Уравнение - это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) - это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x - 15 = x + 15

Итак:

4х - х = 15 + 15

3х = 30

х = 30: 3

х = 10

Результат: уравнение имеет один корень - число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней.
Например, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней.
Например, уравнение х + 2 = х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1 :

Уравнения х + 3 = 5 и 3х - 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х = 2.

Пример 2 :

Уравнения х 4 + 2 = 1 и х 2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

Целое уравнение с одной переменной - это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P (x ) = 0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.

Например:
y 2 + 3y - 6 = 0
(здесь P (x ) представлен в виде многочлена y 2 + 3y - 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения .

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x - переменная, a и b - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x :

b
x = - —
a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax 2 + bx + c = 0,

где x - переменная, a, b, c - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

Если D = 0, то уравнение имеет один корень;

Если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

где x - переменная, a, b, c, d - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

где x - переменная, a, b, c, d, e - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n -й степени может иметь не более n корней.

Пример 1 : Решим уравнение

x 3 - 8x 2 - x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x 2 (x - 8) - (x - 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x 2 (x - 8) - 1(x - 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x 2 и -1, являющиеся множителями многочлена x -8. Получим две группы многочленов: (x 2 -1) и (x - 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x - 8)(x 2 - 1) = 0.

Здесь выражение x 2 - 1 можно представить в виде x 2 - 1 2 . А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x 2 - 1 2 = (x - 1)(x + 1). Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0.

x - 8 = 0

x - 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x 1 = 0 + 8 = 8

x 2 = 0 + 1 = 1

x 3 = 0 - 1 = -1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и -1.

Пример 2 : Решим уравнение

(x 2 - 5x + 4)(x 2 - 5x +6) = 120

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом - методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x 2 - 5x .
Мы можем обозначить его переменной y . То есть представим, что x 2 - 5x = y .

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y 2 + 4y + 6y + 24 = 120

y 2 + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y 2 + 10y + 24 - 120 = 0

y 2 + 10y - 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y 2 + 10y - 96 = 0 имеет два корня:

y 1 = -16

y 2 = 6

Буквой y мы заменили выражение x 2 - 5x . А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y 1 = -16:

x 2 - 5x = -16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x 2 - 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y 2 = 6:

x 2 - 5x = 6

x 2 - 5x - 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x 1 = -1

x 2 = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: -1 и 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x 2 (такие уравнения называют биквадратными ).

• Равенство с переменной называют уравнением.
• Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
• Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
• Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
• Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры. Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство:

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу:

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как

х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:

чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

2. 3∙ (2х-9) = 4∙ (х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: -1,5.

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

§ 23. Линейное уравнение с одной переменной. Решение линейных уравнений с одной переменной и уравнений, сводящихся к ним

Мы зна емо, как решать уравнения 2х = -8; х - 5; 0,01 х -17.

Каждое из этих уравнений имеет вид ах = b , где х - переменная, а и b - некоторые числа.

Числа а и b называют коэффициентами уравнения.

Если а ≠ 0, то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Поделив обе части уравнения на а, получим х = , то есть являетсяединственным корнем этого уравнения является число

Если а - 0 и b - 0, то линейное уравнение имеет вид 0х - 0. Корнем такого уравнения является любое число, так как при любом значении х значение левой и правой частей уравнения равны и равны нулю. Поэтому уравнение 0х = 0 множество корней.

Если а - 0, а b ≠ 0, то линейное уравнение примет вид 0х - b . При этом не существует никакого значения переменной х, которое бы превращало левую и правую части уравнения на одно и то же число. Ведь значение левой части уравнения при любом значении х равен нулю, а значение правой части - числу b , отличном от нуля. Поэтому уравнение 0х = b при b ≠ 0 не имеет корней.

Систематизируем данные о решения линейного уравнения ах = b в виде схемы:

Пример 1. Решить уравнение:

Р а з в ’ я з а н н я.

1) 0,2 х = 7; х = 7: 0,2; х = 35.

Ответ: - 4.

3)0х = 7; уравнение не имеет корней.

Ответ: корней не имеет.

Процесс решения многих уравнений является сводом этих уравнений к лилейным путем равносильных преобразований по свойствам уравнений.

Пример 2. Решить уравнение:

1) 3(х + 1) - 2х = 6 - 4х;

Р а з в ’ я з а н н я.

1. Избавимся от знаменателей (если они есть):

1)3(х + 3) - 2х = 6 - 4х.

Умножим обе частили уравнения на 6 (6 - наименьший общий знаменатель дробей). Имеем:

3(х + 1) + 2(5 - х) = х + 13.

2. Раскроем скобки (если они есть):

3х + 9 - 2х = 6 - 4х;

3х + 3 + 10 - 2х = х + 13.

3. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а остальные - в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:

3х - 2х + 4х = 6 - 9;

3х - 2х - х = 13 - 3 - 10.

4. Сведем подобные слагаемые:

5. Решим полученное линейное уравнение:

Ответ: -0,6.

х - любое число.

Ответ: любое число.

Пример 3. Решить уравнение 5(х + г) = 3х - 7р в отношении х.

Р а з в ’ я з а н н я. Раскроем скобки в левой части уравнения: 5х + 5р - 3х - 7р. Перенесем слагаемое 3х в левую часть, а 5р - в правую. Имеем: 5х - 3х = -7р - 5р; 2х = -12р. Тогда х = (-12р) : 2; х = (-12: 2)г; х = -6р.

Ответ: -6р.

Какое уравнение называют линейным уравнением с одной переменной? Приведите примеры линейных уравнений. В каком случае уравнение ах - b имеет единственный корень? В любом случае корнем уравнения ах - b -любое число? В каком случае уравнение ах = b не имеет корней?

848. (Устно) Какое из уравнений является линейным:

5) х + 7 = х 2 ;

849. (Устно) Сколько корней имеет уравнение:

850. Выясните, какое из данных уравнений имеет только одно решение, не имеет решений, имеет бесконечное множество решений:

851. (Устно) Решите уравнение:

2) 0,5 х = -2,5;

3) -2,5 х = 7,5;

852. Решите уравнение:

6) -0,01 х = 0,17;

8)-1,2 х = -4,2;

853. Найдите корень уравнения:

6) 0,1 х = 0,18.

854. Определите, что должно быть записано справа в уравнении вместо пробелов, если известно его корень:

855. Найдите корень уравнения:

1) 7х + 14 = 0;

2) 0, 3х - 21 = 0,5 х - 23;

3) 1х + 3 = 6х - 13;

4) 5х + (3х - 7) = 9;

5) 47 = 10 - (9х + 2);

6) (3х + 2) - (8х + 6) = 14.

856. Решите уравнение:

2) 1,4 х - 12 = 0,9 х + 4;

3) 3х + 14 = 5х - 16;

4) 12 - (5х + 10) = -3;

5) 6 - (8х + 11) = -1;

6) (3х - 4) - (6 - 4х) = 4.

857. Какое из уравнений равносильно уравнению 5х = 10:

3) х + 2 = х + 1;

5) х = 8 - 3х;

6)1х - 7 = 4х?

858. Являются ли уравнения равносильными:

1) 4х - х = 17 3х = 17;

2) 5х - 9 = 3х и 6х = 21;

3) 2х = -12 и х + 6 = 0;

4) 12х = 0 15х = 15?

859.

1) 3х + 7 равен -2;

2) 4(х + 1) равно значению выражения 5х - 9?

860. При каком значении у:

1) значение выражения 5у - 13 равна -3;

2) значения выражений 3(в - 2) и 13у - 8 равны между собой?

861. Решите уравнение:

2) 2х - у = 1;

862. Найдите корень уравнения:

863. Составьте линейное уравнение, корнем которого является:

1) число -2;

2) число -0,2.

864. Составьте линейное уравнение:

1) не имеет корней;

2) корнем которого является любое число.

865. Составьте линейное уравнение, корнем которого было бы:

1) число -8;

2) любое число.

866. Найдите корень уравнения:

1)(4х - 2) + (5х - 4) - 9 - (5 - 11х);

2) (7 - 8х) - (9 - 12х) - (5х + 4) = -16;

3) 3(4х - 5) - 10(2х - 1) = 33;

4) 9(3(х + 1) 2х) = 7(х + 1).

867. Решите уравнение:

1) (9х - 4) + (15х - 5) = 18 - (25 - 22х);

2) (10х + 6) - (9 - 9х) + (8 - 11х) = -19;

3) 7(х - 1) - 3(2х + 1) = -х - 15;

4) 5(4(х - 1) - 3х) = 9х.

868.

1) 2х + а = х + а;

2) b + х = с - х;

3) 6х + 2m = х - 8m ;

4) 9а + х = 3b - 2х.

Р а з в ’ я з а н н я.

4) 9a - х = 3b - 2х; х + 2х = 3b - 9а; 3х = 3(b - 3a). Поделим обе части уравнения на 3. Получим: х = b - 3а.

Ответ: b - 3а.

869. Решите уравнение относительно х:

1) 7х + m = 2х + m ;

2) а + х = 2m - х;

3) 3х + b = 9b - х;

4) 5р + 2х = 10 - 3х.

870. Являются ли равносильными уравнения:

1) 2х - 4 = 2 и 5(х - 3) + 1 = 3х - 8;

2) 5х + 3 = 8 и 7(х - 2) + 20 = 4х + 3;

3) 5х = 0 и 0 х = 5;

4) 7х + 1 = 7х 2 и 5(х + 1) = 5х + 5;

5) 0: х = 7 и 0 ∙ х = 7;

6) 3(х - 2) = 3х - 6 и 2(х + 7) - 2(х + 1) + 12?

871. При каком значении у значение выражения:

1) 5у + 7 в три раза больше значения выражения у + 5;

2) 2у - 4 на 7,4 больше значения выражения 3 - 7у?

872. При каком значении х значение выражения:

1) 7х + 8 вдвое больше значения выражения х + 7;

2) 5х - 8 па 17,2 меньше значения выражения х + 2 ?

873. Составьте уравнение, которое было бы равносильно уравнению 7(2х - 8) = 5(7х - 8) - 15х.

874. При каком значении а уравнение:

1) 2ах = 16 имеет корень, равный 4;

2) 3х имеет корень, равный ;

3) 5(а + 1)х = 40 имеет корень, равный -1 ?

875. При каком значении b корнем уравнения:

1) 3b х = -24 является число -4;

2) (2а - 5)х = 45 с число 3?

876. Решите уравнение:

1) 4х + 7 = 3(х - 2) + х:

2) 2х + 5 - 2(х - 4) + 13;

3) 2х(1 - 3х) + 5х(3 - х) = 17х - 8х 2 ;

4) (7х - 3 + 2х 2 - 4х - 5) - (6х 3 - х 2 + 2х) = 3х 2 - (6х - х 3).

877. Найдите корень уравнения:

1) 3(х - 2) + 4х = 7(х -1) + 1;

2) 2(х + 1) + х = 6(х + 3);

3) 3х(2 + х) - 4 (1 - х 2) = 7х 2 + 6х;

4) (х 2 + 4х - 8) - (7х - 2х 2 - 5) = 3х 2 - (3х + 3).

878. Решите уравнение.

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.

Уравнение x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х 1 = i, х 2 = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.

Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.

Определим, равносильны ли уравнения:

а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8

1. Решим первое уравнение

2. Решим второе уравнение

Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.

б) x 2 + 1 = 0 и 2x 2 + 5 = 0

Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.

в) х – 5 = 1 и x 2 = 36

1. Найдем корни первого уравнения

2. Найдем корни второго уравнения

х 1 = 6, х 2 = -6

Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x 2 = 36 неравносильны.

При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.

Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение x 2 + 2 = 3х равносильно уравнению x 2 + 2 – 3х = 0.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение (x 2 – 1)/3 = 2х равносильно уравнению x 2 – 1 = 6х. Обе части первого уравнения мы умножили на 3.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.

Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.

1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т.к. а отлично от нуля).

2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т.е. корень уравнения – любое действительное число.

3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т.к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b).

В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.

Решим уравнения

а) (1/5)х + 2/15= 0

1. Перенесем компонент 2/15 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Такое преобразование регламентируется теоремой 1. Итак, уравнение примет вид: (1/5)х = -2/15.

2. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 15. Сделать это позволяет нам теорема 2. Итак, уравнение примет вид:

(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15

Т.о., корень уравнения равен -2/3.

б) 2/3 + х/4 + (1 – х)/6 = 5х/12 – 1

1. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 12 (по теореме 2). Уравнение примет вид:

12(2/3 + х/4 + (1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12

10 + х = 5х – 12

2. Пользуясь теоремой 1, «соберем» все числа справа, а компоненты с х – слева. Уравнение примет вид:

10 +12 = 5х – х

Т.о., корень уравнения равен 5,5.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!