Что такое корни квадратного трехчлена. Урок «Квадратный трехчлен и его корни

Презентация к уроку математики в 9 классе по теме "Квадратный трехчлен и его корни" с содержанием заданий углубленного уровня изучения предмета. Презентация расчитана на продолжительное использование в течение всего урока. Задания разного рода по содержанию.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минутка Домашнее задание Квадратный трехчлен и его корни подготовила учитель математики: 1КК Радченко Наталья Федоровна

Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание Актуализация знаний ◊ 1 Повторение материала о функциях; ◊ 2 Теоретические основы решения квадратного уравнения; ◊ 3 Теорема Виета; ◊ 4 Итог.

Актуализация знаний Повторение материала: среди данных функций укажите линейные убывающие функции: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g= -3

Актуализация знаний Чем определяется наличие и количество корней квадратного уравнения? Как вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 2. Назовите формулы корней квадратного уравнения D>0 , то х 1,2 = D = 0 , то х =

Актуализация знаний t² - 2t – 3 = 0 3. Вычислите дискриминант и ответьте на вопрос «Сколько корней имеет квадратное уравнение»? D= 16 >0 , два корня Чему равно произведение корней? Х 1  х 2 = - 3 5. Чему равна сумма корней уравнения? Х 1 + х 2 = 2 6. Что можно сказать о знаках корней? Корни разных знаков 7. Найдите корни подбором. Х 1 = 3, х 2 = -1

Изучение темы урока ◊ 1 Сообщение темы урока; ◊ 2 Теоретические основы понятия «Квадратный трехчлен и его корни»; ◊ 3 Высказывания великих мыслителей о математике; ◊ 4 Разбор примеров тематики; Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание

Квадратный трехчлен и его корни Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax² + bx + c , где x- переменная, a, b и c - некоторые числа, причем, a≠ 0 . Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c , необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c =0

Квадратный трехчлен и его корни Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Р.Декарт Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман

Энциклопедическая справка ◊ 1 Понятие «параметр»; ◊ 2 Значение слова «параметр» словарях русского языка и словаре иностранных слов; ◊ 3 Обозначение и широта применения параметра; ◊ 4 Примеры с параметрами. Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание

Энциклопедическая справка ПАРАМЕТР (от греч. παραμετρέω - меряю, c опоставляя). Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи…, (мат.) Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи… «Словарь иностранных слов». 3. При каком значении параметра m квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 имеет единственный корень? Найдите этот корень.

Динамическая пауза ◊ 1 Решение «проблемной задачи»; ◊ 2 Историческая справка: письмо из прошлого; Динамическая минутка Домашнее задание

Динамическая пауза При каком значении параметра т квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 и меет единственный корень? Найдите этот корень. Квадратное уравнение имеет один корень D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Подставим найденное значение m в исходное уравнение: 2х ² - 2х + 1 – 0,5 = 0 4х ² - 4х + 1 = 0 (2х – 1) ² =0 2х -1 =0 х = 0,5

Динамическая пауза В домашнем задании ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х ² - 5х +7) ² - 2(х ² - 5х +7) - 3 Подумав, Витя рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. Но Степа сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Вите найти рациональный путь решения

Динамическая пауза Задачи на нахождение корней квадратного трехчлена и составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Общее правило нахождения корней и решения уравнений вида: ax ² + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.). Брахмагупта еще не знал, что квадратное уравнение может иметь и отрицательный корень. Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения. Составил много задач.

Обобщение, домашнее задание ◊ 1 Решение упражнений с параметром: различные типы заданий; ◊ 2 Итог по изучаемой теме; ◊ 3 Домашнее задание: по уровням. Домашнее задание

Обобщение, домашнее задание Найдите корни квадратного трехчлена (x-4)² +(4y-12)² . Найдите значения параметра a , при каждом из которых квадратный трехчлен x²+ 4 x + 2ax+8a+1 имеет одно решение. Задание на дом: п.3; 1 группа: №45 (в, г), №49(в, г); 2 группа: a) найдите значение параметра а, при котором квадратный трехчлен x²-6x+2ax+4a не имеет решения; b) найдите корни квадратного трехчлена (2x-6)²+(3y-12)²

источник шаблона Чернакова Наталия Владимировна Преподаватель химии и биологии ГОУ НПО Архангельской области «Профессиональное училище №31» «http://pedsovet.su/»

Тема «Квадратный трехчлен и его корни» изучается в курсе алгебры 9 класса. как и любой другой урок математики, урок по этой теме требует иособых средств и методов обучения. Необходима наглядность. К таковой можно отнести данный видеоурок, который разработан специально для того, чтобы облегчить труд учителя.

Данный урок длится 6:36 минут. За это время автор успевает раскрыть тему полностью. Учителю останется только подобрать задания по теме, чтобы закрепить материал.

Урок начинается с демонстрации примеров многочленов с одной переменной. Затем на экране появляется определение корня многочлена. Это определение подкрепляется примером, где необходимо найти корни многочлена. Решив уравнение, автор получает корни многочлена.

Далее следует замечание, что к квадратным трехчленам относятся и такие многочлены второй степени, у которых второй, третий или оба коэффициента, кроме старшего, равны нулю. Эта информация подкрепляется примером, где свободный коэффициент равен нулю.

Затем автор поясняет, как найти корни квадратного трехчлена. Для этого необходимо решить квадратное уравнение. И проверить это автор предлагает на примере, где дан квадратный трехчлен. Нужно найти его корни. Решение строится на основе решения квадратного уравнения, полученного из данного квадратного трехчлена. Решение расписано на экране подробно, четко и понятно. По ходу решения данного примера автор вспоминает, как решается квадратное уравнение, записывает формулы, и получает результат. На экране записывается ответ.

Нахождение корней квадратного трехчлена автор объяснил на основе примера. Когда обучающиеся поймут суть, то можно переходить к более общим моментам, что автор и делает. Поэтому он далее обобщает все вышесказанное. Общими словами на математическом языке автор записывает правило нахождения корней квадратного трехчлена.

Далее следует замечание, что в некоторых задачах удобнее квадратный трехчлен записывать немного иначе. На экране дается эта запись. То есть получается, что из квадратного трехчлена можно выделить квадрат двучлена. Такое преобразование предлагается рассмотреть на примере. Решение данного примера приводится на экране. Как и в прошлом примере, решение строится подробно со всеми необходимыми пояснениями. Затем автор рассматривает задачу, где используется только что выданная информация. Это геометрическая задача на доказательство. В решении присутствует иллюстрация в виде чертежа. Решение задачи расписано подробно и понятно.

На этом урок завершается. Но учитель может подобрать по способностям обучающихся задания, которые будут соответствовать данной теме.

Данный видеоурок можно использовать в качестве объяснения нового материала на уроках алгебры. Он отлично подойдет для самостоятельной подготовки обучающихся к уроку.

Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена любого уровня.

В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Такие задачи можно найти в книге «514 задач с параметрами» В литературе по элементарной математике немало учебных пособий, задачников, методических руководств, где приводятся задачи с параметрами. Но большинство из них охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор на рецептуру, а не на логику решения задач. К тому же наиболее удачные из книг давно стали библиографической редкостью. В конце работы дан список книг, статьи из которых помогли составить классификацию утверждений по теме работы. Наиболее значимой является пособие Шахмейстера А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами.

Основная цель настоящей работы – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса алгебры и установление фактов использования свойств квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.

Задачи работы:

Установить возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;

Выявить алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;

Научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности; овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования; повысить математическую культуру в рамках школьного курса математики.

Объект исследования: расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

Предмет исследования: квадратные уравнения с параметром.

Способы исследования. Основные способы исследования задач с параметром: аналитический, графический и комбинированный (функционально - графический). Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х; у). Наглядность графического способа помогает найти быстрый путь решения задачи. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств, составленных на основании математических утверждений выявленных по графику квадратичной функции.

Во многих случаях решение квадратных уравнений с параметром приводит к громоздким преобразованиям. Гипотеза: использование свойств квадратичной функции позволит существенно упростить решение, сводя его к решению рациональных неравенств.

Основная часть. Расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой

Рассмотрим некоторые утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+с на числовой прямой cотносительно точек m и п таких, что m

x1 и x2 - корни квадратного трехчлена,

D=b2-4ac- дискриминант квадратного трехчлена, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - заданные числа.

Все рассуждения рассматриваются для a>0, случай для a

Утверждение первое

Для того, чтобы число m было расположено между корнями квадратного трехчлена (x1

Доказательство.

при условии x1

Геометрическая интерпретация

Пусть х1 и х2 - корни уравнения. При а > 0 f(x)

Задача 1. При каких значениях k уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2?

Решение. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

При k>-2 уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2.

Ответ: k>-2.

Задача 2. При каких значениях k уравнение kx2+(3k-2)x + k-3=0 имеет корни разных знаков?

Эта задача может быть сформулирована так: при каких значениях k число 0 лежит между корнями данного уравнения.

Решение (1 способ) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

2 способ решения (использование теоремы Виета). Если квадратное уравнение имеет корни (D>0) и c/a

Задача 3. При каких значениях k уравнение (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 имеет два корня, один из которых меньше k, а другой больше k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Подставив значения k из найденного множества убедимся в том, что при этих значениях k D>0.

Утверждение второе (а)

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа m (x1

Доказательство: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Задача 4. При каких значениях параметра корни уравнения x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 меньше -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- любое; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Утверждение второе (б)

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m (m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Если выполнено условие m m. Так как m не принадлежит промежутку (x1; x2), то f(m) > О при а > 0 и f(m)

Обратно, пусть выполнена система неравенств. Из условия D > 0 следует существование корней х1 и х2 (х1 m.

Остается показать, что х1 > m. Если D = 0, то х1 = х2 > m. Если же D > 0, то f(х0) = -D/4a и af(x0) О, следовательно, в точках х0 и m функция принимает значения противоположных знаков и х1 принадлежит промежутку (m;х0).

Задача 5. При каких значениях параметра m корни уравнения x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) больше 1? б) меньше -1?

Решение а) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; m - любое m>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Ответ:m>3/2.

б) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - любое x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Задача 6. При каких значениях параметра корни уравнения kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 больше 1?

Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра m корни квадратного трехчлена больше 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Решив эту систему, находим, что

Утверждение третье

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m и меньше n (m

D ≥0; m 0 af(n)>0.

Отметим характерные черты графика.

1)Уравнение имеет корни, а значит D > 0.

2) Ось симметрии расположена между прямыми х = m и х = n, а значит m

3) В точках х = m и х = n график расположен выше оси ОХ, следовательно f(m) > 0 и f(n) > 0 (при m

Перечисленные выше условия (1; 2; 3) являются необходимыми и достаточными для искомых значений параметра.

Задача 7. При каких m x2-2mx+m2-2m+5=0 по модулю не превосходят числа 4?

Решение. Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m выполняется соотношение -4

Значения т находим из системы

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ х0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; решением которой является отрезок . Ответ: m .

Задача 8. При каких значениях m корни квадратного трехчлена

(2m - 2)x2 + (m+1)х + 1 больше -1, но меньше 0 ?

Решение. Значения m можно найти из системы

D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Ответ: m > 2.

Утверждение четвертое(а)

Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m;n), а больший не принадлежал (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

График квадратичного трехчлена в точности один раз пересекает ось ОХ на интервале (m; n). Это значит, что в точках х=m и х=n квадратный трехчлен принимает разные по знаку значения.

Задача 10. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х2+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3).

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х2-2ах+а. Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х1 меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х1 принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи.

Перейдем к системе неравенств.

1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3) 0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно.

Итак, получаем следующую систему неравенств:

Ответ: а>1,8.

Утверждение четвертое(б)

Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m; n), а меньший не принадлежал (x1

D ≥0; af(m) 0.

Утверждение четвертое (объединенное)

Замечание. Пусть задача сформулирована следующим образом при каких значениях параметра один корень уравнения принадлежит интервалу (ь;т), а другой - не принадлежит? Для решения этой задачи не нужно различать два подслучая, ответ находим из неравенства f(m)·f(n)

D ≥0; f(m)·f(n)

Задача 11. При каких m только один корень уравнения х2-mх+6=0 удовлетворяет условию 2

Решение. На основании утверждения 4(б) значения m найдем из условия f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, т. е. при m = ±2√6, При m= -2√6 х = - √6 , который не принадлежит интервалу (2; 5), при m = 2√6 х =√6, принадлежащий интервалу (2; 5).

Ответ: m {2√6} U (5; 31/5).

Утверждение пятое

Для того, чтобы корни квадратного трехчлена удовлетворяли соотношению (x1

D ≥0; af(m)Задача 12. Найти все значения m, при которых неравенство х2+2(m-3)х + m2-6m

Решение. По условию интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений неравенства х2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m На основании утверждения 5 значения m находим из системы неравенств f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], откуда m.

Ответ: m .

Утверждение шестое

Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m1; m2), а больший принадлежал интервалу (n1;n2) (m2

D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Это утверждение является комбинацией утверждений 4а и 4б. Первые два неравенства гарантируют, что х1(m1, n1), а два последних неравенства – то, что х2(m2, n2),

Задача 13. При какихm один из корней уравнения х2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй - между числами 4 и 6?

Решение. 1 способ. Учитывая, что а = 1, значения m можно найти из системы f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + т-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), откуда m(2; 4).

Ответ: m(2; 4).

Таким образом мы установили утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+ на числовой прямой cотносительно некоторых точек.

Заключение

В ходе работы я овладела рядом технических и математических умений на уровне свободного их использования и повысила математическую культуру в рамках школьного курса математики.

В результате выполнения работы была выполнена поставленная цель: установлены свойства квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек. Установлены возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой. Выявлены алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой; решены задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности. В работе представлено решение только 12 задач в виду ограниченности количества страниц работы. Конечно, рассмотренные в работе задачи можно решить и другими способами: используя формулы корней квадратного уравнения, применяя свойство корней (теорему Виета).

Фактически было решено значительное количество задач. Поэтому было решено создать сборник задач по теме проектно-исследовательской работы «Решебник задач на применение свойств квадратного трехчлена, связанных с расположением его корней на координатной прямой». Кроме того, результатом работы (продуктом проектно-исследовательской работы) является компьютерная презентация, которую можно использовать на занятиях элективного предмета «Решение задач с параметрами».

Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с параметрами встречаются две постановки задачи.

Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

В данной работе рассматривается и исследуется задача второго типа применительно к корням квадратного трехчлена, нахождение которых сводится к решению квадратного уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет учителям при разработке уроков и при подготовке учащихся к ЕГЭ.

1. Что такое параметр

Выражение вида aх 2 + bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа, причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение aх 2 + bх + c = 0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные уравнения aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b, c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром. Поскольку, в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.

Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a – 2)х 2 – 2aх + a + 3 = 0 положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a 2 – 2(а 2 – 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х 1 = а + 1, х 2 = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Ответ: 2 < а < 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств требует от ученика новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: У = х 2 – 2ах + а 2 – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.

Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
1 <х о < 5.
Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.

Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 < а < 4.

Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции у = х 2 – 2ах + а 2 – 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.

А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?

Учитель высшей категории: Минайченко Н.С., гимназия №24, г.Севастополь

Урок в 8 классе: «Квадратный трёхчлен и его корни»

Тип урока : урок новых знаний.

Цель урока:

организовать деятельность учащихся по закреплению и развитию знаний о разложении квадратного трехчлена на линейные множители, сокращении дробей;

развивать навыки в применении знаний всех способов разложения на множители: вынесение за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способа группировки с целью подготовки к успешной сдаче экзамена по алгебре;

создать условия для развития познавательного интереса к предмету, формирования логического мышления и самоконтроля при использовании разложения на множители.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация: «Корни квадратного трехчлена», кроссворд, тест, раздаточный материал.

Основные понятия . Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Самостоятельная деятельность учащихся. Применение теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители при решении задач.

План урока

Решение задач.

Ответы на вопросы учащихся

IV. Первичная проверка усвоения знаний. Рефлексия

Сообщение учителя.

Сообщение учащихся

V. Домашнее задание

Запись на доске

Методический комментарий:

Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы учащиеся автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: в таких как решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

В этой теме основное внимание уделяется разложению квадратного трёхчлена на множители:

ax + bx + c = a(x – x )(x – x ),

где x и x– корни квадратного уравнения ax + bx + c = 0.

Это позволяет расширить поле зрения учащегося, научить его мыслить в нестандартной ситуации, используя при этом изучаемый материал, т.е. используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:

умение сокращать алгебраические дроби;

умение упрощать алгебраические выражения;

умение решать уравнения;

умение доказывать тождества.

Основное содержание урока:

а) 3x + 5x – 2;

б) –x + 16x – 15;

в) x – 12x + 24;

г) –5x + 6x – 1.

№2. Сократите дробь:

№3. Упростите выражение:

№4. Решите уравнение:

б)

Ход урока:

I. Этап актуализации знаний.

Мотивация учебной деятельности.

а) из истории:

б) кроссворд:

Разминка-тренировка ума – кроссворд:

По горизонтали:

1) Корень второй степени называется…. (квадратный)

2) Значения переменной, при котором уравнение становится верным равенством (корни)

3) Равенство, содержащее неизвестное называется… (уравнение)

4) Индийский ученый , который изложил общее правило решения квадратных уравнений (Брахмагупта)

5) Коэффициенты квадратного уравнения - это… (числа)

6) Древнегреческий ученый, придумавший геометрический метод решения уравнений (Евклид)

7) Теорема, связывающая коэффициенты и корни квадратного уравнения (Виета)

8) «различающий», определяющий корни квадратного уравнения – это… (дискриминант)

Дополнительно:

Если Д>0, сколько корней? (два)

Если Д=0, сколько корней? (один)

Если Д<0, сколько корней? (нет действительных корней)

По горизонтали и вертикали тема урока: «Квадратный трехчлен»

б) мотивация:

Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы вы автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: таких как сокращение дробей, решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

Сегодня мы основное внимание уделим разложению квадратного трёхчлена на множители:

II. Изучение нового материала.

Тема: Квадратный трёхчлен и его корни.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Корнем многочлена называется значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Значит, чтобы найти корни многочлена, надо приравнять его к нулю, т.е. решить уравнение.

Корень многочлена первой степени
легко найти
. Проверка:
.