Искомое число найдено: a 0 = k − 1 {\displaystyle a_{0}=k-1} .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности I 0 , I 1 , I 2 , … {\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\ldots } :

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число E > 0 {\displaystyle E>0} , последовательность натуральных чисел 1 , 2 , … {\displaystyle 1,2,\ldots } превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого n {\displaystyle n} имеет место неравенство

то последовательность 10 n {\displaystyle 10^{n}} также превзойдёт E {\displaystyle E} , начиная с того же номера. В соответствии с определением числовой последовательности, это означает, что lim n → ∞ 10 n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty } .

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа α {\displaystyle \alpha } построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число α {\displaystyle \alpha } может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Рассмотрим например, десятичную дробь

Согласно определению, эта дробь является представлением числа 0 + 9 / 10 + 9 / 100 + … = 1 {\displaystyle 0+9/10+9/100+\ldots =1} . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби 1 , 00 … {\displaystyle 1{,}00\ldots } .

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

где a n ≠ 9 {\displaystyle a_{n}\neq 9} , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей и .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число α {\displaystyle \alpha } , не представимое в виде p / 10 s {\displaystyle p/10^{s}} , где p {\displaystyle p} — целое, s {\displaystyle s} — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида α = p / 10 s {\displaystyle \alpha =p/10^{s}} может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на . Число α = 0 {\displaystyle \alpha =0} может быть представлено дробями вида + 0 , 00 … {\displaystyle +0{,}00\ldots } , а также дробями вида − 0 , 00 … {\displaystyle -0{,}00\ldots } .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на 999 … {\displaystyle 999\ldots } , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого .

Лишние нули и погрешность

Следует отметить, что, с точки зрения , запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то десятичной дроби равна плюс-минус половине [ ] единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 (также, такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005.

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь называется периодической , если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

Такую дробь принято кратко записывать в виде

Повторяющаяся группа цифр b 1 … b l {\displaystyle b_{1}\ldots b_{l}} называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической . Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической , а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь 1 , (23) = 1,232 3 … {\displaystyle 1{,}(23)=1{,}2323\ldots } является чистой периодической, а дробь 0 , 1 (23) = 0,123 23 … {\displaystyle 0{,}1(23)=0{,}12323\ldots } — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют . Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби p / q {\displaystyle p/q} знаменатель q {\displaystyle q} не имеет

92 гл. II

4) Предполагая q по абсолютной величине меньшим чем 1, докажите,

5) Каков предел бесконечного ряда

1 − 2q + 3q2 − 4q3 + . . . ?

6) Вычислите пределы выражений

(Указание: воспользуйтесь результатами, полученными на стр. 31 –33 .)

4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби.

Такие рациональные числа p q , которые не могут быть представлены в

виде конечных десятичных дробей, разлагаются в бесконечные десятичные дроби посредством обыкновенного приема «длинного» деления. На каждой ступени этого процесса возникает остаток, не равный нулю, иначе дробь оказалась бы конечной. Различные возникающие остатки могут быть только целыми числами от 1 до q − 1, так что имеется всего q − 1 возможностей для значений этих остатков. Это значит, что после q делений некоторый остаток k появится во второй раз. Но тогда все следующие остатки также будут повторяться в том же порядке, в каком они уже появлялись после первого возникновения остатка k. Таким образом,

десятичное разложение всякого рационального числа обладает свойством периодичности; после некоторого числа десятичных знаков одна и та же группа десятичных знаков начинает повторяться бесконечное число раз. Например, 1 6 = 0,166666666 . . .;1 7 = 0,142857142857142857 . . .;

11 1 = 0,09090909 . . .;1100 122 = 0,1109090909 . . .;11 90 = 0,122222222 . . . и т. д. (Заметим по поводу тех рациональных чисел, которые представляются

в виде конечной десятичной дроби, что у этой конечной дроби можно вообразить после последнего ее десятичного знака бесконечно повторяющуюся цифру 0, и, таким образом, рассматриваемые рациональные числа не исключаются из данной выше общей формулировки.) Из приведенных примеров видно, что у некоторых из десятичных разложений, соответствующих рациональным числам, периодическому «хвосту» предшествует непериодическая «голова».

Обратно, можно показать, что все периодические дроби представляют собой рациональные числа. Рассмотрим, например, бесконечную периодическую дробь

p = 0,3322222 . . .

Можно написать: p = 100 33 + 10−3 · 2(1 + 10−1 + 10−2 + . . .). Выражение в

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ93

скобках есть бесконечная геометрическая прогрессия:

В общем случае доказательство строится таким же образом, но затруднено необходимостью вводить несколько громоздкие обозначения. Рассмотрим периодическую дробь общего вида

p = 0,a1 a2 a3 . . . am b1 b2 b3 . . . bn b1 b2 b3 . . . bn . . .

Обозначим через B = 0,b1 b2 b3 . . . bn периодическую часть нашего разложения. Тогда можно написать

p = 0,a1 a2 a3 . . . am + 10−m B(1 + 10−n + 10−2n + 10−3n + . . .).

Выражение в скобках - бесконечная геометрическая прогрессия, для которой q = 10−n . Сумма этой прогрессии, согласно формуле (10) преды-

дущего пункта, равна 1 − 10 −n , и потому

10−m · Bp = 0,a 1 a 2 a 3 . . . a m + 1 − 10 −n .

Упражнения. 1) Разложите в десятичные дроби следующие рациональные числа: 11 1 ,13 1 ,13 2 ,13 3 ,17 1 ,17 2 , и определите периоды разложений.

2) Число 142 857 обладает тем свойством, что при умножении его на 2, 3, 4, 5 или 6 в нем совершаются только перестановки цифр. Объясните это свойство, исходя из разложения числа 1 7 в десятичную дробь.

3) Разложите числа, приведенные в упражнении 1, в бесконечные дроби с основаниями 5, 7 и 12.

4) Разложите число 1 3 в двоичную дробь.

5) Напишите разложение 0,11212121 . . . Установите, какое число оно представляет при основаниях 3 или 5.

5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. На стр. 82 мы ввели предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь. Мы условились вместе с тем десятичные дроби, не представляющие рационального числа, называть иррациональными числами. На основе результатов, полученных в предыдущем пункте, мы можем теперь предложить следующую формулировку: «числовой континуум, или система действительных чисел («действительные» числа противопоставляются здесь «мнимым», или «комплексным», см. § 5), есть совокупность всевозможных бесконечных десятичных дробей». (Приписывая нули,

можно, как уже было отмечено, конечную десятичную дробь написать

в виде бесконечной, или есть другой способ: последнюю цифру дроби a заменить на a − 1 и к ней приписать бесчисленное множество девяток. Так, мы видели, например, что 0,999 . . . = 1, - см. п. 3.)

Рациональные числа суть периодические дроби; иррациональные числа суть непериодические дроби. Но и такое определение не представляется вполне удовлетворительным: действительно, мы видели в главе I, что самой природой вещей десятичная система ничем особым не выделяется из других возможных; таким же образом можно было бы оперировать, например, двоичной системой. По этой причине является чрезвычайно желательным дать более общее определение числового континуума, независимое от специального выбора основания 10 или любого иного. Вероятно, простейший метод для введения такого обобщения заключается

в следующем.

Рассмотрим на числовой оси некоторую последовательность I1 , I2 , I3 , . . . , In , . . . отрезков с рациональными концами; предположим, что каждый следующий отрезок содержится в предыдущем и что длина n-го отрезка In стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Такую последовательность «вложенных» друг в друга отрезков мы будем называть последовательностью стягивающихся отрезков. В случае десятичных отрезков длина In равна 10−n , но с таким же успехом она могла бы равняться, скажем, 2−n , или можно ограничиться хотя бы

тем требованием, чтобы она была меньше n 1 . Дадим теперь следующую

формулировку, которую будем рассматривать как основной геометрический постулат: какова бы ни была последовательность стягивающихся отрезков, существует одна и только одна точка числовой оси, которая одновременно содержится во всех отрезках. (Совершенно ясно, что существует не более одной такой точки, так как длины отрезков стремятся к нулю, а две различные точки не могли бы содержаться в отрезке, длина которого была бы меньше, чем расстояние между точками.) Эта точка, по определению, и называется действительным числом; если она не является рациональной, то называется иррациональным числом. С помощью такого определения мы устанавливаем полное соответствие между точками и числами. Здесь не прибавлено ничего существенно нового: всего лишь определению числа как бесконечной десятичной дроби придана более общая форма.

Все же читателя в этом месте могут охватить известные сомнения, которые следует признать вполне обоснованными. Что же на самом деле представляет собой та «точка» на числовой оси, которая, как мы допускаем, содержится одновременно во всех стягивающихся отрезках последовательности в случае, если она не соответствует рациональному числу? Наш ответ таков: существование на числовой оси

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ95

Рис. 11. Стягивающиеся отрезки. Пределы последовательностей

(рассматриваемой как геометрический образ) точки, содержащейся во всех стягивающихся отрезках с рациональными концами, есть основной геометрический постулат. Нет надобности делать редукцию, приводя его к иным математическим предложениям. Мы принимаем его, как принимаем в математике другие аксиомы или постулаты, основываясь на его интуитивной правдоподобности и на его полезности, обнаруживающейся при построении логически последовательной системы математических предложений. Чисто формально мы могли бы исходить из числовой прямой, которую мыслили бы как совокупность одних только рациональных точек, и затем определили бы иррациональную точку как

символ, обозначающий некоторую последовательность стягивающихся отрезков. Иррациональная точка полностью определяется последовательностью стягивающихся рациональных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Значит, наш основной постулат на самом деле способен служить определением. Принять такое определение, после того как мы были приведены к последовательности стягивающихся отрезков интуитивным ощущением, утверждающим «существование» иррациональной точки, - значит отбросить «костыли интуиции», на которые опиралось наше рассуждение, и осознать, что все математические свойства иррациональных точек могут быть понимаемы и представляемы как свойства последовательностей стягивающихся отрезков.

С чисто математической точки зрения в данном случае важно то обстоятельство, что, приняв определение иррационального числа как

последовательности стягивающихся отрезков, мы приобретаем возможность дать определения сложения, умножения и т. д., а также отношений неравенства, являющихся непосредственным обобщением соответствующих определений в поле рациональных чисел, и притом с сохранением всех основных законов, действующих в поле рациональных чисел. Так, например, чтобы определить сумму двух иррациональных чисел a и b исходя из двух последовательностей стягивающихся отрезков, определяющих числа a и b, построим новую последовательность стягивающихся отрезков, складывая соответственно начальные и конечные точки отрезков, входящих в состав данных последовательностей. То же можно сделать с произведением ab, разностью a − b и частным a/b. И можно показать на основе этих определений, что арифметические законы, рассмотренные в § 1 этой главы, при переходе к иррациональным числам не нарушаются. Подробности, сюда относящиеся, мы опускаем.

Проверка всех этих законов проста и производится непосредственно без особых затруднений, но могла бы показаться несколько скучноватой начинающему читателю, который, естественно, интересуется скорее тем, что можно сделать с помощью математики, чем анализом ее логических основ. Нередко случается, что новейшие учебники математики отталкивают читателя именно тем, что с первых же страниц дают педантическое обоснование системы действительных чисел. Читатель, спокойно игнорирующий эти страницы, пусть успокоит свою совесть сознанием того факта, что вплоть до конца XIX столетия все великие математики делали свои открытия на основе «наивной» концепции числового континуума, доставляемой непосредственно интуицией.

Наконец, с физической точки зрения, определение иррационального числа посредством последовательности стягивающихся отрезков естественно уподобляется определению числового значения некоторой доступной наблюдению величины - путем ряда измерений, производимых последовательно со все возрастающей точностью. Всякая операция, совершаемая, скажем, с целью определения длины некоторого отрезка, практически осмыслена лишь в пределах некоторой возможной погрешности, величину которой определяет точность инструмента. Так как рациональные числа расположены на прямой всюду плотно, то никакая физическая операция, как бы точна она ни была, не позволит различить, является ли данная длина рациональной или же иррациональной. Таким образом, могло бы показаться, что в иррациональных числах нет никакой необходимости для адекватного описания физических явлений. Но, как мы увидим в главе VI, при математическом описании физических явлений истинное преимущество, приобретаемое посредством привлечения иррациональных чисел, заключается в чрезвычайном упрощении этого описания - именно благодаря свободному использованию понятия предела, основой которого является числовой континуум.

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ97

*6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения. Несколько иной путь для определения иррациональных чисел был избран Рихардом Дедекиндом (1831–1916), одним из самых выдающихся основоположников логического и философского анализа основ математики. Его статьи - «Stetigkeit und irrationale Zahlen»1 (1872) и «Was sind und was sollen die Zahlen?»2 (1887) - оказали глубокое влияние на исследование основных принципов математики. Дедекинд предпочитал общие абстрактные концепции конкретным построениям вроде последовательностей стягивающихся отрезков. Его процедура базируется на идее «сечения»; мы сейчас опишем, что это такое.

Предположим, что каким-то способом удалось разбить совокупность всех рациональных чисел на два класса A и B таким образом, что всякое число b класса B больше, чем всякое число a класса A. Всякое разбиение такого рода называется сечением в области рациональных чисел. Если произведено сечение, то должна осуществиться одна из следующих трех логически мыслимых возможностей.

1) Существует наибольший элемент a в классе A. Такое положение вещей имеет место, например, в том случае, если к классу A отнесены все рациональные числа 6 1, к классу B - все рациональные числа > 1.

2) Существует наименьший элемент b в классе B. Это происходит, например, в том случае, если к классу A отнесены все рациональные числа < 1, к классу B - все рациональные числа > 1.

3) Нет ни наибольшего элемента в классе A, ни наименьшего в классе B. Сечение этого рода получится, например, в том случае, если

к классу A отнесены все рациональные числа, квадрат которых меньше чем 2, а к классу B - все рациональные числа, квадрат которых больше чем 2. Классами A и B исчерпываются все рациональные числа, так как было показано, что такого рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

Такой случай, когда в классе A есть наибольший элемент a и вместе с тем в классе B - наименьший элемент b , логически немыслим, так

и b , было бы больше, чем наибольший элемент в A, и меньше, чем наименьший элемент в B, и, значит, не могло бы принадлежать ни к A, ни к B.

В третьем случае, когда нет ни наибольшего рационального числа

в классе A, ни наименьшего в классе B, тогда, по Дедекинду, сечение определяет, или, лучше, представляет собой, некоторое иррациональ-

1 «Непрерывность и иррациональные числа». - Прим. ред.

2 «Что такое числа и чем они должны быть?» - Прим. ред.

В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

• Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1 .
• Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .
• Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
• Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
• Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3 .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

• целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Является ли данное число рациональным?

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Как представляется бесконечная периодическая десятичная дробь? В ней повторяющуюся группу цифр после запятой берут в скобки. Например, 1,56(12) - это дробь, у которой повторяется группа цифр 12, т. е. дробь имеет значение 1,561212121212... и так без конца. Повторяющаяся группа цифр называется периодом.

Однако в подобном виде мы можем представить любое число, если будем считать его периодом цифру 0, которая также повторяется без конца. Например, число 2 - это то же самое, что 2,00000.... Следовательно, его можно записать в виде бесконечной периодической дроби, т. е. 2,(0).

То же самое можно сделать и с любой конечной дробью. Например:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Однако на практике не используют преобразование конечной дроби в бесконечную периодическую. Поэтому разделяют конечные дроби и бесконечные периодические. Таким образом, правильнее говорить, что к рациональным числам принадлежат

• все целые числа,
• конечные дроби,
• бесконечные периодические дроби.

При этом просто помнят, что целые числа и конечные дроби представимы в теории в виде бесконечных периодических дробей.

С другой стороны, понятия конечной и бесконечной дроби употребимы к десятичным дробям. Если говорить об обыкновенных дробях, то как конечную, так и бесконечную десятичную дробь можно однозначно представить в виде обыкновенной дроби. Значит, с точки зрения обыкновенных дробей, периодические и конечные дроби - это одно и то же. Кроме того, целые числа также могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, если представить, что мы делим это число на 1.

Как представить десятичную бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной? Чаще используют примерно такой алгоритм:

1. Приводят дробь к виду, чтобы после запятой оказался только период.
2. Умножают бесконечную периодическую дробь на 10 или 100 или … так, чтобы запятая передвинулась вправо на один период (т. е. один период оказался в целой части).
3. Приравнивают исходную дробь (a) переменной x, а полученную путем умножения на число N дробь (b) - к Nx.
4. Из Nx вычитают x. Из b вычитаю a. Т. е. составляют уравнение Nx – x = b – a.
5. При решении уравнения получается обыкновенная дробь.

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели :

• Познакомить с определением рациональных чисел и с логической схемой развития понятия числа.
• Усвоить понятия:
• конечная десятичная дробь;
• бесконечная десятичная дробь;
• периодическая бесконечная десятичная дробь.
• Научить определять по виду обыкновенной дроби, какой десятичной дробью (конечной или бесконечной) она является.

Задачи:

• Развивать умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму.
• Развивать умения анализировать полученные результаты, делать выводы и ставить новые вопросы.
• Развивать умение использовать сформулированные правила при решении задач.
• Развивать умения составлять и читать схемы.

Тип урока: изучение нового материала.

Метод: проблемно-исследовательский.

Форма: групповая.

Ход урока

Первая часть урока.

Цель первой части урока (теоретическая): выяснить и усвоить, какие числа называются и являются рациональными и есть ли числа, какие таковыми не являются.

1. В начале урока коротко повторить определения натуральных, дробных, целых чисел.

2. Объявляется тема урока: Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби. (Слайд 2). Формулируется цель первой части урока.

4. Естественно возникает вопрос, какие же из известных нам чисел являются рациональными ? В ходе беседы на экране составляется логическая схема развития понятия числа (Рисунок 1 и Слайд 5). Приводим примеры и доказываем, что каждое из известных нам чисел является рациональным.

Рис. 1

5. Подробнее останавливаемся на десятичных дробях. Вспоминаем правило перевода десятичной дроби в обыкновенную (Слайд 6) и выполняем устно упражнение по переводу десятичной дроби в обыкновенную (Слайды 7–12).

(Устно) Переведите десятичную дробь в обыкновенную: 0,7; 0,75; 0,2; 0,16; 0,125; 0,375.

Дробь высвечивается на экране, дети поднимают карточку с верным ответом. Комплект карточек подготовлен заранее (Приложение 1) и лежит на столе у каждой группы; на карточках следующие числа 7/10, 75/100, 15/20, 3/4, 2/10, 1/5, 8/50, 4/25, 25/200, 1/8, 3/8, 5/8. Ответы комментируем, при необходимости выполняем пошаговую проверку (Слайды 7–12).

6. Приходим к выводу , что если десятичная дробь «получена» из обыкновенной, то эта десятичная дробь является рациональным числом.

Формулируется проблема: какими могут быть десятичные дроби и все ли десятичные дроби являются рациональными числами.

7. Для решения поставленных вопросов группы выполняют задание № 1 (Слайды 13–14) , (Приложение 2).

Задание № 1.1 (для группы 1)

Представьте обыкновенные дроби 1/4, 1/3, 1/6 в виде десятичных дробей.

Задание № 1.2 (для группы 2)

Представьте обыкновенные дроби 2/5, 4/11, 7/15 в виде десятичных дробей.

Проанализируйте полученные результаты.

Задание № 1.3 (для группы 3)

Представьте обыкновенные дроби 3/25, 1/37, 9/44 в виде десятичных дробей.

Проанализируйте полученные результаты.

Проанализировав результаты (Слайд 15) , а при необходимости, проверив вычисления (Слайды 16–18) , приходим к выводу, что десятичные дроби бывают а) конечные; б) бесконечные. А бесконечные обладают некоторым свойством: начиная с какого-то десятичного знака, один или несколько десятичных знаков повторяются. За это свойство такие бесконечные десятичные дроби назвали периодическими.

По ходу беседы на доске составляется схема. Таблички с надписями заготовлены заранее (Приложение 3) и крепятся магнитами к доске, а стрелочки можно нарисовать мелом.

Рис. 2

Дети делают вывод , что конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби являются рациональными числами. Однако, учитель комментирует, что на данном этапе знаний этот вывод только предположение и, что требуется еще доказать, что любая периодическая десятичная дробь может быть представлена в виде обыкновенной, а значит, является рациональным числом, и мы докажем это позже, в 9 классе. А пока будем пользоваться этим положением как фактом.

8. Далее детям предлагается проанализировать составленную схему и подумать, могут ли быть еще какими-нибудь десятичные дроби (или можно предложить придумать такую десятичную дробь, которая не будет являться ни конечной, ни бесконечной периодической). Приходим к выводу, что существуют еще бесконечные непериодические дроби. Приводим примеры таких дробей (0,01001000100001…; 0,12123123412345123456… и т.п.), и говорим о том, что они не будут являться рациональными числами (и опять-таки это наше предположение, которое мы сможем доказать, но только позднее, а пока будем пользоваться только как фактом).

Рис. 3

Вторая часть урока.

Цель второй части урока (практическая): выяснить, как, по виду обыкновенной дроби понять, можно ли представить ее в виде конечной десятичной дроби, или получится бесконечная дробь.

9. Формулируем проблему: как по виду обыкновенной дроби понять, можно ли представить ее в виде конечной десятичной дроби, или получится бесконечная дробь.

Для решения этой проблемы выполним задания. Каждое из заданий № 2-4 выполняется по группам. После выполнения каждого задания обсуждаются результаты. Каждая группа формулирует свои выводы.

10. Задание №2 (Слайд 20, Приложение 2)

1/20, 1/25, 4/50, 3/125, 5/8, 17/100.

• Разложите знаменатели данных дробей на множители.

Анализируем результаты (Слайд 20) (Слайд 21)

11. Задание №3 (Слайд 22, Приложение 2)

Переведите обыкновенные дроби в десятичные и ответьте на вопросы.

1/30, 3/110, 7/9, 8/55, 5/111, 7/82.

• Разложите знаменатели данных дробей на множители
• Каким общим свойством обладают знаменатели данных дробей?

Анализируем результаты (Слайд 23) , при необходимости проверив вычисления (Слайды 24–27) . Каждая группа сообщает о своих наблюдениях и делает предположительные выводы.

12. Задание №4 (Слайд 28 , Приложение 2)

Проанализируйте результаты предыдущих трех заданий и ответьте на вопросы:

• Какие десятичные дроби «получаются» из обыкновенных дробей?
• При каком условии обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби?
• При каком условии обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби?

Обсудив выступление представителя каждой группы по результатам задания № 4, переходим к выводам.

13. Выводы (Схема 2, Слайды 29–31 ):

1. Десятичные дроби бывают конечные и бесконечные.
2. Конечную десятичную дробь всегда можно представить в виде обыкновенной дроби и одна является рациональным числом.
3. Бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби – это рациональное число.
4. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби конечной или бесконечной периодической.
5. Конечная десятичная дробь получится, если в разложении знаменателя соответствующей обыкновенной несократимой дроби нет других простых множителей кроме 2 и 5 (Слайд 30).
6. Бесконечная периодическая десятичная дробь получится, если в разложении знаменателя соответствующей обыкновенной несократимой дроби присутствует любой другой простой множитель, кроме 2 и 5 (Слайд 31).

14. Применение правила (Слайды 32–33) :

Задание №5

1. Какие из обыкновенных дробей 1/2, 1/3, 7/15, 6/25, 5/16 можно представить в виде конечной десятичной дроби?
2. В каких дробях (обыкновенных или десятичных) «удобнее» выполнить вычисления: а) 3/8 + 0, 567; б) 2,378 – 3/14 ?
3. В каких дробях (обыкновенных или десятичных) вы запишите решение уравнения:
   1. 3х = 8;
   2. 5у = 12;
   3. 16а = –7?

Проверяем задание и подводим итоги:

15. Подведение итогов и постановка новых вопросов. (Рисунок 4, Слайды 34–35 ). Теперь мы знаем, что положительные и отрицательные обыкновенные дроби могут быть представлены в виде конечных или периодических десятичных дробей. Значит, последние являются рациональными числами. А бесконечные непериодические десятичные дроби таковыми не являются. По всей видимости, они входят в область каких-то других, не известных вам пока, чисел (по секрету скажу, что они называются иррациональными). Эти иррациональные числа вместе с рациональными тоже составляют свою область чисел, объединенных своими свойствами (действительные числа). А если, к области действительных чисел «добавить» еще какие-то числа, то,… Но это предмет будущих ваших исследований.

Рис. 4

16. Заключение урока (Слайд 36)

Урок заканчиваем цитатой Л.Н. Толстого: «Знание только тогда знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью». В этом ключе даем оценку работы каждой группы.

Домашнее задание:

1. Прочитать пункт 37 учебника. Какие вопросы, изложенные в тексте, мы не обсудили на уроке?
2. Придумать пять обыкновенных дробей, из которых «получаются» конечные десятичные дроби и пять обыкновенных дробей, из которых «получаются» бесконечные десятичные дроби (Приложение 4) и перевести эти дроби в десятичные.

Литература:

1. Шварцбурд С.И., Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. Математика 6, Мнемозина, 2006.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: Учебник для классов с углубленным изучением математики, Мнемозина, 2004.