Вида ах 2 + bх + 0 0, где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.

Пример 1 . Решить неравенство:

а) х 2 - 2х - 3 >0; б) х 2 - 2х - 3 < 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) х 2 - 2х - 3 < 0.
Решение,

а) Рассмотрим параболу у = х 2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.

Решить неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.

Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (- 00 , - 1), а также все точки открытого луча (3, +00).

Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (-00 , - 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.

б) Неравенство х 2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х 2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х 2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1

и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00 , - 1], а также все точки луча .

Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах 2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции

у = ах 2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.

Пример 2. Решить неравенство - 2х 2 + Зх + 9 < 0.
Решение.

1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х 2 + Зх + 9: х 1 = 3; х 2 = - 1,5.

2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х 2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент - отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.

3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ответ: х < -1,5; х > 3.

Пример 3. Решить неравенство 4х 2 - 4х + 1 < 0.
Решение.

1) Из уравнения 4х 2 - 4х + 1 = 0 находим .

2) Квадратный трехчлен имеет один корень ; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке . Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)

3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке , поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
Ответ: .
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм решения квадратных неравенств, оформим его.

Алгоритм решения квадратного неравенства ах 2 + bх + 0 0 (ах 2 + bх + с < 0)

На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.

Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах 2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах 2 + bх + с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.

Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с > 0 не имеет решений.

Доказательство. Графиком функции у = ах 2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4 . Решить неравенство:

а) 2х 2 - х + 4 >0; б) -х 2 + Зх - 8 >0.

а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х 2 - х + 4. Имеем D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.

Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x 2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся (-00 , + 00).

б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х 2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 (- 1) (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Ответ: а) (-00 , + 00); б) нет решений.

В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.

Пример 5. Решить неравенство Зх 2 - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx 2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и , поэтому воспользовавшись ах 2 + bх + с = а (х - x 1)(x - х 2),получим Зx 2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - )
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и (рис. 122).

Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x->0, а значит, и произведение 3(х - 3)(х - ) положительно. Далее, пусть < х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-) отрицательно. Пусть, наконец, х <; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) положительно.

Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx 2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx 2 - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала (, 3)
Ответ (, 3), или < х < 3.

Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.

Пример 6 . При каких значениях параметра р квадратное уравнение х 2 - 5х + р 2 = 0:
а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет -корней?

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р 2 .

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р 2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р 2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.

Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D - 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Получаем 4р 2 - 25 > 0; 4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);

б) при р = 2,5 илир = -2,5;
в) при р < - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра . 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.

Помощь школьнику онлайн , Математика для 8 класса скачать , календарно-тематическое планирование

Неравенство это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x - 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений . Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами .

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c :
Принцип прибавления неравенств : Если a Принцип умножения для неравенств : Если a 0 верно, тогда ac Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами .

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x
Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x - 5 и y 2 = 6 - 2x. Тогда отсюда видно, что для x
Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] }