Книга Неймана является первым н до сих пор единственным доведённым до конца опытом изложения аппарата квантовой механики с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только существованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему. В частности, именно в этой книге изложено доказательство знаменитой теоремы о невозможности ввести "скрытые параметры" без кардинальной перестройки всей квантовой механики.
Таким образом, книга будет чрезвычайно ценной для всех глубоко изучающих квантовую механику, в первую очередь для студентов старших курсов и аспирантов, как физиков, так и математиков, а также для научных работников этих же дисциплин.

Возникновение теории преобразований.
Здесь не место указывать на огромные успехи, достигнутые квантовой теорией в период с 1900 по 1925 гг. в ходе развития, над которым господствуют имена Планка, Эйнштейна и Бора).

К концу этого процесса развития представилось ясным и не оставляющим никаких сомнений, что все элементарные процессы, т. е. все происходящее в атомно-молекулярном масштабе, управляются «прерывными» законами квантов. Почти для всех задач имелись и количественные квантово-теоретические методы, которые большей частью вели к результатам, более или менее хорошо согласующимся с опытом. И что имело наибольшее принципиальное значение-само мышление теоретико-физического исследования восприняло ту идею, что господствующий во всем доступном восприятию макрокосмиче-ском мире принцип непрерывности («natura non facit saltus») возникает лишь в результате процесса усреднения в по существу своему прерывном мире - благодаря тому, что человек обычно сразу аппер-цепирует только сумму многих квадрильонов элементарных процессов, так что истинная природа единичного процесса оказывается полностью завуалированной все нивелирующим законом больших чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Введение
Глава I. Вводные замечания
1. Возникновение теории преобразований
2. Первоначальные формулировки квантовой механики
3. Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований
4. Эквивалентность двух теорий: Гильбертово пространство
Глава II. Общие свойства абстрактного гильбертова пространства
1. Определение абстрактного пространства Гильберта
2. Геометрия гильбертова пространства
3. Отступление: Об условиях А.-Е
4. Замкнутые линейные многообразия
5. Операторы в гильбертовом пространстве
6. Проблема собственных значений
7. Продолжение
8. Предварительное рассмотрение проблемы собственных значений
9 Отступление: О существовании и единственности решения проблемы собственных значений
10. Коммутирующие операторы
11. Шпур
Глава III. Квантовомеханическая статистика
1. Статистические утверждения квантовой механики
2. Статистическая "интерпретация
3. Одновременная измеримость и измеримость вообще
4. Соотношения неопределенности
5. Проекционные операторы как утверждения
6. Теория излучения
Глава IV. Дедуктивное построение теории
1. Принципиальное обоснование статистической теории
2. Доказательство статистических формул
3. Выводы из экспериментов
Глава V. Общее рассмотрение
1. Измерение и обратимость
2. Термодинамические вопросы
3. Вопросы обратимости и равновесия
4. Макроскопическое измерение
Глава VI. Процесс измерения
1. Постановка задачи
2. Составные системы
8. Обсуждение процесса измерения
Дополнен ие. Доказательство эргодической теоремы и H-теоремы в новой механике (Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929))
Введение
I. Квантовомеханическая формулировка основных понятий статистической механики Гиббса
II. Проведение доказательств
III. Обсуждение результатов
Приложение.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математические основы квантовой механики, Иоганн фон Нейман, 1964 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

(В этой главе содержатся сведения из математики, необходимые при чтении остальных глав книги. Однако в этих главах есть целый ряд разделов, которые можно читать без детального знания таких сведений, так что не следует отчаиваться, если они покажутся трудными. )

В первой главе уравнение Шредингера для атомной частицы было получено из классического уравнения, соответствующего гармонической стоячей волне, и соотношения де Бройля. Для систем, содержащих много частиц, а также при наличии внешнего электрического и магнитного полей, необходим более общий подход к уравнениям квантовой механики.

Основы квантовой механики лучше всего рассматривать в виде совокупности постулатов, из которых можно вывести уравнения движения. Тогда сами постулаты находят подтверждение в согласии решений полученных уравнений с экспериментом. Рассмотрим систему из n частиц, которая классически описывается заданием в каждый момент времени значений 3n обобщенных координат (q) и 3n обобщенных импульсов (р). Чтобы описывать такую систему в квантовой механике, вводят следующие постулаты:

Постулат 1 . Систему частиц можно характеризовать функцией Ψ(q 1 ... q 3n , t), называемой волновой функцией, через которую определяются все измеряемые величины для системы. Физический смысл имеет величина Ψ * Ψdq 1 ... dq 3n , определяющая вероятность нахождения координат частиц в интервале между *) q 1 ... q 3n и q 1 + dq 1 ... q 3n + dq 3n .

*) (Хотя при изложении теории атома водорода авторы оговорили, что они ограничиваются рассмотрением состояний с отрицательной энергией, здесь, в более строгом изложении, отметим, что данное толкование волновой функции применимо только для функций, которые могут быть подчинены условию нормировки (6.1). Существуют и такие состояния, волновые функции которых квадратично неинтегрируемы и, следовательно, не могут удовлетворять этому условию; в таких случаях величина Ψ * Ψ определяет лишь относительные, но не абсолютные вероятности (см. примечание на стр. 100). - Прим. ред. )

Поскольку каждая частица непременно должна быть в какой-то точке пространства, интегрирование плотности вероятности по всему пространству должно давать единицу. Это выражается условием нормировки

∫ Ψ * Ψ dυ = 1, (6.1)

где dυ = dq 1 ... dq 3n и интеграл берется по всему 3n-мерному пространству.

Постулат 2 . Каждой физически наблюдаемой величине в квантовой механике сопоставляется линейный оператор; обозначим его, например, β . Тогда среднее значение этой наблюдаемой величины определяется как *)

b‾ = ∫ Ψ * β Ψ dυ. (6.2)

*) (Если необходимо преобразовать какую-либо функцию f(х) в другую функцию g(x), то алгебраически это выражается соотношением β f(х) = g(x), где β - оператор. Например,

[+2]x 3 = 2 + х 3 (а); [х] х 3 = х 4 (б); [√] x 3 = x 3 / 2 (в);

X 3 = 3x 2 (г).

Во всех этих выражениях оператор заключен в квадратные скобки. Операторы действуют на функции, расположенные справа от них. Оператор называется линейным, если выполнены условия

β = β f(х) + β g(х) и β kf(х) = kβ f(x),

где k - постоянная. В указанных примерах только (б) и (г) - линейные операторы.)

Правило построения квантовомеханических операторов заключается в следующем: классическое выражение для рассматриваемой величины записывается в переменных р и q, тогда соответствующий квантовомеханический оператор получается заменой p k на

Приведем несколько примеров средних значений вида (6.2).

а) Среднее значение координаты х отдельной частицы

б) Среднее значение x-компоненты импульса отдельной частицы

Следует отметить, что если оператор β - алгебраическая функция координат, как в уравнении (6.3), то не существенно, где именно он расположен в подынтегральном выражении. Если же β - дифференциальный оператор, то его нужно поместить между функциями Ψ * и Ψ так, чтобы он действовал только на функцию Ψ.

Постулат 3 . Для системы, полная энергия которой неизменна во времени (консервативная система), классическое выражение энергии, записанное в переменных q, р, известно как функция Гамильтона. Соответствующий оператор в квантовой механике (т. е. оператор энергии) называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом, и обозначается символом

Для консервативных систем волновая функция удовлетворяет уравнению

Ψ(q, t) = EΨ(q, t), (6.5)

где Е - энергия системы - постоянная величина, не зависящая от координат и времени t *).

*) (Консервативная система может и не обладать определенным значением энергии, а характеризоваться некоторым вероятностным распределением по энергии. Волновая функция такого состояния не удовлетворяет уравнению (6.5). Плотность вероятности Ψ 2 будет зависеть от времени, но распределение по энергии остается постоянным. - Прим. ред. )

Заметим, что в обеих частях уравнения (6.5) содержится одна и та же функция Ψ(q, t). Уравнение (6.5) есть уравнение для собственных функций оператора

Е - собственное значение оператора

Ψ - соответствующая собственная функция.

В качестве простого примера уравнения типа (6.5) имеем

Собственные функции оператора

есть e kx , а его собственные значения равны k. С математической точки зрения совершенно бессмысленно сокращать обе части уравнения (6.6) на е kх [или обе части уравнения (6.5) на Ψ] потому, что оператор имеет смысл в уравнении только в том случае, если он действует на функцию.

Постулат 4 . В более общем случае волновая функция удовлетворяет уравнению

Оно называется временным уравнением Шредингера, которое в отличие от уравнения (6.5) справедливо и в том случае, если гамильтониан зависит от времени.

Если функция Ψ известна в некоторый момент времени, то это уравнение позволяет получить значения функции и во все последующие моменты времени. Однако в этой книге не будут рассматриваться процессы, развивающиеся во времени, и такое уравнение не встретится в следующих главах.

Для консервативных систем Ψ удовлетворяет как уравнению (6.5), так и уравнению (6.7), поэтому

Это уравнение имеет в качестве общего решения вид

Поскольку для консервативных систем гамильтониан не содержит времени, можно, подставив выражение (6.9) в уравнение (6.5), сократить на экспоненциальный множитель обе части уравнения и получить, что

Ψ(q) = EΨ(q). (6.10)

Уравнение (6.10) представляет собой записанное в общем виде уравнение Шредингера для так называемого стационарного состояния системы, т. е. состояния, энергия которого не изменяется во времени. Для стационарного состояния можно получить среднее значение любой наблюдаемой величины, используя не зависящие от времени волновые функции Ψ(g), а не более сложные функции Ψ(q, t), так как выражение (6.2) для стационарного состояния имеет вид

если оператор β не зависит от времени.

Функция Гамильтона для электрона с потенциальной энергией V записывается в виде

Тогда, используя правило, определяемое постулатом 2, получим гамильтониан этой системы

а уравнение (6.10), после простых преобразований, приобретает вид

Уравнение (6.14) совпадает с уравнением Шредингера, приведенным в первой главе.

Допустим, что известны два решения уравнения (6.10):

Ψ а = Е а Ψ а;

Ψ b = Е b Ψ b . (6.15)

Если первое уравнение умножим на постоянную λ, а второе - на постоянную μ и сложим, то получим

(λΨ а + μΨ b) = λE a Ψ a + μE b Ψ b . (6.16)

Если правую часть уравнения (6.16) можно было бы представить в виде произведения k(λΨ а + μΨ b), где k - постоянная, то λΨ a + μΨ b также была бы собственной функцией оператора

Однако в общем случае это не так, поэтому линейные комбинации собственных функций сами не являются собственными функциями. Единственным исключением является случай, когда Е а = Е b , так что

(λΨ a + μΨ b) = Е а (λΨ а + μΨ b). (6.17)

Если две или больше собственных функций соответствуют одному и тому же собственному значению, то оно называется вырожденным. В таком случае любая линейная комбинация собственных функций также является собственной функцией гамильтониана. Эта теорема была использована в гл. 3 при переходе от комплексных р- и d-атомных орбиталей к действительным.

Наблюдаемые величины, характеризующие атомные системы, могут быть двух типов: 1) величины, значения которых определены точно, например энергия, которая для любой ограниченной системы имеет только дискретные (квантованные) значения, и 2) величины, для которых в результате любого измерения можно определить по распределению вероятности лишь среднее значение *). Если наблюдаемая величина, характеризуемая оператором β , относится к первому типу, то это означает, что волновые функции системы, являющиеся собственными функциями гамильтониана, есть также и собственные функции оператора β , т. е.

β Ψ = bΨ. (6.18)

*) (Это разделение физических величин на две группы не имеет абсолютного характера: величины, обладающие вполне определенными значениями в некотором состоянии, в других состояниях характеризуются лишь вероятностным распределением значений. - Прим. ред. )

Если же наблюдаемая величина относится ко второму типу, то

β Ψ ≠ bΨ, (6.19)

хотя оператор β и может иметь набор собственных функций (не совпадающих с Ψ). Однако и в этом случае среднее значение наблюдаемой величины можно вычислять по формуле (6.2).

Условием того, что функция Ψ удовлетворяет равенству (6.18), является коммутативность операторов и β , т. е. равенство

βH = Hβ . (6.20)

В общем случае операторы не коммутируют; например, если

и Β = х, то

ΑΒ - ΒΑ = 1. (6.21)

Докажем теперь, что если два оператора коммутируют, то существует набор таких функций, которые являются одновременно собственными функциями обоих операторов. Обозначим собственные функции оператора Α через θ, а собственные функции оператора Β через χ, тогда

Αθ i = а i θ i , (6.22)

Βχ j = b j χ j . (6.23)

Умножая равенство (6.23) слева на Α, получим

ΑΒχ j = Αb j χ j = b j Αχ j . (6.24)

Но если ΑΒ = ΒΑ, то выражение (6.24) превращается в

Β(Αχ j) = b j (Αχ j). (6.25)

Уравнение (6.25) означает, что Αχ j является собственной функцией оператора Β с собственным значением b j . Однако χ j , по определению, есть собственная функция оператора Β с тем же собственным значением b j . Поэтому Αχ j и χ j отличаются постоянным множителем согласно выражению

Αχ j = kχ j , (6.26)

или, если χ j принадлежит набору вырожденных собственных функций, Αχ j является линейной комбинацией функций этого набора:

Αχ j = kχ j + k"χ j" + k″χ j″ , + ...

В невырожденном случае из равенства (6.26) следует, что χ j есть собственная функция оператора Α, т. е. является одной из функций набора 6. В вырожденном случае всегда можно выбрать такие линейные комбинации функций χ j , которые являются собственными функциями оператора Α (и, конечно, оператора Β). Пусть, например, имеет место случай двукратного вырождения и

Αχ j = aχ j + bχ j" ,

Αχ j" = cχ j + dχ j" .

Тогда, если ввести новые постоянные λ, μ, k, k", определенные четырьмя уравнениями

kλ = λa + μc, kμ = λb + μd,

k"μ = μa - λc, kλ = λd - μb,

то окажется, что

Α(λχ j + μχ j") = k(λχ j + μχ j"),

Α(μχ j - λχ j") = k"(χ j - λχ j"),

и эти уравнения определяют собственные функции оператора Α.

Перестановочные соотношения между операторами являются основой многих важных результатов, получаемых в квантовой механике. Например, если два оператора не коммутируют, то не существует набора функций, которые одновременно являются собственными функциями обоих операторов, и, следовательно, нельзя провести такой эксперимент, в котором можно точно измерить величины, соответствующие обоим операторам. Принцип неопределенности Гейзенберга, сформулированный в гл. 1, является примером этого. Поскольку операторы х и

не коммутируют [см. равенство (6.21)], частица не может иметь одновременно точные значения и координаты х и импульса р х.

В квантовой механике класс собственных функций всегда ограничен функциями однозначными, непрерывными и нормированными *) (назовем их функциями класса Q). Эти условия необходимо наложить на собственные функции для того, чтобы плотность вероятности была функцией, ведущей себя надлежащим образом. В результате измерений получаются действительные числа, поэтому надо также наложить соответствующее ограничение на операторы, т. е. потребовать, чтобы для всех квантовомеханических операторов средние значения, вычисленные по выражению (6.2), были действительными. Если

b‾ = ∫ Ψ * ΒΨ dυ, (6.27)

то, беря комплексно сопряженные величины от обеих частей равенства, получим

(b‾) * = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ,. (6.28)

*) (Условие нормировки собственных функций является слишком жестким и должно быть заменено требованием конечности ее значений во всей области изменения переменных. Свойством квадратичной интегрируемости обладают только собственные функции оператора, соответствующие дискретным собственным значениям. - Прим. ред. )

Но если (b‾ = b‾) * , что справедливо только для действительных чисел, то

∫ Ψ * ΒΨ dυ = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ. (6.29)

В более общем случае можно показать, что оператор должен удовлетворять условию

∫ Ψ 1 * ΒΨ 2 dυ = ∫ Ψ 2 Β * Ψ 1 * dυ, (6.30)

где Ψ 1 и Ψ 2 - произвольные функции класса Q.

Оператор, удовлетворяющий условию (6.30) для любых функций класса Q, называется эрмитовским *). Если строить квантовомеханический оператор на основе классического выражения для наблюдаемой величины, используя постулат 2, то необходимо расположить отдельные члены в операторе таким образом, чтобы он был эрмитовским. Например, если классическое выражение имеет вид хр х, то квантовомеханический оператор записывается не как

(этот оператор не является эрмитовским), а в виде

(эрмитовский оператор). Другими словами, основываются на симметризованном классическом выражении

Можно действовать и иначе, исходя из выражения х 1/2 p х x 1/2 , однако только эксперимент покажет, какое из этих выражений дает правильный вид квантовомеханического оператора.

*) (Такой оператор часто называют также самосопряженным. - Прим. перев. )

Собственные функции и собственные значения эрмитовских операторов обладают тремя важными свойствами:

1. Собственные значения эрмитовских операторов действительны. Это следует из соотношений (6.27)-(6.29), если Ψ - собственная функция оператора Β.

2. Если две собственные функции эрмитовского оператора соответствуют различным собственным значениям, то эти функции ортогональны, т. е. если

ΒΨ 1 = b 1 Ψ 1 (6.31)

ΒΨ 2 = b 2 Ψ 2 , (6.32)

∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ = 0. (6.33)

Чтобы доказать это соотношение, возьмем комплексно сопряженные величины от обеих частей равенства (6.32):

Β * Ψ 2 * = b 2 Ψ 2 * . (6.34)

Умножим обе части равенства (6.31) слева на Ψ 2 * и проинтегрируем по всему пространству; аналогично умножим обе части равенства (6.34) слева на Ψ 1 и также проинтегрируем; вычитая полученные выражения одно из другого, имеем

∫ Ψ 2 * ΒΨ 1 dυ - ∫ Ψ 1 Β * Ψ 2 * dυ = (b 1 - b 2) ∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ. (6.35)

Но в силу эрмитовости оператора Β левая часть равенства (6.35) обращается в нуль. Отсюда следует, что если b 2 ≠ b 1 , то выполняется уравнение (6.33).

Понятие ортогональности встречается в векторной алгебре; если два вектора а и b образуют между собой угол 90°, то скалярное произведение векторов обращается в нуль, т. е. а·b = 0, и векторы называют ортогональными. Это означает, что если выразить вектор а через другие векторы пространства, то это выражение не будет содержать вектора b; иначе говоря, векторы а и b совершенно независимы друг от друга. Аналогично если собственные функции ортогональны, то это означает, что они независимы: ни одна из них не содержит примеси другой.

Попытаемся представить одну из собственных функций эрмитовского оператора в виде линейной комбинации всех остальных собственных функций, т. е.

Ψ 1 = ∑ i≠1 с i1 Ψ. (6.36)

Тогда, умножая обе части равенства (6.36) на Ψ j * (j ≠ 1) и интегрируя по всему пространству, получим

∫ Ψ j * Ψ 1 dυ = ∑ i≠1 с i1 ∫ Ψ j * Ψ i dυ. (6.37)

Однако в силу условия ортогональности собственных функций левая часть равенства обращается в нуль, а единственный, отличный от нуля интеграл в правой части получается при i = j. Отсюда следует, что с j1 = 0, что и означает линейную независимость функций Ψ 1 и Ψ j , причем это верно для любых j.

Условия ортогональности и нормировки собственных функций можно объединить в одно выражение

∫ Ψ i * Ψ j dυ = δ ij , (6.38)

где δ ij называется символом Кронекера: он равен нулю, если i ≠ j и единице, когда i = j. Набор функций, удовлетворяющих условию (6.38), называется ортонормированным.

3. Собственные функции Θ i эрмитовского оператора образуют полную систему функций, по которой можно разложить любую функцию, удовлетворяющую тем же граничным условиям, что и собственные функции. Таким образом, разложение

Ψ = ∑ i c i Θ i (6.39)

является точным, если суммирование проведено по всем собственным функциям (это бесконечная сумма). Доказательства этого утверждения в общем виде не существует, однако оно справедливо для эрмитовских операторов, встречающихся в квантовой механике. Как будет видно из следующего раздела, а также из других глав этой книги, метод разложения по некоторой системе функций является наиболее распространенным способом получения приближенных решений уравнения Шредингера.

Отправить

Квантовая механика

Что такое квантовая механика?

Квантовая механика (КМ (QM); также известная как квантовая физика или квантовая теория), включая квантовую теорию поля, является областью физики, которая изучает законы природы, проявляющиеся на малых расстояниях и при малых энергиях атомов и субатомных частиц. Классическая физика - физика, существовавшая до квантовой механики, вытекает из квантовой механики как её предельный переход, справедливый только при больших (макроскопических) масштабах. Квантовая механика отличается от классической физики тем, что энергия, импульс и другие величины, часто ограничиваются дискретными значениями (квантование), объекты имеют характеристики и частиц, и волн (корпускулярно-волновой дуализм), и существуют ограничения на точность, с которой величины могут быть определены (принцип неопределенности).

Квантовая механика последовательно вытекает из решения Максом Планком в 1900 году задачи излучения черного тела (опубликовано в 1859 году) и работы Альберта Эйнштейна 1905 года, в которой была предложена квантовая теория для объяснения фотоэлектрического эффекта (опубликована в 1887 году). Ранняя квантовая теория, была глубоко переосмыслена в середине 1920-х годов.

Переосмысленная теория формулируется на языке специально разработанных математических формализмов. В одном из них, математическая функция (волновая функция) предоставляет информацию об амплитуде вероятности положения, импульса и других физических характеристиках частицы.

Важными областями применения квантовой теории являются: квантовая химия, сверхпроводящие магниты, светоизлучающие диоды, а также лазер, транзистор и полупроводниковые устройства, такие как микропроцессор, медицинские и исследовательские изображения, такие как магнитно-резонансная томография и электронная микроскопия, и объяснения многих биологических и физических явлений.

История квантовой механики

Научное исследование волновой природы света началось в XVII и XVIII веках, когда ученые Роберт Хук, Кристиан Гюйгенс и Леонард Эйлер предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях. В 1803 году Томас Янг, английский учёный широкого профиля, провел знаменитый эксперимент с двойной щелью, который он позже описал в работе, озаглавленной "Природа света и цветов". Этот эксперимент сыграл важную роль во всеобщем признании волновой теории света.

В 1838 году Майкл Фарадей открыл катодные лучи. За этими исследованиями последовала формулировка Густавом Кирхгофом проблемы излучения абсолютно черного тела в 1859 году, предположение Людвига Больцмана в 1877 году того, что энергетические состояния физической системы могут быть дискретными, и квантовая гипотеза Макса Планка в 1900 году. Гипотеза Планка о том, что энергия излучается и поглощается дискретным "квантом" (или энергетическими пакетами), точно соответствует наблюдаемым моделям излучения абсолютно черного тела.

В 1896 году Вильгельм Вин эмпирически определил закон распределения излучения абсолютно черного тела, названный в его честь, законом Вина. Людвиг Больцман самостоятельно пришел к этому результату, анализируя уравнения Максвелла. Однако закон действовал только на высоких частотах и занижал излучение на низких частотах. Позже Планк исправил эту модель с помощью статистической интерпретации термодинамики Больцмана и предложил то, что в настоящее время называется законом Планка, что привело к развитию квантовой механики.

После решения Максом Планком в 1900 году проблемы излучения черного тела (опубликовано 1859), Альберт Эйнштейн предложил квантовую теорию, чтобы объяснить фотоэлектрический эффект (1905, опубликовано 1887). В 1900-1910 годы атомная теория и корпускулярная теория света впервые стали широко признаваться в качестве научного факта. Соответственно, эти последние теории можно рассматривать как квантовые теории материи и электромагнитного излучения.

Среди первых изучавших квантовые явления в природе были Артур Комптон, Ч. В. Раман и Питер Зееман, в честь каждого из которых названы некоторые квантовые эффекты. Роберт Эндрюс Милликен исследовал фотоэффект экспериментально, а Альберт Эйнштейн разработал теорию для него. В то же время, Эрнест Резерфорд экспериментально обнаружил ядерную модель атома, по которой Нильс Бор разработал свою теорию строения атома, которая впоследствии была подтверждена опытами Генри Мозли. В 1913 году Петер Дебай расширил теорию Нильса Бора о строении атома, введя эллиптические орбиты, эту же концепцию также предложил и Арнольд Зоммерфельд. Этот этап развития физики известен под названием старая квантовая теория.

Согласно Планку, энергия (Е) кванта излучения пропорциональна частоте излучения (v):

где h - постоянная Планка.

Планк осторожно настаивал на том, что это просто математическое выражение процессов поглощения и испускания излучения и не имеет ничего общего с физической реальностью самого излучения. Фактически, он считал свою квантовую гипотезу математическим трюком, совершенным для того, чтобы получить правильный ответ, а не крупным фундаментальным открытием. Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн дал квантовой гипотезе Планка физическую интерпретацию и использовал ее для объяснения фотоэлектрического эффекта, при котором освещение светом определенных веществ может вызывать испускание электронов из вещества. За эту работу Эйнштейн получил Нобелевскую премию по физике 1921 года.

Эйнштейн затем доработал эту идею, чтобы показать, что электромагнитная волна, какой и является свет, также может быть описана как частица (позже названная фотоном), с дискретной квантовой энергией, которая зависит от частоты волны.

На протяжении первой половины 20-го века Максом Планком, Нильсом Бором, Вернером Гейзенбергом, Луи де Бройлем, Артуром Комптоном, Альбертом Эйнштейном, Эрвином Шредингером, Максом Борном, Джоном фон Нейманом, Полем Дираком, Энрико Ферми, Вольфгангом Паули, Максом фон Лауэ, Фрименом Дайсоном, Давидом Гильбертом, Вильгельмом Вином, Шать­енд­ра­натом Бозе, Арнольдом Зоммерфельдом и другими закладывались основы квантовой механики. Копенгагенская интерпретация Нильса Бора получила всеобщее признание.

В середине 1920-х годов развитие квантовой механики привело к тому, что она стала стандартной формулировкой для атомной физики. Летом 1925 года Бор и Гейзенберг опубликовали результаты, которые закрыли старую квантовую теорию. Из уважения к их частицеподобному поведению в определенных процессах и измерениях, кванты света стали называть фотонами (1926). Из простого постулата Эйнштейна зародился шквал обсуждений, теоретических построений и экспериментов. Таким образом, появились целые области квантовой физики, что привело к её широкому признанию на пятом Сольвеевском конгрессе в 1927 году.

Было установлено, что субатомные частицы и электромагнитные волны не являются ни просто частицами, ни волнами, а имеют определенные свойства каждой из них. Так возникло понятие корпускулярно–волнового дуализма.

К 1930 году квантовая механика была дополнительно унифицирована и сформулирована в работах Дэвида Гильберта, Поля Дирака и Джона фон Неймана, в которых уделялось большое внимание измерению, статистическому характеру наших знаний о реальности и философским размышлениям о "наблюдателе". Впоследствии она проникла во многие дисциплины, включая квантовую химию, квантовую электронику, квантовую оптику и квантовую информационную науку. Её теоретические современные разработки включают теорию струн и теории квантовой гравитации. Она также предоставляет удовлетворяющее объяснение многих особенностей современной периодической таблицы элементов и описывает поведение атомов при химических реакциях и движение электронов в компьютерных полупроводниках, и поэтому играет решающую роль во многих современных технологиях.

Хотя квантовая механика была построена для описания микромира, она также необходима для объяснения некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Что означает слово квант?

Слово квант происходит от латинского "quantum", что означает "насколько много" или "сколько". В квантовой механике квант означает дискретную единицу, закрепленную за определенными физическими величинами, такими как энергия атома в состоянии покоя. Открытие того, что частицы представляют собой дискретные пакеты энергии с волноподобными свойствами привело к созданию занимающегося атомными и субатомными системами раздела физики, который сегодня называют квантовой механикой. Она закладывает фундамент математической основы для многих областей физики и химии, в том числе физики конденсированных сред, физики твердого тела, атомной физики, молекулярной физики, вычислительной физики, вычислительной химии, квантовой химии, физики элементарных частиц, ядерной химии и ядерной физики. Некоторые фундаментальные аспекты теории до сих пор активно изучаются.

Значение квантовой механики

Квантовая механика имеет важное значение для понимания поведения систем в атомных и меньших масштабах расстояний. Если бы физическая природа атома описывалась исключительно классической механикой, то электроны не должны были вращаться вокруг ядра, так как орбитальные электроны должны испускать излучение (вследствие кругового движения) и в конечном итоге сталкиваться с ядром из-за потери энергии на излучение. Такая система не могла объяснить устойчивость атомов. Вместо этого электроны находятся в неопределенных, недетерминистических, размазанных, вероятностных корпускулярно-волновых орбиталях около ядра, вопреки традиционным представлениям классической механики и электромагнетизма.

Первоначально квантовая механика была разработана для лучшего объяснения и описания атома, особенно различий в спектрах света, излучаемых различными изотопами одного и того же химического элемента, а также описания субатомных частиц. Короче говоря, квантово-механическая модель атома оказалась поразительно успешной в той области, где классическая механика и электромагнетизм оказались беспомощны.

Квантовая механика включает в себя четыре класса явлений, которые классическая физика не может объяснить:

• квантование отдельных физических свойств
• квантовая запутанность
• принцип неопределенности
• корпускулярно-волновой дуализм

Математические основы квантовой механики

В математически строгой формулировке квантовой механики, разработанной Полем Дираком, Давидом Гильбертом, Джоном фон Нейманом и Германом Вейлем, возможные состояния квантово-механической системы символизируются единичными векторами (называемые векторы состояния). Формально они принадлежат комплексному сепарабельному гильбертову пространству - иначе, пространству состояний или связанному с ним гильбертову пространству системы, и определены с точностью до произведения на комплексное число с единичным модулем (фазовый множитель). Другими словами, возможные состояния являются точками в проективном пространстве гильбертова пространства, как правило, называемом комплексным проективным пространством. Точный характер этого гильбертова пространства зависит от системы - например, пространство состояний положения и импульса является пространством квадратно-интегрируемых функций, в то время как пространство состояний для спина одного протона является всего лишь прямым произведением двух комплексных плоскостей. Каждая физическая величина представлена ​​гипермаксимально эрмитовым (точнее: самосопряженным) линейным оператором, действующим на пространстве состояний. Каждое собственное состояние физической величины соответствует собственному вектору оператора, и связанное с ним собственное значение соответствует значению физической величины в этом собственном состоянии. Если спектр оператора является дискретным, физическая величина может принимать только дискретные собственные значения.

В формализме квантовой механики состояние системы в данный момент описывается сложной волновой функцией, также называемой вектором состояния в комплексном векторном пространстве. Данный абстрактный математический объект позволяет рассчитать вероятности исходов конкретных экспериментов. Например, позволяет вычислить вероятность нахождения электрона в определенной области вокруг ядра в определенное время. В отличие от классической механики, здесь никогда нельзя сделать одновременного предсказания с произвольной точностью для сопряженных переменных, таких как положение и импульс. Например, можно считать, что электроны (с некоторой вероятностью) находятся где-то в пределах заданной области пространства, но их точное местоположение неизвестно. Можно нарисовать вокруг ядра атома области постоянной вероятности, часто называемые «облаками», чтобы представлять, где электрон может находиться с наибольшей вероятностью. Принцип неопределенности Гейзенберга количественно оценивает неспособность точной локализации частицы с заданным импульсом, являющимся сопряженной к положению величиной.

Согласно одной из интерпретаций, в результате измерения волновая функция, содержащая информацию о вероятности состояния системы, распадается из заданного начального состояния до определенного собственного состояния. Возможными результатами измерения являются собственные значения оператора, представляющего физическую величину - что объясняет выбор эрмитового оператора, у которого все собственные значения являются действительными числами. Распределение вероятностей физической величины в данном состоянии, можно найти путем вычисления спектрального разложения соответствующего оператора. Принцип неопределенности Гейзенберга представляется формулой, в которой операторы, соответствующие определенным величинам не коммутируют.

Измерение в квантовой механике

Вероятностный характер квантовой механики, таким образом, вытекает из акта измерения. Это один из самых сложных для понимания аспектов квантовых систем, и он был центральной темой в знаменитых дебатах Бора с Эйнштейном, в ходе которых оба ученых попытались прояснить эти фундаментальные принципы посредством мысленных экспериментов. В течение десятилетий после формулирования квантовой механики широко изучался вопрос о том, что представляет собой "измерение". Новые интерпретации квантовой механики были сформулированы, чтобы покончить с понятием "коллапс волновой функции". Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным аппаратом, их соответствующие волновые функции становятся запутанными, так что исходная квантовая система перестает существовать как самостоятельная сущность.

Вероятностный характер предсказаний квантовой механики

Как правило, квантовая механика не ставит в соответствие определенные значения. Вместо этого она делает предсказание, используя распределение вероятностей; то есть, она описывает вероятность получения возможных результатов от измерения физической величины. Часто эти результаты деформированы, как облака плотности вероятности, многими процессами. Облака плотности вероятности являются приближением (но лучшим, чем модель Бора), в котором расположение электрона задается функцией вероятности, волновыми функциями, соответствующими собственным значениям, таким образом, что вероятность является квадратом модуля комплексной амплитуды, или квантового состояния ядерного притяжения. Естественно, что эти вероятности будут зависеть от квантового состояния в "момент" измерения. Следовательно, неопределенность вносится в измеренное значение. Есть, однако, некоторые состояния, которые связаны с определенными значениями конкретной физической величины. Они называются собственными состояниями (eigenstates) физической величины ("eigen" можно перевести с немецкого как "присущий" или "свойственный").

Естественно и интуитивно понятно, что все в повседневной жизни (все физические величины) имеют собственные значения. Кажется, что всё имеет определенное положение, определенный момент, определенную энергию, и определенное время события. Однако квантовая механика не указывает точных значений положения и импульса частицы (поскольку это сопряженные пары) или ее энергии и времени (поскольку они тоже сопряженные пары); точнее, она предоставляет только диапазон вероятностей, с которыми эта частица может иметь заданный импульс и вероятность импульса. Поэтому целесообразно различать состояния, имеющие неопределенные значения, и состояния, имеющие определенные значения (собственные состояния). Как правило, мы не интересуемся системой, в которой частица не имеет собственного значения физической величины. Однако, при измерении физической величины, волновая функция мгновенно принимает собственное значение (или "обобщенное" собственное значение) этой величины. Этот процесс называют коллапсом волновой функции, спорный и много обсуждаемый процесс, в котором происходит расширение изучаемой системы добавлением в неё измерительного устройства. Если знать соответствующую волновую функцию непосредственно перед измерением, то можно вычислить вероятность того, что волновая функция перейдёт в каждое из возможных собственных состояний. Например, свободная частица в предыдущем примере, как правило, имеют волновую функцию, которая представляет собой волновой пакет, сосредоточенный вокруг некоторого среднего положения x0 (не имеющий собственных состояний положения и импульса). Когда происходит измерение положения частицы, то невозможно с уверенностью предсказать результат. Вполне вероятно, но не точно, что оно будет вблизи х0, где амплитуда волновой функции велика. После выполнения измерения, получив какой-то результат х, волновая функция коллапсирует в собственную функцию оператора положения с центром в х.

Уравнение Шредингера в квантовой механике

Временная эволюция квантового состояния описывается уравнением Шредингера, в котором гамильтониан (оператор, соответствующий полной энергии системы) порождает временную эволюцию. Временная эволюция волновых функций является детерминированной в том смысле, что - с учетом того, какой волновая функция была в начальный момент времени - можно сделать четкое предсказание того, какой будет волновая функция в любое время в дальнейшем.

С другой стороны, во время измерения, изменение исходной волновой функции в другую, более позднюю волновую функцию не будет являться детерминированным, а будет непредсказуемым (т. е. случайным). Эмуляцию временной эволюции можно увидеть здесь.

Волновые функции изменяются с течением времени. Уравнение Шредингера описывает изменение волновых функций во времени, и играет роль, аналогичную роли второго закона Ньютона в классической механике. Уравнение Шредингера, применяемое к вышеупомянутому примеру свободной частицы, предсказывает, что центр волнового пакета будет перемещаться по пространству с постоянной скоростью (как классическая частица в отсутствие сил, действующих на него). Тем не менее, волновой пакет также будет расплываться с течением времени, что означает, что позиция становится более неопределенной со временем. Это также имеет эффект превращения собственной функции положения (которую можно рассматривать как бесконечно острый пик волнового пакета) в расширенный волновой пакет, который больше не представляет (определенного) собственного значения положения.

Некоторые волновые функции порождают распределения вероятностей, которые являются постоянными или независимыми от времени - например, когда в стационарном состоянии с постоянной энергией время исчезает из модуля квадрата волновой функции. Многие системы, которые рассматриваются как динамические в классической механике, описываются в квантовой механике такими "статическими" волновыми функциями. Например, один электрон в невозбужденном атоме представляется классически как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг атомного ядра, в то время как в квантовой механике он описывается статической, сферически симметричной волновой функцией, окружающей ядро ​​(рис. 1) (отметим, однако, что только самые низкие состояния орбитального момента импульса, обозначенные как s, являются сферически симметричными).

Уравнение Шредингера действует на всю амплитуду вероятности, а не только на ее абсолютное значение. В то время как в абсолютное значение амплитуды вероятности заложена информация о вероятностях, в ее фазу заложена информация о взаимовлиянии между квантовыми состояниями. Это порождает "волнообразное" поведение квантовых состояний. Как выясняется, аналитические решения уравнения Шредингера возможны только для очень небольшого числа гамильтонианов относительно простых моделей, таких как квантовый гармонический осциллятор, частица в ящике, ион молекулы водорода и атом водорода - это важнейшие представители таких моделей. Даже атом гелия, который содержит всего на один электрон больше, чем в атом водород, не поддался ни одной попытке чисто аналитического решения.

Однако существует несколько методов получения приближенных решений. В важном методе, известном как теория возмущений, используется аналитический результат, полученный для простой квантово-механической модели, и на его основе генерируется результат для более сложной модели, которая отличается от более простой модели (например) добавлением энергии слабого потенциального поля. Другим подходом является метод "квазиклассического приближения", который применяется к системам, для которых квантовая механика применяется только к слабым (малым) отклонениям от классического поведения. Затем эти отклонения можно вычислить на основе классического движения. Этот подход особенно важен при изучении квантового хаоса.

Математически эквивалентные формулировки квантовой механики

Существуют многочисленные математически эквивалентные формулировки квантовой механики. Одной из старейших и наиболее часто используемых формулировок является "теория преобразований", предложенная Полем Дираком, которая объединяет и обобщает две самые ранние формулировки квантовой механики - матричную механику (созданную Вернером Гейзенбергом) и волновую механику (созданную Эрвином Шредингером).

С учетом того, что Вернер Гейзенберг был удостоен Нобелевской премии по физике в 1932 году за создание квантовой механики, роль Макса Борна в развитии КМ была упущена из виду до вручения ему Нобелевской премии в 1954 году. Эта роль упоминается в биографии Борна 2005 года, в которой рассказывается о его роли в матричной формулировке квантовой механики, а также использовании амплитуд вероятности. В 1940 году сам Гейзенберг признает в юбилейном сборнике в честь Макса Планка, что узнал о матрицах от Борна. В матричной формулировке, мгновенное состояние квантовой системы определяет вероятности её измеримых свойств или физических величин. Примеры величин включают в себя энергию, положение, импульс и орбитальный момент. Физические величины могут быть либо непрерывными (например, положение частицы) или дискретными (например, энергия электрона, связанного с атомом водорода). Фейнмановские интегралы по траекториям - альтернативная формулировка квантовой механики, в которой квантовомеханическая амплитуда рассматривается как сумма по всем возможным классическим и неклассическим траекториям между начальным и конечным состояниями. Это квантово-механический аналог принципа наименьшего действия в классической механике.

Законы квантовой механики

Законы квантовой механики имеют основополагающее значение. Утверждается, что пространство состояний системы является гильбертовым, и физические величины этой системы являются эрмитовыми операторами, действующими в этом пространстве, хотя не говорится, какие именно эти гильбертовы пространства или какие именно эти операторы. Они могут быть выбраны соответствующим образом, чтобы получить количественную характеристику квантовой системы. Важным ориентиром для принятия этих решений является принцип соответствия, который гласит, что предсказания квантовой механики сводятся к классической механике, когда система переходит в область высоких энергий или, что то же самое, в область больших квантовых чисел, то есть в то время как отдельная частица обладает определенной степенью случайности, в системах, содержащих миллионы частиц, преобладают усредненные значения и, при устремлении к высокоэнергетическому пределу, статистическая вероятность случайного поведения стремится к нулю. Другими словами, классическая механика является просто квантовой механикой больших систем. Этот "высокоэнергетический" предел известен как классический или предел соответствия. Таким образом, решение можно даже начать с устоявшейся классической модели той или иной системы, и затем попытаться угадать базовую квантовую модель, которая породила бы такую классическую модель при переходу к пределу соответствия.

Когда квантовая механика была изначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была нерелятивистская классическая механика. Например, известная модель квантового гармонического осциллятора использует явно нерелятивистское выражение для кинетической энергии осциллятора и, таким образом, является квантовой версией классического гармонического осциллятора.

Взаимодействие с другими научными теориями

Ранние попытки объединить квантовую механику со специальной теорией относительности предусматривали замену уравнения Шредингера ковариантными уравнениеми, такими как уравнение Клейна-Гордона или уравнение Дирака. Хотя эти теории были успешными в объяснении многих экспериментальных результатов, они имели определенные неудовлетворительные качества, вытекающие из того, что в них не учитывалось релятивистское рождение и уничтожением частиц. Полностью релятивистская квантовая теория требовала развития квантовой теории поля, в которой применяется квантование поля (а не фиксированного набора частиц). Первая полноценная квантовая теория поля - квантовая электродинамика, обеспечивает полное квантовое описание электромагнитного взаимодействия. Полный аппарат квантовой теории поля часто не требуется для описания электродинамических систем. Более простой подход, применяемый с момента создания квантовой механики, заключается в том, чтобы рассматривать заряженные частицы как квантово-механические объекты, на которые действует классическое электромагнитное поле. Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электрическое поле атома водорода, используя классическое выражение для кулоновского потенциала:

E2/(4πε0r)

Такой "квазиклассический" подход не работает, если квантовые флуктуации электромагнитного поля играют важную роль, например, при излучении фотонов заряженными частицами.

Также были разработаны квантовые теории поля для сильных и слабых ядерных сил. Квантовая теория поля для сильных ядерных взаимодействий называется квантовой хромодинамикой и описывает взаимодействие субядерных частиц, таких как кварки и глюоны. Слабые ядерные и электромагнитные силы были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известная как теория электрослабого взаимодействия), физиками Абдусом Саламом, Шелдоном Глэшоу и Стивеном Вайнбергом. За эту работу все трое получили Нобелевскую премию по физике в 1979 году.

Трудно оказалось построить квантовые модели для четвертой оставшейся фундаментальной силы - гравитации. Выполнены полуклассические приближения, которые привели к предсказаниям, таким как излучение Хокинга. Тем не менее, формулировке полной теории квантовой гравитации мешают очевидные несовместимости между общей теорией относительности (которая является наиболее точной теорией гравитации, известной в настоящее время) и некоторыми из основных положений квантовой теории. Разрешение этих несовместимостей является направлением активных исследований и теорий, таких как теория струн - одна из возможных кандидатур на будущую теорию квантовой гравитации.

Классическая механика была также расширена в комплексную область, при этом комплексная классическая механика стала проявлять себя подобно квантовой механике.

Cвязь квантовой механики с классической механикой

Предсказания квантовой механики были подтверждены экспериментально с очень высокой степенью точности. Согласно принципу соответствия между классической и квантовой механиками, все объекты подчиняются законам квантовой механики, а классическая механика является лишь приближением для больших систем объектов (или статистической квантовой механикой для большого набора частиц). Таким образом, законы классической механики вытекают из законов квантовой механики как статистическое среднее при устремлении к очень большому предельному значению числа элементов системы или значений квантовых чисел. Однако в хаотических системах отсутствуют хорошие квантовые числа, и квантовый хаос изучает связь между классическим и квантовым описаниями этих систем.

Квантовая когерентность является существенным различием между классической и квантовой теориями, иллюстрируемая парадоксом Эйнштейна–Подольского–Розена (EPR) , она стала выпадом против известной философской интерпретации квантовой механики посредством обращения к локальному реализму. Квантовая интерференция предполагает сложение амплитуд вероятности, в то время как классические"волны" подразумевают сложение интенсивностей. Для микроскопических тел, протяженность системы значительно меньше, чем длина когерентности, что приводит к запутанности на далеких расстояниях и другим нелокальным явлениям, характерным для квантовых систем. Квантовая когерентность обычно не проявляется в макроскопических масштабах, хотя исключение из этого правила может возникать при крайне низких температурах (т. е. при приближении к абсолютному нулю), при которых квантовое поведение может проявляться в макроскопическом масштабе. Это находится в соответствии со следующими наблюдениями:

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения его частей. Например, устойчивость основной части материи (состоящей из атомов и молекул, которые под действием одних лишь электрических сил быстро бы разрушались), жесткость твердых тел, а также механические, термические, химические, оптические и магнитные свойства материи являются результатом взаимодействия электрических зарядов в соответствии с правилами квантовой механики.

В то время как кажущееся "экзотическим" поведение материи, постулируемое квантовой механикой и теорией относительности, становится более очевидным при работе с частицами очень малого размера или при перемещении со скоростями, приближающимися к скорости света, законы классической, часто называемой "ньютоновской", физики остаются точными при прогнозировании поведения подавляющего числа "больших" объектов (порядка размера крупных молекул или ещё больших) и при скоростях гораздо меньших, чем скорость света.

В чем заключается отличие квантовой механики от классической?

Классическая и квантовая механика сильно отличаются тем, что они используют очень разные кинематические описания.

По устоявшемуся мнению Нильса Бора, для изучения квантово-механических явлений требуются эксперименты, с полным описанием всех устройств системы, подготовительного, промежуточного и конечного измерений. Описания представляются в макроскопических терминах, выраженных на обычном языке, дополненных понятиями классической механики. Начальные условия и конечное состояние системы соответственно описывается положением в конфигурационном пространстве, например, в пространстве кординат, или некотором эквивалентном пространстве, таком как импульсное пространстве. Квантовая механика не допускает полностью точного описания, как с точки зрения положения, так и импульса, точного детерминированного и причинно-следственного предсказания конечного состояния исходя из начальных условий или "состояния" (в классическом смысле этого слова). В этом смысле, пропагандируемом Бором в его зрелых трудах, квантовое явление - это процесс перехода от начального к конечному состоянию, а не мгновенное "состояние" в классическом смысле этого слова. Таким образом, существуют два вида процессов в квантовой механике: стационарные и переходные. Для стационарных процессов, начальное и конечное положение одинаковы. Для переходных - они различны. Очевидно по определению, что, если задано только начальное условие, то процесс не определен. Учитывая начальные условия, предсказание конечного состояния возможно, но только на вероятностном уровне, поскольку уравнение Шредингера детерминировано для эволюции волновой функции, а волновая функция описывает систему только в вероятностном смысле.

Во многих экспериментах можно принимать начальное и конечное состояние системы за частицу. В некоторых случаях оказывается, что существует потенциально несколько пространственно различимых путей или траекторий, по которым частица может переходить от начального к конечному состоянию. Важной особенностью квантового кинематического описания является то, что оно не позволяет однозначно определить, каким из этих путей производится переход между состояниями. Определены только начальные и конечные условия, и, как указано в предыдущем абзаце, они определены только с такой точностью, насколько это разрешает описание пространственной конфигурацией или её эквивалентом. В каждом случае, для которого необходимо квантовое кинематическое описание, всегда есть веская причина такого ограничения кинематической точности. Причина заключается в том, что для экспериментального нахождения частицы в определенном положении она должна быть неподвижной; для экспериментального нахождения частицы с определенным импульсом она должна находиться в свободном движении; эти два требования логически несовместимы.

Изначально классическая кинематика не требуют экспериментального описания её явлений. Это позволяет полностью точно описать мгновенное состояние системы положением (точкой) в фазовом пространстве - декартовом произведении конфигурационного и импульсного пространств. Это описание просто предполагает, или представляет себе состояние как физическую сущность, не беспокоясь о ее экспериментальной измеримости. Такое описание начального состояния вместе с законами движения Ньютона позволяет точно сделать детерминированное и причинно-следственное предсказание конечного состояния вместе с определенной траекторией эволюции системы. Для этого может быть использована гамильтоновская динамика. Классическая кинематика также позволяет описать процесс, аналогично описанию начального и конечного состояния, используемому квантовой механикой. Лагранжева механика позволяет это сделать. Для процессов, в которых необходимо учитывать величину действия порядка нескольких планковских констант, классическая кинематика не годится; здесь требуется использовать квантовую механику.

Общая теория относительности

Даже при том, что определяющие постулаты теории общей относительности и квантовой теории Эйнштейна безоговорочно подкрепляются строгими и повторяющимися эмпирическими доказательствами, и хотя они не противоречат друг другу теоретически (по крайней мере, в отношении своих первичных утверждений), их оказалось крайне трудно интегрировать в одну последовательную, единую модель.

Гравитацией можно пренебречь во многих областях физики элементарных частиц, так что объединение между общей теорией относительности и квантовой механикой не является насущным вопросом в этих частных приложениях. Однако, отсутствие правильной теории квантовой гравитации является важным вопросом в физической космологии и поиске физиками элегантной "Теории всего" (TВ). Следовательно, решение всех несоответствий между обеими теориями является одной из основных целей для физики 20 и 21 века. Многие видные физики, в том числе Стивен Хокинг, трудился на протяжении многих лет в попытке открыть теорию, лежащую в основе всего. Эта ТВ будет объединять не только разные модели субатомной физики, но и выводить четыре фундаментальные силы природы - сильное взаимодействие, электромагнетизм, слабое взаимодействие и гравитацию - из одной силы или явления. В то время как Стивен Хокинг изначально верил в ТВ, но после рассмотрения теорема Геделя о неполноте, он пришел к выводу, что создание такой теории неосуществимо, и заявил об этом публично в своей лекции "Гёдель и конец физики" (2002).

Основные теории квантовой механики

Стремление объединить фундаментальные силы с помощью квантовой механики все еще продолжается. Квантовая электродинамика (или "квантовый электромагнетизм"), которая в настоящее время (по крайней мере, в пертурбативном режиме) является наиболее точной проверенной физической теорией в соперничестве с общей теорией относительности, успешно объединяет слабые ядерные взаимодействия в электрослабое взаимодействие и в настоящее время ведется работа по объединению электрослабого и сильного взаимодействия в электросильное взаимодействие. Текущие прогнозы утверждают, что в районе 1014 ГэВ три вышеупомянутых силы сливаются в единое унифицированное поле. Помимо этой "грандиозной унификации", предполагается, что гравитацию можно объединить с другими тремя калибровочными симметриями, что, как ожидается, произойдёт на уровне примерно 1019 ГэВ. Однако - и в то время как специальная теория относительности бережно включена в квантовую электродинамику - расширенная общая теория относительности, в настоящее время лучшая теория, описывающая силы гравитации, не в полной мере включена в квантовую теорию. Один из тех, кто разрабатывает согласованную теорию всего, - Эдвард Виттен, - физик-теоретик, сформулировал М-теорию, которая представляет собой попытку изложить суперсимметрию на основе теории суперструн. М-теория предполагает, что наше видимое 4-мерное пространство - это на самом деле 11 - мерный пространственно-временной континуум, содержащий десять пространственных измерений и одно временное измерение, хотя 7 пространственных измерений при низких энергиях полностью "уплотнены" (или бесконечно изогнуты) и не легко поддаются измерению или исследованию.

Другая популярная теория петлевой квантовой гравитации (Loop quantum gravity (LQG)) - теория, впервые предложенная Карло Ровелли, которая описывает квантовые свойства гравитации. Она также является теорией квантового пространства и квантового времени, так как в общей теории относительности геометрические свойства пространства-времени являются проявлением гравитации. LQG - это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Основным результатом теории является физическая картина, в которой пространство является зернистым. Зернистость является прямым следствием квантования. Она имеет тот же характер зернистости фотонов в квантовой теории электромагнетизме или дискретных уровней энергии атомов. Но здесь само пространство является дискретным. Точнее, пространство можно рассматривать как чрезвычайно тонкую ткань или сеть, "сотканную" из конечных петель. Эти петлевые сети называются спиновые сети. Эволюция спиновой сети во времени называется спиновой пеной. Прогнозируемый размер данной структуры является длиной Планка, что составляет приблизительно 1,616 × 10-35 м. Согласно теории, нет никакого смысла в более короткой длине, чем эта. Следовательно, LQG предсказывает, что не только материя, но и само пространство, имеет атомарную структуру.

Философские аспекты квантовой механики

С момента своего создания, многие парадоксальные аспекты и результаты квантовой механики вызвали бурные философские диспуты и множество интерпретаций. Даже фундаментальным вопросам, таким как основные правила Макса Борна относительно амплитуды вероятности и распределения вероятности, потребовались десятилетия, чтобы они могли быть оценены обществом и многими ведущими учеными. Ричард Фейнман однажды сказал: "Думаю, я могу смело утверждать, что никто не понимает квантовую механику. По словам Стивена Вайнберга, "сейчас, на мой взгляд, не существует абсолютно удовлетворительной интерпретации квантовой механики.

Копенгагенская интерпретация - во многом благодаря Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу - на протяжении 75 лет после её провозглашения остается наиболее приемлемой среди физиков. Согласно этой интерпретации вероятностный характер квантовой механики не является временной особенностью, которая в конечном итоге будет заменена детерминированной теорией, а должна рассматриваться как окончательный отказ от классической идеи "причинно-следственной связи". Кроме того считается, что в ней любые четко определенные применения квантово-механического формализма всегда должны делать ссылку на схему эксперимента из-за сопряженного характера доказательств, полученных в различных экспериментальных ситуациях.

Альберт Эйнштейн, будучи одним из основателей квантовой теории, сам не принял некоторые из более философских или метафизических интерпретаций квантовой механики, таких как отказ от детерминизма и причинно-следственной связи. Его самый цитируемый знаменитый ответ на такой подход звучит так: "Бог не играет в кости". Он отверг концепцию о том, что состояние физической системы зависит от экспериментальной измерительной установки. Он считал, что явления природы происходят по своим законам, независимо от того, происходит ли за ними наблюдение и каким образом. В этой связи его поддерживает принятое в настоящее время определение квантового состояния, которое остается инвариантным при произвольном выборе конфигурационного пространства для его представления, то есть способа наблюдения. Он также счел, что в основе квантовой механики должна лежать теория, которая тщательно и непосредственно выражает правило, отвергающее принцип дальнодействия; другими словами, он настаивал на принципе локальности. Он рассматривал, но теоретически обоснованно отклонил частное представление о скрытых переменных, чтобы избежать неопределенности или отсутствия причинно-следственных связей в квантово-механических измерениях. Он считал, что квантовая механика была в то время действующей, но не окончательной и не незыблемой теорией квантовых явлений. Он считал, что её будущая замена потребует глубоких концептуальных достижений, и что это произойдет не так быстро и легко. Дискуссии Бора-Эйнштейна дают яркую критику копенгагенской интерпретации с гносеологической точки зрения.

Джон Белл показал, что этот парадокс "EPR" приводил к экспериментально проверяемым различиям между квантовой механикой и теориями, которые опираются на добавление скрытых переменных. Проведены эксперименты, подтверждающие точность квантовой механики, тем самым демонстрируя, что квантовая механика не может быть улучшена путем добавления скрытых переменных. Первоначальные эксперименты Алена Аспекта в 1982 году и многие последующие эксперименты с тех пор окончательно подтвердили квантовую запутанность.

Запутанность, как показали белловские эксперименты, не нарушает причинно-следственных связей, поскольку никакой передачи информации не происходит. Квантовая запутанность формирует основу квантовой криптографии, которая предлагается для использования в высокобезопасных коммерческих приложениях в банковской и государственной сферах.

Многомировая интерпретация Эверетта, сформулированная в 1956 году, полагает, что все возможности, описываемые квантовой теорией, одновременно возникают в мультиверсе, состоящем, главным образом, из независимых параллельных вселенных. Это не достигается введением некоторой "новой аксиомы" в квантовую механику, а наоборот, достигается удалением аксиомы распада волнового пакета. Все возможные последовательные состояния измеряемой системы и измерительного устройства (включая наблюдателя) присутствуют в реальной физической - а не только в формальной математической, как в других интерпретациях - квантовой суперпозиции. Такая суперпозиция последовательных комбинаций состояний различных систем называется запутанным состоянием. В то время как мультиверс является детерминированным, мы воспринимаем недетерминированное поведение, случайного характера, поскольку можем наблюдать только ту вселенную (т. е. вклад совместимого состояния в вышеупомянутую суперпозицию), в которой мы, как наблюдатели, обитаем. Интерпретация Эверетта идеально согласуется с экспериментами Джона Белла и делает их интуитивно понятными. Однако, согласно теории квантовой декогеренции, эти "параллельные вселенные" никогда не будут доступны нам. Недоступность можно понимать следующим образом: как только измерение будет сделано, измеряемая система запутывается как с физиком, измерявшим её, так и с огромным количеством других частиц, некоторые из которых являются фотонами, улетающими со скоростью света к другому концу вселенной. Чтобы доказать, что волновая функция не распалась, необходимо вернуть все эти частицы обратно и измерить их снова вместе с системой, которая изначально была измерена. Это не только совершенно непрактично, но даже если теоретически можно было бы это сделать, то пришлось бы уничтожить любые доказательства того, что первоначальное измерение имело место (в том числе и память физика). В свете этих белловских экспериментов Крамер в 1986 году сформулировал свою транзакционную интерпретацию. В конце 1990-х годов появилась реляционная квантовая механика как современная производная копенгагенской интерпретации.

Квантовая механика имела огромный успех в объяснении многих особенностей нашей Вселенной. Квантовая механика часто является единственным доступным инструментом, способным выявить индивидуальное поведение субатомных частиц, составляющих все формы материи (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и др.). Квантовая механика сильно повлияла на теорию струн - претендента на теорию всего (а Theory of Everything).

Квантовая механика также критически важна для понимания того, как индивидуальные атомы создают ковалентные связи для формирования молекул. Применение квантовой механики в химии называется квантовой химией. Релятивистская квантовая механика может, в принципе, математически описать большую часть химии. Квантовая механика также может дать количественное представление о процессах ионного и ковалентного связывания, явным образом показывая, какие молекулы к другим молекулам энергетически подходят и при каких величинах энергии. Кроме того, большинство расчетов в современной вычислительной химии опираются на квантовую механику.

Во многих отраслях современные технологии работают в масштабах, где квантовые эффекты значительно проявляются.

Квантовая физика в электронике

Многие современные электронные устройства разработаны с использованием квантовой механики. Например, лазер, транзистор (и таким образом микрочип), электронный микроскоп и магнитно-резонансная томография (МРТ). Изучение полупроводников привело к изобретению диода и транзистора, которые являются незаменимыми компонентами современных электронных систем, компьютерных и телекоммуникационных устройств. Ещё одно приложение - это светоизлучающий диод, который представляет собой высокоэффективный источник света.

Многие электронные устройства работают под действием квантового туннелирования. Оно даже присутствует в простом выключателе. Переключатель не сработал бы, если бы электроны не могли квантово тунеллировать через слой окисла на металлических контактных поверхностях. Чипы флэш-памяти, основной детали USB-накопителей, используют квантовое туннелирование, чтобы стирать информацию в своих ячейках. Некоторые устройства с отрицательным дифференциальным сопротивлением, такие как резонансный туннельный диод, также используют квантовый туннельный эффект. В отличие от классических диодов, ток в нём протекает под действием резонансного туннелирования через два потенциальных барьера. Его режим работы с отрицательным сопротивлением может быть объяснён только квантовой механикой: при приближении энергии состояния связанных носителей к уровню Ферми, туннельный ток возрастает. При отдалении от уровня Ферми, ток уменьшается. Квантовая механика имеет жизненно важное значение для понимания и разработки таких типов электронных устройств.

Квантовая криптография

Исследователи в настоящее время ищут надежные методы непосредственного манипулирования квантовыми состояниями. Предпринимаются усилия по полноценному развитию квантовой криптографии, которая теоретически позволит гарантировать безопасную передачу информации.

Квантовые вычисления

Более отдаленной целью является разработка квантовых компьютеров, которые, как ожидается, будут выполнять определенные вычислительные задачи экспоненциально быстрее классических компьютеров. Вместо классических битов, квантовые компьютеры используют кубиты, которые могут находиться в суперпозиции состояний. Другой активной темой исследования является квантовая телепортация, которая имеет дело с методами передачи квантовой информации на произвольные расстояния.

Квантовые эффекты

В то время как квантовая механика в первую очередь применяется к атомным системам с меньшим количеством вещества и энергии, некоторые системы демонстрируют квантово-механические эффекты в больших масштабах. Сверхтекучесть - способность движения потока жидкости без трения при температуре вблизи абсолютного нуля, является одним известным примером таких эффектов. Тесным образом связанно с этим явлением и явление сверхпроводимости - поток электронного газа (электрический ток), движущийся без сопротивления в проводящем материале при достаточно низких температурах. Дробный квантовый эффект Холла является топологическим упорядоченным состоянием, которое соответствует моделям квантового запутывания, действующего на большие расстояния. Состояния с различным топологическим порядком (или различной конфигурацией дальнедиапазонного запутывания) не могут вносить изменения в состояния друг в друга без фазовых превращений.

Квантовая теория

Квантовая теория также содержит точные описания многих ранее необъяснимых явлений, таких как излучение абсолютно черного тела и стабильность орбитальных электронов в атомах. Она также дала представление о работе многих различных биологических систем, в том числе обонятельных рецепторов и белковых структур. Недавнее исследование фотосинтеза показало, что квантовые корреляции играют важную роль в этом фундаментальном процессе, протекающем в растениях и многих других организмах. Тем не менее, классическая физика часто может обеспечить хорошие приближения к результатам, полученным квантовой физикой, как правило, в условиях большого количества частиц или больших квантовых чисел. Поскольку классические формулы гораздо проще и легче вычислять, чем квантовые формулы, использование классических аппроксимаций предпочтительнее, когда система достаточно велика, чтобы сделать эффекты квантовой механики незначительными.

Движение свободной частицы

Для примера, рассмотрим свободную частицу. В квантовой механике наблюдается корпускулярно–волновой дуализм, так что свойства частицы могут быть описаны как свойства волны. Таким образом, квантовое состояние может быть представлено в виде волны произвольной формы и простирающейся в пространстве в виде волновой функции. Положение и импульс частицы являются физическими величинами. Принцип неопределенности утверждает, что положение и импульс не могут одновременно быть точно измерены. Тем не менее, можно измерить положение (без измерения импульса) движущейся свободной частицы, создав собственное состояние положения с волновой функцией (дельта-функция Дирака), которая имеет очень большое значение в определенном положении х, и ноль в остальных положениях. Если выполнить измерение положения при такой волновой функции, то в результате х будет получен с вероятностью 100% (то есть, с полной уверенностью, или с полной точностью). Это называется собственное значение (состояние) положения или, указанного в математических терминах, собственное значение обобщенной координаты (eigendistribution). Если частица находится в собственном состоянии положения, то ее импульс абсолютно не определяем. С другой стороны, если частица находится в собственном состоянии импульса, то её положение совершенно неизвестно. В собственном состоянии импульса, собственная функция которого имеет форму плоской волны, можно показать, что длина волны равна h/p, где h - постоянная Планка, а р - импульс собственного состояния.

Прямоугольный потенциальный барьер

Это модель квантового туннельного эффекта, который играет важную роль в производстве современных технологических устройств, таких как флэш-память и сканирующий туннельный микроскоп. Квантовое туннелирование является центральным физическим процессом, протекающим в сверхрешетках.

Частица в одномерном потенциальном ящике

Частица в одномерном потенциальном ящике является самым простым математическим примером, в котором пространственные ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как наличие нулевой потенциальной энергии везде внутри определенной области и бесконечной потенциальной энергии всюду за пределами этой области.

Конечная потенциальная яма

Конечная потенциальная яма является обобщением задачи бесконечной потенциальной ямы, имеющей конечную глубину.

Задача конечной потенциальной ямы является математически более сложной, чем задача частицы в бесконечном потенциальном ящике, так как волновая функция не обращается в нуль на стенках ямы. Вместо этого, волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, так как она отлична от нуля в области за пределами потенциальной ямы.

Квантовая механика микрочастицы, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на математическом основании, использующем гильбертого пространство функций , то есть множество функций, для которых определено скалярное произведение в интегральной форме.

Основные положения

Состояние частицы описывается волновой функцией. Множество возможных состояний образует гильбертого пространство.

Волновая функция получается в результате решения уравнения Шредингера.

Физическая величина описывается оператором, действующим в гильбертовом пространстве.

Если состояние частицы является собственной функцией оператора, то есть функция восстанавливается при действии оператора, то результатом измерения величины является собственное значение оператора. Разложение волновой функции по ортонормированному базису собственных функций оператора дает вероятности возможных результатов измерения физической величины.

Квантовая механика в общем случае не дает однозначных результатов для поведения и характеристик частицы, но лишь вероятности этих результатов.

Волновая функция

Состояние частицы описывает комплексная волновая функция  (пси), являющаяся амплитудой вероятности обнаружения частицы:

Детектор частиц регистрирует
. Физический смысл имеют:

– вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме
около точки;

– плотность вероятности – вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r .

Выполняется нормировка вероятности

.

Волновая функция:

1) Определена с точностью до постоянного фазового множителя. Состояния
и
, где
, физически не различимы, поскольку
;

2) Квадратично интегрируема, существует
;

3) Удовлетворяет принципу суперпозиции . Если возможны состояния
и
, то возможно состояние

,

где
– комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояний 1 и 2.

ОператорЫ

Физическая величина A (координата, импульс, энергия и другие) описывается линейным оператором . Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора находится функция, на которую он действует.

Рассмотрим явный вид операторов координаты и импульса в координатном представлении. Обоснование вида будет дано далее.

Оператор координаты

,
. (2.1)

Действие оператора координаты сводится к умножению функции на координату.

Оператор проекции импульса

,
. (2.2)

Действие оператора импульса сводится к дифференцированию функции по координате и умножению на
.

Свойства линейных операторов:

Умножение на число с

Число можно вынести из под знака действия оператора.

Линейность

где и – числа. Действие оператора на сумму функций равно сумме действий оператора на каждую функцию.

Сложение (вычитание) операторов

. (2.5)

Действие суммы операторов на функцию равно сумме действий каждого оператора на функцию.

Умножение оператора на оператор

Вначале действует ближайший к функции оператор, затем на полученную функцию действует оператор, находящийся левее. Перемножаемые операторы в общем случае не перестановочны, например:

,

.

Перестановочное соотношение , или коммутатор операторов

.

Операторы икоммутируют, если
.

,
,

. (2.7)

С точки зрения автора программы, главной математической основой квантовой механики является спектральная теорема. К большому сожалению, данная теорема, как правило, не входит в курс лекций, читаемых для студентов-физиков. С другой стороны, студентам-математикам не объясняется её смысл с точки зрения квантовой механики. Предлагаемый курс предназначен, прежде всего, для заполнения этого пробела. В конце курса предполагается коснуться теории некоммутативных операторных графов и рассказать о их связи с квантовыми кодами, исправляющими ошибки.

1. Борелевские меры $\mu$ на действительной прямой. Разложение $\mu$ в сумму непрерывной, точечной и сингуларной составляющей. Регулярные меры $\mu$. Пространство непрерывных функций с компактным носителем $C(X)$ на локально компактном Хаусдорфовом пространстве $X$. Теорема Рисса-Маркова-Какутани.
2. Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы в гильбертовом пространстве. Спектральное разложение. Теорема Лидского.
3. Меры на решетке ортогональных проекторов. Теорема Глизона.
4. Проекторозначные меры. Положительные операторнозначные меры. Теорема Наймарка о дилатации.
5. Аксиоматика Макки квантовой механики. Квантовые состояния и измерения.
6. Проекторы как квантовые события. Квантовые состояния, ассоциированные с мерами на проекторах.
7. Измерения, ассоциированное с наблюдаемыми (самосопряженными операторами) в силу спектральной теоремы.
8. Пространство волновых функций $L^2(\mu)$, ассоциированных с квантовой наблюдаемой. Формула Борна. Случай квантовых наблюдаемых, являющихся линейными комбинациями операторов координаты и импульса.
9. Квантовые случайные величины. Рандомизация. Теорема Холево об общем виде измерения.
10. Соотношение неопределенностей Шредингера-Робертсона для измерений с конечными вторыми моментами.
11. Тензорные произведения гильбертовых пространств. Составные квантовые системы. Сцепленные и сепарабельные состояния.
12. Классические и квантовые корреляции. Неравенство Белла-Клаузера-Хорна-Шимони. Граница Цирельсона.
13. Квантовые каналы передачи информации. Разложение Крауса. Кодирование и декодирование классической и квантовой информации
14. Линейные пространства, состоящие из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Теорема об общем виде некоммутативного операторного графа, ассоциированного с квантовым каналом.
15. Квантовые коды, исправляющие ошибки. Квантовые антиклики.