Бо́льцмана распределение - распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия, которое было открыто в 1868-1871 гг. австрийским физиком Л. Больцманом . Согласно ему, число частиц n i с полной энергией e i равно:

ni = Aω i exp (-e i /kT)

где ω i - статистический вес (число возможных состояний частицы с энергией e i). Постоянная А находится из условия, что сумма n i по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц N в системе (условие нормировки): ∑n i = N. В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию e i можно считать состоящей из кинетической энергии e i, кин частицы (молекулы или атома), ее внутренней энергии e i, вн (например, энергии возбуждения электронов) и потенциальной энергии e i, пот во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

e i = e i, кин + e i, вн + e i, пот

Распределение частиц по скоростям (распределение Максвелла) является частным случаем распределения Больцмана. Оно имеет место, когда можно пренебречь внутренней энергией возбуждения и влиянием внешних полей. В соответствии с ним формулу распределения Больцмана можно представить в виде произведения трех экспонент, каждая из которых дает распределение частиц по одному виду энергии.

В постоянном поле тяжести, создающем ускорение g, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или других планет) потенциальная энергия пропорциональна их массе m и высоте H над поверхностью, т.е. e i, пот = mgH. После подстановки этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула , выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой.

В астрофизике, особенно в теории звездных спектров, распределение Больцмана часто используется для определения относительной заселенности электронами различных уровней энергии атомов.

Распределение Больцмана было получено в рамках классической статистики. В 1924-1926 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений Бозе-Эйнштейна (для частиц с целым спином) и Ферми-Дирака (для частиц с полуцелым спином). Оба эти распределения переходят в распределение Больцмана, когда среднее число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, то есть когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, другими словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости распределения Больцмана можно записать в виде неравенства:

N/V .

где N - число частиц, V - объем системы. Это неравенство выполняется при высокой температуре и малом числе частиц в единице объема (N/V). Из него следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений Т и N/V справедливо распределение Больцмана. Например, внутри белых карликов приведенное выше неравенство нарушается для электронного газа, и поэтому его свойства следует описывать с помощью распределения Ферми-Дирака. Однако оно, а вместе с ним и распределение Больцмана, остаются справедливыми для ионной составляющей вещества. В случае газа, состоящего из частиц с нулевой массой покоя (например, газа фотонов), неравенство не выполняется ни при каких значениях Т и N/V. Поэтому равновесное излучение описывается законом излучения Планка , который является частным случаем распределения Бозе-Эйнштейна.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Воспользуемся полученной нами ранее барометрической формулой:

и получим зависимость концентрации молекул от высоты. Поскольку

Если изобразить графики зависимостей в соответствии с (9.17) при различных температурах, то легко видеть, что с понижением температуры основная часть молекул располагается ближе к поверхности Земли. При абсолютном нуле все молекулы должны были бы расположиться на поверхности. Наоборот, при высоких температурах молекулы располагаются почти равномерно.

Конкретное распределение молекул устанавливается в результате действия противоположных факторов: сила притяжения концентрирует молекулы вблизи поверхности, а тепловое движение разбрасывает по всем высотам.

В числителе показателя степени экспоненты (9.17) стоит фактически энергия молекулы в поле силы тяжестиε р . Поэтому (9.17) можно записать в виде

Больцман доказал, что распределение (9.18) справедливо для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении в любом потенциальном поле . Поэтому распределение (18) называют распределением Больцмана . Это распределение можно представить в виде

где – количество молекул, попадающих в пределы объема , расположенного в точке с координатами x, y, z.

Это распределение можно объединить с распределением Максвелла, выделив из молекулы, компоненты скорости которых лежат в пределах от до ,от до , от до :

Очень часто энергия частиц может только дискретные значения из ряда: . В этом случае распределение Больцмана дает количество частиц , которые находятся в состоянии с энергией и имеет вид:

где – коэффициент пропорциональности, который определяется из условия нормировки. В этом случае условие нормировки сводится к требованию того, чтобы сумма частиц во всех состояниях была равна общему количеству частиц в системе :

Найдем значение нолрмирующего множителя, подставив (9.21) в (9.22):

Таким образом, окончательно распределение Больцмана для систем с дискретными разрешенными значениями энергии можно записать в виде:

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЕС

Понятие «статистический вес » (используется также термин термодинамическая вероятность ) является одним из основных в статистической физике. Чтобы сформулировать его определение необходимо сначала определить понятия макросостояние и микросостояние .

Одно и тоже состояние макроскопического тела можно охарактеризовать по-разному. Если состояние охарактеризовано заданием макроскопических параметров состояния (давление, объем, температура, плотность и т.п.) то такое состояние будем называть макросостоянием .

Если состояние охарактеризовано путем задания координат и скоростей всех молекул тела, то такое состояние будем называть микросостоянием .

Очевидно, что одно и то же макросостояние может быть реализовано различными способами, то есть различными микросостояниями. Число различных микросостояниий, которыми может быть реализовано данное макросостояние называется статистическим весом или термодинамической вероятностью .

Для пояснения указанных понятий рассмотрим модель (!) - сосуд, в котором находятся N молекул. Предположим, что сосуд разделен на две одинаковые части, и различные макросостояния отличаются количеством молекул в левой и правой половинах сосуда . Поэтому в рамках модели будем считать состояние молекулы заданным, если известно, в какой из половин сосуда она находится .

Различные микросостояния отличаются при этом тем, какие именно молекулы находятся справа и слева. 1,2 – 3,4 (как показано на рисунке 9.5) одно из состояний. 1,3 – 2,4 – другое микросостояние.

Каждая из молекул может с равной вероятностью находиться и слева, и справа. Поэтому вероятность i -той молекуле находиться, например, справа равна ½. Появление в левой части сосуда той молекулы наряду с той является статистически независимым событием , поэтому вероятность нахождения слева двух молекул равна ½ ½ = ¼; трех молекул – 1/8; четырех – 1/16 и т.д. Следовательно, вероятность любого размещения (микросостояния) молекул равна .

Утверждение о том, что, вероятности каждого их микросостояний равны, называются эргодической гипотезой , и оно лежит в основе статистической физики.

Рассмотрим N = 4. Каждое из размещений молекул в половинах сосуда является конкретным микросостоянием. Тогда макросостоянию с числом молекул слева соответствует 1 микросостояние. Статистический вес такого макросостояния равен 1, а вероятность его реализации – 1/16. Для иных макростоляний можно утверждать следующее:

Соответствует 6 микросостояний статистический вес 6, 6/16

Соответствует 4 микросостояния статистический вес 4, 4/16

Соответствует 1 микросостояние статистический вес 1, 1/16

Теперь можно видеть, что вследствие принятия эргодической гипотезы, статистический вес оказывается пропорциональным вероятности (обычной!) реализации данного макросостояния.

Если в сосуде содержится N молекул, то можно доказать, что статвес макросостояния, заключающегося в том, что слева n молекул, а справа (N – n)

Если для четырех молекул вероятность собраться в одной из половин сосуда составляет 1/16, то есть вполне ощутимую величину, то уже для N = 24 эта вероятность составляет порядка .

При нормальных условиях в 4 см 3 воздуха содержится около 10 20 молекул. Вероятность собраться им в одной из частей сосуда оценивается величиной .

Таким образом, с увеличением количества молекул в системе вероятность существенных отклонений от приблизительного равенства количеств молекул в частях сосуда очень быстро убывает. Это соответствует тому, что статвес состояний с приблизительно равным количеством молекул в половинах оказывается очень большим и быстро убывает по мере отклонения от равенства молекул в частях.

Если число N не очень велико, то с течением времени наблюдаются – заметные отклонения количества молекул в одной из половины от N / 2 . Случайные отклонения физической величиныx от ее среднего значения называются флуктуациям:

Среднее арифметическое абсолютной флуктуации равно нулю. Поэтому в качестве характеристики флуктуаций чаще рассматривают среднюю квадратичную флуктуацию :

Более удобной и показательной является относительная флуктуация :

Причем в статистической физике доказывается соотношение:

т.е. величина относительной флуктуации обратно пропорционально корню из количества частиц в системе . Это утверждение подтверждает наш качественный вывод.

Аналогично количеству молекул в одной из половин сосуда флуктуируют вблизи средних значений и другие макроскопические характеристики состояния – давление, плотность, и т.п.

Рассмотрим природу равновесных и неравновесных состояний и процессов с точки зрения статистической физики. Равновесным , по определению, является такое состояние, которое не имеет тенденции к изменению с течением времени. Ясно, что таким свойством в наибольшей мере будет обладать наиболее вероятное из всех макросостояний системы, то есть состояние, реализуемое наибольшим количеством микросостояний, а значит обладающее наибольшим статистическим весом. Поэтому равновесное состояние можно определить как состояние, статвес которого максимален .

Примером типичного необратимого процесса может служить распространение на весь объем сосуда молекул газа, первоначально сосредоточенных в одной из его половин. Этот процесс является необратимым, так как вероятность того, что в результате теплового движения все молекулы соберутся в одной из половин сосуда, очень мала. Соответственно всегда необратимым является процесс , обратный которому крайне маловероятен .

ЛЕКЦИЯ № 10 СТАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

10.1. ЭНТРОПИЯ

Как мы установили, вероятность состояния системы пропорциональна ее статическому весу, поэтому в качестве характеристики вероятности состояния можно было бы использовать сам статвес W. Однако W не является аддитивной величиной. Поэтому для характеристики состояния системы используют величину

которую называют энтропией системы. Действительно, если мы рассмотрим две системы по 4 молекулы в каждой, то статистический вес состояния, когда в каждой из подсистем находится, например, по одной молекуле слева будет равен 16, т.е. . Это соотношение справедливо для любых состояний. Следовательно, статвес неаддитивен . В то же время энтропия состояния результирующей системы т.е. является величиной аддитивной .

Поскольку при протекании необратимых процессов в изолированной системе она переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, можно утверждать, что энтропия изолированной системы возрастает при протекании в ней необратимых процессов .

Равновесное состояние является наиболее вероятным состоянием, а значит, энтропия системы перешедшей в равновесное состояние максимальна.

Поэтому можно утверждать, что энтропия изолированной системы остается постоянной, если она находится в равновесном состоянии, или возрастает, если в ней протекают необратимые процессы.

Утверждение о том, что энтропия изолированной системы не убывает, называетсявторым началом термодинамики или законом возрастания энтропии .

Энтропия является , очевидно, функциейсостояния и должна определятся параметрами состояния. Самыми простыми свойствами обладает одноатомный идеальный газ – его состояния полностью определяется заданием двух параметров, например, температуры и объема. Соответственно его энтропию можно определить как функцию температуры и объема: . Соответствующие вычисления показывают, что энтропия моля идеального газа определяется выражением

где - есть некоторая константа, с точностью до которой определяется энтропия.

Формула(6) оказывается справедливой для любых тел, необходимо только чтобы сообщение количества тепла было обратимым .

Остановимся на физической сущности энтропии .

Введем определения: состояние, осуществляемое относительно малым числом способов будет называться упорядоченным или неслучайным . Состояние, осуществляемое большим количеством способов – беспорядочным или случайным .

Тогда можно утверждать, что энтропия является количественной мерой степени беспорядка в системе . Сообщение системе количества тепла приводит к усилению теплового движения молекул, а значит и к росту энтропии. При этом, чем выше температура системы, тем меньше доля беспорядка вносимого сообщением данного , в чем и заключается физический смысл формулы(6).

Если количество тепла сообщается системе в ходе необратимого процесса, то ее энтропия возрастает не только за счет получения тепла, но и за счет протекания необходимых процессов, поскольку необратимый процесс сопровождается ростом вероятности состояния системы, ее статистического веса

В этом случае под в(7) подразумевается температура резервуара, из которого система получает . Объединяя (6) и(7) вместе можно записать:

При абсолютном нуле всякая система находится в основном состоянии , т. е. состоянии с наименьшей энергией. Статический вес этого вполне определенного состояния равен единице , а значит энтропия системы равна нулю. Это соответствует теореме Нернста , согласно которой энтропия всякого тела стремится к нулю при стремлении к нулю его температуры :

Теорему Нернста называют также третьим началом термодинамики .

До сих пор рассматривалось поведение идеального газа, не подверженного воздействию внешних силовых полей. Из опыта хорошо известно, что при действии внешних сил равномерное распространение частиц в пространстве может нарушиться. Так под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на дно сосуда. Интенсивное тепловое движение препятствует осаждению, и молекулы распространяются так, что их концентрация постепенно уменьшается по мере увеличения высоты.

Выведем закон изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно p, то на высоте h + dh оно равно p + dp (при dh > 0, dp < 0, так как p уменьшается с увеличением h ).

Разность давления на высотах h и h+dh мы можем определить как вес молекул воздуха заключённого в объёме с площадью основания равного 1 и высотой dh .

Плотность на высоте h , и так как , то = const.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона.

С изменением высоты от h 1 до h 2 давление изменяется от p 1 до p 2

Пропотенцируем данное выражение (

Барометрическая формула, показывает, как меняется давление с высотой

n концентрация молекул на высоте h,

n 0 концентрация молекул на высоте h =0.

Потенциальная энергия молекул в поле тяготения

Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при T = const плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекул.

24.Реальный газ - газ, который не описывается уравнением состояния идеального газа Клапейрона - Менделеева.

Зависимости между его параметрами показывают, что молекулы в реальном газе взаимодействуют между собой и занимают определенный объём. Состояние реального газа часто на практике описывается обобщённым уравнением Менделеева - Клапейрона:

где p - давление; V - объем; T - температура; Z r = Z r (p,T) - коэффициент сжимаемости газа; m - масса; М - молярная масса; R - газовая постоянная.Также существует такое понятие как критическая температура, если газ находится при температуре выше критической (индивидуальна для каждого газа, например для углекислого газа примерно 304 К), то его уже невозможно превратить в жидкость, какое бы давление к нему не прилагалось. Данное явление возникает вследствие того, что при критической температуре силы поверхностного натяжения жидкости равны нулю. Если продолжать медленно сжимать газ при температуре большей критической, то после достижения им объёма, равного приблизительно четырем собственным объёмам молекул, составляющих газ, сжимаемость газа начинает резко падать.

25. Фазовые переходы. Фазовые переходы 1 и 2 рода. Диаграммы состояния вещества. Тройная точка. Классификация фазовых переходов При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объём (т.е. плотность), количество запасённой внутренней энергии, концентрация компонентов и т. п. Подчеркнём: имеется в виду скачкообразное изменение этих величин при изменении температуры, давления и т. п., а не скачкообразное изменение во времени (насчёт последнего см. ниже раздел Динамика фазовых переходов). Наиболее распространённые примеры фазовых переходов первого рода: плавление и затвердевание, кипение и конденсация, сублимация и десублимация При фазовом переходе второго рода плотность и внутренняя энергия не меняются, так что невооружённым глазом такой фазовый переход может быть незаметен. Скачок же испытывают их вторые производные по температуре и давлению: теплоёмкость, коэффициент теплового расширения, различные восприимчивости и т. д. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества.

Тройная точка - точка на фазовой диаграмме, где сходятся три линии фазовых переходов. Тройная точка - это одна из характеристик химического вещества. Обычно тройная точка определяется значением температуры и давления, при котором вещество может равновесно находится в трёх (отсюда и название) агрегатных состояниях - твёрдом, жидком и газообразном. В этой точке сходятся линии плавления, кипения и сублимации.

ДИАГРАММА СОСТОЯНИЯ(фазовая диаграмма) - диаграмма, изображающая зависимость устойчивого фазового состояния одно- или многокомпонентного вещества от термодинамич. параметров, определяющих это состояние (темп-ры T , давления P , напряжённостей магн. H или электрич. E полей, концентрации с и др.). Каждая точка Д. с. (фигуративная точка) указывает на фазовый состав вещества при заданных значениях термодинамич. параметров (координатах этой точки). В зависимости от числа внеш. параметров Д. с. может быть двумерной, трёхмерной и многомерной. При исследовании равновесия фаз в условиях перем. давления строят изобарич. и изоконцентрац. сечения и проекции на плоскости T-P или Р-с . Наиб. полно изучены изобарич. Т-с сечения Т-Р-с Д. с., соответствующие атм. давлению.

26. Особенности поверхностного слоя жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения.

Молекулы вещества в жидком состоянии расположены почти вплотную друг к другу. В отличие от твердых кристаллических тел, в которых молекулы образуют упорядоченные структуры во всем объеме кристалла и могут совершать тепловые колебания около фиксированных центров, молекулы жидкости обладают большей свободой. Каждая молекула жидкости, также как и в твердом теле, «зажата» со всех сторон соседними молекулами и совершает тепловые колебания около некоторого положения равновесия. Однако, время от времени любая молекула может переместиться в соседнее вакантное место. Такие перескоки в жидкостях происходят довольно часто; поэтому молекулы не привязаны к определенным центрам, как в кристаллах (см. §3.6), и могут перемещаться по всему объему жидкости. Этим объясняется текучесть жидкостей. Из-за сильного взаимодействия между близко расположенными молекулами они могут образовывать локальные (неустойчивые) упорядоченные группы, содержащие несколько молекул. Это явление называется ближним порядком.

Пове́рхностное натяже́ние - термодинамическая характеристика поверхности раздела двух находящихся в равновесиифаз, определяемая работой обратимого изотермокинетического образования единицы площади этой поверхности раздела при условии, что температура, объём системы и химические потенциалы всех компонентов в обеих фазах остаются постоянными.Поверхностное натяжение имеет двойной физический смысл - энергетический (термодинамический) и силовой (механический). Энергетическое (термодинамическое) определение: поверхностное натяжение - это удельная работа увеличения поверхности при её растяжении при условии постоянства температуры. Силовое (механическое) определение: поверхностное натяжение - это сила, действующая на единицу длины линии, которая ограничивает поверхность жидкости.

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p - давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 - давление на нулевом уровне (h = h 0), M - молярная масса газа, R - газовая постоянная, T - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M - молярная масса газа, R - газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

,

(2.5.3)

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

Распределение Больцмана

В барометрической формуле в отношении M/R разделим и числитель и знаменатель на число Авогадро .

Масса одной молекулы,

Постоянная Больцмана.

Вместо Р и подставим соответственно. (см. лекцию №7), где плотность молекул на высоте h , плотность молекул на высоте .

Из барометрической формулы в результате подстановок и сокращений получим распределение концентрации молекул по высоте в поле силы тяжести Земли.

Из этой формулы следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает (рис. 8.10), обращаясь в 0 при Т=0 (при абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли). При высоких температурах n слабо убывает с высотой, так

Следовательно, распределение молекул по высоте является и распределением их по значениям потенциальной энергии .

(*)

где плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение ; плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия равна 0.

Больцман доказал, что распределение (*) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения .

Таким образом, закон Больцмана (*) даёт распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, по значениям потенциальной энергии . (рис. 8.11)

Рис. 8.11

4. Распределение Больцмана при дискретных уровнях энергии .

Полученное Больцманом распределение относится к случаям, когда молекулы находятся во внешнем поле и их потенциальная энергия может применяться непрерывно. Больцман обобщил полученный им закон на случай распределения, зависящего от внутренней энергии молекулы.

Известно, что величина внутренней энергии молекулы (или атома) Е может принимать лишь дискретный ряд дозволенных значений . В этом случае распределение Больцмана имеет вид:

где число частиц в состоянии с энергией ;

Коэффициент пропорциональности, который удовлетворяет условию

где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда и в результате для случая дискретных значений энергии распределение Больцмана

Но состояние системы в этом случае термодинамически неравновесное.

5. Статистика Максвелла-Больцмана

Распределение Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла-Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до , а координаты в пределах от x, y, z до x+dx, y+dy, z+dz , равно

где , плотность молекул в том месте пространства, где ; ; ; полная механическая энергия частицы.

Распределение Максвелла-Больцмана устанавливает распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля .

Примечание : распределение Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса (этот вопрос подробно рассматривается в спецкурсах по статической физике, и мы ограничимся только упоминанием этого факта).

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение вероятности.

2. Каков смысл функции распределения?

3. Каков смысл условия нормировки?

4. Запишите формулу для определения среднего значения результатов измерения величины x с помощью функции распределения.

5. Что представляет собой распределение Максвелла?

6. Что такое функция распределения Максвелла? Каков ее физический смысл?

7. Постройте график функции распределения Максвелла и укажите характерные особенности этой функции.

8. Укажите на графике наиболее вероятную скорость . Получите выражение для . Как изменяется график при повышении температуры?

9. Получите барометрическую формулу. Что она определяет?

10. Получите зависимость концентрации молекул газа в поле силы тяжести от высоты.

11. Запишите закон распределения Больцмана а) для молекул идеального газа в поле силы тяжести; б) для частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, вращающейся с угловой скоростью .

12. Объясните физический смысл распределения Максвелла-Больцмана.

Лекция №9

Реальные газы

1. Силы межмолекулярного взаимодействия в газах. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы реальных газов.

2. Метастабильные состояния. Критическое состояние.

3. Внутренняя энергия реального газа.

4. Эффект Джоуля – Томсона. Сжижение газов и получение низких температур.

1. Силы межмолекулярного взаимодействия в газах

Многие реальные газы подчиняются законам идеальных газов при нормальных условиях . Воздух можно считать идеальным до давлений ~ 10 атм . При повышении давления отклонения от идеальности (отклонение от состояния, описываемого уравнением Менделеева - Клайперона) возрастают и при p=1000 атм достигают более 100%.

и притяжения , а F – их результирующая . Силы отталкивания считаются положительными , а силы взаимного притяжения – отрицательными . Соответствующая качественная кривая зависимости энергии взаимодействия молекул от расстояния r между центрами молекул приведена на

рис. 9.1б). На малых расстояниях молекулы отталкиваются, на больших притягиваются. Быстро возрастающие на малых расстояниях силы отталкивания означают грубо говоря, что молекулы как бы занимают некоторый определённый объём, дальше которого газ не может быть сжат .