206. Мы знаем (п. 175), что если ∠A (чер. 203 или 204) пересечь двумя параллельными KL и BC, то отношение двух любых отрезков на одной стороне этого угла равно отношению двух соответствующих отрезков на другой (напр., AK/KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL и т. д.). Но мы видим, что у нас получились еще отрезки на самих параллельных, а именно KL и BC. Возникает вопрос, нельзя ли из отрезков AL, LC и AC, лежащих на одной стороне нашего угла A, выбрать такие два, чтобы их отношение равнялось отношению отрезков KL и BC.

Для этой цели мы прежде всего отрезок KL перенесем на прямую BC, для чего надо построить LD || AB; тогда BD = KL. Тогда вместо отрезков KL и BC мы можем рассматривать отрезки BD и BC, которые расположены на стороне CB угла C. Так как ∠C оказался пересеченным двумя параллельными, а именно прямыми AB и LD, то, применяя п. 175 к углу C, мы найдем

BD/BC = AL/AC или KL/BC = AL/AC.

Вопрос решен: удалось найти два отрезка AL и AC на стороне AC так, что их отношение = KL/BC. Зная еще, что AK/AB = AL/AC, мы можем теперь написать равенства:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Рассматривая эти равенства, мы приходим к заключению, что ими связаны стороны двух полученных треугольников, а именно ∆AKL и ∆ABC. Возникает новый вопрос: не связаны ли как-либо и углы этих треугольников?

На последний вопрос ответ легко найти: ∠A у наших треугольников общий, ∠K = ∠B, как соответственные при параллельных KL и BC и секущей AB, и ∠L = ∠C, как соответственные при тех же параллельных, но при секущей AC.

Мы можем перенести ∆AKL (чер. 203) в другое место, или, что тоже самое, построить новый ∆A"K"L", равный ∆AKL; его стороны и углы будут соответственно равны сторонам и углам ∆AKL: AK = A"K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L".

Тогда мы получим ∆A"K"L", находящийся в такой же зависимости с ∆ABC, как и ∆AKL:
1) у этих треугольников углы попарно равны: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) для сторон имеем пропорции:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Надо обратить внимание, что две стороны каждого отношения не случайно соединены в одно отношение, – нельзя, например, написать A"L"/AB = A"K"/BC = K"L"/AC. Надо уметь находить те стороны, которые должны быть членами одного отношения. Проще всего это сделать по углам треугольников: можно подметить, что стороны каждого отношения в равенствах (1) лежат в треугольниках против равных углов (A"K" против ∠L и AB против равного этому угла C и т. д.). Принято называть те стороны, которые служат членами одного отношения, сходственными (сторона A"K" сходна со стороною AB, A"L" - с AC и K"L" - с BC), причем сходственные стороны расположены в наших треугольниках против равных углов.

Равенство (1) можно прочесть сокращенно словами:

Стороны треугольника ∆A"K"L" пропорциональны сходственным сторонам ∆ABC.

Слово «пропорциональны» означает: отношение одной пары сходственных сторон треугольников A"K"L" и ABC равно отношению другой пары и равно отношению третьей пары.

Треугольники, обладающие двумя найденными выше признаками, называются подобными. Для обозначения подобия треугольников употребляют знак ~. Мы получили: ∆AKL ~ ∆ABC и также ∆A"K"L" ~ ∆ABC.

Можно теперь установить:

Два треугольника называются подобными, если углы одного равны попарно углам другого и сходственные стороны их пропорциональны.

Замечание . Возьмем из равенства (1) лишь одно, например, A"K"/AB = A"L"/AC. Применяя сюда свойство п. 178, получим: A"K"/A"L" = AB/AC, т. е. отношение двух сторон одного треугольника равно отношению двух сходственных сторон другого треугольника, подобного первому .

207. Основной признак подобия треугольников . Согласно предыдущему п., мы можем построить бесчисленное множество треугольников, подобных данному: для этого надо данный треугольник пересекать различными прямыми, параллельными одной из его сторон, и затем, если угодно, переносить каждый получаемый треугольник в другое место плоскости. Во всех получаемых треугольниках углы остаются неизменными, а отношение какой-либо стороны одного к сходственной стороне данного (масштаб подобия) меняется. Поэтому возникает мысль, недостаточно ли для подобия двух треугольников только равенства их углов.

Построим 2 треугольника: ∆ABC и ∆DEF (чер. 205) так, чтобы ∠A = ∠E и ∠B = ∠D. Тогда прежде всего находим, что ∠C = ∠F (ибо сумма углов каждого треугольника = 2d).

Наложим ∆DEF на ∆ABC так, чтобы, напр., точка E попала в точку A. Тогда вращением около этой точки можно достигнуть в силу равенства ∠E = ∠A того, чтобы ED и EF пошли соответственно по AB и AC; сторона DF должна занять такое положение KL, чтобы ∠AKL = ∠D = ∠B и ∠ALK = ∠F = ∠C, т. е., чтобы KL || BC, так как получаются равные соответственные углы.

Отсюда заключаем, что ∆DEF можно получить построением предыдущего п. и, следов., что ∆DEF ~ ∆ABC. Итак, если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого, то эти треугольники подобны .

208. Задача . Построить четвертый пропорциональный к трем данным отрезкам.

Пусть даны отрезки a, b и c (чер. 206); требуется построить такой 4-й отрезок x, чтобы имела место пропорция a/b = c/x.

Строим две произвольных, пересекающихся в точке O, прямых AB и CD и откладываем от точки O на одной из них отрезки первого отношения: OA = a, OB = b (можно в одном, или в разных направлениях от точки O) и на другой прямой известный отрезок второго отношения OC = c. Затем соединим прямою концы тех отрезков, которые служат предыдущими членами нашей пропорции (если бы один из них не был известен, то надо соединить концы отрезков, служащих последующими членами данной пропорции); получим прямую AC, соединяющую концы отрезков a и c. Затем чрез точку B строим прямую BD || AC. Тогда поучим ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, как вертикальные и ∠C = ∠D, как внутренние накрест-лежащие, что достаточно по предыдущему п. для подобия наших треугольников). Отсюда имеем (п. 206) пропорциональность сходственных сторон:

OA/OB = OC/OD или a/b = c/OD,

отсюда вытекает, что искомый отрезок x = OD.

Если бы требовалось удовлетворить пропорции x/c = a/b, то надо было бы соединить точки B и C и через точку A построить AL || BD; тогда отрезок OL был бы искомым.

Замечание . Если мы построим отрезок x так, чтобы, напр., удовлетворилась пропорция x/c = a/b, то всякий другой отрезок x" не удовлетворит этой пропорции; если x" > x, то x"/c > x>c и, следовательно, x"/c > a/b, если x" < x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Другие признаки подобия треугольников . 1) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то эти два треугольника подобны.

Пусть имеем ∆ABC (чер. 207); возьмем произвольный отрезок ED и построим, согласно п. 208, отрезок x так, чтобы имела место пропорция x/AC = ED/AB. Наконец, построим ∆EDF так чтобы у него одною стороною служил отрезок ED, другою стороною отрезок EF = x и, наконец, чтобы ∠E = ∠A. Тогда ∆EDF и ∆ABC связаны между собою соотношениями:

1) ∠E = ∠A и 2) EF/AC = ED/AB.

Подобны ли эти треугольники?

Для получения ответа на этот вопрос надо лишь заметить, что мы можем построить треугольник, равный ∆EDF, иным, более простым способом. Для этого отложим на стороне AB отрезок AK = ED и построим KL || BC; тогда ∆AKL ~ ∆ABC (п. 197) и, след., AL/AC = AK/AB.

Так как AK = ED и так как можно лишь одним способом (замечание п. 208) удовлетворить пропорции x/AC = ED/AB, то отсюда заключаем, что EF = AL и что ∆AKL = ∆EDF. Поэтому ∆EDF наложением можно совместить с ∆AKL и, следовательно, ∆EDF ~ ∆ABC. Этим оправдывается признак пропорциональности, изложенный в начале этого п.

2) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны .

Пусть имеем ∆ABC (чер. 207); возьмем отрезок ED и построим согласно п. 208 два других отрезка x и y так, чтобы имели место пропорции: x/AC = ED/AB и y/BC = ED/AB. Построим затем по трем сторонам ED, x и y треугольник EDF (EF = x, DF = y).

Тогда ∆EDF и ∆ABC связаны между собою соотношениями:

1) EF/AC = ED/AB и 2) DF/BC = ED/AB

или, короче:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Подобны ли эти треугольники?

Для решения этого вопроса заметим, что можно иным, более простым, способом построить треугольник, равный ∆EDF.

Для этого отложим на стороне AB отрезок AK = ED и построим KL || BC; тогда (п. 206) получим ∆AKL ~ ∆ABC и, след.,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Так как отрезок AK = ED и так как, согласно замечанию п. 208, можно построить лишь один отрезок, удовлетворяющий пропорции x/AC = ED/AB, то заключаем, что AL = EF; также найдем, что KL = DF, откуда следует, что ∆EDF = ∆AKL, и наложением можно ∆EDF совместить с ∆AKL (иногда, может быть, придется для этого повернуть ∆EDF другою стороною). Поэтому ∆EDF ~ ∆ABC.

Этим оправдывается изложенный признак.

Подобным образом можно найти еще несколько признаков подобия, как вообще треугольников, так и каких-либо особых треугольников. Наприм., если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники подобны . Выяснение его справедливости основывается: 1) на замечании п. 208 и 2) на признаке равенства прямоугольных треугольников (п. 74, признак 4).

Замечание . В некоторых из следующих задач придется находить отношения отрезков, измеренных какою-либо единицею. Если, например, отрезок x = 7½ лин. един. и отрезок y = 3/10 лин. един. (линейная единица одна и та же), то, чтобы найти отношение отрезка x к отрезку y, надо выразить отрезок x числом, принимая за единицу отрезок y. Если y = 3/10 лин. единиц, то лин. един. = 10/3 * y и, следовательно,

x = (7½ * 10/3)y, откуда x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

т. е. для наложения отношения отрезков, измеренных какою-либо одною единицею, надо найти отношение чисел, выражающих наши отрезки, а отношение чисел, как известно из арифметики, находится при помощи деления.

210. Упражнения .

1. Даны 2 прямоугольных треугольника; острый угол одного из них = 41°, а острый угол другого = 49°. Узнать, подобны ли эти треугольники.

2. Даны ∆ABC и ∆KLM (чер. 208) так, что ∠B = ∠M и AB = 15 дм., BC = 18 дм., ML = 12 дм. и MK = 10 дм. Подобны ли эти треугольники? Если они подобны, то вычислить сторону AC, зная, что сторона KL = 5½ дм.

3. Даны ∆ABC и ∆KLM (чер. 208) так, что AB = 18 дм., BC = 20 дм., AC = 8 дм., KL = 6 дм., KM = 13½ дм., ML = 15 дм. Подобны ли эти треугольники? Как здесь узнать сходственные стороны?

4. В треугольниках ABC и KLM дано: AB = 16 дм., AC = 8 дм., BC = 20 дм., KL = 5 дм., MK = 10 дм. и ML = 12 дм. Подобны ли эти треугольники? Если не подобны, то как надо изменить сторону ML, чтобы треугольники оказались подобны?

5. Даны 2 подобных треугольника, стороны одного из которых равны соотв. 10, 14 и 16 дм. и большая сторона другого = 20 дм. Найти остальные 2 стороны второго треугольника.

6. Дан треугольник. Пользуясь способом п. 206, построить другой треугольник, подобный данному так, чтобы каждое отношение стороны нового треугольника к сходственной стороне второго было = ¾.
Сделать такое же построение, если вышеуказанное отношение должно равняться 2½.

211. Отношения высот и площадей подобных треугольников . Пусть имеем ∆ABC ~ ∆DEF (чер. 209). Следовательно, мы имеем: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) и ∠C = ∠F (1) и

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Построим высоты BM и EN в наших треугольниках, опуская перпендикуляры на сходственные стороны; станем называть эти высоты сходственными. Тогда ∆ABM ~ ∆DEN, так как у них ∠A = ∠D на основании равенств (1) и ∠AMB = ∠DNE, как прямые углы (BM ⊥ AC и EN ⊥ DF), а этого достаточно для подобия наших треугольников (п. 207) и из их подобия получаем:

На основании равенств (2) можем последнее равенство продолжить:

BM/EN = AB/DE = AC/DF = BC/EF,

т. е. отношение сходственных высот подобных треугольников равно отношению сходственных сторон.

Из ряда последних равных отношений обратим внимание на пропорцию.

(Отношение сходственных высот = отношению оснований).

212. В п. 209 было указано, как находить отношение двух отрезков, измеренных одною и тою же единицею. Тоже относится и к нахождению отношения двух площадей, измеренных одною и тою же квадратною единицею: это отношение находится делением чисел, выражающих наши площади.

Мы будем в этом п., а равно во многих случаях и дальше под обозначением, например, AB понимать число, выражающее отрезок AB в каких-либо линейных единицах, также под обозначением «площадь ∆ABC» будем понимать число, выражающее площадь ∆ABC в квадратных единицах. При разборе одного вопроса все отрезки будут считаться измеренными одною и тою же линейною единицею, а все площади – соответствующими квадратными единицами.

Мы знаем (п. 201), что для измерения площади треугольника в квадратных единицах надо измерить его основание и высоту соответствующей линейною единицею и взять половину произведения полученных чисел.
Теперь, употребляя обозначение согласно вышесделанному условию, имеем для ∆ABC и ∆DEF (чер. 209)
площ. ∆ABC = (AC * BM) / 2 и площ. ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Найдем отношение площадей наших треугольников делением

т. е. отношение площадей двух треугольников равно произведению отношения их оснований на отношение их высот .

Примем теперь во внимание, что мы имеем дело с подобными треугольниками - мы считаем, что ∆ABC ~ ∆DEF.

Тогда из предыдущего п. имеем:

Заменяя в формуле, выражающей отношение площадей треугольников, отношение высот равным ему отношением оснований, получаем:

Можем также сказать, что это отношение = (AB/DE) 2 . Итак,

отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон .

Этот результат согласуется с найденным в п. 160 (упражнения 5, 6 и 7).

Упражнение . Найти отношение площадей подобных треугольников, данных в п. 210 (упражнения 2, 3, 5 и 6).

213. Отношение площадей треугольников, имеющих по равному углу. Пусть в ∆ABC и ∆DEF (чер. 210) имеем ∠A = ∠D, а другие углы не равны. Тогда наши треугольники не подобны. Мы так же, как и в предыдущем п., построим высоты BM и EN этих треугольников и найдем делением отношение их площадей

BM/EN = AB/DE (2)

Но теперь уже нельзя заменить отношение высот (BM/EN) отношением оснований (AC/DF), так как эти треугольники не подобны. Пользуясь (2) из (1) имеем:

т. е. отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно произведению отношений сторон, составляющих эти углы.

Упражнение . Дан треугольник; построить другой треугольник так, чтобы один угол остался неизменным, а стороны, составляющие этот угол, увеличились одна в 2 раза и другая в 3 раза. Как увеличится его площадь? Ответ, легко находимый вычислением, желательно вычислить геометрически.

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 93. ПОСТРОЕНИЕ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Построение подобных треугольников.

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

/\ AСВ /\ A"С"B"

2. Построение подобных многоугольников.

Для построения многоугольника, подобного данному, мы можем поступить таким образом: разобьём данный многоугольник диагоналями, проведёнными из какой-либо его вершины, на треугольники (черт. 383). На какой-нибудь стороне данного многоугольника ABCDE, например на стороне АЕ, возьмём какую-нибудь точку E" и проведём прямую, параллельную стороне ED, до пересечения её с диагональю AD, например, в точке D".

Из точки D" проведём прямую, параллельную стороне DC, до пересечения её с диагональю АС в точке С". Из точки С" проведём прямую, параллельную стороне СВ, до пересечения со стороной АВ в точке В". Полученный многоугольник AB"C"D"E" подобен данному многоугольнику ABCDE.

Справедливость этого утверждения доказать самостоятельно.

Если требуется построить многоугольник, подобный данному, с указанным коэффициентом подобия, то исходная точка Е" берётся на стороне АЕ или её продолжении соответственно данному коэффициенту подобия.

3. Съёмка плана земельного участка.

а) Съёмка плана производится с помощью особого прибора, называемого мензулой (черт. 384).

Мензула представляет собой квадратную доску, помещённую на треножнике. При вычерчивании плана доска приводится в горизонтальное положение, что проверяется с помощью уровня. Для проведения прямых линий по нужному направлению употребляется алидада, снабжённая диоптрами. В каждом диоптре имеется прорезь, в которой натянут волосок, что позволяет достаточно точно наводить алидаду в нужном направлении. На мензулу кнопками укрепляют лист белой бумаги, на котором и вычерчивается план.

Для того чтобы снять план с земельного участка ABCDE, выбирают внутри участка какую-нибудь точку О так, чтобы из неё были видны все вершины земельного участка (черт. 385).

С помощью вилки с отвесом (черт. 386) устанавливают мензулу так, чтобы точка О, отмеченная на листе бумаги, приходилась против избранной на участке точки О.

Затем из точки О на листе бумаги, прикреплённом к мензуле, прочерчивают при помощи алидады лучи в направлениях на точки А, В, С, D и Е; измеряют расстояния
ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ и откладывают на этих лучах в принятом масштабе отрезки
ОА", ОВ", ОС, OD" и ОЕ".

Точки А", В", С, D" и Е" соединяют. Получается многоугольник A"B"C"D"E", представляющий собой план данного земельного участка в принятом масштабе.

Описанный нами способ мензульной съёмки называется п о л я р н ы м.

Существуют и другие способы съёмки плана с помощью мензулы, о которых можно прочитать в специальных руководствах по мензульной съёмке.

На каждом плане обыкновенно даётся масштаб, по которому можно установить истинные размеры снятого участка, а также и его площадь.

На плане также указывается направление стран света.

Практическая работа.

а) Сделать в школьной мастерской простейшую модель мензулы и снять с её помощью план какого-нибудь небольшого земельного участка.

б) Съёмку плана земельного участка можно произвести с помощью астролябии.

Пусть надо снять план земельного участка ABCDE. Возьмём одну из вершин участка, например А, за исходную и с помощью астролябии измерим углы при вершине А, т. е.
/ 1, / 2, / 3 (черт. 387).

Потом с помощью мерной цепи измерим расстояния АЕ, AD, АС и АВ. В зависимости от размеров участка и размеров листа бумаги, на который наносится план, выбирается масштаб для вычерчивания плана.

При точке А, которую принимаем за вершину многоугольника, строим три угла, соответственно равные / 1, / 2 и / 3; затем в выбранном масштабе на сторонах этих углов от точки А" откладываем отрезки А"Е", A"D", А"С" и А"В". Соединив отрезками точки А" и Е", Е" и D", D" и С, С" и В", В" и А", получим многоугольник A"B"C"D"E", подобный многоугольнику ABCDE. Это будет план данного земельного участка, начерченный в избранном масштабе.

Во многих случаях бывает удобно строить не искомую фигуру, а начать с построения фигуры, ей подобной, после чего нетрудно перейти к требуемой. В этом случае данные для построения фигуры разделяются на два класса: одни дают возможность построить фигуру, подобную искомой, а другие служат для того, чтобы от этой фигуры перейти к требуемой. Этот прием особенно удобен в тех случаях, когда только одна из данных величин определяет какой-нибудь линейный элемент искомой фигуры, а все другие представляют собой углы или отношения сторон. Например, если для построения треугольника даны два угла или угол и отношение сторон, заключающих этот угол, или отношение трех сторон и, кроме того, один линейный элемент: сторона, высота, медиана, биссектриса, радиус вписанной или описанной окружности и т.д., то вначале, не обращая внимания на данный линейный элемент, строят фигуру, подобную искомой, а потом, вводя требуемую линию, переходят к искомой фигуре. Метод подобия успешно применяется при решении задач на вписывание одних фигур в другие.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 12. Построить треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Анализ. Пусть треугольник АВС искомый (рис.22). Треугольники подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, в подобных треугольниках сходственные медианы пропорциональны. Построим произвольный треугольник МВК, два угла которого равны данным; он будет подобен искомому. В этом треугольнике проведем медиану из вершины третьего угла. Пусть ВТ – медиана. Тогда коэффициент подобия – отношение данной медианы к получившейся при построении треугольника МВК, подобного искомому.

Построение . Построим произвольный треугольник МВК, два угла которого равны данным; он будет подобен искомому. В этом треугольнике проведем медиану из вершины третьего угла. Пусть ВТ – медиана. На ВТ от точки В отложим отрезок, равный длине данной медианы – получим точку О. Через О проведем прямую параллельную l прямой МК. Пусть А – точка пересечения продолжения ВМ за точку М с прямой l , а С – точка пересечения продолжения ВК за точку К с прямой l . Треугольник АВС искомый.

Доказательство . Из построения следует, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС. Значит, два угла А и В последнего равны заданным. Кроме того, медиана ВО имеет заданную длину, т.е. треугольник обладает всем заданным условиям.

Исследование . Задача всегда имеет решение и притом одно, если сумма заданных углов меньше 180 о.

ПРИМЕР 13 . В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие – на сторонах треугольника.

Решение . Пусть АВС – данный треугольник (рис.24). Построим произвольный квадрат МКРН так, чтобы М и К лежали на АС, а Р лежала на АВ. Проведем луч АН. Пусть Т – точка пересечения этого луча со стороной ВС. Проведем отрезки ТЕ ║АС, ТХ ║РК, ЕО║ТХ. Четырехугольник ОЕТХ – искомый.

Доказательство . DАНМ¥DАТХ, значит ТХ^АС и . DАРН¥DАЕТ, значит ЕТ║РН и . Отсюда ЕТ=ТХ и ÐЕТХ=90 о. Аналогично показывается, что ЕТ=ЕО, т.е. ОЕТХ – квадрат.

252. Понятие о подобии треугольников распространяется и на многоугольники. Пусть дан многоугольник ABCDE (чер. 245); выполним построение аналогичное п. 206. Построим диагонали AC и AD и, выбрав какую-либо точку K на стороне AB между точками A и B или вне отрезка AB, построим KL || BC до пересечения с диагональю AC, затем LM || CD до пересечения с AD и, наконец, MN || DE до пересечения с AE. Тогда получится многоугольник AKLMN, который связан с ABCD следующими зависимостями:

1) Углы одного многоугольника равны попарно углам другого: угол A у них общий, ∠K = ∠B (как соответственные), ∠KLM = ∠BCD, ибо ∠KLA = ∠BCA и ∠ALM = ∠ACD и т. д.

2) Сходственные стороны этих многоугольников пропорциональны, т. е. отношение одной пары сходственных сторон равно отношению другой пары, равно отношению третьей пары и т. д.

«Сходственные» стороны здесь надо понимать несколько иначе, чем для треугольников: здесь считаем сходственными сторонами те, которые заключены между равными углами, например, BC и KL.

Справедливость указанной пропорциональности видна следующим образом:

∆AKL ~ ∆ABC, следовательно, AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, следовательно, AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, следовательно, AM/AD = MN/DE = AN/AE

Мы видим, что среди первых трех равных отношений и среди вторых трех равных отношений имеется одно одинаковое AL/AC; также и последние три отношения связываются с предыдущими отношением AM/AD. Поэтому, пропуская отношения диагоналей, получим:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Все это остается, как легко видеть, справедливым и для многоугольника с большим, чем у нас, числом сторон.

Если мы многоугольник AKLMN перенесем в другое место плоскости, то найденные выше 2 соотношения этого многоугольника с ABCDE останутся в силе; такие многоугольники называются подобными. Итак, два многоугольника называются подобными, если углы одного равны попарно углам другого и если сходственные стороны их пропорциональны .

Мы, следовательно, умеем строить многоугольник, подобный данному. Мы построили AKLMN ~ ABCDE.

Мы видим еще, что в многоугольниках ABCDE и AKLMN построены диагонали из их соответственных вершин,причем получилось два ряда подобных треугольников: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD и ∆AMN ~ ∆ADE - треугольники эти одинаково расположены в обоих многоугольниках.

Возникает вопрос, останется ли в силе последнее свойство, если мы построим многоугольник, подобный данному, каким-либо еще способом, не тем, которым мы пользовались здесь.

253. Пусть как-либо построен многоугольник A"B"C"D"E" подобный многоугольнику ABCDE (чер. 246), т. е. так, что

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Вопрос конца предыдущего п. равносилен другому: можно ли привести эти два многоугольника в положение, чтобы, например, точка A" совпала с A, а остальные вершины были бы расположены попарно на прямых, идущих из этой общей точки, и чтобы сходственные стороны их или были параллельны, или сторона одного многоугольника расположилась бы на стороне другого.

Решим этот вопрос. Для этого отложим на стороне AB от точки A отрезок AK = A"B" и, пользуясь предыдущим п., построим многоугольник AKLMN ~ ABCDE.

Остается выяснить, может ли многоугольник A"B"C"D"E" совпасть при наложении с AKLMN.

Мы имеем: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Сравнивая эти равенства с равенствами (2) и принимая во внимание, что AK = A"B", легко получаем KL = B"C", LM = C"D" и т. д., т. е. все стороны многоугольников A"B"C"D"E" и AKLMN попарно равны. Наложим многоугольник A"B"C"D"E" на AKLMN так, чтобы A" попала в A и сторона A"B" совпала бы с AK (мы ведь строили AK = A"B"); тогда, в силу равенства углов B" и K, сторона B"C" пойдет по KL, в силу равенства сторон KL и B"C", точка C" попадет в L и т. д.

Итак, A"B"C"D"E" совпадает с AKLMN, а следовательно, если построим диагонали A"C" и A"D", получим ряд треугольников, подобных и одинаково расположенных с ∆ABC, ∆ACD и т. д.

Поэтому заключаем: Если построить в подобных многоугольниках диагонали из соответственных вершин, то получим 2 ряда подобных и одинаково расположенных треугольников.

Легко увидать справедливость и обратного заключения: если, ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD и ∆A"D"E" ~ ∆ADE, то многоугольник A"B"C"D"E" ~ многоугольнику ABCDE. Тогда ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM и ∆A"D"E" = ∆AMN, откуда следует равенство многоугольников A"B"C"D"E" и AKLMN и, следовательно, подобие A"B"C"D"E" и ABCDE.

254. То положение (две соответственных вершины сливаются в одной точке, остальные вершины попарно лежат на прямых, проходящих чрез эту точку, а сходственные стороны параллельны), в которое нам удалось привести два подобных многоугольника, является частным случаем другого более общего положения двух подобных многоугольников.

Пусть имеем KLMN ~ ABCD (чер. 247). Возьмем какую-либо точку S и соединим ее со всеми вершинами A, B, C и D первого многоугольника. Постараемся построить многоугольник, равный многоугольнику KLMN, так, чтобы его вершины лежали на прямых SA, SB, SC и SD и стороны были бы параллельны сторонам многоугольника ABCD.

Для этого отложим на стороне AB отрезок AP = KL (полагаем, что KL и AB сходственные стороны) и построим PB" || AS (на чертеже точка P и прямая PB" не даны). Чрез точку B", где SB пересекается с PB", построим B"A" || AB. Тогда A"B" = AP = KL, затем построим B"C" || BC, чрез точку C", где B"C" пересекается с SC, проведем C"D" || CD и точку D", где C"D" пересекается с SD, соединим с A". Получим многоугольник A"B"C"D", который, как это сейчас увидим, подобен многоугольнику ABCD.

Так как A"B" || AB, то ∆SA"B" ~ ∆SAB, откуда

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Так как B"C" || BC, то ∆SB"C" ~ ∆SBC, откуда

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Так как C"D" || CD, то ∆SC"D" ~ ∆SCD, откуда

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Отсюда можно вывести, что SA"/SA = SD"/SD, а следовательно ∆SA"D" ~ ∆SAD, так как две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны (∠S общий), - A"D" || AD и

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Из равенств отношений (1), (2), (3) и (4) легко получаем:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Кроме того, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B и т. д., как углы с параллельными сторонами. Следовательно, A"B"C"D" ~ ABCD.

Далее легко увидать, что KLMN = A"B"C"D". В самом деле, ∠K = ∠A, но ∠A = ∠A", следовательно, ∠K = ∠A"; также ∠L = ∠B" и т. д. - углы у наших многоугольников равны. Креме того, из подобия KLMN ~ ABCD получаем:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Сравнивая эти равные отношения с равенствами (5) и имея в виду, что A"B" = KL, находим: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Теперь легко, как это делали выше, увидать, что KLMN при наложении совместится с A"B"C"D". Следовательно, нам удалось поместить данные подобные многоугольники в такое положение, что их вершины расположены попарно на прямых, проходящих чрез точку S и их сходственные стороны параллельны, к чему мы и стремились.

Заметим еще, что соответственные вершины в наших многоугольниках следуют друг за другом в одном направлении (см. стрелки около многоугольников ABCD, KLMN и A"B"C"D") - по часовой стрелке.

Если бы вершины одного многоугольника, соответствующие последовательным вершинам другого, шли друг за другом в направлении, обратном тому, как они расположены в другом, то удалось бы поместить наши многоугольники так, чтобы соответствующие вершины располагались по разные стороны от точки S (см. чер. 248).

Точка S, где сходятся прямые, соединяющие пары соответственных вершин многоугольников, называется центром подобия ; в первом случае (чер. 247), когда обе соответственные вершины (например, A и A") расположены в одной стороне от S, центр подобия называется внешним , а во втором (чер. 248), когда соответствующие вершины расположены по разные стороны точки S, центр подобия называется внутренним . Если подобные многоугольники расположены так, что они имеют центр подобия, то говорят, что они подобно расположены .

255. Если нам дан многоугольник ABCD (чер. 247 или 248), - будем данный многоугольник называть оригиналом , - мы можем, выбрав произвольную точку S, получать его изображения, подобные ему в каком угодно масштабе , - этим именем называют отношение какого-либо отрезка изображения к соответствующему отрезку в оригинале (в данном многоугольнике). Это отношение называют еще коэффициентом подобия - обозначим его через k. Пока еще для нас коэффициентом подобия является отношение стороны изображения к стороне оригинала, т. е.

A"B/AB = B"C/BC = … = k.

В дальнейшем мы распространим это понятие на отношение всяких двух отрезков изображения и оригинала, сходственных между собою.

Из равенства (1), (2), (3) и (4) предыдущего п., имеем:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

т. е. отношение расстояний от центра подобия соответственных вершин изображения и оригинала = коэффициенту подобия.

Под именем фигура (плоская) мы понимаем совокупность точек и линий плоскостей. Многоугольники ABCD - есть фигура. Присоединим еще одну точку (выбранную по произволу) E - получим новую фигуру состоящую из многоугольника ABCD и точки E, - найдем изображение точки E. Для этого построим прямую SE и на ней отложим отрезок SE так, чтобы SE"/SE = k (такой отрезок легко построить, пользуясь п. 214); этот отрезок мы можем отложить по направлению SE (чер. 247); или в обратном направлении (чер. 248). Полученная точка E" и есть изображение точки E - другими словами точки E" и E суть соответственные точки в наших двух подобных и подобно расположенных фигурах.

Соединив точку E, например, с B и точку E" с B" (B и B" суть тоже соответственные точки), получим два соответствующих друг другу отрезка BE и B"E".

Легко увидать, что ∆SBE ~ ∆SB"E" (так как ∠BSE = ∠B"SE и стороны, составляющие эти углы, пропорциональны: SB"/SB = k и SE"/SE = k, - следовательно, SB"/SB = SE"/SE), отсюда вытекает:

1) B"E" || BE и 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

т. е. соответствующие друг другу отрезки в изображении и оригинале 1) параллельны между собою и 2) их отношение равно коэффициенту подобия .

Отсюда вытекает возможность следующего построения для нахождения точки, соответствующей данной в оригинале точке, если уже имеем одну пару соответствующих точек и известен центр подобия: пусть имеем пару соответствующих точек B и B" и требуется найти точку, соответствующую точке E, - строим прямые SE и BE и чрез B" строим прямую, параллельную BE, ее точка пересечения E" с SE и даст искомую точку.

256. Построим для какой-либо фигуры, одна точка которой есть A (чер. 249), ее изображения, принимая две произвольных точки S 1 и S 2 за внешние центры подобия и числа k 1 и k 2 за коэффициенты подобия. Пусть в первом изображении точке A соответствует точка A" и во втором изображении этой же точке соответствует точка A"".

Присоединим еще к данной фигуре какую-либо точку B, лежащую на прямой S 1 S 2 ; тогда этой точке B соответствуют в первом изображении точка B" и во втором точка B"", причем точки B" и B"" должны лежать на той же прямой S 1 S 2 и прямые AB, A"B" и A""B"" должны быть параллельны и одинаково направлены.

Тогда имеем:

A"B"/AB = k 1 и A""B""/AB = k 2 .

Отсюда находим:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 .

Соединим точки A" и A"", найдем точку пересечения S 3 прямых A""A" и S 2 S 1 . Тогда из подобия треугольников S 3 A"B" и S 2 A""B"" находим:

Соединив точки A" и A"", найдем точку пересечения S 3 прямых A""A" и S 2 S 1 . Тогда из подобия треугольников S 3 A"B" и S 2 A""B"" находим:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 ,

т. е. точка S 2 должна делить отрезок B"B"" внешним образом в отношении, равном данному числу k 1 /k 2 . Мы знаем (п. 217), что существует только одна точка, которая делит данный отрезок B"B"" в данном отношении внешним образом. Если мы возьмем какую-либо еще точку C данной фигуры и построим ее изображения C" и C"", то, соединив точки C" и C"" и взяв точку пересечения, назовем ее опять S 3 , прямой C"C"" с прямой S 1 S 2 , получим, что ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC и B"C" || BC, следовательно, B""C"" || B"C"), откуда опять найдем, что S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , т. е. новая точка S 3 совпадает с прежнею. Следовательно, S 3 есть центр подобия фигур (A"B"C"...) и (A""B""C""...) и притом внешний, ибо направления, в котором следуют друг за другом соответствующие точки в обеих фигурах, одинаковы. Из этого заключаем, что фигуры (A"B"C"...) и (A""B""C""...) также имеют внешний центр подобия и он расположен на одной прямой с центрами S 1 и S 2 .

Если одни из центров подобия S1 взять внешний, а другой S2 внутренний (чер. 250), то направления соответствующих отрезков таковы: A"B" одинаково с направлением AB, но A""B"" обратно направлению AB, - следовательно, направление A""B"" обратно A"B" и S3 является внутренним центром подобия фигур (A"B"...) и (A""B""...).

Если взять оба центра подобия внутренними (например, S 2 и S 3 на чер. 250), то легко увидать, что третий центр подобия окажется внешним. Итак, вообще:

Если три фигуры попарно подобно расположены, то три центра подобия расположены на одной прямой, причем или все три они внешние, или два из них внутренних, а один внешний.

257. .
Пусть имеем два подобных многоугольника ABCDEF и A"B"C"D"E"F" (чер. 251). Назовем коэффициент подобия чрез k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k и т. д.,

A"B" = k · AB, B"C" = k · BC, C"D" = k · CD, …

Сложив эти равенства по частям и вынеся множитель k во второй части за скобку, получим:

A"B" + B"C" + C"D" + … = k(AB + BC + CD + …),

(A"B" + B"C" + C"D" …) / (AB + BC + CD + …) = k = A"B"/AB,

т. е. отношение периметров подобных треугольников равно отношению сходственных сторон (или равно коэффициенту подобия) .

Выберем две соответственных вершины, напр., A и A", и построим проходящие чрез них диагонали. Тогда мы знаем: 1) (из п. 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A"C"D" и т. д. 2) (из п. 212). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон, следовательно,

пл. ∆A"B"C" / пл. ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2 ; пл. ∆A"C"D" / пл. ∆ACD = (C"D"/CD) 2 = k 2 и т. д.,

пл. ∆A"B"C" = k 2 · пл. ∆ABC; пл. ∆A"C"D" = k 2 · пл. ∆ACD;
пл. ∆A"D"E" = k 2 · пл. ∆ADE ...

Сложив эти равенства по частям и вынеся общего множителя k 2 во второй части за скобку получим:

пл. ∆A"B"C" + пл. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + … = k 2 (пл. ∆ABC + пл. ∆ACD + пл. ∆ADE + …),

пл. A"B"C"D"E"F" / пл. ABCDEF = k 2 = (A"B"/AB) 2 ,

т. е. отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон (или равно квадрату коэффициента подобия) .

258. Два правильных одноименных многоугольника всегда подобны . В самом деле, углы у одноименных многоугольников одинаковы (п. 248), а так как все стороны каждого равны между собою, то, очевидно, отношение любой стороны одного к любой стороне другого есть число постоянное.

Если в круг впишем какой-либо правильный многоугольник (чер. 252) и чрез середины дуг, стягиваемых его сторонами, построим касательные к кругу, то получим правильный одноименный многоугольник, описанный около этого круга. Не трудно выяснить (предоставляем это желающим), что полученные два правильные многоугольника подобно расположены, и центр круга служит их внешним центром подобия, – внешним потому, что каждая пара соответствующих точек (напр., A и A") расположена в одном направлении от центра (если многоугольник имеет четное число сторон, то центр круга можно считать и внутренним центром подобия, надо лишь считать, что, например, точке A соответствует точка A"").

259. Упражнения .

1. Стороны одного пятиугольника равны соответственно 12, 14, 10, 8 и 16 дм. Найти стороны другого пятиугольника, подобного первому, если его периметр = 80 дм.

2. Сумма площадей двух подобных многоугольников равна 250 кв. дм., а отношение двух сходственных сторон = ¾. Вычислить площадь каждого из них.

3. Показать, что если в круг вписан правильный многоугольник с нечетным числом сторон и в его вершинах построены касательные к кругу, то получится описанный многоугольник, подобно расположенный с вписанным, – центр круга служит их внутренним центром подобия.

4. Дан треугольник; построить другой треугольник, подобно расположенный с первым так, чтобы центр тяжести первого служил внутренним центом подобия и чтобы коэффициент подобия = ½. Выяснить при помощи этого, как расположены точки высот, центр тяжести и центр описанного круга данного треугольника.

5. В данный треугольник вписан квадрат.

Пусть ABC данный треугольник (чер. 253) и DEFK искомый квадрат. Построим еще квадрат MNPQ, чтобы одна сторона MQ лежала на стороне AC треугольника и точка N на стороне AB. Легко видеть, что квадрат MNPQ подобно расположен с искомым квадратом DEFK и внешним их центром подобия является точка A; следовательно, точка F лежит на прямой AP. После нахождения точки F искомый квадрат легко построить.

6. Дан угол и точка внутри его. Найти на одной стороне угла точку, равноудаленную от данной точки и от другой стороны.

Задача решается тем же приемом.

7. Построить треугольник по его высотам.

Легко получить, называя стороны треугольника чрез a, b и c и соответствующие высоты чрез h a , h b и h c , следующую зависимость:

ah a = bh b = ch c , откуда a: b = h b: h a и b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Легко построить отрезок x = (h b h a)/h c (x/h a = h b /h c - построение 4-го пропорционального), после чего построим треугольник со сторонами h b , h a и x. Этот треугольник подобен искомому, так как a: h: c = h b: h a: x; остается построить треугольник подобный только что построенному так, чтобы одна его высота была равна данной.

Задача 1. Построить треугольник, зная два его угла и периметр.

Решение. Знание углов треугольника уже определяет его с точностью до преобразования подобия. Поэтому для решения задачи строим любой треугольник ЛС, с данными углами (рис. 277). Остается подобно преобразовать треугольник так, чтобы периметр его стал равен данной величине.

Для этого отложим стороны его на продолжениях стороны отрезок будет равен периметру треугольника . Возьмем любой отрезок KL, параллельный отрезку но равный заданному периметру. Соединим концы обоих параллельных отрезков и примем точку О пересечения линий за центр подобия. Построение вершин А и С искомого треугольника видно из рис. 277, стороны его АВ и СВ параллельны соответствующим сторонам треугольника .

В случае треугольник - уже искомый.

Задача 2. Дан угол, образованный лучами ОА и ОВ, и точка N внутри этого угла. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку N (рис. 278).

Решение. Окружность, касающаяся сторон угла, должна иметь центр на биссектрисе этого угла. Возьмем на этой биссектрисе произвольную точку и построим окружность с центром в касающуюся сторон угла (ее радиус просто равен расстоянию точки от сторон угла). Если теперь преобразовать эту окружность подобно с центром подобия в вершине угла О, то вновь получится окружность с центром на биссектрисе; такая окружность снова будет касаться сторон угла, так как ее радиус, ведущий в точку касания, перейдет в силу сохранения углов в радиус, перпендикулярный к стороне угла. Остается обеспечить выполнение второго условия: преобразованная окружность должна пройти через точку N. Отсюда вытекает решение задачи. Проведем луч ON до пересечения с окружностью в точках и построим ее радиусы , ведущие в эти точки. Через данную точку N проведем прямые NC и NC, параллельные этим радиусам; точки их пересечения С, С с биссектрисой и дают возможные положения центра искомой окружности. Задача имеет два решения. Как изменится решение, если точка N лежит на биссектрисе угла?

Упражнения

1. Периметр треугольника равен 10 см, а его площадь Чему равен периметр подобного треугольника, если его площадь ?

2. Доказать, что равнобедренные треугольники, имеющие равные углы при вершине, подобны.

3. Построить треугольник, подобный данному и вписанный в окружность данного радиуса.

4. В данный треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на стороне ВС треугольника, а две вершины находились на двух других сторонах треугольника.