются, поскольку их стойкость невелика. Методы взлома таких шифров основаны на анализе частотности отдельных символов и их комбинаций. Дело в том, что в любом языке различные буквы и комбинации из двух, трех или большего количества букв имеют характерные частоты повторений в текстах. Например, в текстах на русском языке чаще всего встречается буква "О", затем, в порядке убывания частоты, идут буквы "Е" (считая, что "Е" и "Ё" – одна и та же буква), "А", "И", "Т" и т.д. Для английского языка аналогичная последовательность самых частых букв: "E", "T", "A", "I", "N". Самым частым символом в текстах является, однако, не буква, а символ пробела.

Ясно, что при использовании шифра простой замены частота повторений зашифрованных символов в шифртексте совпадает с частотой повторений соответствующих исходных символов в открытом тексте. Это позволяет достаточно легко вскрыть такой шифр. Более тонкие характеристики (учет сочетаемости различных букв) позволяют даже автоматизировать процесс взлома.

Для того чтобы увеличить стойкость шифров замены, применяют многоалфавитную подстановку, называемую также шифром сложной замены . Процедура шифрования для многоалфавитной замены включает набор подстановок {p 1 , p 2 ,…, p m } и функцию-распределительY (k ,i ), задающую последовательность применения подстановок p i . При шифровании i -го символа открытого текста применяется подстановка с номером Y (k ,i ), где k - ключ шифрования.

Частным случаем многоалфавитной замены является шифр Виженера. Формально этот шифр можно описать следующим образом. В качестве ключа шифрования выберем набор из m целых чисел: k = (k 1 , k 2 , …, k m ). Процедуру преобразования открытого текста t = (t 1 , t 2 , …) в шифртекст c = (c 1 , c 2 , …) построим на основе обобщенного шифра Цезаря: c 1 = t 1 + k 1 (mod 26),
c 2 = t 2 + k 2 (mod 26), и т.д. Когда будут использованы все m компонент ключа k , для шифрования (m +1)-й буквы снова возьмем k 1 , и т.д. Фактически, в качестве ключа шифрования используется гамма шифра – бесконечная последовательность, образованная периодическим повторением исходного набора: k 1 ,k 2 ,…,k m , k 1 ,k 2 ,…,k m , k 1 ,k 2 ,…

Взломать шифр многоалфавитной замены немного сложнее, чем шифры простой замены, но тоже достаточно легко. Такой шифр на самом деле представляет собой одновременное применение m шифров простой замены (обобщенный шифр Цезаря), причем часть исходного текста, состоящая из букв t i , t m+i , t 2 m+i , … шифруются с использованием "ключа" k i (i =1, …,m ).

Если известен период гаммы (т.е. число m ), то к каждой такой части можно применить любой из методов взлома шифров простой замены. Если период гаммы не известен, то задача усложняется. Но и для этих случаев разработаны эффективные методы взлома. Эти методы позволяют с достаточной вероятностью определить период гаммы, после чего задача сводится к взлому шифра гаммирования с известным периодом.

Как было указано выше, основой для атак на шифры замены является анализ частот вхождений символов в шифртекст. Для того чтобы затруднить взлом шифра замены, можно попытаться скрыть частотные свойства исходного текста. Для этого надо, чтобы частоты появления разных символов в зашифрованном тексте совпадали. Такие шифры замены называются гомофоническими .

Простейшим вариантом гомофонического шифра является следующий. Предположим, что нам известны частоты вхождений символов в открытый текст. Пусть f i - частота появления i –го символа в открытом текста (i - номер буквы в алфавите). Каждой букве t i исходного алфавита (т.е. алфавита, с помощью которого записывается открытое сообщение) сопоставим подмножество F i , содержащее f i символов выходного алфавита (т.е. алфавита, с помощью которого записывается шифртекст), причем никакие два подмножества F i и F j не пересекаются. При шифровании будем заменять каждое вхождение символа t i на случайный символ из множества F i . Ясно, что средняя частота появления в шифртексте любого из символов выходного алфавита одинакова, что существенно затрудняет криптоанализ.

Шифры гаммирования

Формально гаммирование можно отнести к классу шифров сложной замены. Однако, благодаря удобству реализации и формального описания, шифры гаммирования широко используются, и обычно их выделяются в отдельный класс.

Суть метода гаммирования заключается в следующем. С помощью секретного ключа k генерируется последовательность символов

Эта последовательность называется гаммой шифра. При шифровании гамма накладывается на открытый текст , т.е. символы шифртекста получаются из соответствующих символов открытого текста и гаммы с помощью некоторой обратимой операции:

В качестве обратимой операции обычно используется либо сложение по модулю количества букв в алфавите n : либо, при представлении символов открытого текста в виде двоичного кода, операция поразрядного суммирования по модулю два (XOR): .

Расшифрование осуществляется применением к символам шифртекста и гаммы обратной операции: , или (операция XOR является обратной к самой себе).

Стойкость систем шифрования, основанных на гаммировании, зависит от характеристик гаммы – ее длины и равномерности распределения вероятностей появления знаков гаммы.

Наиболее стойким является гаммирование с бесконечной равновероятной случайной гаммой, т.е. процедура шифрования, удовлетворяющая следующим трем условиям, каждое из которых является необходимым:

1) все символы гаммы полностью случайны и появляются в гамме с равными вероятностями;

2) длина гаммы равна длине открытого текста или превышает ее;

3) каждый ключ (гамма) используется для шифрования только одного текста, а потом уничтожается.

Такой шифр не может быть взломан в принципе, то есть является абсолютно стойким. Однако абсолютно стойкие шифры очень не удобны в использовании, и поэтому почти не применяются на практике.

Обычно гамма либо получается периодическим повторением ключевой последовательности фиксированного размера, либо генерируется по некоторому правилу. Для генерации гаммы удобно использовать генераторы псевдослучайных чисел (ПСЧ). Наиболее известными генераторами ПСП являются линейный конгруэнтный генератор и генератор линейный рекуррентный последовательности.

Линейный конгруэнтный генератор задается рекуррентной формулой: g i = a ×g i – 1 + b (mod m ), где g i – i -й член последовательности псевдослучайных чисел; a , b , m и g 0 – ключевые параметры. Данная последовательность состоит из целых чисел от 0 до m – 1, и если элементы g i и g j совпадут, то последующие участки последовательности также совпадут: g i +1 = g j +1 , g i +2 = g j +2 , и т.д. Поэтому последовательность {g i } является периодической, и ее период не превышает m . Для того чтобы период последовательности псевдослучайных чисел, сгенерированной по указанной рекуррентной формуле, был максимальным (равным m), параметры данной формулы должны удовлетворять следующим условиям:

· b и m -взаимно простые числа;

· a – 1 делится на любой простой делитель числа m ;

· a – 1 кратно 4, если m кратно 4.

Линейная рекуррентная последовательность задается следующей формулой:

, i = 0,1…,

где Å – операция вычисления суммы по модулю 2, – состояние j -го бита последовательности, – коэффициент обратной связи, , коэффициенты .

Это соотношение определяет правило вычисления по известным значениям величин . Затем по известным значениям находят и т.д. В результате по начальным значениям можно построить бесконечную последовательность, причем каждый ее последующий член определяется из n предыдущих.

Последовательности такого вида легко реализуются программными или аппаратными средствами. Основу этой реализации составляет регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС).

РСЛОС представляет собой простое в реализации, недорогое устройство, способное формировать последовательности и обеспечить такие требования как:

· большой размер ансамбля последовательностей, формируемых на одной алгоритмической основе;

· оптимальность корреляционных функций в ансамбле;

· сбалансированность структуры;

· максимальность периода для данной длины регистра сдвига.

Обобщенная схема РСЛОС приведена на рис. 2.4.

Сдвиговый регистр представляет собой последовательность битов. Количество битов определяется длиной регистра. Если длина равна n битам, то регистр называется n -битовым регистром сдвига. Всякий раз, когда в выходную последовательность нужно извлечь бит, все биты регистра сдвига сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является функцией всех остальных битов регистра. Выдвинутый из регистра бит является очередным элементом последовательности. Периодом регистра сдвига называется длина получаемой последовательности до начала ее повторения.

Обратная связь представляет собой просто операцию XOR над битами регистра, для которых значения коэффициентов обратной связи равно 1. Перечень этих битов называется отводной последовательностью .

Любой n -битовый РСЛОС может находиться в одном из 2 n –1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2 n –1 битов. (Число внутренних состояний и максимальный период равны 2 n –1, потому что заполнение РСЛОС нулями, приведет к тому, что сдвиговый регистр будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно.) Только при определенных отводных последовательностях РСЛОС циклически пройдет через все 2 n –1 внутренних состояний, такие РСЛОС являются регистрами с максимальным периодом. Получившийся результат называется М – последовательностью .

Для того, чтобы конкретный n -битовый РСЛОС имел максимальный период 2 n –1, двоичный полином f (x ) = h n x n + h n – 1 x n – 1 + … + h 1 x + 1, образованный из отводной последовательности и константы 1, должен быть примитивным. Полином f (x ) степени n называется примитивным , если его нельзя представить в виде произведения двух полиномов с меньшими степенями (свойство неприводимости) и, если x является генератором всех ненулевых полиномов со степенями не выше n , умножение которых осуществляется по модулю f (x ).

В общем случае не существует эффективного способа генерировать примитивные полиномы данной степени. Проще всего выбирать полином случайным образом и проверять, не является ли он примитивным. Это чем-то похоже на проверку, не является ли простым случайно выбранное число. В настоящее время составлены таблицы примитивных полиномов, которыми можно воспользоваться при разработке конкретных РСЛОС.

В своей работе «Математическая теория секретной связи» Клод Шеннон обобщил накопленный до него опыт разработки шифров.

Оказалось, что даже в сложных шифрах в качестве типичных компонентов можно выделить шифры замены, шифры перестановки или их сочетания.

14.1.Шифр замены

Наиболее известными и часто используемыми шифрами являются шифры замены . Они характеризуются тем, что отдельные части сообщения (буквы, слова, ...) заменяются на какие-либо другие буквы, числа, символы и т.д. При этом замена осуществляется так, чтобы потом по шифрованному сообщению можно было однозначно восстановить передаваемое сообщение.

При шифровании заменой (подстановкой ) символы шифруемого текста заменяются символами того же или другого алфавита с заранее установленным правилом замены. В шифре простой замены каждый символ исходного текста заменяется символами того же алфавита одинаково на всем протяжении текста.

Шифр замены является простейшим, наиболее популярным шифром. Примерами являются: шифр Цезаря , « цифирная азбука» Петра Великого и « пляшущие человечки» А. Конан-Дойля .

Шифр замены осуществляет преобразование замены букв или других «частей» открытого текста на аналогичные «части» шифрованного текста .

Увеличив алфавиты, т.е. объявив «части» буквами, можно любой шифр замены свести к замене букв.

Дадим математическое описание шифра замены .

Пусть: X – алфавит открытого текста, а Y - алфавит шифрованног о текста, состоящие из одинакового числа символов .

Пусть также: g: X  Y – взаимнооднозначное отображение X в Y . Каждой буквех алфавита X сопоставляется однозначно определенная буква у алфавита Y , которую обозначаем символом g(х), причем разным буквам сопоставляются разные буквы .

Тогда шифр замены действует так: открытый текст x 1 x 2 ...x n преобразуется в шифрованный текст g (х 1 )g(x 2 )...g(x n ).

В криптографии рассматриваются 4 типа замены :

моноалфавитная;

гомофоническая;

полиалфавитная;

полиграммная.

Моноалфавитная замена

При данном методе каждому символу алфавита открытого текста ставится в соответствие один символ зашифрованного текста (из этого же алфавита).

Общая формула моноалфавитной замены выглядит следующим образом:

y i =(k 1 x i +k 2 )mod n,

Примером этого метода является шифр под названием Атбаш.

Правило шифрования состоит в замене i - ой буквы алфавита буквой с номером n= i + 1 , где n - число букв в алфавите. Пример для латинского алфавита выглядит так:

Исходный текст: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

Зашифрованный текст: ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Гомофоническая замена

Особенность данного метода заключается в том, что одному символу открытого текста ставит в соответствие несколько символов шифртекста , что позволяет уйти от статистической взаимосвязи.

Примером данного шифра является книжный шифр - вид шифра, в котором каждый элемент открытого текста (каждая буква или слово) заменяется на указатель (например, номер страницы, строки и столбца) аналогичного элемента в дополнительном тексте-ключе.

Полиграммная замена

В полиграммных шифрах подстановки буквы открытого текста заменяются не по одной, а группами . Первое преимущество такого способа заключается в том, что распределение частот групп букв значительно более равномерное, чем отдельных символов. Во-вторых, для продуктивного частотного анализа требуется больший размер зашифрованного текста, так как число различных групп букв значительно больше, чем просто алфавит.

Полиалфавитные подстановки

Для повышения стойкости шифра используют так называемые полиалфавитные подстановки, которые для замены используют несколько алфавитов шифротекста.

Известно несколько разновидностей полиалфавитной подстановки, наиболее известными из которых являются:

одноконтурная (обыкновенная и монофоническая)

и многоконтурная.

При полиалфавитной одноконтурной обыкновенной подстановке для замены символов исходного текста используются несколько алфавитов, причем смена алфавитов осуществляется последовательно и циклически, т.е. первый символ заменяется соответствующим символом первого алфавита, второй – символом второго алфавита и т. д. до тех пор, пока не будут использованы все выбранные алфавиты. После этого использование алфавитов повторяется.

Сам процесс шифрования осуществляется следующим образом:

Под каждой буквой шифруемого теста записываются буквы ключа. Ключ при этом повторяется необходимое число раз;

Каждая буква шифруемого текста заменяется по подматрице буквами, находящимися на пересечении линий, соединяющих буквы шифруемого текста в первой строке подматрицы и находящихся под ними букв ключа;

Полученный текст может разбиваться на группы по несколько знаков.

Частным случаем рассмотренной полиалфавитной замены является так называемая монофоническая замена .

Шифрование осуществляется так же, как и при простой замене с той лишь разницей, что после шифрования каждого знака соответствующий ему столбец алфавитов циклически сдвигается вверх на одну позицию.

Полиалфавитная многоконтурная замена заключается в том, что для шифрования используется несколько наборов (контуров) алфавитов используемых циклически, причем каждый контур в общем случае имеет свой индивидуальный период применения. Этот период, исчисляется, как правило, количеством знаков, после зашифровки которых меняется контур алфавитов. Частным случаем многоконтурной полиалфавитной подстановки является замена по таблице Вижинера, если для шифрования используется несколько ключей, каждый из которых имеет свой период применения.