Содержание статьи

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

РАННЯЯ ИСТОРИЯ

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус (как на рис. 1), поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс (рис. 1,а ) образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола (рис. 1,б ) – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола (рис. 1,в ) – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс.

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большей и малой осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Гипербола.

При построении гиперболы точка P , острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рис. 3,а . Расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1 и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q ) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно потравливая (т.е. отпуская) ее. Вторую ветвь гиперболы (P ў V 2 Q ў ) мы вычерчиваем, предварительно поменяв ролями шпеньки F 1 и F 2 .

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рис. 3,б . Угловые коэффициенты этих прямых равны ± (v 1 v 2)/(V 1 V 2), где v 1 v 2 – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 1 F 2 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O . Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O .

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола.

Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.). Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой LL ў (рис. 4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC . Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F . Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LL ў , так как общая длина нити равна AB , отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB , т.е. PA . Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V , – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Определения Паппа.

Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F – заданная точка (фокус), а L – заданная прямая (директриса), не проходящая через F , и D F и D L – расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P , для которых отношение D F /D L является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e e > 1 – гипербола; при e = 1 – парабола. Если F лежит на L , то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса – бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

Конструкция Данделена.

Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794–1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O . Впишем в этот конус две сферы S 1 и S 2 , которые касаются плоскости p в точках F 1 и F 2 соответственно. Если коническое сечение – эллипс (рис. 5,а ), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскостью p , а другая – под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C 1 и C 2 , расположенных в параллельных плоскостях p 1 и p 2 . Пусть P – произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF 1 , PF 2 и продлим прямую PO . Эти прямые – касательные к сферам в точках F 1 , F 2 и R 1 , R 2 . Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF 1 = PR 1 и PF 2 = PR 2 . Следовательно, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 . Так как плоскости p 1 и p 2 параллельны, отрезок R 1 R 2 имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR 1 + PR 2 одна и та же для всех положений точки P , и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F 1 и F 2 постоянна. Следовательно, точки F 1 и F 2 – фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p 1 и p 2 , – директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б ), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p , по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF 1 и PF 2 постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F 1 и F 2 и прямыми – линиями пересечения p с p 1 и p 2 – в качестве директрис. Если коническое сечение – парабола, как показано на рис. 5,в , то в конус можно вписать только одну сферу Данделена.

Другие свойства.

Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L 1 , L 2 , L 3 и L 4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L 1 и L 2 пропорционально произведению расстояний от P до L 3 и L 4 , то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация.

В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как

где не все коэффициенты A , B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 № AC , второе – при B 2 = AC . Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

2831) Если коэффициенты a , b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b ).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс (рис. 1,а ); при a = b – окружность (рис. 6,б ).

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола (рис. 1,в ).

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых (рис. 6,а ).

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b , стянутой в точку окружности (рис. 6,б ).

6) Если либо a , либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a , либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a , либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Вывод уравнений конических сечений.

Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x , y , z ) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже ) связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z 2 = x 2 + y 2 . Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса (рис. 7) с прямым углом при вершине V . Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F , основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC , где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB . Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q . Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P . Получившаяся кривая будет параболой.

Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

y 2 = RQ Ч QS .

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE ), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS /EB = QF /FE ). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE ; но соотношение y 2 = RQ Ч QS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = –a ) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b ) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

В этом случае точки пересечения с осью x , задаваемые соотношением x 2 = a 2 , определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y , задаваемые соотношением y 2 = –b 2 , определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду

xy = k .

Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» происходят от греческих слов, означающих «недостает», «равен» и «превосходит». Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y 2 b 2 /a ) x , для параболы y 2 = (a ) x и для гиперболы y 2 > (2b 2 /a ) x . В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой.

Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б ); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а ); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6.

Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X 2 + Y 2 = a 2 с помощью подстановки X = x , Y = (a /b ) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x , Y = (ai /b ) y , где i 2 = –1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью.

Соотношение между ординатами окружности x 2 + y 2 = a 2 и эллипса (x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = p ab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b ) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.

ПРОЕКТИВНЫЙ ПОДХОД

Проективная геометрия тесно связана с построением перспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находящуюся ниже плоскость. При этом, если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и прозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (рис. 8). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V . Если V расположена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем наклоне плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу; на плоскости, параллельной прямой VP , проекция имеет вид параболы; при еще большем наклоне проекция принимает вид одной из ветвей гиперболы.

Каждой точке на исходной окружности соответствует некоторая точка на проекции. Если проекция имеет вид параболы или гиперболы, то говорят, что точка, соответствующая точке P , находится в бесконечности или бесконечно удалена.

Как мы видели, при подходящем выборе точек схода окружность может проецироваться в эллипсы различных размеров и с различными эксцентриситетами, а длины больших осей не имеют прямого отношения к диаметру проецируемой окружности. Поэтому проективная геометрия не имеет дела с расстояниями или длинами самими по себе, ее задача – изучение отношения длин, которое сохраняется при проецировании. Это отношение можно найти с помощью следующего построения. Через любую точку P плоскости проведем две касательные к любой окружности и соединим точки касания прямой p . Пусть другая прямая, проходящая через точку P , пересекает окружность в точках C 1 и C 2 , а прямую p – в точке Q (рис. 9). В планиметрии доказывается, что PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2 . (Знак минус возникает из-за того, что направление отрезка QC 1 противоположно направлениям других отрезков.) Иначе говоря, точки P и Q делят отрезок C 1 C 2 внешним и внутренним образом в одном и том же отношении; говорят также, что гармоническое отношение четырех отрезков равно - 1. Если окружность спроецировать в коническое сечение и сохранить за соответствующими точками те же обозначения, то гармоническое отношение (PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) останется равным - 1. Точка P называется полюсом прямой p относительно конического сечения, а прямая p – полярой точки P относительно конического сечения.

Когда точка P приближается к коническому сечению, поляра стремится занять положение касательной; если точка P лежит на коническом сечении, то ее поляра совпадает с касательной к коническому сечению в точке P . Если точка P расположена внутри конического сечения, то построить ее поляру можно следующим образом. Проведем через точку P любую прямую, пересекающую коническое сечение в двух точках; проведем касательные к коническому сечению в точках пересечения; предположим, что эти касательные пересекаются в точке P 1 . Проведем через точку P еще одну прямую, которая пересекается с коническим сечением в двух других точках; допустим, что касательные к коническому сечению в этих новых точках пересекаются в точке P 2 (рис. 10). Прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 , и есть искомая поляра p . Если точка P приближается к центру O центрального конического сечения, то поляра p удаляется от O . Когда точка P совпадает с O , то ее поляра становится бесконечно удаленной, или идеальной, прямой на плоскости.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

Особый интерес для астрономов представляет следующее простое построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Пусть произвольная прямая, проходящая через точку O (рис. 11,а ), пересекает в точках Q и R две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами b и a , где b a. Проведем через точку Q горизонтальную прямую, а через R – вертикальную прямую, и обозначим их точку пересечения P P при вращении прямой OQR вокруг точки O будет эллипс. Угол f между прямой OQR и большой осью называется эксцентрическим углом, а построенный эллипс удобно задавать параметрическими уравнениями x = a cos f , y = b sin f . Исключая из них параметр f , получим уравнение (3а).

Для гиперболы построение во многом аналогично. Произвольная прямая, проходящая через точку O , пересекает одну из двух окружностей в точке R (рис. 11,б ). К точке R одной окружности и к конечной точке S горизонтального диаметра другой окружности проведем касательные, пересекающие OS в точке T и OR – в точке Q . Пусть вертикальная прямая, проходящая через точку T , и горизонтальная прямая, проходящая через точку Q , пересекаются в точке P . Тогда геометрическим местом точек P при вращении отрезка OR вокруг O будет гипербола, задаваемая параметрическими уравнениями x = a sec f , y = b tg f , где f – эксцентрический угол. Эти уравнения были получены французским математиком А.Лежандром (1752–1833). Исключив параметр f , мы получим уравнение (4a).

Эллипс, как заметил Н.Коперник (1473–1543), можно построить с помощью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка P , не лежащая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка P находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса – диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в 5 в. Если концы A и B отрезка прямой AB заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка P отрезка опишет эллипс; нидерландский математик Ф. ван Схотен (1615–1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс.

Б.Паскаль (1623–1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, линии, которые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Существуют конические сечения трёх типов. 1) Секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а); линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс, окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса (рис., б); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости. 3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в); линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), каждая из которых лежит на своей полости конуса.

В аналитической геометрии конические сечения - действительные, нераспадающиеся линии второго порядка. В тех случаях, когда коническое сечение имеет центр симметрии (центр), то есть является эллипсом или гиперболой, его уравнение в декартовой системе координат может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду а 11 х 2 + 2а 12 ху + а 22 y 2 = а 33 , где а 11 , а 12 , а 22 , а 33 - постоянные. Уравнения этих кривых могут быть приведены к более простому виду

Aх 2 + Βу 2 = С, (*)

если за направления осей координат выбрать так называемые главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конического сечения. Если постоянные А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (*) определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (*) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду у 2 = 2 рх.

Конические сечения были известны математикам Древней Греции. То, что эллипс, гипербола и парабола являются сечениями конусов, открыто Менехмом (около 340 года до нашей эры). Наиболее полное сочинение, посвящённое этим кривым, - «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 года до нашей эры). Дальнейшее развитие теории конических сечений связано с созданием в 17 веке проективного (Ж. Дезарг, Б. Паскаль) и координатного (Р. Декарт, П. Ферма) методов. При надлежащем выборе системы координат (ось абсцисс - ось симметрии конического сечения, ось ординат - касательная к вершине конического сечения) уравнение конического сечения приводится к виду у 2 = 2рх + λх 2 , где р и λ - постоянные, р≠0. При λ = 0 это уравнение задаёт параболу, при λ<0 - эллипс, при λ>0 -гиперболу. Это свойство конического сечения, содержащееся в последнем уравнении, было известно древнегреческим геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам конического сечения названия, сохранившиеся до сих пор: слово «парабола» означает приложение (т. к. в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади у 2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р называется приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» - недостаток (приложение с недостатком); слово «гипербола» - избыток (приложение с избытком).

Стереометрическое определение конического сечения можно заменить планиметрическими определениями этих кривых как множеств точек на плоскости. Так, например, эллипс является множеством точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) имеет одно и то же значение. Можно дать и другое планиметрическое определение конического сечения, охватывающее все три типа этих кривых: коническое сечение - множество точек, для каждой из которых отношение расстояний до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно данному положительному числу (эксцентриситету) е. При е<1 коническое сечение - эллипс; при е > 1 - гипербола; при е = 1 - парабола.

Интерес к коническому сечению всегда поддерживался тем, что эти линии часто встречаются в описаниях различных явлений природы и в человеческой деятельности. Конические сечения приобрели особое значение после того, как И. Кеплер (1609) установил с помощью наблюдений, а И. Ньютон (1687) теоретически обосновал законы движения планет (один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце).

Лит.: Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. 2-е изд. М., 2006; Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. 2-е изд. М., 2008.

Муниципальное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная школа №4

Конические сечения

Выполнил

Спиридонов Антон

ученик 11 А класса

Проверил

Коробейникова А. Т.

Тобольск – 2006 г.

Введение

Понятие конических сечений

Виды конических сечений

Исследование

Построение конических сечений

Аналитический подход

Применение

Приложение

Список литературы

Введение.

Цель: изучить конические сечения.

Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитический подход.

Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.

Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание - удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз. В терминах геометрической алгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данному отрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогда длина отрезка х будет равна .

Приведенную пропорцию можно рассматривать как систему уравнений:

Но x 2 =ay и y 2 =2ax - это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить и уравнение гиперболы xy=2a 2 , то эту же задачу возможно решить нахождением точек пересечения параболы с гиперболой.

Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный - плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.

Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη) - преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη) - приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (Рис. 1).

Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола.

Понятие конических сечений.

Конические сечения - этоплоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).

При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Она может быть трех типов:

1) если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;

2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой;

3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.

Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса.

Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.

Если вершина бесконечно удалена, то коническая поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Конические сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

и называются кривыми 2-го порядка.

Виды конических сечений.

Конические сечения могут быть трёх типов:

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

Исследование.

В тех случаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:

Ах 2 + Ву 2 = С,

если за направления осей координат выбрать главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (Ах 2 + Ву 2 = С) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малыми осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).

Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F 1 и F 2 (Рис. 4).

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся, как показано на рисунке 4,б. Угловые

коэффициенты этих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 2 F 1 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).

Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем, виде как

где не все коэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 > AC, второе – при B 2 = AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

1) Если коэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a = b – окружность.

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых.

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b, стянутой в точку окружности.

6) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Применение

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении

Приложение

Список литературы.

1. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. 2001

2. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П.. Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математических факультетов педагогических институтах. Москва «просвещение» 1974

3. Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. 1999

4. Гельфанд И.М.. Лекции по линейной алгебре. 1998.

5. Гладкий А.В.. Введение в современную логику. 2001

6. М.Э.Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002).

7. Прасолов В.В.. Геометрия Лобачевского 2004

8. Прасолов В.В.. Задачи по планиметрии 2001

9. Шейнман О.К.. Основы теории представлений. 2004

Введение

Актуальность темы исследования. Конические сечения были известны уже математикам Древней Греции (например, Менехму, 4 в. до н.э.); с помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение (удвоение куба и др.), оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертёжных инструментов - циркуля и линейки. В первых дошедших до нас исследованиях греческие геометры получали конические сечения, проводя секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих, при этом, в зависимости от угла раствора при вершине конуса (т.е. наибольшего угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом, если этот угол - острый, параболой, если - прямой, и гиперболой, если - тупой. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 до н.э.). Дальнейшие успехи теории конических сечений связаны с созданием в 17 в. новых геометрических методов: проективного (французские математики Ж. Дезарг, Б. Паскаль) и в особенности координатного (французские математики Р. Декарт, П. Ферма).

Интерес к коническим сечениям всегда поддерживался тем, что эти кривые часто встречаются в различных явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке конические сечения приобрели особенное значение после того, как немецкий астроном И. Кеплер открыл из наблюдений, а английский учёный И. Ньютон теоретически обосновал законы движения планет, один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце. Следующие примеры относятся к отдельным типам конических сечений: параболу описывает снаряд или камень, брошенный наклонно к горизонту (правильная форма кривой несколько искажается сопротивлением воздуха); в некоторых механизмах пользуются зубчатыми колёсами эллиптической формы («эллиптическая зубчатка»); гипербола служит графиком обратной пропорциональности, часто наблюдающейся в природе (например, закон Бойля - Мариотта).

Цель работы:

Изучение теории конических сечений.

Тема исследования:

Конические сечения.

Цель исследования:

Теоретически изучить особенности конических сечений.

Объект исследования:

Конические сечения.

Предмет исследования:

Историческое развитие конических сечений.

1. Образование конических сечений и их типы

Конические сечения - это линии, которые образуются в сечении прямого кругового конуса с различными плоскостями.

Заметим, то конической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей все время через неподвижную точку (вершину конуса) и пересекающей все время неподвижную кривую - направляющую (в нашем случае - окружность).

Классифицируя эти линии по характеру расположения секущих плоскостей относительно образующих конуса, получают кривые трех типов:

I. Кривые, образованные сечением конуса плоскостями, не параллельными ни одной из образующих. Такими кривыми будут различные окружности и эллипсы. Эти кривые называются кривыми эллиптического типа.

II. Кривые, образованные сечением конуса плоскостями, каждая из которых параллельна какой-нибудь одной из образующих конуса (рис. 1 б). Такими кривыми будут только параболы.

III. Кривые, образованные сечением конуса плоскостями, каждая из которых параллельна каким-нибудь двум образующим (рис. 1 в). такими кривыми будут гиперболы.

Никакого IV типа кривых уже быть не может, так как не может быть плоскости, параллельной сразу трем образующим конуса, поскольку никакие три образующие конуса сами уже не лежат в одной плоскости.

Заметим, что конус можно пересечь плоскостями и так, чтобы в сечении получились две прямые. Для этого секущие плоскости надо проводить через вершину конуса.

2. Эллипс

Для изучения свойств конических сечений важны две теоремы:

Теорема 1. Пусть дан прямой круговой конус, который рассечен плоскостями ?1,?2, ?3, перпендикулярными к его оси. Тогда все отрезки образующих конуса между какой-либо парой окружностей (полученных в сечении с данными плоскостями) равны друг другу, т.е. А1В1=А2В2= и т.д. и В1С1=В2С2= и т.д. Теорема 2. Если дана шаровая поверхность и некоторая точка S вне ее, то отрезки касательных, проведенных из точки S к шаровой поверхности, будут равны друг другу, т.е. SA1=SA2=SA3 и т.д.

2.1 Основное свойство эллипса

a, пересекающей все его образующие В сечении мы получим эллипс. Проведем через ось конуса плоскость, перпендикулярную к плоскости a.

Впишем в конус два шара так, чтобы, располагаясь по разные стороны от плоскости a и касаясь конической поверхности, каждый из них касался плоскости a в некоторой точке.

Пусть один шар касается плоскости a в точке F1 и касается конуса по окружности С1, а другой - в точке F2 и касается конуса по окружности С2.

Возьмем произвольную точку Р на эллипсе.

Это значит, что все выводы, сделанные относительно нее, будут справедливыми для любой точки эллипса. Проведем образующую ОР конуса и отметим точки R1 и R2, в которых она касается построенных шаров.

Соединим точку Р с точками F1 и F2. Тогда РF1=РR1 и РF2=РR2, так как РF1, РR1 - касательные, проведенные из точки Р к одному шару, а РF2, РR2 - касательные, проведенные из точки Р к другому шару (теорема 2). Сложив почленно оба равенства, найдем

РF1+РF2= РR1+РR2= R1R2 (1)

Это соотношение показывает, что сумма расстояний (РF1 и РF2) произвольной точки Р эллипса до двух точек F1 и F2 есть величина постоянная для данного эллипса (т.е. она не зависит от положения точки Р на эллипсе).

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. Точки, в которых прямая F1 F2 пересекает эллипс, называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами называется большой осью эллипса.

Отрезок образующей R1R2 по длине равен большой оси эллипса. Тогда основное свойство эллипса формулируется следующим образом: сумма расстояний произвольной точки Р эллипса до его фокусов F1 и F2 есть величина постоянная для данного эллипса, равная длине его большой оси.

Заметим, что если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность, т.е. окружность - частный случай эллипса.

.2 Уравнение эллипса

Чтобы составить уравнение эллипса, мы должны рассматривать эллипс как геометрическое место точек, обладающих некоторым свойством, характеризующим это геометрическое место. Примем основное свойство эллипса за его определение: Эллипс - это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине его большой оси.

Пусть длина отрезка F1 F2=2с, а длина большой оси равна 2а. Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F1 F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рисунке 5. (Если фокусы совпадают, то О совпадает с F1 и F2, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О). Тогда в выбранной системе координат точки F1(с, 0) и F2(-с, 0). Очевидно, 2а>2с, т.е. а>с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая эллипсу. Пусть МF1=r1, МF2=r2. Согласно определению эллипса равенство

r1+r2=2а (2) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе. Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

r1=, r2=. Вернемся к равенству (2):

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

Сокращая, получаем:

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

Возводим в квадрат

Раскрываем скобки и сокращаем на :

откуда получаем:

(а2-с2) х2+а2у2=а2(а2-с2). (3)

Заметим, что а2-с2>0. Действительно, r1+r2 есть сумма двух сторон треугольника F1MF2, а F1F2 есть его третья сторона. Следовательно, r1+r2> F1F2, или 2а>2с, т.е. а>с. Обозначим а2-с2=b2. Уравнение (3) будет иметь вид: b2х2+а2у2=а2b2. Выполним преобразование, приводящее уравнение эллипса к каноническому (дословно: принятому за образец) виду, а именно поделим обе части уравнения на а2b2:

(4) - каноническое уравнение эллипса.

Так как уравнение (4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения (2*), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», необходимо убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (4), располагается на данном эллипсе. Для этого достаточно доказать, что величины r1 и r2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (2). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (4). Подставляя значение у2 из (4) в выражение r1, после несложных преобразований найдем, что r1=. Так как, то r1=. Совершенно аналогично найдем, что r2=. Таким образом, для рассматриваемой точки М r1=, r2=, т.е. r1+r2=2а, поэтому точка М располагается на эллипсе. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

2.3 Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

Уравнение (4) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка (х, у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х, - у), (-х, у), (-х, - у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О (0,0), которую называют центром эллипса.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у=0, находим две точки А1(а, 0) и А2(-а, 0), в которых ось Ох пересекает эллипс. Положив в уравнении (4) х=0, находим точки пересечения эллипса с осью Оу: B1(0, b) и. B2(0, - b) Точки A1, A2, B1, B2 называются вершинами эллипса.

3. Из уравнения (4) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и. Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми, .

В уравнении (4) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если |х| возрастает, то |у| уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 6 (овальная замкнутая кривая).

Заметим, что если a = b, то уравнение (4) примет вид x2 + y2 = a2. Это - уравнение окружности. Эллипс можно получить из окружности с радиусом a, если сжать ее в раз вдоль оси Oy. При таком сжатии точка (x; y) перейдет в точку (x; y1), где. Подставляя в уравнение окружности, получим уравнение эллипса: .

Введем еще одну величину, характеризующую форму эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2c к длине 2a его большой оси.

Эксцентриситет обычно обозначают?: ?=Так как c < a, то. Заметив, что c2 = a2 - b2, находим: , отсюда.

Из последнего равенства легко получить геометрическое истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом числа a и b почти равны, то есть эллипс близок к окружности. Если же близко к единице, то число b весьма мало по сравнению с числом a и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.

3. Гипербола

.1 Основное свойство гиперболы

Исследуя гиперболу с помощью построений, подобных построениям, проведенным для исследования эллипса, мы обнаружим, что гипербола обладает свойствами, аналогичными свойствам эллипса.

Рассечем прямой круговой конус плоскостью ?, пересекающей обе его плоскости, т.е. параллельной двум его образующим. В сечении получится гипербола. Проведем через ось ST конуса плоскость АSB, перпендикулярную к плоскости ?.

Впишем в конус два шара - один в одну его полость, другой в другую, так чтобы каждый из них касался конической поверхности и секущей плоскости. Пусть первый шар касается плоскости ? в точке F1 и касается конической поверхности по окружности U´V´. Пусть второй шар касается плоскости ? в точке F2 и касается конической поверхности по окружности UV.

Выберем на гиперболе произвольную точку М. Проведем через нее образующую конуса МS и отметим точки d и D, в которых она коснется первого и второго шаров. Соединим точку М с точками F1, F2, которые назовем фокусами гиперболы. Тогда МF1=Md, так как оба отрезка являются касательными к первому шару, проведенными из точки М. Аналогично МF2=MD. Вычитая почленно из первого равенства второе, найдем

МF1-МF2=Md-MD=dD,

где dD - величина постоянная (как образующую конуса с основаниями U´V´ и UV), не зависящая от выбора точки М на гиперболе. Обозначим через Р и Q точки, в которых прямая F1F2 пересекает гиперболу. Эти точки Р и Q называются вершинами гиперболы. Отрезок РQ называется действительной осью гиперболы. В курсе элементарной геометрии доказывается, что dD=PQ. Поэтому МF1-MF2=PQ.

Если точка М будет находиться на той ветви гиперболы, около которой расположен фокус F1, то МF2-MF1=PQ. Тогда окончательно получаем |МF1-MF2|=PQ.

Модуль разности расстояний произвольной точки М гиперболы от ее фокусов F1 и F2 есть величина постоянная, равная длине действительной оси гиперболы.

3.2 Уравнение гиперболы

Примем основное свойство гиперболы за ее определение: Гипербола - это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине ее действительной оси.

Пусть длина отрезка F1 F2=2с, а длина действительной оси равна 2а. Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F1 F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рисунке 5. Тогда в выбранной системе координат точки F1(с, 0) и F2(-с, 0). Очевидно, 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF1=r1, МF2=r2. Согласно определению гиперболы равенство

|r1-r2|=2а (5) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данной гиперболе. Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

r1=, r2=. Вернемся к равенству (5):

Возведем в квадрат обе части равенства

(х+с)2+у2=4а2±4а+(х-с)2+у2

Сокращая, получаем:

хс=4а2±4а-2 хс

±4а=4а2-4 хс

а2х2-2а2хс+а2с2+а2у2=а4-2а2хс+х2с2

х2(с2-а2) - а2у2= а2 (с2-а2) (6)

Заметим, что с2-а2>0. Обозначим с2-а2=b2. Уравнение (6) будет иметь вид: b2х2-а2у2=а2b2. Выполним преобразование, приводящее уравнение гиперболы к каноническому виду, а именно поделим обе части уравнения на а2b2: (7) - каноническое уравнение гиперболы, величины а и b - соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы.

Мы должны убедиться в том, что уравнение (7), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (5*), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (7), величины r1 и r2 удовлетворяют соотношению (5). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формулы эллипса, найдем для r1 и r2 следующие выражения:

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем |r1-r2|=2а, и поэтому она располагается на гиперболе.

3.3 Исследование уравнения гиперболы

Теперь попытаемся на основании рассмотрения уравнения (7) составить себе представление о расположении гиперболы.
1. Прежде всего уравнение (7) показывает, что гипербола симметрична относительно обеих осей. Это объясняется тем, что в уравнение кривой входят только чётные степени координат. 2. Отметим теперь ту область плоскости, где будет лежать кривая. Уравнение гиперболы, разрешённое относительно у, имеет вид:

Оно показывает, что у существует всегда, когда х2 ? а2. Это значит, что при х? а и при х?- а ордината у будет действительной, а при - а

Далее, при х возрастающем (и большем а) ордината у тоже будет всё время расти (в частности, отсюда видно, что кривая не может быть волнистой, т.е. такой, чтобы с ростом абсциссы х ордината у то увеличивалась, то уменьшалась).

З. Центром гиперболы называется точка, относительно которой каждая точка гиперболы имеет на ней симметричную себе точку. Точка О(0,0), начало координат, как и для эллипса, является центром гиперболы, заданной каноническим уравнением. Это значит, что каждая точка гиперболы имеет симметрическую точку на гиперболе относительно точки О. Это вытекает из симметрии гиперболы относительно осей Ох и Оу. Всякая хорда гиперболы, проходящая через её центр, называется диаметром гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с прямой, на которой лежат её фокусы, называются вершинами гиперболы, а отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. В данном случае действительной осью является ось Ох. Заметим, что действительной осью гиперболы называется часто как отрезок 2а, так и сама прямая (ось Ох), на которой он лежит.

Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оу. Уравнение оси Оу имеет вид х=0. Подставляя х = 0 в уравнение (7), получим, что точек пересечения с осью Оу у гиперболы нет. Это ипонятно, так как в полосе шириной 2а, охватывающей ось Оу, точек гиперболы нет.

Прямая, перпендикулярная к действительной оси гиперболы и проходящая через её центр, называется мнимой осью гиперболы. В данном случае она совпадает с осью Оу. Итак, в знаменателях членов с х2 и у2 в уравнении гиперболы (7) стоят квадраты действительной и мнимой полуосей гиперболы.

Гипербола пересекается с прямой y = kx при |k|< в двух точках. Если |k|³ то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Доказательство

Для определения координат точек пересечения гиперболы и прямой y = kx нужно решить систему уравнений

Исключая y, получаем

или При b2-k2a2£0 то есть при |k|³ полученное уравнение, а потому и система решений не имеют.

Прямые с уравнениями y= и y= - называются асимптотами гиперболы.

При b2-k2a2>0 то есть при |k|< система имеет два решения:

Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом |k|< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

Оптическое свойство гиперболы: оптические лучи, исходящие из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, кажутся исходящими из второго фокуса.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния 2c к длине 2a ее действительной оси?=Так как c >a, то?>1, значит фокусы гиперболы, как и в случае эллипса, находится внутри кривой,
т.е. со стороны её вогнутости.

3.4 Сопряженная гипербола

Наряду с гиперболой (7) рассматривают так называемую сопряженную по отношению к ней гиперболу. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением.

На рис. 10 изображены гипербола (7) и сопряженная ей гипербола. Сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и данная, но F1(0, c),

4. Парабола

.1 Основное свойство параболы

Установим основные свойства параболы. Рассечем прямой круговой конус с вершиной S плоскостью a, параллельной одной из его образующих. В сечении получим параболу. Проведем через ось ST конуса плоскость АSB, перпендикулярную к плоскости a (рис. 11). Образующая SА, лежащая в ней, будет параллельна плоскости a. Впишем в конус шаровую поверхность, касающуюся конуса по окружности UV и касающуюся плоскости a в точке F. Проведем через точку F прямую, параллельную образующей SA. Обозначим точку ее пересечения с образующей SB через P. Точка F называется фокусом параболы, точка Р - ее вершиной, а прямая РF, проходящая через вершину и фокус (и параллельная образующей SA), называется осью параболы. Второй вершины - точки пересечения оси РF с образующей SA у параболы не будет: эта точка «уходит в бесконечность». Назовем директрисой (в переводе значит «направляющая») линию q1q2 пересечения плоскости a с плоскостью, в которой лежит окружность UV. Возьмем на параболе произвольную точку М и соединим ее с вершиной конуса S. Прямая МS коснется шара в точке D, лежащей на окружности UV. Соединим точку М с фокусом F и опустим из точки М перпендикуляр МК на директрису. Тогда оказывается, что расстояния произвольной точки М параболы до фокуса (МF) и до директрисы (МК) равны друг другу (основное свойство параболы), т.е. МF=МК.

Доказательство: МF=MD (как касательные к шару из одной точки). Обозначим угол между любой из образующих конуса и осью ST через ?. Спроектируем отрезки МD и МК на ось ST. Отрезок MD образует проекцию на ось ST, равную МDcos?, так как MD лежит на образующей конуса; отрезок МК образует проекцию на ось ST, равную МКсоs?, так как отрезок МК параллелен образующей SA. (Действительно, директриса q1q1 перпендикулярна плоскости АSB. Следовательно, прямая РF пересекает директрису в точке L под прямым углом. Но прямые МК и РF лежат в одной плоскости a, причем МК тоже перпендикулярна директрисе). Проекции обоих отрезков МК и МD на ось ST равны друг другу, так как один их конец - точка М - общий, а два других D и К лежат в плоскости, перпендикулярной оси ST (рис.). Тогда МDcos?= МКсоs? или МD= МК. Следовательно, МF=MK.

Свойство 1. (Фокальное свойство параболы).

Расстояние от любой точки параболы до середины главной хорды равно её расстоянию до директрисы.

Доказательство.

Точка F - точка пересечения прямой QR и главной хорды. Эта точка лежит на оси симметрии Оу. Действительно, треугольники RNQ и ROF равны, как прямоугольные

треугольники с раными катетами (NQ=OF, OR=RN). Поэтому какую бы точку N мы не взяли, построенная по ней прямая QR пересечёт главную хорду в её середине F. Теперь ясно, что треугольник FMQ - равнобедренный. Действительно, отрезок MR является одновременно и медианой и высотой этого треугольника. Отсюда следует, что MF=MQ.

Свойство 2. (Оптическое свойство параболы).

Всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом, проведённым в точку касания, и лучом, прходящим из точки касания и сонаправленным с осью (или, лучи, выходящие из единственного фокуса, отражаясь от параболы, пойдут параллельно оси).

Доказательство. Для точки N, лежащей на самой параболе справедливо равенство |FN|=|NH|, а для точки N", лежащей во внутренней области параболы, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, то есть точка M" лежит во внешней области параболы. Итак, вся прямая l, кроме точки М, лежит во внешней области, то есть внутренняя область параболы лежит по одну сторону от l, а это означает, что l - касательная к параболе. Это даёт доказательство оптического свойства параболы: угол 1 равен углу 2, так как l - биссектриса угла FМК.

4.2 Уравнение параболы

На основе основного свойства параболы сформулируем ее определение: параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 12). В выбранной системе фокус F(, 0), а уравнение директрисы имеет вид х=-, или х+=0 Пусть м (х, у) - произвольная точка параболы. Соединим точку? с F. Проведем отрезок?? перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ??. По формуле расстояния между двумя точками находим:

Следовательно, Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т.е. (8) Уравнение (8) называется каноническим уравнением параболы.

4.3 Исследование форм параболы по ее уравнению

В уравнении (8) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.

Так как ? > 0, то из (8) следует, что х>0. Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.

Пусть х=0, тогда у = 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.

При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возрастает. Парабола у2=2 рх имеет вид (форму), изображенный на рисунке 13. Точка О (0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М. Уравнения у2=-2 рх, х2=-2 ру, х2=2 ру (p>0) также определяют параболы.

5. Директориальное свойство конических сечений.

Здесь мы докажем, что каждое отличное от окружности (невырожденное) коническое сечение можно определить как множество точек M, отношение расстояния MF которых от фиксированной точки F к расстоянию MP от фиксированной прямой d, не проходящей через точку F, равно постоянной величине?: где F - фокусом конического сечения, прямая d - директриса, а отношение? - эксцентриситет. (Если точка F принадлежит прямой d, то условие определяет множество точек, представляющее собой пару прямых, т.е. вырожденное коническое сечение; при? = 1 эта пара прямых сливается в одну прямую. Для доказательства рассмотрим конус, образованный вращением прямой l вокруг пересекающей ее в точке O прямой p, составляющей с l угол? < 90º; пусть плоскость? не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол? < 90º (если? = 90º, то плоскость? пересекает конус по окружности).

Впишем в конус шар K, касающийся плоскости? в точке F и касающийся конуса по окружности S. Линию пересечения плоскости? с плоскостью? окружности S обозначим через d.

Теперь соединим произвольную точку M, лежащую на линии? пересечения плоскости? и конуса, с вершиной O конуса и с точкой F и опустим из M перпендикуляр MP на прямую d; обозначим еще через E точку пересечения образующей MO конуса с окружностью S.

При этом MF = ME, как отрезки двух касательных шара K, проведенных из одной точки M.

Далее, отрезок ME образует с осью p конуса постоянный (т.е. не зависящий от выбора точки M) угол?, а отрезок MP - постоянный угол?; поэтому проекции этих двух отрезков на ось p соответственно равны ME cos ? и MP cos ?.

Но эти проекции совпадают, так как отрезки ME и MP имеют общее начало M, а концы их лежат в плоскости?, перпендикулярной к оси p.

Поэтому ME cos ? = MP cos ?, или, поскольку ME = MF, MF cos ? = MP cos ?, откуда и следует, что

Нетрудно также показать, что если точка M плоскости? не принадлежит конусу, то. Таким образом, каждое сечение прямого кругового конуса может быть описано как множество точек плоскости, для которых. С другой стороны, меняя значения углов? и?, мы можем придать эксцентриситету любое значение? > 0; далее, из соображений подобия нетрудно понять, что расстояние FQ от фокуса до директрисы прямо пропорционально радиусу r шара K (или расстоянию d плоскости? от вершины O конуса). Можно показать, что, таким образом, выбирая подходящим образом расстояние d, можем придать расстоянию FQ любое значение. Поэтому каждое множество точек M, для которых отношение расстояний от M до фиксированной точки F и до фиксированной прямой d имеет постоянную величину, можно описать как кривую, получаемую в сечении прямого кругового конуса плоскостью. Тем самым доказано, что (невырожденные) конические сечения можно также определить тем свойством, о котором говорится в настоящем пункте.

Это свойство конических сечений называют их директориальным свойством . Ясно, что если? > ?, то? < 1; если? = ?, то? = 1; наконец, если? < ?, то? > 1. С другой стороны, нетрудно видеть, что если? > ?, то плоскость? пересекает конус по замкнутой ограниченной линии; если? = ?, то плоскость? пересекает конус по неограниченной линии; если? < ?, то плоскость? пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Коническое сечение, для которого? < 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом? = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого? > 1, называется гиперболой. К числу эллипсов относят также окружность, которую нельзя задать директориальным свойством; так как для окружности отношение обращается в 0 (т. к. в этом случае? = 90º), то условно считают, что окружность представляет собой коническое сечение с эксцентриситетом 0.

6. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения

конический сечение эллипс гипербола

Древнегреческий математик Менехм, открывший эллипс, гиперболу и параболу, определял их как сечения кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к одной из образующих. Он назвал полученные кривые сечениями остроугольного, прямоугольного и тупоугольного конусов, в зависимости от осевого угла конуса. Первое, как мы увидим ниже, представляет собой эллипс, второе - параболу, третье - одну ветвь гиперболы. Названия «эллипс», «гипербола» и «парабола» были введены Аполлонием. До нас дошло почти полностью (7 из 8 книг) сочинение Аполлония «О конических сечениях». В этом сочинении Аполлоний рассматривает обе полы конуса и пересекает конус плоскостями, не обязательно перпендикулярными к одной из образующей.

Теорема. Сечением любого прямого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь гиперболой (рис. 4), параболой (рис. 5) или эллипсом (рис. 6). При этом, если плоскость пересекает только одну плоскость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если плоскость пересекает только одну плоскость по незамкнутой кривой, то эта кривая - парабола; если секущая плоскость пересекает обе плоскости конуса, то в сечении образуется гипербола.

Изящное доказательство этой теоремы было предложено в 1822 году Данделеном, использовавшим сферы, которые принято теперь называть сферами Данделена. Рассмотрим это доказательство.

Впишем в конус две сферы, касающиеся плоскости сечения П с разных сторон. Обозначим через F1 и F2 точки касания этой плоскости со сферами. Возьмём на линии сечения конуса плоскостью П произвольную точку М. Отметим на образующей конуса, проходящей через М, точки Р1 и Р2, лежащие на окружности к1 и к2, по которым сферы касаются конуса.

Ясно, что МF1=МР1 как отрезки двух касательных к первой сфере, выходящих из М; аналогично, МF2=МР2. Следовательно, МF1+МF2=МР1+МР2=Р1Р2. Длина отрезка Р1Р2 - одна и та же для всех точек М нашего сечения: это - образующая усечённого конуса, ограниченного параллельными плоскостями 1 и 11, в которых лежат окружности к1 и к2. Следовательно, линия сечения конуса плоскостью П - эллипс с фокусами F1 и F2. Справедливость этой теоремы также можно установить исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью, есть линия второго порядка.

Литература

1.Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учебное пособие для студентов физ.-мат. пед. ин - тов.-М.: Просвещение, 1986.

2.Базылев В.Т. и др. Геометрия. Учеб. пособие для студентов 1 курса физ. - мат. фак - тов пед. ин. - тов.-М.: Просвещение, 1974.

.Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. - 4-е изд.-М.: Просвещение, 1993.

4.История математики с древних времен до начала XIX столетия. Юшкевич А.П. - М.: Наука, 1970.

5.Болтянский В.Г. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. // Квант. - 1975. - №12. - с. 19 - 23.

.Ефремов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М: Наука, 6-ое издание, 1967. - 267 с.

отрезок на прямой l.)

13) Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку P проведите прямую, параллельную данной прямой l. (Указание: примените 10 к центру параллелограмма и воспользуйтесь 8.)

14) Дан параллелограмм; увеличьте данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13 и 11.)

15) Дан параллелограмм; разделите данный отрезок на n равных частей.

16) Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой. (Указание: примените 13.)

17) Дан неподвижный круг с центром. Увеличьте и уменьшите данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13.)

18) Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Указание: воспользуйтесь прямоугольником, вписанным в данный круг, с двумя сторонами, параллельными данной прямой, и сведите к предшествующим задачам.)

19) Пересмотрев задачи 1–18, перечислите, какие основные задачи на построение можно выполнить с помощью двусторонней линейки (с двумя параллельными сторонами).

20) Две данные прямые l 1 и l2 пересекаются в точке P , находящейся за пределами чертежа. Постройте прямую, соединяющую данную точку Q с точкой P . (Указание: дополните заданные элементы таким образом, чтобы получилась конфигурация плоскостной теоремы Дезарга, причем P и Q стали бы точками пересечения взаимно соответствующих сторон двух треугольников.)

21) Проведите прямую через две точки, между которыми расстояние больше, чем длина линейки. (Указание: примените 20.)

22) Прямые l 1 и l2 пересекаются в точке P ; прямые m1 и m2 - в точке Q; обе точки P и Q - за пределами чертежа. Постройте ту часть прямой P Q, которая находится в пределах чертежа. (Указание: чтобы получить точку прямой P Q, постройте конфигурацию Дезарга таким образом, чтобы две стороны одного треугольника лежали соответственно на l1 и m1 , две стороны другого - соответственно на l2 и m2 ).

23) Решите 20 с помощью теоремы Паскаля (стр. 209 ). (Указание: достройте конфигурацию Паскаля, рассматривая l1 и l2 как пару противоположных сторон шестиугольника, а Q - как точку пересечения другой пары противоположных сторон.)

*24) Каждая из двух прямых, целиком лежащих за пределами чертежа, задана двумя парами прямых линий, пересекающихся за пределами чертежа

в точках соответствующей прямой. Определите точку их пересечения с помощью двух прямых, пересекающихся за пределами чертежа.

§ 8. Конические сечения и квадрики

1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. До сих пор мы занимались только точками, прямыми, плоскостями и фигурами, составленными из конечного числа этих элементов. Если бы проективная геометрия ограничивалась рассмотрением таких «ли-

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

нейных» фигур, она была бы сравнительно малоинтересна. Но фактом первостепенного значения является то обстоятельство, что проективная геометрия этим не ограничивается, а включает также обширную область конических сечений и их многомерных обобщений. Аполлониева метрическая трактовка конических сечений - эллипсов, гипербол и парабол - была одним из выдающихся успехов античной математики. Едва ли можно переоценить значение конических сечений как для чистой, так и для прикладной математики (например, орбиты планет и орбиты электронов в атоме водорода являются коническими сечениями). Не приходится удивляться тому, что классическая, возникшая в Древней Греции, теория конических сечений и в наши дни составляет необходимую часть математического образования. Но греческая геометрия никоим образом не сказала последнего слова. Через две тысячи лет были открыты замечательные проективные свойства конических сечений. Несмотря на простоту и изящество этих свойств, академическая инерция до настоящего времени служит препятствием их проникновению в школьное преподавание.

Начнем с того, что напомним метрические определения конических течений. Таких определений несколько, и их эквивалентность доказывается в элементарной геометрии. Наиболее распространенные определения связаны с фокусами кривых. Эллипс определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что сумма их расстояний r1 и r2 от двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами, имеет постоянное значение. (Если фокусы совпадают, кривая превращается в окружность.) Гипербола определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что абсолютная величина разности r1 − r2 равно одной и той же постоянной величине. Парабола определяется как геометрическое место точек P , расстояние которых r от данной точки F равно расстоянию от данной прямой l.

В аналитической геометрии эти кривые представляются уравнениями второй степени относительно прямоугольных координат x, y. Нетрудно доказать, обратно, что всякая кривая, представляемая уравнением второго порядка

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

есть или одно из трех названных выше конических сечений, или прямая линия, или пара прямых, или сводится к одной точке, или носит чисто мнимый характер. Как показывается во всяком курсе аналитической геометрии, для доказательства достаточно сделать надлежащим образом подобранную замену координатной системы.

Указанные выше определения конических сечений - существенно метрические, так как пользуются понятием расстояния. Но вот другое определение, устанавливающее место конических сечений в проективной

Рис. 94. Конические сечения

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

геометрии: конические сечения суть не что иное, как проекции окружности на плоскость. Если мы станем проектировать окружность C из некоторой точки O, то проектирующие прямые образуют бесконечный двойной конус, и пересечение этого конуса с плоскостью p будет проекцией окружности C. Кривая пересечения будет эллипсом или гиперболой,

смотря по тому, пересечет ли плоскость только одну «полость» конуса или обе. Возможен и промежуточный случай параболы, если плоскость p параллельна одной из проектирующих прямых, проведенных через O (рис. 94).

Проектирующий конус не обязан быть «прямым круговым» с вершиной O, расположенной вертикально над центром окружности C: он может быть и «наклонным». Но во всех случаях (как мы примем здесь, не приводя доказательства) в пересечении конуса с плоскостью получается кривая, уравнение которой - второй степени; и обратно, всякая кривая второго порядка может быть получена из окружности посредством проектирования. По этой именно причине кривые второго порядка иначе называются коническими сечениями.

Мы уже отметили, что если плоскость пересекает только одну «полость» прямого кругового конуса, то пересечение E представляет собой эллипс. Нетрудно установить, что кри-

вая E удовлетворяет обыкновенному фокальному определению эллипса, которое было сформулировано выше. Приведем очень простое и изящное доказательство, данное в 1822 г. бельгийским математиком Данделеном. Представим себе две сферы S1 и S2 (рис. 95), которые касаются плоскости сечения p соответственно в точках F1 и F2 и, кроме того, касаются конуса вдоль параллельных окружностей K1 и K2 . Взяв произвольную точку P кривой E, проведем отрезки P F1 и P F2 . Затем рассмотрим отрезок P O, соединяющий точку P с вершиной конуса O; этот отрезок целиком лежит на поверхности конуса; обозначим через Q1 и Q2 точки его пересечения с окружностями K1 и K2 . Так как P F1 и P Q1 - две

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

касательные, проведенные из точки P к одной и той же сфере S1 , то

P F1 = P Q1 .

Точно так же

P F2 = P Q2 .

Складывая эти равенства, мы получаем:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 .

Но P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 есть расстояние между параллельными окружностями K1 и K2 на поверхности конуса: оно не зависит от выбора точки P на кривой E. Отсюда следует, что, какова бы ни была точка P на E, имеет место равенство

P F1 + P F2 = const,

а это и есть фокальное определение эллипса. Итак, E есть эллипс, a F1 и F2 - его фокусы.

Упражнение. Если плоскость пересекает обе «полости» конуса, то кривая пересечения - гипербола. Докажите это утверждение, помещая по одной сфере в каждой из «полостей» конуса.

2. Проективные свойства конических сечений. Основываясь на положениях, установленных в предыдущем пункте, примем теперь временно следующее определение: коническое сечение есть проекция окружности на плоскость. Это определение в боль-

шей степени отвечает духу проективной геометрии, чем общепринятые фокаль- Рис. 95. Сферы Данделена

ные определения, так как эти последние всецело опираются на метрическое понятие расстояния. Новое определение тоже не вполне свободно от этого недостатка, поскольку «окружность» - также метрическое понятие. Но через мгновение мы придем к чисто проективному определению конических сечений.

Раз мы приняли, что коническое сечение есть не что иное, как проекция окружности (другими словами, под термином «коническое сечение» мы понимаем любую кривую, принадлежащую проективному

			ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА
	классу окружности; см. стр. 206 ), то отсюда сейчас же следует, что
	всякое свойство окружности, инвариантное относительно проективных
						преобразований,	должно так-
						же принадлежать любому ко-
						ническому сечению. Вспомним
						теперь следующее хорошо из-
						вестное - метрическое - свой-
						ство окружности: «вписанные в
						окружность углы, опирающие-
						ся на одну и ту же дугу, рав-
						ны между собой». На рис. 96
						угол AOB, опирающийся на ду-
						гу AB, не зависит от положения
						точки O на окружности. Свя-
						ятельство с проективным поня-
	Рис. 96. Двойное отношение на окружно-					тием двойного отношения, вво-
						дя на окружности уже не две
						точки A, B, а четыре: A, B, C,
	D. Четыре прямые a, b, c, d, соединяющие эти точки с точкой O на
	окружности, имеют двойное отношение (a, b, c, d), зависящее только от
	углов, опирающихся на дуги CA, CB, DA, DB. Соединяя A, B, C, D

с какой-нибудь другой точкой O0 на окружности, получим прямые a0 , b0 , c0 , d0 . Из отмеченного ранее свойства окружности вытекает, что две четверки прямых «конгруэнтны»1 . Поэтому у них будет одно и то же двойное отношение: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). Спроектируем окружность на некоторое коническое сечение K: тогда на K получится четверка точек, которые мы снова обозначим через A, B, C, D, две точки O и O0 и две четверки прямых a, b, c, d и a0 , b0 , c0 , d0 . Эти две четверки прямых уже не будут конгруэнтны, так как углы при проектировании, вообще говоря, не сохраняются. Но так как двойное отношение при проектировании не изменяется, то равенство (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) по-прежнему имеет место. Мы пришли, таким образом, к следующей основной теореме: если четыре точки конического сечения K, например A, B, C, D, соединены

с пятой точкой O того же сечения прямыми a, b, c, d, то двойное отношение (abcd) не зависит от положения O на кривой K (рис. 97).

Это - замечательный результат. Как нам уже известно, если четыре точки A, B, C, D взяты на прямой, то двойное отношение, составленное из соединяющих эти точки с пятой точкой O прямых, не зависит от

1 Четверка прямых a, b, c, d считается конгруэнтной другой четверке a 0 , b0 , c0 , d0 , если углы между каждой парой прямых в первой четверке равны как по величине, так и по направлению отсчета углам между соответствующими прямыми второй четверки.

	КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ
выбора этой пятой точки. Это - исходное положение, лежащее в основе
проективной геометрии. Теперь мы узнали, что аналогичное утвержде-
ние справедливо и относительно четырех точек, взятых на некотором
коническом сечении K, однако с существенным ограничением: пятая
точка O уже не может свободно двигаться по всей плоскости, а может
только перемещаться по коническому сечению K.
	Не представляет особого труда доказать и обратную теорему в следу-
ющей форме: если на кривой K имеются две точки O и O0 , обладающие
тем свойством, что какова бы ни была четверка точек A, B, C, D на
кривой K, двойные отношения, составленные из прямых, соединяющих
эти точки с O, и из прямых, соединяющих эти точки с O0 , равны
между собой, то кривая K есть коническое сечение (а уж тогда, по
прямой теореме, двойное отношение, составленное из прямых, соеди-
няющих четыре данные точки с произвольной точкой O00 на K, будет
иметь одно и то же постоянное значение). Но доказательства мы здесь
приводить не будем.
	Изложенные проективные свойства конических сечений наводят на
мысль об общем методе точечного построения этих кривых. Условимся
под пучком прямых понимать совокупность всех прямых плоскости,
проходящих через данную точ-
ку O. Рассмотрим пучки прямых,
проходящих через две
	O0 , расположенные
ческом сечении K. Между пря-
мыми пучка O и прямыми пуч-
	O0 можно установить взаим-
но однозначное соответствие, со-
поставляя прямой a из первого
пучка прямую a0 из второго вся-
кий раз, как a и a0 встречаются			Рис. 97. Двойное отношение на эллипсе
в некоторой точке A кривой K.
Тогда любая четверка прямых a,
b, c, d из пучка O будет иметь то же двойное отношение, что и со-
ответствующая четверка a0 , b0 , c0 , d0 из пучка O0 . Всякое взаимно од-
нозначное соответствие между двумя пучками прямых, обладающее
этим последним свойством, называется проективным соответствием.
(Это определение двойственно по отношению к определению проектив-
ного соответствия между точками на двух прямых, см. стр. 198 –198 .)
Пользуясь этим определением, можно теперь утверждать: коническое
сечение K есть геометрическое место точек пересечения взаимно со-
ответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном
соответствии. Полученная теорема подводит фундамент под следу-
ющее чисто проективное определение конических сечений: коническим

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

сечением называется геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии1 . Как ни соблазнительно проникнуть в глубь теории конических сечений, строящейся на таком определении, однако мы вынуждены ограничиться немногими замечаниями по этому поводу.

Пары пучков, находящихся в проективном соответствии, можно получить следующим образом. Спроектируем все точки P прямой линии l из двух разных центров O и O00 и установим между проектирующими пучками взаимно однозначное соответствие, сопоставляя друг другу те прямые, которые пересекаются на прямой l. Этого достаточно, чтобы полученные пучки находились в проективном соответствии. Затем возьмем пучок O00 и перенесем его «как нечто твердое» в произвольное положение O0 . Что новый пучок O0 будет находиться в проективном соответствии с пучком O, это совершенно очевидно. Но замечательно то, что любое проективное соответствие между двумя пучками можно

Рис. 98. К построению проективных пучков прямых

получить именно таким образом. (Это обстоятельство двойственно по отношению к упражнению 1 на стр. 199 .) Если пучки O и O0 конгруэнтны, получается окружность. Если углы между соответствующими лучами в двух пучках равны, но отсчитываются в противоположных направлениях, то получается равносторонняя гипербола (рис. 99).

Следует еще заметить, что указанное определение конического сечения может, в частности, дать и прямую линию, как это показано на рис. 98. В этом случае прямая OO00 соответствует сама себе, и все ее точки должны быть рассматриваемы как принадлежащие искомому геометрическому месту. Таким образом, коническое сечение вырождается в

1 Это геометрическое место, при известных обстоятельствах, может вырождаться в прямую линию; см. рис. 98.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

пару прямых: это обстоятельство вполне согласуется с тем фактом, что существуют сечения конуса, состоящие из двух прямых (если секущая плоскость проходит через вершину конуса).

9 8 O 7

Рис. 99. Образование окружности и равносторонней гиперболы с помощью проективных пучков

Упражнения. 1) Вычертите эллипсы, гиперболы и параболы с помощью проективных пучков. (Читателю настойчиво рекомендуется экспериментировать с подобного рода построениями. Это в высшей степени способствует пониманию сути дела.)

2) Дано пять точек O, O0 , A, B, C некоторого конического сечения K. Найдите точки пересечения D произвольной прямой d пучка O с кривой K. (Указание: через O проведите прямые OA, OB, OC и назовите их a, b, c. Через O0 проведите прямые O0 A, O0 B, O0 C и назовите их a0 , b0 , c0 . Проведите через O прямую d и постройте такую прямую d0 пучка O0 , что (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ). Тогда точка пересечения d и d0 принадлежит кривой K.)

3. Конические сечения как «линейчатые кривые». Понятие касательной к коническому сечению принадлежит проективной геометрии, так как касательная к коническому сечению есть прямая, имеющая с самой кривой только одну общую точку, а это - свойство, сохраняющееся при проектировании. Проективные свойства касательных к коническим сечениям основываются на следующей теореме:

Двойное отношение точек пересечения четырех фиксированных касательных к коническому сечению с произвольной пятой касательной

Рис. 100. Окружность как совокупность касательных

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

не зависит от выбора этой пятой касательной. Доказательство этой теоремы весьма

просто. Так как любое коническое сечение есть проекция окружности и так как в теореме идет речь только о таких свойствах, которые инвариантны относительно проектирования, то, чтобы доказать теорему в общем случае, достаточно доказать ее для частного случая окружности.

Для этого же частного случая теорема доказывается средствами элементарной геометрии. Пусть P , Q, R, S - четыре точки на окружности K; a, b, c, d - касательные в этих точках; T - еще какаянибудь точка на окружности, o - касательная в ней; пусть, далее, A, B, C, D -

точки пересечения касательной o с касательными a, b, c, d. Если M -

центр окружности, то, очевидно, T MA = 1 2 T MP , и последнее вы-

ражение представляет угол, вписанный в K, опирающийся на дугу T P . Таким же образом T MB представляет угол, вписанный в K и опирающийся на дугу T Q. Следовательно,

AMB = 1 2 ^ P Q,

где 1 2 ^ P Q обозначает угол, вписанный в K и опирающийся на ду-

гу P Q. Отсюда видно, что A, B, C, D проектируются из M четырьмя прямыми, углы между которыми имеют величины, зависящие только от положения точек P , Q, R, S. Ho тогда двойное отношение (ABCD) зависит только от четырех касательных a, b, c, d, но не от касательной o. Как раз это и нужно было установить.

Рис. 101. Свойство касательной к окружности

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

В предыдущем пункте мы имели случай убедиться, что коническое сечение может быть построено «по точкам», если станем отмечать точки пересечения взаимно соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Только что доказанная теорема дает нам возможность сформулировать двойственную теорему. Возьмем две касательные a и a0 к коническому сечению K. Третья касательная t пусть пересекает a и a0 соответственно в точках A и A0 . Если t будет перемещаться вдоль кривой, то установится соответствие

A ←→ A0

между точками a и точками a0 . Это соответствие будет проективным, так как по доказанной теореме произвольная четверка точек на a будет непременно иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка точек на a0 . Отсюда следует, что коническое сечение K, рас-

Рис. 102. Проективные ряды точек на двух касательных к эллипсу

сматриваемое как «совокупность своих касательных», «состоит» из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки двух точечных рядов1 на a и на a0 , находящихся в проективном соответствии. Указанное обстоятельство позволяет ввести новое определение конических сечений, рассматриваемых на этот раз как «линейчатые кривые». Сравним это определение с прежним проективным определением конического сече-

1 Совокупность точек на прямой называется точечным рядом. Это понятие двойственно по отношению к пучку прямых.

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

ния, данным в предыдущем пункте:

Коническое сечение, рассматриваемое как совокупность точек, состоит из точек пересечения взаимно соответствующих прямых в двух проективных

Коническое сечение, рассматриваемое как «совокупность прямых», состоит из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки в двух проективных

Если мы станем считать касательную к коническому сечению в некоторой его точке двойственным элементом по отношению к самой точке и условимся, кроме того, «линейчатую кривую» (образованную совокупностью касательных) на основе двойственности сопоставлять «точечной кривой» (образованной совокупностью точек), то предыдущие формулировки будут безупречны с точки зрения принципа двойственности. При «переводе» одной формулировки в другую с заменой всех понятий соответствующими двойственными понятиями, «коническое сечение» остается неизменным; но в одном случае оно мыслится как «точечная кривая», определяемая своими точками, в другом - как «линейчатая кривая», определяемая своими касательными.

Из предыдущего вытекает важное следствие: принцип двойственности, первоначально установленный в проективной геометрии плоскости только для точек и прямых, оказывается, может быть распространен и на конические сечения. Если в формулировке любой теоремы, касающейся точек, прямых и конических сечений, заменить каждый элемент ему двойственным (не упуская из виду, что точке конического сечения должна быть сопоставляема касательная к этому коническому сечению),

то в результате также получится справедливая теорема. Пример действия этого принципа мы встретим в пункте 4 настоящего параграфа.

Построение конических сечений, понимаемых как «линейчатые кривые», показано на рис. 103–104. В частности, если в двух проективных точечных рядах бесконечно удаленные точки соответствуют взаимно одна другой (так будет непременно, если точечные ряды конгруэнтны или подобны1

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

принципа двойственности применительно к коническим сечениям является взаимоотношение между общими теоремами Паскаля и Брианшона. Первая из них была открыта в 1640 г., вторая - в 1806 г. И, однако, каждая из них есть непосредственное следствие другой, так как всякая теорема, формулировка которой упоминает только конические сечения, прямые и точки, непременно остается справедливой при изменении формулировки по принципу двойственности.

Теоремы, доказанные в § 5 под теми же наименованиями, представляют собой «случаи вырождения» следующих более общих теорем.

Теорема Паскаля. Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных точках.

Рис. 105. Общая конфигурация Паскаля. Показаны два случая: один для шестиугольника 1, 2, 3, 4, 5, 6, другой для шестиугольника 1, 3, 5, 2, 6, 4

Теорема Брианшона. Три диагонали, соединяющее противоположные вершины шестиугольника, описанного около конического сечения, конкуррентны.

Обе теоремы имеют очевидное проективное содержание. Их двойственность бросается в глаза, если сформулировать их следующим образом:

Теорема Паскаля. Дано шесть точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 на коническом сечении. Соединим последовательные точки прямыми (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Отметим точки пересечения прямых (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три точки лежат на одной прямой.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

Теорема Брианшона. Дано шесть касательных 1, 2, 3, 4, 5, 6 к коническому сечению. Последовательные касательные пересекаются в точках (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Проведем прямые, соединяющие точки (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три прямые проходят через одну точку.

Доказательства проводятся с помощью специализации такого же рода, как и в рассмотренных раньше случаях вырождения. Докажем теорему Паскаля. Пусть A, B, C, D, E, F - вершины шестиугольника, вписанного в коническое сечение K. Посредством проектирования можно сделать параллельными прямые AB и ED, F A и CD (и тогда получится конфигурация, изображенная на рис. 107; ради удобства шестиугольник на чертеже взят самопересекающимся, хотя в этом нет никакой необходимости.) Нам нужно теперь доказать только одно: что прямая CB параллельна прямой F E; другими словами, что противоположные стороны пересекаются на бесконечно удаленной прямой. Для доказательства рассмотрим четверку точек F , A, B, D, которая, как мы знаем, при проектировании из любой точки K сохраняет одно и то же двойное отношение, скажем, k. Станем проектировать из точки C на прямую AF ; получим четверку точек F , A, Y , ∞, причем

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(см. стр. 205 ).

Станем теперь проектировать из точки E на прямую BA; получим

	ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

Рис. 108. Построение прямых, пересекающих три данные прямые общего положения

четверку точек X, A, B, ∞, причем

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA= Y YF A,

что как раз и означает, что Y B k F X. Доказательство теоремы Паскаля закончено.

Теорема Брианшона, как было указано, следует из теоремы Паскаля по принципу двойственности. Но ее можно доказать и непосредственно - путем рассуждения, двойственного относительно только что приведенного. Провести это рассуждение во всех деталях будет прекрасным упражнением для читателя.

5. Гиперболоид. В трехмерном пространстве мы встречаемся с так называемыми квадриками (поверхностями второго порядка), которые в данном случае играют ту же роль, что «конические сечения» (кривые второго порядка) на плоскости.

Простейшими из них являются сфера и эллипсоид. Квадрики более разнообразны, чем конические сечения, и изучение их связано с б´ольшими трудностями. Мы рассмотрим бегло и без доказательств одну из самых интересных поверхностей этого типа: так называемый связный (или однополостный) гиперболоид.

Эта поверхность может быть получена следующим образом. Возьмем в пространстве три прямые l1 , l2 , l3 , находящиеся в общем положении. Последнее означает, что никакие две из них не параллельны и все три

Рис. 109. Гиперболоид

§ 8 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ 239

не являются параллельными одной и той же плоскости. Может показаться удивительным, что существует бесконечное множество прямых в пространстве, из которых каждая пересекается со всеми тремя данными прямыми. Убедимся в этом.

Пусть p - произвольная плоскость, содержащая прямую l1 ; эта плоскость пересекает прямые l2 и l3 в двух точках, и прямая m, проведенная через эти две точки, очевидно, пересекается со всеми прямыми l1 , l2 и l3 . Когда плоскость p вращается около прямой l1 , прямая m будет изменять свое положение, однако все время продолжая пересекаться с тремя данными прямыми. При движении m возникает поверхность, неограниченно уходящая в бесконечность, которая и называется однополостным гиперболоидом. Она содержит бесконечное множество прямых типа m. Любые три такие прямые, скажем m1 , m2 и m3 , также будут находиться в общем положении, и те прямые в пространстве, которые будут пересекаться с тремя прямыми m1 , m2 и m3 одновременно,

также будут лежать на рассматриваемой поверхности. Отсюда следует основное свойство гиперболоида: он составляется из двух различных семейств прямых линий; каждые три линии одного и того же семейства находятся в общем положении и каждая прямая одного семейства пересекается со всеми прямыми другого.

Важное проективное свойство гиперболоида заключается в том, что двойное отношение тех четырех точек, в которых данная четверка прямых одного семейства пересекается с некоторой прямой второго семейства, не зависит от выбора этой последней. Это утверждение вытекает из метода построения гиперболоида с помощью вращающейся плоскости, и читатель может убедиться в его справедливости и качестве упражнения.

Отметим еще одно замечательное свойство гиперболоида: хотя он содержит два семейства прямых линий, но существование этих прямых не препятствует изгибанию поверхности - не делает ее жесткой. Если устроить модель гиперболоида из стержней, способных свободно вращаться около точек взаимных пересечений, то поверхность в целом