Теорема . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], где a < b , и для всех x ∈ выполняется неравенство

С помощью неравенств из теоремы можно оценить определенный интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение. Эти неравенства выражают оценку определенного интеграла.

Теорема [Теорема о среднем] . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ] и для всех x ∈ выполняются неравенства m ≤ f(x) ≤ M , то

где m ≤ μ ≤ M .

Замечание . В случае, когда функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ], равенство из теоремы принимает вид

где c ∈ . Число μ=f(c) , определяемое данной формулой, называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b ]. Это равенство имеет следующий геометрический смысл : площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y=f(x) (f(x) ≤ 0 ), равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной ординате некоторой точки этой линии.

Существование первообразной для непрерывной функции

Сначала введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Тогда, каково бы ни было число x из [a, b ], функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Поэтому на отрезке [a, b ] определена функция

которую называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема . Если подынтегральная функция непрерывна на отрезке [a, b ], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть

Следствие . Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Замечание 1 . Отметим, что если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на этом отрезке функцию от верхнего предела. Действительно, из св.2 и теоремы о среднем имеем

Замечание 2 . Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих новых функций, например, . Эти функции не являются элементарными; как уже отмечалось, первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.

Основные правила интегрирования

Формула Ньютона--Лейбница

Поскольку любые две первообразные функции f(x) отличаются на постоянную, то согласно предыдущей теореме можно утверждать, что любая первообразная Φ(x) непрерывной на сегменте [a, b ] функции f(x) имеет вид

где C - некоторая постоянная.

Полагая в этой формуле x=a и x=b , используя св.1 определенных интегралов, найдем

Из этих равенств вытекает соотношение

которое называется формулой Ньютона-Лейбница .

Таким образом доказали следующую теорему:

Теорема . Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования.

Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема . Если

• функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ];
• отрезок [a, b ] является множеством значений функции φ(t) , определенной на отрезке α ≤ t ≤ β и имеющей на нем непрерывную производную;
• φ(α)=a , φ(β)=b

то справедлива формула

Формула интегрирования по частям

Теорема . Если функции u=u(x) , v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b ], то справедлива формула

Метод трапеций

Основная статья: Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод Симпсона.

Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степениP(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x i+1 – x i ), то есть три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

Пусть z = x - x 0 ,
тогда

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

.
Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.

[править]Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Применение правила Рунге

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где n 0 - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где ε - заданная точность.

Особенности поведения погрешности.

Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R результатов численного расчета в зависимост и от числа n разбиений интервала (то есть при шаг . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R min , которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R .

Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h .
Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как .
Уменьшив шаг в два раза, получим .
Если последовательно уменьшать шаг в 2 n раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .

Теорема о среднем . Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке , то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке . Раз она интегрируема на , то она также интегрируема на ∀x ∈ . Тогда при каждом x ∈ имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.

Таким образом, каждому x ∈ поставлено в соответствие некоторое число ,

т.е. на задана функция:

(3.1)

Определение:

Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется

интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке

интегрируемости функции f (x).

Условие: f (t) непрерывна на , а функция F (x) задана формулой (3.1).

Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на , причем F (x) = f (x).

(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)

Доказательство:

Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность

Таким образом,

при этом точка ξ лежит на отрезке (или если ∆x < 0).

Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:

,

Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой

Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:

Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ (ξ ∈ ), а

∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:

F’(x) = f (x).

Следствие:

Условие: f (x) непрерывна на .

Утверждение: Любая первообразная функции f (x) имеет вид

где C ∈ R – некоторая константа.

Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)

равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.

8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

Теорема:

Условие: f(t) непрерывна на , а F(x) ее любая первообразная.

Утверждение:

Доказательство: Рассмотрим некоторую первообразную F (x) функции f (x). По Следствию из Теоремы «О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом» (см. предыдущий вопрос) она имеет вид . Отсюда

=> c = F (a ) , и

Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:

Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем : если функция непрерывна на интервале , то внутри этого интервала найдется такая точка , что .

Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной , является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь - середину интервала интегрирования (как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:

Построить график функции на интервале ;

Провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке - два криволинейных треугольника практически одинаковы);

Определить из рисунка ;

Воспользоваться теоремой о среднем.

В качестве примера вычислим простой интеграл :

Точное значение ;

Для середины интервала получим и приближенное значение , т.е. явно неточный результат;

Построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим , откуда и приближенное значение . Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.

Формула трапеций

Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.

В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования - формулу трапеций . Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.

Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом . Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,

Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид:квадратурных формул : прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .

С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как "неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.

Определенный интеграл. Примеры решений

И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.

Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений .

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования .

Нижний предел интегрирования
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования .

Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое faq по определенному интегралу.

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница :

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется . Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках , отрезка не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования .

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования . По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:

???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Что за фигня?! Изначальная невнимательность.

Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл , коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла .

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак :

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования , правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям :

Пример 1

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

. Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

Немного усложняем задачу:

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:

Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов: (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.

Однако несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная находится в одной скобке.

Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить.

Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла .

Пример 4

Вычислить определенный интеграл

Это пример для самостоятельно решения. Попробуйте решить его коротким и подробным способом.

Замена переменной в определенном интеграле

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле .

В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене .

В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые пределы интегрирования .

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Готово. И всего-то лишь…

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования .

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо .

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно.

Пример 6

Вычислить определенный интеграл

Пример 7

Вычислить определенный интеграл

Это примеры для самостоятельного решения. Решения и ответы в конце урока.

И в заключение параграфа пара важных моментов, разбор которых появился благодаря посетителям сайта. Первый из них касается правомерности замены . В некоторых случаях её проводить нельзя! Так, Пример 6, казалось бы, разрешим с помощью универсальной тригонометрической подстановки , однако верхний предел интегрирования («пи») не входит в область определения этого тангенса и поэтому данная подстановка нелегальна! Таким образом, функция-«замена» должна быть непрерывна во всех точках отрезка интегрирования .

В другом электронном письме поступил следующий вопрос: «А нужно ли менять пределы интегрирования, когда мы подводим функцию под знак дифференциала?». Сначала я хотел «отмахнуться от ерунды» и автоматически ответить «конечно, нет», но затем задумался о причине появления такого вопроса и вдруг обнаружил, что информации-то не хватает. А ведь она, пусть и очевидна, но очень важнА:

Если мы подводим функцию под знак дифференциала, то менять пределы интегрирования не нужно ! Почему? Потому что в этом случае нет фактического перехода к новой переменной . Например:

И здесь подведение гораздо удобнее академичной замены с последующей «росписью» новых пределов интегрирования. Таким образом, если определённый интеграл не очень сложен, то всегда старайтесь подвести функцию под знак дифференциала ! Это быстрее, это компактнее, и это обыденно – в чём вы убедитесь ещё десятки раз!

Большое спасибо за ваши письма!

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла.
Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения и, после того, как мы возьмем интеграл .

Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный.

Пример 8

Вычислить определенный интеграл

Решаем.

Интегрируем по частям:

У кого возникли трудности с интегралом , загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций , там он подробно разобран.

(1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям.

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Если честно, я недолюбливаю формулу и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален.

Вычислить определенный интеграл

На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл :

Интегрируем по частям:

Первообразная функция найдена. Константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования

На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно.

Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница :

И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле (первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку.

Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла .

Уважаемый студент, распечатай и сохрани:

Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов .

2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием . Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО – тут самое слабое звено задания.

И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9

Вычислить определенный интеграл

Решение и ответ где-то рядом.

Следующий рекомендуемый урок по теме – Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла?
Интегрируем по частям:

Вы точно их прорешали и получили такие ответы? ;-) И на старуху бывает порнуха.