ЦЕЛИ: научиться читать диаграммы и решать задачи; выделять и группировать данные, которые должны быть отражены на диаграмме; анализировать и сравнивать данные представленные в диаграмме; осваивать построение диаграмм ручным способом и с помощью компьютера; применять построение диаграмм в практической деятельности.

Во-вторых, средство наглядного графического изображения информации, предназначенное для сравнения нескольких величин или нескольких значений одной величины, слежением за изменением их значений и т.п. Диаграмма – это, во-первых, графическое представление табличных данных,

Царевна Лягушка Мышка Норушка Винни-Пух Крокодил Гена Петр Петрович Пес Шарик Кот Матроскин Пример 1. Как-то раз собрались Мультипликационные герои в селе Простоквашино и решили выбрать себе Главу села. Претендентами были: Построить столбчатую диаграмму по результатам голосования.

Алгоритм построения столбчатой диаграммы 1. Построить таблицу с исходными данными 2. Выделить блок клеток 3. Вызвать Мастер диаграмм 3. Вызвать Мастер диаграмм (Меню Вставка – Диаграмма) 4. Выбрать тип диаграммы – гистограмма и вид 5. Вставить заголовки, подписи данных 6. Поместить диаграмму на имеющимся листе

Пример 2. Пример 2. Кот Матроскин решил организовать в своем селе Простоквашино комбинат по переработки молока от своей коровы Мурке, т.е. изготавливал молочные продукты (кефир, сметану, сливки, молоко, ряженку, йогурт). Дядя Федор реализовывал эту продукцию в городе, а пес Шарик туда ее доставлял. (1 упаковка 500 г) Постройте столбчатую диаграмму ручным способом и с помощью компьютера продажи молочных продуктов за неделю. 1 вариант ручным способом 2 вариант с помощью компьютера Молочные продукты Кол-во упаковок Кефир40 Сметана20 Сливки30 Молоко45 Ряженка25 Йогурт35 Продажа молочных продуктов за неделю

«Физкультминутка» 1) Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза и затем открыть веки. (3 раза); 2) Поднять руки вверх и посмотреть на руки, сделать вдох, опустить руки и глаза сделать выдох. (3 раза); 3) Покрутите головой, 3 раза в одну сторону, три раза в другую;

Подведение итогов С каким видом диаграмм мы познакомились на этом уроки? В каких сферах применили построение диаграмм? А сейчас подсчитаем количество баллов и ставим оценку: «5» если у вас общий балл 13 и более «4» если у вас общий балл от 10 до 12 включительно «3» если у вас общий балл от 7 до 9 включительно

Домашнее задание 1)Постройте столбчатую диаграмму выручки каждого молочного продукта за неделю, если: кефир 1 упаковка 11 рублей, сметана 1 упаковка 42 рубля, сливки 1 упаковка 21 рубль, молоко 1 упаковка 12 рублей, ряженка 1упаковка 15 рублей, йогурт 1 упаковка13 рублей.

Конспект урока математики в 6 классе по теме «Диаграммы».

Смирнова Лариса Владимировна, учитель МОУ Большекошинской сош Тверской области Селижаровского района д. Большая Коша
Описание материала: Предлагаю разработку урока математики с использованием интерактивных приемов обучения в 6 классе по теме «Диаграммы». Данный материал будет полезен учителям математики, которые преподают по учебнику И. И. Зубаревой, А. Г. Мордковича.
Цель урока: познакомить с понятием диаграммы, с различными видами диаграмм; научить обучающихся читать диаграммы, отвечая на поставленные вопросы.
Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.
Методические приемы: беседа – диалог, игровая ситуация, работа в малых группах.

Ход мероприятия.

Мотивация.
Ежедневно нам приходится работать с огромным количеством информации. Всю информацию, которая к нам поступает, запомнить невозможно. Поэтому самую необходимую для нас мы записываем. Причем стараемся записывать таким образом, чтобы впоследствии нам этой информацией было легко воспользоваться – выбрать нужные данные, что-то сравнить.
Таблица - самый простой способ упорядочить данные. С некоторыми таблицами мы уже знакомы (таблица умножения, расписание уроков, страница дневника).

Таблицы удобны для упорядочивания и поиска данных (облегчают поиск необходимых сведений, не заставляют изучать всю имеющуюся информацию, а сразу найти то, что нужно, позволяют легко сравнивать однотипные сведения и делать необходимый выбор). Однако они не дают наглядного представления. Поэтому сегодня мы познакомимся с еще одним способом подачи информации, который во многом удобнее и нагляднее, чем таблица.
Чтобы узнать тему нашего урока, вам нужно разгадать несложную шифровку. Вы легко справитесь с заданием, если вспомните, как раскладывать числа на простые множители.

Сообщение темы и задач урока.
Итак, тема нашего урока «Диаграммы, чтение диаграмм»
Сегодня на уроке мы узнаем: что такое диаграмма, какие виды диаграмм существуют, как правильно читать диаграммы.
Изучение нового материала.
Вы проводили опрос среди учеников 4-9 классов по теме «Любимое время года» и предоставили мне таблицу. Я же составила диаграмму по этой таблице.

Сравните таблицу и диаграмму.
1.Как на ваш взгляд, с помощью чего – таблицы или диаграммы сравнивать данные удобнее?
2. Какой способ предоставления информации наиболее яркий, наглядный – в форме таблицы или форме диаграммы?
Диаграммы используют тогда, когда какую-нибудь информацию хотят представить наглядно. Диаграммы часто используются в газетах, журналах и книгах для иллюстрации различных данных. С помощью диаграмм сравнивать данные удобнее, чем с помощью таблиц.
Давайте запишем определение диаграммы.
Диаграмма (в переводе с греческого diagramma - изображение, рисунок, чертёж)- графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин.
Известно множество видов диаграмм: столбчатая, линейная, круговая, конусная;
цилиндрическая. Вид диаграммы зависит от того, какой геометрической фигурой представлена информация.

Рассмотрим рисунок 8. На нем информация о распределении расходов на человека в месяц дана в виде диаграммы. Как вы думаете, какая информация на этой диаграмме расположена горизонтально? (Вид расходов) А вертикально? (Сумма расходов) В виде каких фигур представлены виды расходов на диаграмме? (Столбики) Как может называться такая диаграмма? (Столбчатая)

Рассмотрим рисунок 9. В виде каких фигур представлены виды расходов на этой диаграмме? (Линии) Как может называться такая диаграмма? (Линейная)

Рассмотрим рисунок 10. В виде каких фигур представлены виды расходов на данной диаграмме? (Конусы). Как может называться такая диаграмма? (Конусная)

Рассмотрим рисунок 11. В виде каких фигур представлены виды расходов на данной диаграмме? (Цилиндры). Как может называться такая диаграмма? (Цилиндрическая)

Рассмотрим рисунок 12 . В виде какой фигуры представлены виды расходов на данной диаграмме? (Круг). Как может называться такая диаграмма? (Круговая). В чем отличие круговой диаграммы ото всех остальных? (Круг поделен на доли (части). Каждая часть – это определенный вид расхода)
Интерактивное упражнение.
Объяснение правил выполнения интерактивного упражнения:
А теперь будем учиться читать диаграммы. Для этого я предлагаю вам поиграть в игру «Интервью». Вы будете выполнять роли журналистов, т. е. задавать мне вопросы, а я буду статистом – на ваши вопросы отвечать. (Ребятам предлагаются готовые вопросы на карточках, учитель отвечает на поставленные вопросы, показывая, как читать по диаграмму)

Вопросы к диаграмме:
В какое время года лучше всего продаются зонты? (летом)
В какое время года зонты продаются хуже всего? (зимой)
В какое время года не продаются варежки? (летом)
В какое время года варежки продаются лучше всего? (зимой)
Какой товар продается приблизительно одинаково во все времена года? (перчатки)
Что лучше продается весной – перчатки или варежки? (перчатки)
Во сколько раз варежки зимой продаются лучше, чем зонты? (в 2 раза)
Во сколько раз зонты продаются летом лучше, чем перчатки? (в 9 раз)
Какой товар одинаково продается весной и летом? (сумки)
Выполнение интерактивного упражнения.
Теперь я предлагаю вам поиграть в эту игру в парах между собой.
Ваша задача – обсудить вопросы и написать ответы в тетрадь.
Далее вы должны у доски в форме интервью дать ответы на эти вопросы.
Вопросы к диаграммам.

Содержание витамина А (мг в 100 гр)
Верно ли утверждение, что морковь является главным источником витамина А?
Расположите продукты питания в порядке увеличения в них витамина А.
Какой продукт на первом месте по количеству витамина А?
Какой продукт на последнем месте по количеству витамина А?
На сколько в зеленом горохе витамина А больше, чем в черной смородине?
На сколько в сухом шиповнике витамина А меньше, чем в моркови?
Во сколько раз в моркови витамина А больше, чем в красном перце?

Содержание витамина С (мг в 100 гр)
Верно ли утверждение, что лимон является основным источником витамина С?
В каком продукте содержится наибольшее количество витамина С?
В каком продукте содержится наименьшее количество витамина С?
Во сколько раз в сухом шиповнике витамина С содержится больше, чем в лимоне?
Во сколько раз в апельсине витамина С содержится меньше, чем в сухом
шиповнике?
Какой продукт по количеству витамина С находится на втором месте?
На сколько в красном перце витамина С больше, ч ем в черной смородине?

В какое время года лучше всего продаются платья?
В какое время года хуже всего продаются юбки?
Какой товар лучше всего продается весной?
Какой товар хуже всего продается весной?
Какой товар лучше всего продается зимой?
Какой товар хуже всего продается зимой?
Во сколько раз юбки лучше продаются весной, чем зимой?
Какой товар наименее популярен осенью, зимой и весной?

Размер выручки торгового предприятия (в тыс. р.) за различные товары
В какое время года лучше всего продаются бананы?
В какое время года хуже всего продаются апельсины?
Какой продукт лучше всего продается осенью?
Какой продукт хуже всего продается летом?
Какой продукт лучше всего продается весной?
Какой продукт лучше всего продается летом?
Во сколько раз бананы зимой продаются лучше, чем осенью?
Какой продукт наименее популярен во все времена года?
Рефлексия.
Продолжите фразу:
Сегодня я узнал(а)….
Сегодня я научился ….
Мне хотелось бы в будущем научиться….
Ответьте на вопросы:
Что такое диаграмма?
Какие бывают диаграммы?
Что общего у таблиц и диаграмм, в чем различие?
Хотели бы вы научиться самостоятельно строить диаграммы?
Оценивание. Самооценка.
Постарайтесь оценить свою работу и работу своей группы в нескольких словах.
Что удалось? Над чем еще нужно поработать?
Домашнее задание: параграф 34, №1028 (а,б), с.229-230 контр. задания №2,3

Цель : закрепить навыки чтения диаграмм, построения диаграмм в тетради и на компьютере.

Задачи :

Общеобразовательные:

• повторить типы диаграмм;
• закрепить навыки чтения диаграмм (интерпретирования количественной информации, представленной в форме диаграмм);
• закрепить навыки построения диаграмм.

Воспитательные:

• обучать эстетическому оформлению работ;
• воспитывать стремление к здоровому образу жизни;
• воспитывать чувство коллективизма.

Развивающие:

• развивать внимание;
• совершенствовать навыки работы с компьютерной техникой и повышать интерес к современным компьютерным технологиям;
• развивать познавательный интерес к математике;
• развивать межпредметные связи;
• учить сравнивать данные, анализировать их, обобщать и делать выводы.

Тип урока: закрепление и обобщение знаний по данной теме

ХОД УРОКА

1. Оргмомент

(Приветствие; проверка готовности к уроку, объявление целей и задач урока)

2. Актуализация знаний

Фронтальный опрос, чтение диаграмм:

1 . Что означает слово «диаграмма» и что такое диаграмма? (Приложение 1 . Слайд 2)

(Ответ: Диаграмма (от греческого diagramma , что значит «рисунок, чертёж») – графическое изображение, наглядно показывающее соотношение между различными величинами; один из способов представления информации. Диаграмма – это еще один вид математической модели)

2 . В каких случаях используются диаграммы? (Приложение 1. Слайд 3)

(Ответ: Диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно сравнить полученные данные (например, результаты опроса общественного мнения), показать, как меняется со временем интересующее нас явление, и т.д.

3. Отвечаем на вопросы по диаграмме «Самые известные проливы Планеты» (Приложение 1. Слайд 4)

Вопросы:

• Каков тип диаграммы?
• Каково название диаграммы?
• Какой пролив имеет наименьшую длину?
• Какой пролив имеет наибольшую длину?
• На сколько километров длина пролива Ла-Манш больше длины пролива Лаперуза?

4. Отвечаем на вопросы по диаграмме «Самые высокие действующие вулканы мира»

(Приложение 1. Слайд 5)

Вопросы:

• Каков тип диаграммы?
• Каково название диаграммы?
• Какой вулкан имеет наименьшую высоту?
• Какой вулкан имеет наибольшую высоту?

5. Отвечаем на вопросы по диаграмме «Любимый жанр телепередач» (Приложение 1. Слайд 6)

К какому жанру телепередач отдают предпочтение опрошенные учащиеся?

6. Ответить на вопрос: «Вспомните, какое событие называется невозможным, достоверным, случайным?»

7. Отвечаем на вопросы по диаграмме «Существует ли «Лохнесское чудовище»?» (Приложение 1. Слайд 7)

Вопросы:

• Каков тип диаграммы?
• Как французы называют такую диаграмму?
• Сколько процентов учащихся считают существование «Лохнесского чудовища» достоверным, невозможным, возможным?

3. Закрепление (самостоятельная работа с проверкой в классе)

I вариант (Приложение1. Слайд 8) : За контрольную работу по математике школьники получили 6 оценок «отлично» , 10 оценок «хорошо» , 5 оценок «удовлетворительно» и 3 оценки «неудовлетворительно» . Постройте круговую диаграмму по этим данным.

II вариант (Приложение1. Слайд 9) : Персонаж сказки «Чиполлино» кум Тыква с детства мечтал построить свой дом и покупал каждый год несколько кирпичей. В таблице приведены данные о его покупках за пять лет.

Постройте столбчатую диаграмму, показывающую число кирпичей, купленных за каждый год.

В это время двое учащихся работают по карточкам, решают задачи на процентное сравнение.

Задача №1 (Приложение 1. Слайд 10)

На сколько процентов 5 меньше 8?

Решение:

8 – 100%
5 – ? %

1. 8: 100 = 0,08 – 1%
2. 5: 0,08 = 500: 8 = 62,5 (%)
3. 100 – 62,5 = 37,5 (%) на столько % 5 меньше, чем 8.

Ответ : на 37,5%

Задача №2 (Приложение 1. Слайд 11)

На сколько процентов 8 больше 5?

Решение:

5 – 100%
8 – ? %

1. 5: 100 = 0,05 – 1%
2. 8: 0,05 = 800: 5 = 160 (%)
3. 160 – 100 = 60 (%) на столько % 8 больше, чем 5.

Ответ : на 60%

На какой вопрос к диаграмме II-го варианта вы ответили?

4. Физкультминутка

5. Построение диаграмм на компьютере

1. Построить круговую диаграмму «Площади крупнейших стран Азии» по следующим данным:

2. На станции обслуживания ведут учет неисправностей всех поступающих автомобилей. Данные о поломках за последние три месяца свели в таблицу. Постройте столбчатую диаграмму по данным таблицы.

Объект поломки	Месяц
	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
Двигатель	9	9	18
Подвеска	25	26	15
Кузов	24	50	35
Тормозная система	12	15	22
Всего

Дополнительное задание № 1 (для тех, кто быстро сделает):

Подсчитайте общее число неисправностей поступивших автомобилей в каждом из трёх месяцев и впишите результаты в таблицу.

Какая из диаграмм соответствует последней строке? (третья)

Дополнительное задание № 2 (для тех учащихся, которые справились с доп. заданием № 1)

Постройте круговую объёмную диаграмму распределения людей по группам крови, если людей с группой крови О(I) в мире около 46%, с группой крови А(II) около 34%, группой крови В(III)≈17%, а людей с самой редкой группой крови АВ(IV) ≈ 3%.

6. Подведение итогов

1. Работу ученика, построившего диаграммы первым, показать на большом экране
2. Ответить на вопрос: «Какие виды диаграмм мы знаем и умеем строить?»

7. Выставление оценок

8. Домашнее задание

Создать презентацию из различных типов диаграмм.

Литература:

1. «Работа в электронных таблицах», А.В. Васильев, О.Б. Богомолова, издательство Бином, 2007
2. «Теория вероятностей и статистика», Ю.Н. Тюрин, издательство МЦНМО «Московский учебник», Москва, 2004
3. «Математика. 6 класс», И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, издательство «Мнемозина», Москва, 2007
4. http://www.1september.ru

1. По двум известным параметрам состояния влажного воздуха найти остальные.

Например, при известных t и φ найти i , d , ν , Р п , t R , t М при известных t и i найти φ , i , d , ν , Р п , t R , t М , где t R - температура, соответствующая точке росы °С; t М - температура мокрого термометра, °С.

На практических работах исходные данные t и φ и t и i задаются преподавателем. Отчетные данные представляются в виде таблицы 2.

Рисунок 2. Процесс изменения состояния воздуха

Рисунок 3. Процесс смешение воздуха

2. По известным начальным и конечным параметрам состояния воздуха (например, t 1 , φ 1 и t 2) найти изменение теплосодержания (энтальпий) Δi = i 2 – i 1 кДж/кг; влагосодержаний Δd = d 2 – d 1 и др.

При изменении параметров состояния воздуха возможны два случая: когда процесс 1-2 полностью протекает в области перегретого пара (рис.2), т.е. выше кривой φ = 100%, и когда процесс 1-2 частично заходит в область влажного пара, т.е. ниже кривой φ = 100% (рис.3).

В процессе 1-2 (рис.3) происходит охлаждение и осушение воздуха, т.е. снижается температура и уменьшается влагосодержание воздуха от d 1 до d 2 . При этом одна часть влаги в количестве (d 1 – d 4 ) выпадает в виде росы, а вторая - (d 5 – d 4 ) в виде тумана.

Начальные и конечные параметры состояния воздуха задаются преподавателем в соответствии с приложением 1. При заданном количестве обрабатываемого воздуха определяются тепловая нагрузка на калорифер (воздухоохладитель), влажностная нагрузка на увлажняющее (осушающее) устройство.

Отчетные данные представляются в виде табл.3. Дается объяснение качественного изменения состояния воздуха и его параметров.

Полные расходы тепла Q (кВт) и влаги G (кг/с) на изменение параметров состояния воздуха определяются по формулам

Q = L ∙ Δi ,

G w = L ∙ Δd ,

где L - расход обрабатываемого сухого воздуха, кг/с.

Параметры состояния воздуха, определяемые по диаграмме i - d , относятся к 1 кг сухого воздуха, поэтому расход сухого воздуха L при известном объемном его расходе V , м 3 /с определяется по формуле:

L =

где ρ - плотность воздуха при данном его состоянии, кг/м 3 .

Величины Q к G w , используются при расчете подогревающих (охлаждающих) и увлажняющих (осушающих) устройств.

3 . При известных параметрах состояния двух объемов воздуха, входящих в смесь, найти параметры состояния смеси. Исходные данные задаются преподавателем: t 1 , φ 1 , V 1 и t 2 , φ 2 и V 2 , где V 1 и V 2 - объемы (м 3 /ч) воздуха, входящего в смесь.

Таблица 2. Отчетная таблица

Исходные		Параметры, определяемые по диаграмме
t 1	i 1	φ 1	d 1	Р п	t р1	t м1	v 1	ρ 1	Р н	V 1

Таблица 3. Отчетная таблица

Исходные		Параметры определяемые по диаграмме и расчетам							Процессы изменения состояния от т.1 до т.2
t 2	φ 2	i 2	d 2	ρ 2	Р п2			V 2

Параметры состоянии смеси t см могут определяться аналитическим или графическим (по диаграмме i – d влажного воздуха) методами.

При аналитическом методе составляются уравнения теплового и влажностного балансов процесса смешения

L 1 ∙ i 1 + L 2 ∙ i 2 = (L 1 + L 2 ) i см ;

L 1 ∙ d 1 + L 2 ∙ d 2 = (L 1 + L 2 ) d см ,

где L 1 =
- масса сухого воздуха, соответствующая объемному количеству V 1 , кг;

L 2 =
- масса сухого воздуха, соответствующая

объемному количеству V 2 , кг.

Величины d см и i см будут определять параметры состояния воздуха после смешения объемов V 1 и V 2 . Из формул можно сделать вывод, что на параметры состояния смеси оказывают влияние массы воздуха, входящие в смесь. Чем больше масса воздуха (одной части), входящего в смесь, тем ближе к параметрам состояния этой части воздуха будут приближаться параметры состояния смеси. Аналогично могут быть определены параметры смеси, в которую входят три или более объемов с различными параметрами состояния.

При графическом методе в диаграмме i - d , (рис.4), отмечаются точки, соответствующие параметрам состояния частей воздуха, входящие в смесь, точки 1 и 2.

Рисунок 4. Процесс смешения воздуха

Для нахождения параметров смеси, точка 3, расстояние 1-2 должно быть разделено на части, соответствующие

и
.

Исходные данные и результаты расчетов представляется в виде табл.4.

4. При известных теплопоступлениях (теплопотерях) ΣQ , кВт и влагопоступлениях (влагопотерях) Σ g w от всех источников,кг/с определить направление изменения параметров состояния воздуха в помещении, а также параметры состояния воздуха, устанавливающиеся в помещении под воздействием ΣQ и Σ g w .

Направление изменения параметров состояния воздуха в помещении под воздействием тепло- и влагопоступлений (тепло- и влагопотерь) определяется тепловлажностным коэффициентом (угловым коэффициентом) ε , кДж/кг:

ε =

где Δ i = - удельные теплопоступления на 1 кг сухого

воздуха помещения, кДх/кг;

Δd = - удельные влагопоступления на 1 кг сухого

воздуха помещения, кг/кг;

L = L сух n – масса сухого воздуха, циркулирующего в

помещении, кг/с;

L сух - масса сухого воздуха в объеме помещения, кг;

n - кратность циркуляции воздуха в помещении, 1/с.

Рисунок 5. Пример использования коэффициента 

Изолинии тепловлажностного коэффициента занесены на диаграмме d - i в виде веера прямых, расходящихся из точки на оси ординат, соответствующей температуре О°С (рис. 5). Пример использования тепловлажностного (углового) коэффициента для нахождения конечных параметров состояния воздуха приведен на рис.5. В примере значения ε = = 3500 - начальное состояние воздуха (точка 1). Линия изменения параметров состояния воздуха наносится параллельно изолинии ε = 3500. Конечное состояние воздуха (точка 2) определяется отложением от точки 1 Δi или Δd и проведении изолиний i 2 = со nst или d 2 = со nst .

Для решения задачи студенту задаются величины: ΣQ , Σ g w ; V - объем помещения, м 3 ; n - кратность циркуляции; t 1 и i 1 -начальные параметры состояния воздуха помещения.

Определяются:

L сух - масса сухого воздуха помещения, кг;

Δi и Δd – изменения тепло- и влагосодержания воздуха

помещения;

t 2 и i 2 – конечные параметры состояния воздуха помещения.

Заданные и определяемые величины представляются студентами в виде табл.5.

Таблица 4. Отчетная

Исходные

Определяемые величины

t 1

V 1

t 2

V 2

d 1

d 2

L 1

L 2

ρ 3

t 3

i 3

d 3

φ 3

Таблица 5. Отчетная

Исходные			Определяемые величины
			d 1	d 2			t 1	t 2	L 1	L 2

Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите .

Теперь разберем типовые задачи о множествах.

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

Ответ: 3.

Решение:

• множество школьников, изучающих английский ("А");
• множество школьников изучающих французский ("Ф");
• множество школьников изучающих немецкий ("Н").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

0) Область А=0, Ф=0, Н=0 : 24 школьника - дано по условию задачи.

1) Область А=0, Ф=0, Н=1 : 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.

2) Область А=0, Ф=1, Н=0 : 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.

3) Область А=0, Ф=1, Н=1 : 13-х школьников.

4) Область А=1, Ф=0, Н=0 : 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.

5) Область А=1, Ф=0, Н=1 : 8-х школьников.

6) Область А=1, Ф=1, Н=0 : 8-х школьников.

№ области	А	Ф	Н	Количество школьников
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+х
2	0	1	0	5+х
3	0	1	1	13-х
4	1	0	0	32+х
5	1	0	1	8-х
6	1	1	0	8-х
7	1	1	1	х

Определим х:

24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.

х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Ответ: 100.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по алгебре ("А");
• множество задач по геометрии ("Г");
• множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0).

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1 : школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0 : школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1 : 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0 : школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1 : 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0 : 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1 : 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	А	Г	Т	Количество школьников
0	0	0	0	х
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.

Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

Ответ: 350.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по кинематике ("К");
• множество задач по термодинамике ("Т");
• множество задач по оптике ("О").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей:

0) Область К=0, Т=0, О=0 : не определено.

1) Область К=0,Т=0, О=1 : 50 школьников.

2) Область К=0, Т=1, О=0 : школьников нет.

3) Область К=0, Т=1, О=1 : 50 школьников.

4) Область К=1, Т=0, О=0 : школьников нет.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 100 школьников.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 200 школьников.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 100 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	К	Т	О	Количество школьников
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х.

х=200+100+50=350.

Получили, 350 школьников решило две задачи.

Задача 4.

Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?

Ответ: 300.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество людей, у которых есть кошка ("К");
• множество людей, у которых есть собака ("С");
• множество людей, у которых есть птичка ("П").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество человек для всех возможных областей:

0) Область К=0, С=0, П=0 : 70 человек.

1) Область К=0, С=0, П=1 : 10 человек.

2) Область К=0, С=1, П=0 : 50 человек.

3) Область К=0, С=1, П=1 : 20 человек.

4) Область К=1, С=0, П=0 : 80 человек.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 10 человек.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 50 человек.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 10 человек.

Запишем значения областей в таблицу:

№ области	К	C	П	Количество человек
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U (универсум)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Получили, что 300 человек приняли участие в опросе.

Задача 5.

На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?