Как уже было замечено, общая теория относительности была создана Эйнштейном в связи с попытками построить релятивистскую теорию тяготения. Закон всемирного тяготения Ньютона с его дальнодействием и мгновенной передачей силы несовместим с выводами специальной теории относительности. Требовалось изменить его формулировку таким образом, чтобы он, не переставая соответствовать всему имеющемуся физическому и астрономическому опыту, удовлетворил бы в то же время требованиям теории относительности.

Один из возможных путей к этому напрашивался сам собой. Закон тяготения Ньютона по своей форме весьма близок к основному закону электричества — закону Кулона. И там, и здесь сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния. Используя эту аналогию, можно было надеяться достичь успеха. Такие попытки действительно имели место со стороны некоторых физиков; они показали, что релятивистское обобщение закона Ньютона, во всяком случав, возможно. Однако сам Эйнштейн пошел другим путем.

Исходным пунктом теории Эйнштейна служит основное свойство сил тяготения, состоящее в том, что все тела (в пустоте) падают с одинаковым ускорением.


Этот закон установил уже Галилей, предприняв с этой целью опыты по сбрасыванию различных тел с вершины башни. Многие читатели видели, вероятно, эффектный опыт, когда в трубке, из которой откачан воздух, кусочек свинца и пушинка падают совершенно одинаково, не отставая друг от друга. Все мы так привыкли к этому простому закону, что готовы считать его чем-то само собой разумеющимся и не требующим особых объяснений.

Многие физики понимали, однако, что закон этот не так уж самоочевиден. Здесь соприкасаются два совершенно различных свойства материальных тел.

Падение тел управляется двумя физическими законами — вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения. Первый из них утверждает, что ускорение тела пропорционально действующей на него силе; коэффициентом пропорциональности служит масса, являющаяся в силу этого мерой инерции тела. Закон всемирного тяготения говорит, что сила, с которой тело притягивается Землей, пропорциональна его массе. Здесь масса выступает уже в совсем другой роли — в роли меры способности тела к взаимному притяжению с другими телами. Для большей ясности говорят поэтому о двух массах — массе инертной и массе тяжелой. Вес тела пропорционален его тяжелой массе. Отношение веса к ускорению пропорционально инертной массе. Из того факта, что тяготение сообщает всем телам одинаковые ускорения, вытекает тотчас же, что инертная масса любого тела пропорциональна его тяжелой массе.

В чем причина такого поразительного совпадения? Впрочем, быть может, закон этот лишь приближенный? Нельзя ли найти тела, в которых тяжелая и инертная массы распределены в различных пропорциях?

Опыты Галилея с современной точки зрения были довольно грубыми. Более точные эксперименты были предприняты Ньютоном. Он сравнивал между собой колебания маятников одинаковых размеров, но с грузами из различных веществ — золота, серебра, свинца, стекла, песка, соли, дерева, воды и даже пшеницы. Малейшее отклонение от пропорциональности между тяжелой и инертной массой тотчас обнаружилось бы по разнице в периодах колебаний этих маятников. Однако хотя точность измерений Ньютона была довольно высока — порядка 1/1000, никакой разницы ему обнаружить не удалось.

Весьма точные опыты в этом же направлении были поставлены в конце прошлого века венгерским физиком Этвешем, применившим для этой цели крутильные весы. Замысел опытов состоял в следующем. Как известно, все тела на земной поверхности находятся под действием двух сил — силы тяготения и центробежной силы, возникающей вследствие вращения Земли. Первая сила действует на тяжелую массу, вторая — на инертную. Сила тяготения направлена к центру Земли, тогда как центробежная сила перпендикулярна к ее оси вращения аа (рис. 36). На экваторе эти две силы направлены вдоль одной прямой, на полюсах центробежная сила равна нулю. Во всех остальных точках земной поверхности обе силы, складываясь по правилу параллелограмма, дают равнодействующую, направленную несколько в сторону от центра Земли. Нетрудно понять, что если в двух телах тяжелая и инертная массы распределены по-разному, то и эти равнодействующие будут иметь несколько различные направления. Если мы уравновесим два таких тела на коромысле, подвешенном на тонкой нити, то разница направлений сил заставит коромысло повернуться и закрутить нить. Точность этих опытов была такова, что позволяла обнаружить диспропорцию тяжелой и инертной масс, составляющую всего 1/5000000 их долю. Были перепробованы самые различные вещества, но никаких отклонений обнаружить не удалось.

Как мы знаем, природа массы может быть различной — это может быть масса покоя «элементарных» частиц или масса, соответствующая энергии их взаимодействия, или масса электромагнитного поля. Опыты с радиоактивными веществами, в которых соотношение между этими видами массы непрерывно меняется, показали, что и у них расхождений между тяжелой и инертной массами не обнаруживается.

Приходится, таким образом, заключить, что закон пропорциональности тяжелой и инертной массы является всеобщим физическим законом, справедливым для всех тел, независимо от их природы. Если измерять обе массы в одних единицах, то их численные значения для каждого тела будут совпадать. Поэтому можно говорить не о пропорциональности, а о равенстве обеих масс.

Опытный факт равенства тяжелой и инертной масс, возведенный в ранг универсального физического принципа, влечет за собой целый ряд интересных и важных следствий. Рассмотрим какую-либо физическую систему, заключенную для определенности в непроницаемый ящик. Поднимем этот ящик на достаточную высоту над земной поверхностью и позволим ему свободно падать. Так как сила тяжести сообщает всем телам одинаковые ускорения, то все тела внутри ящика будут двигаться под действием тяжести совершенно одинаково, так же как и сам ящик. Тем самым никаких взаимодействий, обусловленных силами земного тяготения, между этими телами возникнуть не может. Дело будет происходить так, как будто внутри ящика сила тяжести исчезла. Если мы перейдем к системе отсчета, в которой ящик неподвижен, то внутри него никакого тяготения не обнаружится. Именно это имеет место, например, внутри искусственных спутников Земли: во время их свободного полета ни расположенные там приборы, ни живые существа не ощущают силы земного притяжения. Если мы перенесем каким-либо образом нашу физическую систему в такое место пространства, где силы тяготения на самом деле отсутствуют, то все явления в ней будут происходить в точности так же, как и во время свободного падения.

С другой стороны, рассмотрим ту же самую физическую систему, но уже в неподвижном состоянии на поверхности Земли. Тогда сила тяжести внутри ящика будет проявляться полностью со всеми вытекающими отсюда последствиями. Физические условия внутри ящика будут совсем другими, и все процессы будут происходить по-иному. Теперь перенесем ящик снова куда-нибудь подальше от Земли и Солнца, чтобы сила тяжести на него не действовала, но сообщим ему ускоренно, в точности равное ускорению силы тяжести близ земной поверхности. Что произойдет? Внутри ящика появятся силы инерции, которые, подобно силам тяготения, будут сообщать всем телам одинаковые ускорения (в системе отсчета, где ящик неподвижен). Стало быть, физические условия внутри ящика будут в точности такими же, как и тогда, когда он стоял на Земле.

Получается, таким образом, что силы тяготения физически эквивалентны силам инерции. Как те, так и другие зависят от выбора системы отсчета; в частности, эта система может быть выбрана так, что силы тяготения полностью исчезают. Это обстоятельство, тесно связанное, как ясно из предыдущего, с равенством тяжелой и инертной массы, Эйнштейн назвал принципом экви валентности и положил его в основу общей теории относительности.

Здесь, правда, необходимо сделать существенную оговорку. Мы можем «уничтожить» силы тяготения внутри данной физической системы только в том случае, если эта система не очень велика. В самом деле, если рассмотренный нами ящик имеет размеры порядка десятков километров, то внутри него, когда он стоит на земной поверхности, проявятся неоднородности поля тяготения. Сила тяжести, как хорошо известно, убывает с высотой; кроме того, направления сил тяготения не параллельны, а сходятся в центре Земли. Такое поле тяготения уже нельзя уничтожить никаким выбором системы отсчета, так как, очевидно, при любом поступательном движении ящика силы инерции внутри него будут обязательно параллельны и всюду одинаковы по своей величине. Точно так же, при отсутствии «настоящего» тяготения никаким ускоренным движением ящика не удастся полностью имитировать реальное поле земного тяготения. Таким образом, принцип эквивалентности имеет местный, или, как говорят, ло кальный характер — он справедлив лишь для достаточно малых (точнее — лишь для бесконечно малых) областей пространства.

Принцип эквивалентности допускает наглядную геометрическую аналогию. Рассмотрим какую-нибудь кривую поверхность, например сферу. Во введении мы уже выяснили, что внутренняя геометрия такой поверхности не будет евклидовой. Однако если мы ограничимся достаточно малым участком поверхности, то отклонения от евклидовой геометрии также будут малы. Проведем в какой-либо точке поверхности касательную плоскость. Тогда малый участок поверхности мы без заметных искажений можем «перенести» на прилегающий участок плоскости; для этого можно, например, спроектировать его на эту плоскость из центра сферы (или какой-нибудь другой точки). Как известно, именно так и поступают в картографии; поэтому карты сравнительно небольших частей земной поверхности достаточно точны — они не содержат заметных отклонений от оригинала. Что же касается карт, изображающих целые континенты или даже всю земную поверхность, то искажения тут неизбежны. В частности, на таких картах невозможно выдержать всюду одинаковый масштаб.

Имеются основания назвать пространство — время специальной теории относительности плоским. Выбирая на основании принципа эквивалентности систему отсчета, в которой поле тяготения в данной точке обращается в нуль, мы тем самым как бы проводим в этой точке «касательную плоскость» к тому пространству—времени, которое имеется при наличии поля тяготения. Невозможность выбрать систему отсчета, в которой поле тяготения пропало бы сразу во всем пространстве, означает, что в поле тяготения пространство — время является «кривым». Следует иметь в виду, что выражение «кривизна пространства —времени» ничего другого не обозначает. Правда, аналогия с геометрией здесь довольно глубока, но аналогия всегда остается аналогией.

Принцип эквивалентности не является прямым логическим следствием закона равенства тяжелой и инертной масс. Из этого закона вытекает лишь, что все тела в поле тяготения движутся одинаково; принцип же эквивалентности распространяется на все физические процессы, в том числе и на такие, которые не сводятся к механическому движению. С другой стороны, этот принцип не связан исключительно с теорией относительности. Для его формулировки не нужно предполагать ни постоянства скорости света, ни каких-либо других фактов и выводов теории относительности. Принцип эквивалентности нужно рассматривать как весьма общий физический принцип, являющийся обобщением результатов опыта.

Нужно отметить, что принцип эквивалентности принимается безоговорочно не всеми физиками; в частности, имеют место попытки построить общую теорию относительности на основе лишь закона равенства тяжелой и инертной масс. Однако эти попытки нельзя признать удачными. Закон равенства инертной и тяжелой масс позволяет построить только кинематику теории тяготения и вывести законы механического движения. Что же касается более глубоких следствий общей теории относительности, закон равенства масс тут бессилен. Поэтому авторы этих попыток вынуждены так или иначе, явно или молчаливо, использовать и общий принцип эквивалентности.

Как же применяется принцип эквивалентности в теории тяготения? Построить теорию тяготения — это прежде всего значит указать, как в этом поле будет вести себя тот или иной физический объект. Например, нам хорошо известны законы электродинамики в условиях отсутствия поля тяготения — они даются уравнениями Максвелла. Мы умеем также формулировать их в любой неинерциальной системе отсчета; все, что нужно знать для этого, это выражение интервала собственного времени. Спрашивается, как написать уравнения Максвелла в поле тяготения?

Рассмотрим, например, электромагнитное поле вблизи земной поверхности, т. е. в поле тяготения. Выделим достаточно малый объем пространства, так, чтобы можно было применить принцип эквивалентности. Введем такую систему отсчета, в которой поле тяготения внутри выделенного объема исчезает. Для этого можно связать ее с каким-нибудь свободно падающим телом, пролетающим в данный момент через наш участок пространства. Так как поля тяготения теперь нет, то наша система отсчета не будет по своим свойствам отличаться от инерциальной, и для нее справедливы все выводы специальной теории относительности; в частности, мы сможем сформулировать там и уравнения Максвелла. Таким же точно образом для каждого малого объема пространства мы введем свою местную инерциальную систему отсчета, в которой и сформулируем искомый физический закон. Но нам нужно иметь формулировку уравнений Максвелла не в этом множестве местных систем отсчета, а в какой-либо общей системе, охватывающей сразу все пространство вокруг земного шара или, во всяком случае, достаточно большую область этого пространства. Для этого мы должны в каждом малом объеме перейти от местной инерциальной системы отсчета к этой единой общей системе; это будет равносильно переходу к некоторой неинерциальной системе отсчета, а такую операцию мы делать умеем. Таким образом, мы и получим формулировку законов электромагнитного поля при наличии тяготения. Заметим, что одновременно мы получаем и формулу для собственного времени в этой общей системе отсчета.

Эту программу и осуществил Эйнштейн в ряде работ по общей теории относительности. При этом он получил ряд важных и интересных результатов. Некоторые из них мы сейчас рассмотрим.

Мы знаем, что все физические законы, в том числе и законы электродинамики, допускают общековариантную формулировку, пригодную для любой, инерциальной или неинерциальной, системы отсчета. Свойства системы отсчета полностью описываются формулой собственного времени; поэтому, например, в общие уравнения Максвелла входят и коэффициенты формулы собственного времени. И вот оказывается, из принципа эквивалентности вытекает, что эти общие уравнения остаются справедливыми и в любом поле тяготения — для этого нужно лишь подставить в них коэффициенты формулы собственного времени, соответствующей данному полю тяготения. Поэтому, собственно говоря, надобность в новых формулировках физических законов отпадает: если мы уже сумели написать их в общековариантном виде, то они автоматически распространяются на любые поля тяготения. Именно здесь и сказывается вся сила принципа эквивалентности.

И именно здесь некоторые физики допускают логическую ошибку. Стремясь обойтись без принципа эквивалентности, они попросту переписывают общековариантную форму того или иного физического закона, выведенного в рамках специальной теории относительности, и без дальнейших околичностей считают ее действительной также и в поле тяготения. Однако этот «фокус» требует обоснования. А оно без принципа Эквивалентности невозможно.

Необходимо еще сказать несколько слов по поводу названия общая теория относительности. Оно неоднократно критиковалось; и действительно, его следует признать крайне неудачным. Трудно даже понять, что, собственно, хотел выразить Эйнштейн этим названием. Еще для специальной теории относительности название в какой-то степени оправдано, так как в ее основе действительно лежит принцип относительности Галилея.

Но никакого принципа относительности более общего, нем принцип относительности Галилея, физика не знает. Физические явления в ускоренно движущихся системах происходят иначе, чем в системах, движущихся равномерно и прямолинейно. Можно, правда, сформулировать физические законы в общековариантном виде, но это ни в коей мере не уничтожает качественной разницы между ускоренным и равномерным движением.

По-видимому, именно возможность ковариантной формулировки физических законов и имел в виду Эйнштейн. Однако этот принцип не имеет физического содержания. Со времен Лагранжа математическая физика научилась формулировать любые физические соотношения в любых системах отсчета и в любых координатах; это — чисто математическая задача. Безусловно, математические идеи и методы играют в теории относительности огромную роль; без овладения ими понять до конца теорию относительности невозможно. Но все же это — теория физическая и странно присваивать ей «математическое» название.

С другой стороны, называть общую теорию относительности теорией тяготения, как это некоторые предлагают, также представляется неправильным. Верно, что она возникла на основе разработки релятивистской теории тяготения, точно так же, как специальная теория относительности возникла из электродинамики. Но как та, так и другая давпо переросли эти первоначальные рамки. Никто не предлагает называть специальную теорию относительности электродинамикой. Точно так же неправомерно сводить общую теорию относительности только к теории тяготения.

равна: sina . Обычно для обозначения скалярного произведения векторов используют либо круглые скобки, либо точку между векторами, а для векторного - либо квадратные скобки, либо крестик.

Момент импульса тела по величине равен произведению импульса тела на расстояние до оси вращения, его может иметь тело даже при движении по прямой. Он определяется выражением:

L = [ rm v].

Понятие момента силы используется для сил, способных вызвать вращение тел. Если силаF приложена к точкеÀ , расположенной на расстоянииr от оси вращения, а вектор силы перпендикулярен линииÀ , создается момент силыr ×F . Когда же направление приложенной силы проходит через центр вращения, она не создает момента силы. Пример: приложенная к ручке двери сила приводит дверь во вращение относительно линии косяка или дверных петель, но вращения не будет в случае приложения силы вдоль линии петель. Вращение вызывает только перпендикулярная составляющая силы, и момент силы есть векторное произведение:Ò = =rF sin ϕ, здесь ϕ - угол между векторамиr èF .

При отсутствии действия внешних сил (система изолирована) действует закон сохранения импульса для поступательного движения и момента импульса для вращения.

Момент силы и момент импульса связаны по второму закону Ньютона: T =d L /dt .

Значение построения механики Ньютона становится ощутимо при сопоставлении «Начал» с «Вопросами» в его «Оптике», где он говорит о силах инерции, создающих сопротивление движению. В законах движения Ньютона нет идеи сохранения количества движения (как в механике Декарта), по его словам, «причины таких принципов движения» он «оставляет для дальнейшего исследования». Поскольку в природе существует строгий порядок, мир не мог возникнуть из хаоса, но создан «по замыслу разумного существа». «Но, будучи раз созданным, мир может существовать по этим законам многие века».

Использование законов Ньютона для решения инженерных задач было весьма громоздко, а в решении таких задач уже нуждалась развивающаяся техника. Поэтому в следующем столетии ньютонова динамика интенсивно углублялась, разрабатывалась и совершенствовалась. Судьба закона всемирного тяготения сложилась иначе.

4.2. МАССА ИНЕРТНАЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Галилей на опытах с использованием наклонной плоскости открыл явление падения всех тел на Земле с одинаковым ускорением. Масса m связана с весом тела, но вес зависит от массы того тела, к которому притягивается массаm . Поэтому вес не может служить коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, и вводят понятие инертной массыÌ , которая характеризует «нежелание» тела сдвинуться с места. Масса не зависит от направления движения (это многократно проверялось экспериментально) и с точностью до 10–9 является скалярной (лат.scalaris «ступенчатый») величиной. (В отличие от векторной величины, каждое значение скалярной вели- чины можно выразить одним, действительным, числом, а совокупность значений изобразить на линейной шкале - таковы длина, площадь, время и т.д.)

Широко известна легенда об открытии Ньютоном закона всемирного тяготения. Но не есть ли движение Луны - явление аналогичное падению хотя бы яблока? Ньютон записал уравнение движения под действием силы тяжести и проверил решение в виде эллиптичных траекторий для большого класса начальных условий и не очень больших скоростей. Говоря математическим языком, он доказал не теорему единственности такого решения (это впоследствии сделал И.Бернулли), а подтвердил предложенную Гуком гипотезу обратно пропорциональной зависимости силы тяготения от квадрата расстояний. На камень внутри Земли внешние слои не действуют или поле внутри однородной сферы равно нулю, поэтому однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре.

Ньютон связал понятия массы и веса тела. Размышляя о движении Луны, он предположил, что Луна падает на Землю так же, как камень или яблоко, но с ускорением во столько

раз меньшим, во сколько квадрат земного радиуса меньше квадрата расстояния между центрами Земли и Луны. «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения отклоняется от прямолинейного движения и удерживается на орбите». Гипотеза зависимости притяжения между точечными массами от квадрата расстояний возникла из геометрической аналогии.

Так как расстояние r от Земли до Луны составляет 60 земных радиусовR , àT = 27,3 сут. = 2,36 10 с, Ньютон оценил отношение ускорений Луны и камня как 1/3600. В самом деле, ускорение свободного падения тела у поверхностиg = 9,8 ì/c2 , а центростремительное ускорение Луны:

W c=	(2 π r/ T) 2		(2π 60R / 2,3610	6 ) 2				0,0027m /c

ò.å. g примерно в 602 раз больше ускорения ЛуныW . Следовательно, сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко (или камень), находящееся на орбите Луны, уменьшится в 3600 раз, что и соответствует отношению квадратов расстояний. Значит, сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, и гипотеза Ньютона верна.

При таких расчетах Ньютон считал, что небесные тела взаимодействуют так, как будто вся их масса сосредоточена в центре . Доказать это строго он сумел только через 20 лет, но для этого ему пришлось создатьинтегральное исчисление . Если же интересоваться силой, которая действует внутри Земли или другого тела с распределенной массой, то зависимость от расстояния будет иной.

Чтобы проверить выводы Галилея, Ньютон провел серию опытов с маятниками и убедился, что свинцовый и деревянный шары падают с одинаковыми ускорениями. Значит, Земля в этом случае одинаково действует на оба шара. Но если действие измерять не ускорением, а силой, с которой приходится удерживать шары в равновесии на весах, то ее влияние на свинцовый шар будет больше, чем

на деревянный. Такое влияние Земли на каждый шар (или каждое тело) можно выражать тяжестью, измеренной на весах путем сравнения с тяжестью тела, принятой за единицу. Развивая мысль Галилея, Ньютон вводит понятие силы F =M W как меру действия одного тела на другое, отождествляя вес с силой действия, оказываемого на него Землей.

Далее Ньютон указывает, что, если бы вокруг Земли вращалось несколько лун, то все они двигались бы под действием аналогичной силы, и их движение определялось бы законами Кеплера. (Его предсказание подтвердилось через два с половиной столетия, когда были запущены искусственные спутники Земли.) Впоследствии Ньютон перешел к изучению других планет и планетных систем (это определение он вводит после открытия спутников у Юпитера и Сатурна), считая, что силы тяготения должны иметь одну природу - и у поверхности Земли, и в космосе.

По Копернику, пространство однородно и изотропно, в нем нет выделенных направлений и точек. В пространстве работает евклидова геометрия, и физическим действием обладают только те точки, в которых сосредоточена материя. Поэтому на Земле тела падают в направлении не геометрического центра мира (у него - это центр Солнца), а материального центра Земли. Это утверждение справедливо и для других небесных тел - в этом коперниканский принцип универсальной гравитации как функции массы тел.

Признание идей материального единства мира-

результат коперниканской революции. Если нет различия между земным и небесным, и законы едины для всей Вселенной, то их можно изучать и на Земле. Квадрат расстояния в знаменателе отражает евклидову метрику пространства. То есть, в трехмерном пространстве поверхность сферы пропорциональна квадрату радиуса.

Инертная масса определена динамически: прикладывается известная сила, измеряется ускорение, и из формулы F =MW выводится массаM . В законе тяготения масса определяется статически: измеряют силу взаимодействия между двумя телами, расположенными на определенном расстоянии.

Галилей пришел к выводу о пропорциональности гравитационной m и инертнойM масс, сбрасывая тела с высоты. В то время он не мог бы обнаружить это, поэтому он использовал наклонную плоскость, как бы замедлил вертикальную составляющую. Нетрудно заметить, что металли- ческий шарик скатывается с нее с возрастающей скоростью.

Пусть бросили вниз одновременно два тела, отлича- ющиеся весом, - m 1 g èm 2 g . По второму закону Ньютона, их ускорения соответственно определяются из соотношений:F 1 =M 1 W 1 èF 2 =M 2 W 2 . Сила, действующая на каждое тело, равна его весу:m 1 g =M 1 W 1 èm 2 g =M 2 W 2 . Ускорение каждого тела при падении равно:W 1 = (m 1 /M 1 )g èW 2 = (m 2 /M 2 )g . Эксперимент Галилея показал, что все тела при отсутствии сопротивления падают с одинаковым ускорением, т.е. отношение ускорений равно единице, или

(W 1 /W 2 ) = (m 1 /M 1 ) (M 2 /m 2 ) = 1. Это возможно только при пропорциональности инертной и гравитационной масс.

Последние эксперименты подтверждают равенство m =M с точностью до 10–11 . Опыты венгерского физика барона Лоранда фон Этвеша (1848–1919) показали универсальный характер пропорциональности гравитационной и инертной масс, т.е. при соответствующем выборе единиц измерения коэффициент пропорциональности можно сделать равным единице. Универсальность означает пропорциональность масс для всех веществ, поэтому они измеряются в граммах.

Теория Ньютона не объясняет причину этой пропорциональности, она следует из опытов Галилея: все тела падают с одинаковым ускорением в поле тяжести Земли. Эйнштейн истолковал этот эффект как истинную природу тяготения и положил его в основу общей теории относительности, возведя равенство инертной и гравитационной масс в

принцип эквивалентности.

Масса отражает то, что сохраняется при превращении тел из одного агрегатного состояния в другое. В современной физике этот закон уточняется и показано, что масса эквивалентна другому физическому свойству энергии. Поэтому соответствующий закон сохранения относится к массе–энергии.

4.3. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА. ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА И ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Вокруг Солнца вращается девять крупных планет:
Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран,	установил, что орбита Марса - не окружность, а эллипс ,â
Нептун, Плутон. Последние три планеты не видны невоору-	одном из фокусов которого находится Солнце. Такая же
женным глазом, и они были открыты недавно - в 1783,	закономерность оказалась и для движения других планет,
1846 и 1930 гг. соответственно. Недавно было сообщение	только вытянутость эллипса отличалась. Наиболее вытя-
об открытии десятой планеты, еще не получившей имени,	нутую орбиту имеет Меркурий (его эксцентриситет 0,21)
которая находится между Нептуном и Плутоном. Все	и Плутон (å = 0,25). Ýòî -первый закон Кеплера .
планеты шарообразны, они светят отраженным светом	Второй закон : каждая планета движется по своей
Солнца. Земля расположена от Солнца на расстоянии	орбите так, что ее радиус-вектор описывает за равные
149,6 млн км, принимаемом за 1 а.е., а самая далекая из этих	промежутки времени равные площади. Это значит, что чем
планет, Плутон, - на расстоянии в 30 а.е. Таковы размеры	ближе планета к Солнцу, тем больше скорость движения
солнечной системы. Солнце - одна из огромного числа	по орбите.
звезд, которые украшают небосвод. Свет от Солнца доходит	Так, Марс вблизи перигелия движется со скоростью
äî íàñ çà 8,3 ñ.	26,5 км/с, а вблизи афелия - 22 км/с. У комет орбиты более
И.Кеплер - великий немецкий астроном и математик,	вытянуты, чем у планет, поэтому их скорости меняются от
открыл три закона движения планет. Первые два были	500 до 1 км/с. У Земли эксцентриситет очень мал (0,017),
получены на основе исследования движения Марса по	поэтому орбита Земли - почти окружность, по которой

mV 2

		наша планета движется со скоростью 29 км/с. Но в январе				и радиусом вращения r планеты или спутника: –GmM / r 2 =
		она на 2,5 млн км ближе к Солнцу и движется несколько				= –4π2 mr / Ò 2 . Разделив обе части на –m , получим:GM /r 2 =
		быстрее, чем в июле, когда расстояние на 2,5 млн км дальше,				4π2 r /Ò 2 . Перенесем зависимость отr в левую часть:
		чем 149,6 млн км. В книге «Новая астрономия» (1607 г.) он				GM /r 3 = 4π2 /Ò 2 и избавимся от дробей: 4π2 r 3 =GMT 2 .
		излагает первые два закона: «планеты движутся по эллип-				Отсюда: r 3 = (GM / 4π2 )Ò 2 .
		сам, в одном из фокусов которого находится Солнце» и				Таким образом, мы пришли к третьему закону Кеплера
		«каждая планета движется в плоскости, проходящей через				для движения планет: r 3 ~Ò 2 - кубы радиусов (или больших
		центр Солнца, причем линия, соединяющая Солнце с пла-				полуосей) орбит относятся как квадраты периодов.
		нетой, за равные промежутки времени проходит равные				Получив в свое распоряжение завещанные ему Т.Браге
		площади» (рис.4).				уникальные материалы наблюдений, Кеплер приступил к
		Третий закон движения планет Кеплер установил				их обработке и в 1627 г. издал результаты 22-летнего
		через 10 лет. Он гласит: отношение кубов больших полуосей				титанического труда - так называемые «рудольфовы»
		орбит двух планет Солнечной системы равно отношению				таблицы (в честь императора Рудольфа II), служившие
		квадратов периодов их обращения вокруг Солнца. Большая				человечеству почти 200 лет. В процессе работы над табли-
		полуось - это половина максимального расстояния между				цами Кеплер обнаружил некоторые закономерности в
		двумя точками эллипса. Этот закон позволил оценить				движении планет (сначала для Марса), приведшие его к
		размеры солнечной системы. Для круговых орбит это				открытию законов, получивших его имя. Второй закон
		означало, что R 3	/ R 3		/ T 2 .	Кеплера следует непосредственно из закона сохранения
		Ньютон использовал эти законы, выведенные из наблю-				момента импульса. Момент импульса планеты дается
		дений и вычислений, при формулировке закона всемирного				выражением L =r mV n , ò.å.L / 2m = (1/2)r V n , но последняя
		тяготения. Он сумел показать, что только в случае, если				величина равна площади, покрываемой за 1 с. Следова-
		силы, действующие между тяготеющими телами, пропор-				тельно, она равна скорости, с которой покрывает площадь
		циональны закону обратных квадратов, то все три закона				прямая, соединяющая Солнце и планету, или dA /dt ,L / 2v =
		Кеплера выполняются.				DA /dt . Но по закону сохранения момента импульса левая
		Третий закон (1618 г.) - «квадраты периодов обраще-				часть этого равенства является постоянной, т.е. dA /dt =
		ния планет вокруг Солнца относятся как кубы больших
		полуосей их орбит» - соответствовал представлениям				Итак, закон тяготения связан с законами Кеплера,
		Кеплера о гармонии и физической причинности, выражая				полученными из наблюдений за движением планет. Закон
		связь между мгновенными значениями меняющихся вели-				тяготения и законы Кеплера пригодны для движений под
		чин. Так в XVII столетии фактически был сделан первый				действием тяготения в задаче двух тел, где одно является
	m(2 π r	шаг к математическому анализу. Кеплер понимал, что				центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу
		/ T ) 2
		открытые им численные закономерности могут стать				или окружности.
		основой новой небесной механики, но не знал действи-				Гравитация служит источником центростремительной
		тельной причины именно такого движения планет: считая				силы для планет, поэтому условием для отрыва ракеты от
		очевидным, что сила, действующая на планеты, должна				Земли может служить равенство кинетической и потенци-
		меняться по закону обратных квадратов, он исходил из				альной энергий гравитации.
		внешней аналогии со светом, интенсивность которого				Условием движения спутника по круговой орбите
		меняется как 1/r 2 . Законы Кеплера подходят и для окруж-				является равенство силы тяготения и центростреми-
		ностей, поскольку орбиты очень мало вытянуты (рис.25).				тельной силы . Это правило входит в законы планетных
		Вращение - одно из основных видов движения в поле				движений: квадраты периодов относятся как кубы больших
		тяготения, и ему также соответствует определенная энер-				полуосей (радиусов). Если речь идет о притяжении тела
		гия. При равномерном движении по окружности скорость				Землей, то g =Gm		/ r 2	è F =Gm m /R 2 , ãäåG - универ-
		равна длине окружности 2πr , деленной на периодÒ , ò.å. íà
						сальная гравитационная постоянная.
		время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии				В 1798 г. английский физик и химик Генри Кавендиш
						(1731–1810) измерилG с помощью точных крутильных
		Å ê. âð=				весов (притяжение двух тел измерялось по углу закру-
						чивания нити, который регистрировался с помощью отра-
		По Ньютону, источник центростремительной силы для				женного светового			луча) и получил значение

можно получить важные соотношения между периодом Ò

4.4. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Многие не приняли теорию Ньютона как теорию дейст-	низм закона очаровал П.Мопертюи, он говорил всем, что
вия на расстоянии . Гюйгенс стал развивать теорию близко-	Ньютон просто описал факт притяжения, а не объяснял его.
действия, используя гидродинамическую модель вращаю-	Сторонником и пропагандистом теории тяготения Ньютона
щейся жидкости, наподобие вихрей Декарта. Лейбниц	стал Вольтер. В 1738 г. он издал популярную книгу «Эле-
также придерживался вихревой модели, которая была	менты учения Ньютона», сыгравшую большую роль в изме-
наглядна в объяснении воздействия тел. Но простой меха-	нении общественного и научного мировоззрения во Фран-

ции. Была предпринята попытка проверки закона тяготения	поскольку за десятки тысяч лет широта местности может
на Земле, и критерием стала форма Земли. По вихревой	измениться на 35°. Но кроме этого фактора есть еще
модели наша планета должна была быть вытянута у полю-	ускорение Луны, вызванное приливами. Этот эффект
сов, а по теории Ньютона - сплюснута.	кажущийся, ïî-òîìó что причина - замедление вращения
Были организованы специальные экспедиции в Перу и	Земли èç-çà приливного трения . Если дать оценку влияния
Лапландию (1735, 1736–1737 гг.) для уточнения фигуры	за миллиард лет, то сутки удвоятся, а Луна удалится от
Земли. Мопертюи руководил экспедицией на север, которая	Земли до 600 тыс. км.
показала сплюснутость нашей планеты у полюса, а сам	Другим явлением, которое вроде бы позволяло усом-
Мопертюи получил известность как «великий сплющива-	ниться в пригодности закона тяготения Ньютона, было
тель», поскольку было установлено, что Земля сплюснута,	замеченное ранее некоторое ускорение Юпитера и замед-
и экваториальный радиус больше полярного на 21 км. В этой	ление Сатурна (Кеплер, 1625 г. и Галлей, 1695 г.). Такой
экспедиции принимал участие А.Клеро. После возвращения	процесс должен был бы за долгие миллионы лет разрушить
	солнечную систему, но этого не произошло. Анализ планет-
«Теория фигуры Земли», построенную на основе гидро-	ных возмущений привел Лагранжа (1776 г.) и Лапласа
статической модели эллипсоида вращения. Клеро пред-	(1784 г.) к так называемой теореме устойчивости солнеч-
положил, что Земля ранее была жидкой, ее частицы взаимо-	ной системы: взаимные возмущения планет, движущихся
действовали друг с другом по закону всемирного тяготения,	по почти круговым орбитам примерно в одной плоскости и
и вся масса медленно вращалась вокруг неподвижной оси.	в одну сторону, приводят лишь к почти периодическим
Эта работа имела огромное значение для геодезии и теории	колебаниям эксцентриситетов и наклонений вблизи нуля,
Земли. Тем самым теория тяготения Ньютона получила	тогда как расстояния до Солнца колеблются вблизи своих
подтверждение на Земле. Это нанесло удар по взглядам	начальных значений. Или - большие оси эллипсов не
ученых, которые считали, что все процессы физического	испытывают вековых возмущений. И эта теорема была
мира можно представить наглядно.	доказана Лапласом совершенно строго для первых членов
Солнечную систему, согласно закону Ньютона, можно	ряда возмущений. Взаимные возмущения Юпитера и Са-
представить в виде гигантского механизма, в котором	турна существуют, и их величина колеблется с периодом в
движением всех его элементов управляет сила притяжения.	900 лет. За 450 лет накопления возмущений эта величина
Однако, изучая движение конкретной планеты, например,	составляет меньше одного градуса.
Марса, нельзя не учитывать воздействие на координаты его	Самым убедительным подтверждением ньютонова
орбиты других планет и их спутников, хотя оно и мало по	закона тяготения явилось открытие «на кончике пера» еще
сравнению с притяжением Солнца и сводится к так назы-	одной планеты, названной Нептуном. В марте 1781 г.
ваемым возмущениям , или пертурбациям (лат.perturbatio	У.Гершель открыл новую планету Уран. Для нее были
«расстройство, смятение»). Английский астроном и гео-	вычислены элементы орбиты и составлены таблицы дви-
физик Э.Галлей, изучая материалы астрономических наблю-	жения по закону Ньютона. Но через некоторое время
дений, обратил внимание на сходство орбит комет 1456,	заметили, что Уран в своем движении отклоняется от
1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около	рассчитанного: за 3 года отклонение составило 2′, при
76 лет). Он пришел к выводу, что во всех этих случаях была	точности измерений в доли секунды. Молодой французский
одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г.	астроном-теоретик У.Леверье предположил, что это откло-
Однако èç-çà возмущающего действия Юпитера и Сатурна,	нение вызвано влиянием неизвестной планеты, находя-
комета Галлея несколько запоздала и появилась только в
следующем, 1759 году почти в точном соответствии с
расчетами Клеро - он ошибся только на 19 дней! Ïðåä-	берлинскому астроному Галле, который имел звездные
сказание возвращения кометы стало первой убедительной
победой теории Ньютона.	ружил в указанном месте слабую звездочку 8-é величины,
Клеро проверял теорию Ньютона и по движениям Луны .	которой на картах не было. На следующий день звездочка
Он составил точные лунные таблицы и по своим разработ-	переместилась относительно ближайших звезд, а в более
кам написал книгу «Теория движения Луны», изданную в	сильный телескоп удалось разглядеть маленький диск.
Петербурге в 1751 г. За теорию движения Луны и предска-	Несомненно, это была новая планета солнечной системы,
зание появления кометы Галлея Клеро получил премию	предвычисленная по закону всемирного тяготения. При
Петербургской Академии наук. Близость Луны к Земле	этом ее положение на небе отличалось от предсказанного
позволяла провести измерения достаточно точно. Еще в	расчетом Леверье всего на 52′′. В это же время молодой
1693 г. Галлей заметил, что современные ему данные по	английский студент, впоследствии известный астроном,
орбите Луны расходятся с древними наблюдениями так,	Дж.Адамс независимо от Леверье проделал нужные рас-
будто орбита уменьшается за столетие на 10′′. Объяснения	четы, поэтому у математического предсказания два автора,
этому явлению давали Эйлер и Лаплас (1787 г.), но они	но официально признан первый. Позже было обнаружено,
верны только отчасти. Эйлер связывал ускорение с тормо-	что в зарисовках Галилеем видимого в его телескоп участка
жением в окружающей среде, а не с тяготением. По Лапласу,	неба есть слабенькая звездочка, которую он не догадался
оно определяется малыми изменениями вытянутости	принять за планету.
земной орбиты èç-çà планетных возмущений. Такие коле-	Открытие новой планеты «на кончике пера» явилось
бания существуют, они вызывают наступления ледников,	величайшим триумфом науки и, конечно, закона всемир-

ного тяготения. Границы солнечной системы расширились почти вдвое.

Планета солнечной системы, Плутон, была открыта 21 января 1930 г. Еще в 1915 г. П.Ловелл решил задачу об орбите новой планеты за Нептуном, которую назвал «планетой Х». Поиски ее были вызваны необъясняемыми неправильностями в движении Урана, а не Нептуна, как можно было подумать. Со времени первых наблюдений Нептуна не прошло еще и его «года» (на один оборот вокруг Солнца Нептун затрачивает 165 лет, ведь он удален от Солнца на 4,5 млрд км, или на 30 а.е.). Как уже указывалось, для Нептуна правило Боде-Тициуса не выполнялось, планета должна быть несколько дальше, и потому время ее обращения вокруг Солнца должно бы приближаться к 300 земных лет. Поэтому выделить смещение столь неяркой звездочки среди звезд было неимоверно трудно. Ловелл выделил все ошибки и неточности в расчетах движения Урана, но открыть новую планету не успел. Удача открытия Плутона выпала на долю молодого К.Томбо. Ему было 23 года, когда он почти случайно обнаружил звездочку слабее 17-é величины на снимке среди тысяч других, так как расчеты Ловелла оказались неточными. Орбита новой планеты оказалась вытянутой столь сильно, что она заходит даже внутрь орбиты Нептуна, как и с 1979 по 1999 гг.

Смещение перигелия Меркурия, обнаруженное около ста лет назад, не удавалось объяснить. По Ньютону, если сила тяготения точно соответствует закону обратных квадратов, то эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, т.е. и ближайшая к Солнцу точка орбиты - перигелий- не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Не учитываемый ньютоновской теорией эффект составлял 43′′ в столетие, перигелий прецессировал, и орбита напоминала поворачивающийся эллипс. Само измерение столь малой величины с такой точностью представляет собой большое достижение (погрешность менее 1%). Подозревали, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Возмущения от планет поддаются расчетам, но все иные отклонения требовали бы в законе иную степень. Появилось мнение, что закон всемирного тяготения неточен. Поправил закон Ньютона в 1915 г. А.Эйнштейн: смещение перигелия планеты Меркурий удалось объяснить только в рамках общей теории относительности (ОТО). Эти поправки для закона Ньютона могут играть роль только вблизи больших тяготеющих масс (например, черных дыр).

По ОТО, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную 3(v /c )2 . Для Меркурия угол поворота перигелия за сто лет составляет 42,91′′. Эта величина соответствует обработке наблюдений Меркурия с 1765 по 1937 гг. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей и вблизи больших масс нужны иные законы (рис.5).

У.Гершель, открывший планету Уран и два ее спутника и измеривший звездный параллакс, хотел доказать, что острова во Вселенной существуют в самом деле, каждый из них состоит из миллионов звезд, которые удерживаются

вместе в динамической системе за счет взаимного притяжения. Подобно Гюйгенсу и Ньютону, он считал, что все звезды имеют одинаковую светимость. В таком случае яркая звезда в паре со слабой должна находиться к нам ближе, чем слабая, и тогда ее смещение за год будет больше. За 1782–1784 гг. Гершель измерил угловые расстояния примерно 700 звезд, но смещения были не те, что он ожидал. И только в 1803 г. он понял, что открылорбитальные движения звезд , которые образуют физические пары и компоненты которых движутся вокруг общего центра масс в соответствии с законом Ньютона. Значит, этот закон всемирный. На основе ньютонова закона тяготения У.Гершель, Кант и Ламберт стали объяснять видимые явления во Вселенной. У.Гершель открылдвойные звезды , составив к 1784 г. каталог из семисот двойных и кратных звезд. Он впервые применил закон всемирного тяготения вне пределов солнечной системы и установилналичие орбитального движения (вокруг общего центра тяжести) для двойных звезд. Впоследствии эти звезды были названы

визуально-двойными.

Кроме того, Гершель пришел к выводу, что звезды в некоторых парах имеют разную светимость, а таких пар, где яркость одной превышала яркость другой в сотни раз, оказалось множество, что не могло быть объяснено разной удаленностью звезд в каждой паре. По Гершелю, все наблюдаемые в телескоп звезды образуют вместе с Млечным Путем тот остров, к которому принадлежит и наше Солнце, а далекие «мировые острова» представляются нам туманностями, как считал еще Кант. Гершель считал, что планетарные туманности - это звездные системы в последней стадии гравитационного коллапса, и потому «звезды, их образующие в результате некоторых нарушений или утраты энергии, уже не могут больше поддерживать своего первоначального положения… и, наконец, собираются вместе и вследствие соударений объединяются в новое тело». Это объясняло природу «новой» звезды, которую видел Тихо Браге в 1572 г. Гершель столкнулся в 1790 г. с новым явлением - «звездой примерно 8-é величины со слабосветящейся атмосферой!» Это былапланетарная туманность NGC 1514. И он нашел объяснение - это звезда, конденсирующаяся из облака светящегося вещества под действием гравитации. Так У.Гершель все более подчеркивал единство Вселенной и роль в этом закона всемирного тяготения.

Таким образом, к триумфам закона всемирного тяготения можно отнести в Солнечной системе: предсказание возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем планеты Плутон, сплюснутость Земли у полюсов, траектории астероидов, полеты космических аппаратов и т.п.

Вне Солнечной системы - движение звезд в системе двойных звезд и звездных систем. Но и вне Солнечной системы использование закона тяготения привело к появлению ряда парадоксов (фотометрическому, космологи- ческому и др.), которые были разрешены только в ОТО.

В закон Ньютона входит универсальная гравитационная постоянная G , определенная в опытах Кавендиша. Знание ее позволило «взвесить» нашу планету.Средняя плот-

Эквивалентность гравитационных сил силам инерции

Важнейшей особенностью полей тяготения является то, что тяготение совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения, независимо от свойств тел. Это было известно еще в ньютоновской теории и положено в основу новой, эйнштейновской теории тяготения. Под действием гравитационной силы:

все тела на поверхности Земли падают с одинаковым ускорением - ускорением свободного падения. Этот факт был установлен Ньютоном и может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной массы $m_{g} $, определяющей взаимодействие тела с полем тяготения, и инертной массы $m_{in} $, определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон Ньютона :

Уравнение движения тела в поле тяготения записывается так:

где $\overline{a}$ - ускорение, приобретаемое телом под действием поля тяготения, напряженностью $\overline{G}=\overline{g}$. В этом случае, согласно Ньютону, для всех тел $m_g=m_{in}$ и $\overline{a}=\overline{g}$ - ускорение не зависит от массы и равно напряженности поля тяготения.

Таким образом, все тела в поле тяготения и в поле сил инерции, при $\overline{a}=\overline{g}$, движутся совершенно одинаково. Например, движение тел в космическом корабле, летящем с ускорением $\overline{a}=\overline{g}$, и в корабле, находящемся на Земле в поле тяжести с напряженностью $\overline{G}=\overline{g}$, будет одинаковым. Силы инерции в ускоренно движущемся корабле будут неотличимы от гравитационных сил, действующих в истинном поле тяготения. Поэтому силы инерции можно считать эквивалентными гравитационным силам .

Определение 1

Тождественность инерциальной и гравитационной масс является следствием эквивалентности сил инерции и сил тяготения. Этот факт называется принципом эквивалентности Эйнштейна.

Принцип относительности Эйнштейна

Определение 2

Исторически принцип относительности был сформулирован Эйнштейном так: все явления в гравитационном поле происходят точно так, же как в соответствующем поле сил инерции, если совпадают напряжённости этих полей и одинаковы начальные условия для тел системы.

Согласно этому принципу, все физические процессы в истинном поле тяготения и в ускоренной системе отсчета, при отсутствии тяготения, протекают одинаковым образом. Это фундаментальный закон природы.

Для доказательства этого принципа Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент. Пусть тела находятся в лифте, который бесконечно удален от гравитирующих тел и движется с ускорением. Тогда на все тела находящиеся в лифте действует сила инерции, а тела под действием этих сил будут давить на опору или подвес. То есть тела будут обладать весом. Если лифт не движется, а висит над какой-то гравитирующей массой в однородном поле, то все тела также будут обладать весом. Находясь в лифте, невозможно отличить эти две силы. Поэтому все механические явления будут в обоих лифтах происходить одинаково. Эйнштейн обобщил это положение на все физические явления.

Следствием этого закона является то, что, находясь внутри закрытой кабины, невозможно определить, чем вызвана сила $m_g$. Тем, что кабина движется с ускорением или действием притяжения Земли?

Ярчайшим доказательством равенства сил инерции и гравитации является состояние невесомости космонавтов в космическом корабле (падают под действием гравитационных сил и отлетают под действием центробежных сил инерции). Принцип эквивалентности -- основополагающий в ОТО Эйнштейна.

Принципы эквивалентности

Следует различать «слабый принцип эквивалентности» и «сильный принцип эквивалентности».

Сильный принцип эквивалентност и можно сформулировать так: в каждой точке пространства-времени в произвольномгравитационном поле можно выбрать «локально-инерциальную систему координат», такую, что в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки законы природы будут иметь такую же форму, как и в не ускоренных декартовых системах координат СТО, где под «законами природы» подразумевают все законы природы.

Слабый принцип отличается тем, что слова «законы природы» заменяются в нем словами «законы движения свободно падающих частиц». Слабый принцип - это не что иное, как другая формулировка наблюдаемого равенства гравитационной и инертной масс, в то время как сильный принцип представляет собой обобщение наблюдений за влиянием гравитации налюбые физические объекты.

Часто считают, что принцип эквивалентности является основным принципом общей теории относительности и вообще многих релятивистских теорий гравитации , так как якобы в соответствии с принципом эквивалентности гравитационное поле можно рассматривать как неинерциальную систему отсчёта. Это верно лишь с оговорками. Любая неинерциальная система отсчёта в специальной теории относительности всё равно имеет в основе плоское, неискривлённое пространство-время. В метрических же теориях гравитации, к которым принадлежит иобщая теория относительности, пространство-время искривлено. Неполнота соответствия выявляется тем фактом, что глобальных инерциальных систем отсчёта в метрических теориях просто нет, там все системы - неинерциальные. Даже переход в локально-инерциальную систему отсчёта не удаляет гравитационных эффектов, связанных с кривизной пространства-времени (например, девиацию геодезических или приливные силы). Только если выбирать размеры изучаемой системы намного меньше характерной кривизны, то приблизительно физическими проявлениями искривления можно пренебречь и получить «принцип эквивалентности». В точной же формулировке законов природы кривизна пространства-времени всё равно появляется в некоторых местах, что отличает их от соответствующих законов в специальной теории относительности.

С точки зрения математики во всех метрических теориях гравитации принцип эквивалентности с точностью до оговорок предыдущего пункта тривиально следует из того факта, что в окрестности любого события пространства-времени возможно ввести локально геодезическую систему координат или риманову системукоординат, в которых в заданной точке символы Кристоффеля исчезают, то есть равны $0$. В физикепредпочитают говорить об этом как о существовании локально инерциальных систем отсчёта.

Пример 1

Шарик массы $m$ подвешен внутри пустой цистерны на невесомой нити длиной $l$. В начальный момент времени цистерна начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянным ускорением $a$. Какое движение будет при этом совершать шарик?

Дано: $m, l, а.$

Найти: уравнение движения шарика.

Рисунок 1.

Решение: Вместо того чтобы рассматривать ускоренно движущуюся цистерну, будем считать, что она неподвижна, но на все тела в ней действует дополнительно гравитационное поле $-a=g_{1} $. Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, дает эффективное поле тяжести, напряженность которого:

Вектор $g_{2} $ отклонен от истинной вертикали на угол $\alpha _{0} $, тангенс которого определяется соотношением:

Напряженность эффективного поля тяжести находится по теореме Пифагора:

Ясно, что в положении равновесия нить маятника направлена вдоль вектора $g_{2} $. В начальный момент, когда цистерна начинает двигаться с ускорением $a$ шарик неподвижен, а нить вертикальна, т.е. маятник отклонен от нового положения равновесия на угол $\alpha _{0} $ влево. Поэтому маятник в пустой цистерне будет совершать относительно нового положения равновесия колебания с угловой амплитудой $\alpha _{0} $. Если ускорение цистерны мало по сравнению с ускорением свободного падения, то амплитуда колебаний мала и колебания будут гармоническими. Угол отклонения от нового положения равновесия $\alpha (t)$ будет при этом изменяться со временем по закону:

\[\alpha (t)=-\alpha _{0} \cos \omega t,\]

где частота определяется соотношением:

\[\omega =\frac{g_{2} }{l} .\]

Ответ: $\alpha (t)=-\alpha _{0} \cos \omega t$.

Знаменитый принцип эквивалентности позволил Эйнштейну перейти от специальной теории относительности, описывающей движение с точки зрения различных систем отсчета, к общей теории относительности, описывающей гравитацию. С первого взгляда гравитация не имеет никакого отношения к движению. Мы чувствуем гравитационное поле Земли даже находясь неподвижно на ее поверхности.

Мы ощущаем воздействие гравитационного поля через величину, называемую весом. Вставая на весы мы измеряем именно свой вес относительно гравитационного поля Земли. На других планетах вы бы увидели другие показания своего веса. В интернете полно таких . Сила, давящая на весы, обусловлена притяжением к Земле и вычисляется согласно закону всемирного тяготения Ньютона:

\(\displaystyle F=G\frac{mM}{r^2}\)
где m — масса тела на весах; М — масса Земли; r — расстояние от весов до центра Земли; G — гравитационная постоянная Ньютона.

Но эту силу можно имитировать, используя другой закон Ньютона:

\(\displaystyle F=ma\)

То есть можно подобрать ускорение, чтобы получилась такая же величина силы. Приравняв друг другу эти силы получим:

\(\displaystyle ma=G\frac{mM}{r^2}\)

Принцип эквивалентности гласит, что масса в левой части формулы (инерционная масса) является той же самой физической величиной m, стоящей в правой части (гравитационная масса). И, таким образом, их можно сократить, получив:

\(\displaystyle a=G\frac{M}{r^2}\)

Оказывается движение с ускорением (левая часть) эквивалентно гравитации (правая часть). Для земной гравитации величина этого ускорения широко известна:

\(\displaystyle a\approx 9.8 м/с^{2}\)

Его обычно обозначают буквой \(\displaystyle g\). При вертикальном взлете ракеты к этому \(\displaystyle g\) добавляется ускорение ракеты при наборе скорости. Космонавт испытывает перегрузки. При ускорении ракеты \(\displaystyle 9.8 м/с^{2}\) космонавт ощущает, что его вес увеличился в два раза (\(\displaystyle 2g\)).

Но вес можно и уменьшить вплоть до нуля. Это состояние называется невесомостью. И согласно принципу эквивалентности при этом даже нет необходимости убирать до нуля гравитационное поле. Его можно компенсировать движением с ускорением. Знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна «человек в лифте» поясняет идею.

Человека запертого в шумонепронецаемом и непрозрачном лифте сбрасывают с самолета. Гравитационное поле заставляет его падать по направлению к земле с ускорением \(\displaystyle g\). Человек при этом ощущает состояние невесомости и не имея возможности посмотреть наружу не сможет сказать находится ли он в свободном падении в гравитационном поле или просто покоится в каком-нибудь месте в отсутствии гравитационного поля, где-нибудь в космосе вдали от звезд и планет.

Если же поместить этот лифт в ракету, движущуюся в космосе вдалеке от гравитирующих звезд с ускорением \(\displaystyle 9.8 м/с^{2}\), он не сможет отличить ситуацию от той, если бы лифт находился на поверхности земли.

Сейчас состояния невесомости и перегрузки получают на коммерческой основе в самолете, который то набирает высоту с ускорением, то свободно падает вниз.

По той же причине космонавты на орбите испытывают невесомость. Она обусловлена не тем, что гравитационное поле вдруг стало равно нулю (оно практически такое же, что и на поверхности земли). Просто они постоянно падают на землю, но не достигают ее поверхности из-за огромной линейной скорости — первой космической скорости, компенсирующей приближение к поверхности земли. Траектория движения, обусловленная центростремительной силой притяжения и этой скоростью, как раз и будет окружностью или эллипсом.

Если бы спутник или МКС не двигались вокруг Земли с громадной скоростью, они бы сразу же упали на поверхность. Эта скорость не ощущается космонавтами из-за .

Гравитационное поле можно компенсировать ускоренным движением лишь в малой области пространства. Если размеры объекта сопоставимы с радиусом Земли, будут заметны эффекты, связанные с неоднородностью гравитационного поля.

Сила, действующая на пол лифта будет больше чем сила, действующая на потолок из-за их разного удаления от центра Земли. Будет наблюдаться эффективная сила «растягивающая» лифт. Да и направление центростремительной силы в разных частях лифта будет разное что также можно обнаружить. Принцип эквивалентности работает только локально — фактически только для точечного объекта.

Все о чем мы говорили есть следствия классической Ньютоновской механики. Но Эйнштейн своей специальной теорией относительности (СТО) показал, что она не верна при движении со скоростями близкими к скорости света. СТО позволяет исследовать не только движения с постоянной скоростью, но и

Что позволяет оперировать в физике единым понятием . Другим выражением этого принципа можно считать независимость свободного падения тел от их состава. Принцип эквивалентности много раз проверялся на Земле и в ее окрестностях и считается надежно проверенным экспериментально, поэтому его нередко считают универсальным. Так представление об эквивалентности двух типов масс позволило Эйнштейну развить общую об эквивалентности поля тяготения отсчета.

Полевая физика указывает на причину видимой эквивалентности инертных и гравитационных масс тел на Земле и в пределах любой другой небольшой области космоса. Однако оказывается, что принцип эквивалентности справедлив лишь в частных случаях и не является универсальным. Согласно отношение тела к его возрастает по мере приближения к сильным гравитационным источникам, например, к центру нашей Галактики, и падает по мере удаления от них, что во многом является реализацией . Это обстоятельство приводит к кардинальному пересмотру принципа эквивалентности в полевой физике.

Полевой принцип эквивалентности

1. Инертная и гравитационная являются принципиально разными физическими характеристиками объектов. Инертная масса (просто масса или инертность) характеризует величину изменения объекта под действием внешних , а гравитационная масса (гравитационный заряд) - участия объекта в .

2. В подавляющем большинстве земных явлений основной вклад в инертность объектов вносит взаимодействие с Вселенной - Глобальное . Когда все остальные взаимодействия пренебрежимо малы по сравнению с ним наблюдается эффект пропорциональности тела его .

3. Коэффициент пропорциональности между двумя типами зависит от области космоса, возрастая по мере приближения к сильногравитирующим объектам и уменьшаясь по мере удаления от них.

4. Равенство коэффициента пропорциональности единице в области Земли и Солнечной системы обеспечивается путем введения с известным значением. Этот прием создает видимость равенства инертной и объектов на Земле.

5. Наличие полей негравитационной природы приводит к нарушению пропорциональности между двумя типами масс и предоставляет возможность независимого изменения этих свойств объектов. А также экспериментального обнаружения отклонения от равенства инертной и гравитационной масс.