ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 2 (8), стр. 2GG 270

УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ

О. М. Красильников* Ю. X. Векилов, И. Ю. Мосягин

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» 119049, Москва, Россия

Дано определение изотермических и адиабатических упругих постоянных /?-го порядка (/? > 2) нагруженного кристалла. Эти постоянные полностью характеризуют упругое поведение твердого тела при произвольной нагрузке и определяются не только межатомным взаимодействием, но и внешней нагрузкой. Для кристаллов кубической симметрии, находящихся под гидростатическим давлением, найдены соотношения, связывающие эти постоянные (второго, третьего и четвертого порядков) с упругими постоянными типа Браггера соответствующего порядка, которые определяются только межатомным взаимодействием. С использованием полученных соотношений уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков ОЦК-тантала при Т = 0 рассчитаны методом функционала электронной плотности в широком интервале давлений (0-600 ГПа). Полученные в работе результаты по уравнению состояния и упругим постоянным второго порядка согласуются с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для анализа структурных превращений в твердых телах под давлением необходима информация об упругих постоянных (УП) различного порядка (2, 3 и 4) . Эти постоянные определяют (с учетом ангармонических поправок) скорость звука и, соответственно, частоты длинноволновых акустических колебаний, соотношение «напряжение деформация», характер фазовых переходов, обусловленных потерей устойчивости кристаллической решетки к однородным деформациям. Экспериментальное определение УП под давлением (особенно постоянных выше второго порядка) задача трудная, поэтому значение приобретают вычисления УП различного порядка с помогцыо компьютерного моделирования. В последние несколько лет опубликован целый ряд работ по расчету в рамках теории функционала плотности УП второго порядка металлов с кубической решеткой в мегабарном диапазоне давлений . В работах УП Та, V, Мо, N1) и \¥ находились как вторые производные свободной энергии по компонентам тензора бесконечно малых деформаций. Упругие постоянные Р1 и Си опреде-

E-mail: omkrasö"mail.ru

лялнсь в работах из соотношений «напряжение деформация» (закон Гука), деформированное состояние задавалось с помощью тензора бесконечно малых деформаций. В работах для нахождения УП второго порядка алюминия и ванадия использовалось разложение свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций.

Результаты расчета УП третьего и четвертого порядков ряда веществ с кубической решеткой (Си, А1, Аи и Ag) при атмосферном давлении приведены в работе . УП находились из разложения свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций Лагранжа. Свободная энергия вычислялась методом функционала плотности. Аналогичный расчет УП третьего порядка ванадия в интервале 0 800 ГПа проведен в работе .

Разнообразие в способах вычисления упругих постоянных связано с различными определениями этих величин (см., например, ). В ненагружен-ном состоянии все эти определения дают для УП второго порядка одни и те же значения. Однако в случае нагруженного кристалла вычисления приводят к различным величинам этих постоянных.

В настоящей работе дано определение упругих постоянных /¿-го порядка (п > 2), пригодное для описания упругих свойств как нагруженного кри-

паI.т. так и кристалла в отсутствие нагрузки. В качество примера рассчитаны УП второго и третьего порядков ОЦК-тантала в широком интервале давлений.

2. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ НАГРУЖЕННОГО КРИСТАЛЛА

Стандартное определение упругих постоянных /¿-го порядка дано в работе

(дпР То \дцидг1к1 1 (;)"("

То Кдщдг/и

Здесь Суд,; и Суд/ соответственно изотермические и адиабатические УП /7-го порядка (п > 2), ^и и соответственно свободная и внутренняя энергии кристалла, 1"о объем в не деформированном состоянии; //у компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа . Производные в (1) вычисляются при постоянной температуре Т и энтропии 5". Если а/., = ()г/. / <)!■,",. где гд, и Д, декартовы координаты точки тела, соответственно, в деформированном и не деформированном состояниях, то

Чи = т^"/.,",..;

где ¿>у символ Кронокора (по повторяющимся индексам здесь и в дальнейшем идет суммирование от 1 до 3). Компоненты тензора //у можно выразить через градиенты смещений иу = д-и^/дЩ [и, = = г, - в результате //у = и у + и^и^;/2 (вращение кристалла отсутствует). Если квадратичным слагаемым можно пренебречь, получаем тензор бесконечно малых деформаций ¡./у.

Упругие постоянные (1) полностью определяют упругое поведение нонагружонного кристалла. В нагруженном состоянии эти постоянные не учитывают работу, которая должна быть совершена против внешней нагрузки силами, вызванными дополнительной малой деформацией у. В работах рассмотрены так называемые эффективные УП для случая гидростатического давления. Эти постоянные учитывают как изменение свободной или внутренней энергии кристалла при деформации вблизи исходного состояния при заданном давлении Р, так и работу против гидростатического давления силами, обусловленными этой деформацией. Обобщая результаты этих работ, изотермические и адиабатические упругие постоянные различного поряд-

ка можно определить как соответствующие производные потенциала Гиббса С или энтальпии Н по компонентам тензора конечных деформаций //у при заданной нагрузке:

¡.¡и... - т-

1-0 \дццдщ./...

и о дщд1,к1

где п > 2. Суд,/ и Суд,/ полностью описывают упругое поведение кристалла при произвольном нагружонии. В случае гидростатического давления С = Р + Р\~, Н = и + РV. В отсутствие нагрузки определения (3) совпадают с (1). Аналогичное соотношение для изотермических УП второго порядка приведено в .

Величины Суд/... определяются не только межатомным взаимодействием, но и непосредственно приложенной нагрузкой и, в отличие от постоянных (1), обладают полной фойгтовской симметрией к перестановке индексов только при гидростатическом давлении (при других видах нагрузки такой симметрии пет) . Кроме того, для них соотношения Копти выполняться но могут, поскольку эти постоянные включают в себя внешнюю нагрузку. Как следует из работы , при использовании УП второго порядка Суд/ уравнение Кристоффеля, определяющее скорость звуковых воли в кристалле, имеет одинаковый вид как для нонагружонного, так и нагруженного кристаллов. То же относится и к условиям устойчивости кристалла , а также к соотношению «напряжение деформация» : в обоих случаях они имеют одинаковый вид.

Пользуясь соотношением (3), найдем выражение для изотермических УП второго четвертого порядков при гидростатическом давлении. Изменение потенциала Гиббса при деформации //у при давлении Р и температуре Т на единицу объема в недеформи-рованном состоянии равно

АС _ АР АУ У0 То К) Здесь ДС = С(Р,Т,"Г1)-С(Р,Т, 0), АР = Р(П. Т. //) - - Р(Р,Т,0), ДГ = V - Ко изменение объема в результате деформации, заданной компонентами тензора конечных деформаций Лагранжа »/у. Разложим ДС и в ряд по "//у до четвертого порядка включительно:

77 (<.Д1"/<./""М" + "7 (/./"/ //к»"//./""// /"/»<"" + 0 ^ О

I 2| С"ГД/ п) г, (.■11 Ьп г, ■ (5)

Таблица 1. Соотношения между и

н СЦ 1 = СЦ 1 + 2>Р Clin = Сии - 15Р Cl255 = С12.5.5 + Р

Cll2 = Си 2 - Р С1112 = С1112 + 3 Р С1266 = С1266 - Р

с12 = Ci2 + Р Cl23 = Ci23 + Р Сц22 = Сц22 + Р С1456 = Ci4.56 - Р

С144 = С144 - Р Сц 23 = Сц23 - Р С4444 = С4444 - 3 Р

D1 нСа. tfb II С155 = Ci.5.5 + Р С1144 = С1144 + Р С44.5.5 - С44.5.5 р

С4.56 = С4.56 + Р Сц.5.5 = Сц.5.5 - 2>Р

Таблица 2. Уравнение состояния и упругие постоянные тантала

\ о, А3 Р ГПа Сц, ГПа С12, ГПа С44, ГПа -Chi , ГПа Сц2, ГПа С123, ГПа С144, ГПа Ci.5.5, ГПа С4.56, ГПа

18.80 ^4.82 238.5 144.5 63.48 2258 664.9 32.9 407.8 308.9 152.1

17.97 3.87 285.4 172.0 72.58 2632 741.0 27.6 467.9 332.2 206.1

1G.38 2G.82 393.5 239.4 91.44 3374 938.8 47.9 618.7 395.6 362.6

14.90 59.43 530.6 330.8 111.4 3904 1307 - 838.7 588.5 601.3

13.50 105.3 699.1 458.57 127.4 - 2043 - 1274 1110 962.6

12.19 1G9.G 900.5 648.3 160.7 6491 2571 - 1780 1759 1437

10.98 262.1 1333 909.7 272.0 12774 2977 601.2 2362 2259 2130

9.84 398.3 1885 1256 422.5 16981 3424 1839 3049 3163 3034

8.79 597.1 2606 1803 620.3 21365 5125 2512 4244 4346 4192

В (5) линейный член разложения отсутствует, поскольку система находится в равновесии:

Vii + 77 ■ ijU>lij>IU + 77 ^ ijkimnVijVklVmn + О ^ О

I ^ijklmnpq4ij4klЧтп"Чрд

Так как AV/Vo = <7 - 1, где J = dot |a:y| , выразим a.jj через j/y, используя соотношение (2). В результате, удерживая слагаемые до четвертого порядка по //,;. получим 1

"и = ¿у + Щ - -rikir)kj +

1...... 5........

I пVrkVriVkj 0 VkjVmkVmnVni (") I О

Подстановка выражений для AG/I"o и AF/Vq в (4) позволяет выразить УП Суд./... через постоянные

Браггера Суд./... и давление Р. Кристаллы кубической симметрии (группы 43т, 432, ^З^) имеют три независимые УП второго порядка Сар, шесть постоянных третьего порядка и одиннадцать четвертого порядка Упругие постоянные даны в обозначениях Фойгта: а,3,... принимают значения от 1 до 6 в соответствии с правилом: 11 -1, 22 2, 33 3, 23 4, 13 5 и 12 6. Соотношения между Сац... и постоянными Браггера приведены в табл. 1.

В работах показано, что УП второго порядка Сац можно также получить как вторые производные свободной (или внутренней) энергии при заданном давлении Р по компонентам тензора бесконечно малых деформаций и у. Но ситуация с УП второго порядка исключение, связанное с тем, что в выражении для //у помимо линейного по ¡./у слагаемого имеется и квадратичное. Для УП при

О ТЕПЛОВОМ РАСШИРЕНИИ КРИСТАЛЛОВ ИЗОТОПОВ ЛИТИЯ

МАГОМЕДОВ М.Н. - 2009 г.

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДАВЛЕНИЯХ

КРАСИЛЬНИКОВ О.М. - 2007 г.

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу, - это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными .

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости , которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях и .

Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10,б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем . Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором . В общем случае у него будут компоненты, содержащие , и , но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: , и . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

(39.42)

Назовем атом с координатами «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11. Обозначая постоянную решетки через , мы получаем - и -компоненты перемещения , , выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1 КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ,

	Положение ,

Фиг. 39.11. Перемещение ближайших и следующих поблизости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка -перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент и в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами и можно получить выражение для энергии

. (39.44)

Для полной энергии всех пружинок в плоскости нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через , получаем

(39.45)

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только - и -компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости . Эта добавочная энергия равна

. (39.46)

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится атомов, то и связаны соотношением

Чтобы найти упругие постоянные , нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при с соответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с и , мы находим, что множитель при нем равен

.

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения от , то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при в уравнении (39.45) равен , так что получаем

.

Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что , поэтому

.

Таким же способом можно получить

.

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок или , равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

(39.47)

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных и . В нашем частном случае . Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что , вообще говоря, не равно . Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе - это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные и у них почти равны. Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию .

Таблица 39.2 УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ. В (В )

Кристалл

ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

Величины, характеризующие упругие св-ва изотропного материала (см. МОДУЛИ УПРУГОСТИ , ГУКА ЗАКОН). Названы по имени франц. математика Г. Ламе (G. Lame).

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Для однородного изотропного тела напряжения , , . . ., , . . . в нек-рой точке его выражаются через компоненты деформации , , . . ., , . . . в той же точке шестью соотношениями вида

где коэф. и наз. Л. п. (по имени Г. Ламе, G. Lame). Они зависят как от материала, так и от его темп-ры и удобны для общих исследований в теории упругости, когда напряжения выражены через деформации. Л. п. связаны с модулями упругости ф-лами

Здесь Е - модуль продольной упругости, К - модуль объёмного сжатия, G - модуль сдвига, - коэф. Пуассона. По полученным эксперим. путём значениям модулей упругости с помощью приведённых зависимостей вычисляются величины Л. п.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ" в других словарях:

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Ламе постоянные λ и µ связаны с модулями упругости соотношениями: µ = G = E/, λ = Eν/[(1 + ν)·(1 – 2ν)] = K – 2G/3, где Е модуль продольной упругости, K модуль… … Энциклопедический словарь

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Постоянные Ламе? и? связаны с модулями упругости соотношениями:??=?=EЛАМЕННЕ (Lamennais) Фелисите Робер де (1782 1854) французский публицист и религиозный философ, аббат, один из …

Величины, связывающие компоненты упругого напряжения в какой либо точке твердого изотропного деформируемого тела с компонентами деформации в этой же точке: где s и t нормальная и касательная составляющие напряжения, e компоненты деформации, а… … Математическая энциклопедия

Величины, связывающие компоненты упругого напряжения в какой либо точке твёрдого изотропного деформируемого тела с компонентами деформации в этой же точке: σx = 2μεxx + λ(εxx + εyy + εzz), τxy = μεxy, где σ и τ… …

Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Л. п. А. и ц. связаны с модулями упругости соотношениями: м = G = Е/, Л = = Еv/[(1+v) х (l 2v)]=.K 2G/3, где Е модуль продольной упругости, К модуль объёмного сжатия, G… …

Ламе (Lamé) Габриель (22.7.1795, Тур, ≈ 1.5.1870, Париж), французский математик и инженер, член Парижской АН (1843). Профессор Политехнической школы (1832≈1863) и Парижского университета (1848≈63). В 1820≈32 работал в России (в институте… … Большая советская энциклопедия

- (Lamé) Габриель (22.7.1795, Тур, 1.5.1870, Париж), французский математик и инженер, член Парижской АН (1843). Профессор Политехнической школы (1832 1863) и Парижского университета (1848 63). В 1820 32 работал в России (в институте… … Большая советская энциклопедия

- (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства твёрдых тел (см. Упругость). Модули упругости коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта… … Энциклопедический словарь

- (упругие постоянные) величины, характеризующие упругие свойства твердых тел (см. Упругость). Модули упругости коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта… … Большой Энциклопедический словарь

- (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства тв. тел (см. Упругость). М. у. коэф. в зависимости деформации от приложенных механич. напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта зависимость линейная, а М. у … Естествознание. Энциклопедический словарь

Упругие постоянные кристаллов. I

Содержание: Общие представления. Введение. Напряжение и деформация. Модули упругости и постоянные упругости. Упругость в «классической форме». Тензорные обозначения и уравнение движения. Физический смысл упругих постоянных. Атомистические теории упругих постоянных. Другие тензорные свойства. Взаимосвязь теории упругости с другими разделами физики. Экспериментальные методы. Статические измерения. Динамические измерения. Использование взаимодействия решетки с излучением. Упругие постоянные различных веществ. Щелочно-галоидные соединения. Одновалентные металлы. Многовалентные металлы. Кристаллы с решеткой алмаза или цинковой обманки. Инертные газы в твердом состоянии. Ферромагнитные материалы. Пьезоэлектрические материалы. Поликристаллические материалы. Изменение упругих постоянных с температурой и давлением. Сводка экспериментальных результатов. Теория уравнения состояния. Влияние состава, фазовых изменений и релаксационных явлений. Неупругие эффекты. Некоторые сплавы и смеси.Влияние разбавленных твердых растворов. Влияние фазовых переходов на упругие постоянные. Влияние сверхпроводимости. Влияние дислокаций. Действие радиационных нарушений. Электронная релаксация при низких температурах.

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя иэ некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными C ¡jkl .

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях yz и zx .

Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k 1 . Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k 2 . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором е ¡j . В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: е хх,е xy и е yy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11. Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u x , u y , выписанные в табл. 39.1

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k 2 /2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка (1-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений.

Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент и х и u y в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами и х и u у. можно получить выражение для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U 0 , получаем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/а 3 атомов, то w и U o связаны соотношением

Чтобы найти упругие постоянные С ¡jkl , нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е ¡j е kl с соответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е 2 xx и е 2 y у, мы находим, что множитель при нем равен

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения e xx e yy от е yy е xx , то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при e xx e yy в уравнении (39.45) равен 2k 2 , так что получаем

Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что С xxyy - С у ухx , поэтому

Таким же способом можно получить

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k 1 и k 2 . В нашем частном случае С xyxy =С xxyy . Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что С xxyy , вообще говоря, не равно С xyxy . Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные С xxyy и С xyxy у них почти равны. Только хлористое серебро почему-то недочет подчиняться условию С ххуу — С хуху.