Многогранники круглые тела и фигуры вращения теории. Черчение. Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

Разделы: Технология

Цели урока:

закрепить знания о геометрических телах, умения и навыки по построению чертежей многогранников;
развивать пространственные представления и пространственное мышление;
формировать графическую культуру.

Тип урока: комбинированный.

Оснащение урока: интерактивная доска MIMIO, мультимедийный проектор, компьютеры, проект mimo для интерактивной доски, мультимедийная презентация, программа «Компас-3D LT».

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

1. Приветствие;

2. Проверка явки учащихся;

3. Проверка готовности к уроку;

4. Заполнение классного журнала (и электронного)

II. Повторение раннее изученного материала

На интерактивной доске открыт проект mimo

Лист 1. На уроках математики вы изучали геометрические тела. Несколько тел вы видите на экране. Давайте вспомним их названия. Учащиеся дают названия геометрическим телам, если есть затруднения – помогаю. (Рис. 1).

1 – четырехугольная призма
2 – усеченный конус
3 – треугольная призма
4 – цилиндр
5 – шестиугольная призма
6 – конус
7 – куб
8 – усеченная шестиугольная пирамида

Лист 4 . Задание 2. Даны геометрические тела и названия геометрических тел. Вызываем ученика к доске и вместе с ним перетаскиваем многогранники и тела вращения под названия, а затем перетаскиваем названия геометрических тел (рис. 2).

Делаем вывод, что все тела делятся на многогранники и тела вращения.

Включаем презентацию «Геометрические тела» (Приложение ). Презентация содержит 17 слайдов. Можно использовать презентацию на нескольких уроках, она содержит дополнительный материал (слайды 14-17). Со слайда 8 есть гиперссылка на Презентацию 2 (развертки куба). Презентация 2 содержит 1 слайд, на котором изображены 11 разверток куба (они являются ссылками на видеоролики). На уроке использована интерактивная доска MIMIO, а также учащиеся работают на компьютерах (выполнение практической работы).

Слайд 2. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Многогранники: призма и пирамида. Тела вращения: цилиндр, конус, шар, тор. Схему учащиеся перечерчивают в рабочую тетрадь.

III. Объяснение нового материала

Слайд 3. Рассмотрим пирамиду. Записываем определение пирамиды. Вершина пирамиды – общая вершина всех граней, обозначается буквой S. Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды (Рис. 3).

Слайд 4. Правильная пирамида. Если основание пирамиды - правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то - пирамида правильная.
В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники.
Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется - апофема правильной пирамиды .

Слайд 5. Анимация построения правильной шестиугольной пирамиды с обозначением ее основных элементов (Рис. 4).

Слайд 6 . Записываем в тетрадь определение призмы. Призма – многогранник, у которого два основания (равные, параллельно расположенные многоугольники), а боковые грани параллелограммы. Призма может быть четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Призма называется по фигуре, лежащей в основании. Анимация построения правильной шестиугольной призмы с обозначением ее основных элементов (Рис. 5).

Слайд 7. Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Параллелепипед – правильная четырехугольная призма (Рис. 6).

Слайд 8. Куб – параллелепипед, все грани которого квадраты (Рис. 7).

(Дополнительный материал: на слайде есть гиперссылка на презентацию с развертками куба, всего 11 разных разверток).
Слайд 9. Записываем определение цилиндра.Тело вращения – цилиндр, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Анимация получения цилиндра (Рис. 8).

Слайд 10. Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (Рис.9).

Слайд 11. Усеченный конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, проходящей через ее высоту (Рис. 10).

Слайд 12. Шар – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, проходящей через его диаметр (Рис. 11).

Слайд 13. Тор – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, параллельной диаметру круга (Рис. 12).

Учащиеся записывают определения геометрических тел в тетрадь.

IV. Практическая работа«Построение чертежа правильной призмы»

Переключаемся на проект mimio

Лист 7 . Дана треугольная правильная призма. В основании лежит правильный треугольник. Высота призмы = 70 мм, а сторона основания = 40 мм. Рассматриваем призму (направление главного вида показано стрелкой), определяем плоские фигуры, который мы увидим на виде спереди, сверху и слева. Вытаскиваем изображения видов и расставляем на поле чертежа (Рис. 13).

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж правильной шестиугольной призмы в программе «Компас – 3D». Размеры призмы: высота – 60 мм, диаметр описанной окружности вокруг основания – 50 мм.
Построение чертежа с вида сверху (Рис. 14).

Затем строится вид спереди (Рис. 15).

Затем строится вид слева и наносятся размеры (Рис. 16).

Работы проверяются и сохраняются на компьютерах учащимися.

V. Дополнительный материал по теме

Слайд 14 . Правильная усеченная пирамида (Рис. 17).

Слайд 15. Пирамида, усеченная наклонной плоскостью (Рис. 18).

Слайд 16. Развертка правильной треугольной пирамиды (Рис. 19).

Слайд 17. Развертка параллелепипеда (Рис. 20).

Транскрипт

1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и с дополнением), граница фигуры. Внутренность, замыкание фигуры. Канонически замкнутая фигура: = Геометрическое тело (ограниченное, канонически замкнутое, связное). Поверхность тела Многогранник. Вершины, ребра, грани. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера для выпуклого многогранника. Правильные многогранники (платоновы тела). Вписанные и описанные многогранники Объем геометрического тела как функция, отображающая множество фигур в R +. Аксиомы инвариантности (объемы конгруэнтных фигур равны), монотонности, аддитивности, нормированности (объем единичного кубика) Призма. Площадь поверхности и объем прямой и наклонной призмы (в том числе с использованием перпендикулярного сечения) Пирамида и усеченная пирамида. Правильная пирамида, правильный тетраэдр. Основание высоты пирамиды в различных «хороших» случаях. Площадь поверхности и объем пирамиды и усеченной пирамиды: V yc. = 1 3 h S 1 + S 2 + p S 1 S 2. Лекция Тела вращения. Цилиндр. Прямой круговой цилиндр. Площадь поверхности и объем цилиндра Конус. Прямой круговой конус. Конические сечения. Усеченный конус. Площадь поверхности и объем конуса и усеченного конуса Сфера и шар. Объем шара. Площадь сферы («метод окрашивания»). Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор. 1

2 Лекция Выпуклый многогранный угол. Трехгранный угол. Теорема об объемах треугольных пирамид с конгруэнтными трехгранными углами при вершине Плоские углы многогранного угла (неравенство треугольника < +), их сумма (она меньше 360 ; раздавим угол каблуком на плоскость) Теоремы синусов и косинусов для трехгранного угла. Пусть, плоские углы, а A, B, C двугранные (двугранный угол A «между» и). 1-я теорема косинусов. cos = cos cos + sin sin cos A. cos cos cos Следствие. cos A =. sin sin Теорема трех косинусов (еще одно следствие). Если две грани трехгранного угла перпендикулярны, то есть если A = 90, то cos = cos cos. 2-я теорема косинусов. cos A = cos B cos C+sin B sin C cos. Теорема синусов. sin sin A = sin sin B = sin sin C. Практика 1 1. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра. 2. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар. 3. Внутри куба расположены два равных касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найдите радиусы шаров, если ребро куба равно 1. 2

3 4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара 1/2. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды. 5. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найдите объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров. 6. Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4, 5, а двугранные углы при основании равны Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в нее шара в три раза меньше стороны основания. Практика 2 8. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно ребро равно Ребро куба равно 1. Найдите объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине куба, не принадлежащей этим граням. 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через D, C 1 и середину A 1 B 1, делит диагональ D 1 B? 11. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3. Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD. Найдите AD, если известно, что в пирамиду можно вписать шар. 12. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани? (Ребро куба равно 1.) 3

4 13. S и P площади двух смежных граней тетраэдра ABCD, a длина их общего ребра, величина угла между этими гранями. Докажите, что объем тетраэдра можно 2SP sin вычислить по формуле V =. 3a Практика Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 15. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через центры трех его смежных граней? Практика Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найдите площадь сечения этой плоскостью большего шара. 17. Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плоскости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и равно 6. Найдите расстояние от центра верхнего основания до хорды нижнего основания, стягивающей дугу Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120. Вычислите объем конуса. 19. Определите площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса с образующей, равной l, описанного около шара радиуса r. 4

5 20. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в a раз больше площади верхнего основания. Во сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара? 21. Радиус основания конуса равен R, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определите объем конуса. 22. Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90. Вычислите объем конуса. 23. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определите отношение объемов полученных частей конуса. 24. В конус вписан шар. Докажите, что отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их объемов. Практика Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найдите отношение объемов этих тел. При каких значениях q задача не имеет решения? 26. Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по маленькому шарику. Найдите отношение объема одного маленького шарика к объему исходного шара. 27. Пусть в условиях предыдущей задачи центры вписанных шариков являются вершинами некоторого многогранника. Найдите отношение объемов этого многогранника и исходного шара. 28. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся пря- 5

6 моугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса. 29. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменились площадь боковой поверхности и объем цилиндра? 30. В конус высоты h с радиусом основания R впишите цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности и найдите эту площадь. 31. Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. Докажите, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат одной сфере. Вычислите площадь поверхности этой сферы, если длина ребра куба равна Из бумажного прямоугольника со сторонами a и b склеивают боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший объем? Практика Радиус основания цилиндра равен 1, а высота цилиндра равна p 2. Две вершины правильного треугольника расположены на границе одного основания цилиндра, а одна вершина на границе другого основания. Найдите сторону правильного треугольника. 34. * В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AB = AC = 2, BAC = 30. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC. Найдите объем пирамиды. 35. * ABC правильный треугольник со стороной 3, M и K точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найдите объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK. 6

7 36. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре на его боковой поверхности. Найдите отношение объемов куба и конуса. 37. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали. 38. Концы диагонали куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины куба лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объемов цилиндра и куба. Указания, решения, ответы 34. Пусть точки K и H точки касания основания конуса (его центр обозначим буквой O, а радиус буквой r) со сторонами грани SBC, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем AK? SB, AH? BC. Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, так как по условию SA? (ABC). Обозначим также AK = a, AH = b, AS = h. По условию высота пирамиды, проведенная из вершины A, падает в центр окружности, вписанной в треугольник SBC, поэтому прямоугольные треугольники AOK и AOH равны, откуда a = b. Из треугольника p ABC по теореме косинусов легко находим, что BC = 2 2 p 3, после чего по теореме Пифагора из треугольника p AHB (учитывая, что H середина BC) получим a = b = 2 + p 3. Но a является длиной высоты прямоугольного треугольника SAB, опущенной из вершины прямого угла, поэтому она равна произведению катетов этого треугольника, деленному на гипоте- 7

8 SA AB нузу. Таким образом, a = = p SB находим h = p 3 = 2(2 + p 3). 2h p h = p2 + p 3, откуда Дальнейшее несложно. Площадь основания пирамиды BAC равна 1 (легко находится как половина произведения двух сторон на синус угла между ними), высоту пирамиды h мы только что нашли. Ответ: 2 3 (2 + p 3). 35. Найдем сначала все величины, обозначенные на рисунке. Так как BM = 1, из желтого треугольника находим глубину конической «ямы»: x = 2 1. Зеленый треугольник, очевидно, равносторонний, поэтому H = BM = 1. Далее, h = 1 2 BC H = = = 1 2. Из желтого треугольника находим r = 3 p 2. Треугольник MKA правильный со стороной 2, а R длина его высоты, поэтому R = 2p 3 2 = p 3. Искомый объем равен 2(V 1 V 2 + V 3), где V 1 объем цилиндра с радиусом основания r и высотой H, V 2 объем конической «ямы» с радиусом основания r и высотой x, V 3 объем усеченного конуса с радиусами оснований R и r и высотой h. Используя найденные данные, находим: V 1 = 4 3, V 2 = 1 8, V 3 = 7 8. Ответ: 3. Практика * Докажите, что для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса, необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним геометрическим между диаметрами верхнего и нижнего оснований конуса. 8

9 40. Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров в точках A, B и C. Найдите радиусы этих шаров, если стороны треугольника ABC равны a, b и c. Указания, решения, ответы 39. Понятно, что данная задача планиметрическая. Пусть сфера вписана в конус требуемым образом; введем обозначения как показано на рисунке. Из желтого треугольника по теореме Пифагора имеем: h 2 + (R r) 2 = (R + r) 2, откуда h 2 = 4Rr, то есть h = p (2R)(2r), что и требовалось доказать. Докажем теперь утверждение в обратную сторону: из данного соотношения и теоремы Пифагора следует, что длина боковой стороны трапеции равна R + r, то есть сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон и, следовательно, в трапецию можно вписать окружность. 9

60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Самостоятельная работа «Цилиндр») Прямоугольник со сторонами, равными 3а и 2а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Москва 2008 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящем пособии собраны задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей

Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Тема 1. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости 78. Точки Р и Q середины соответственно рёбер А 1 В 1 и ВС куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. Считая ребро куба равным а, найти расстояния до прямой

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

Задание 8 Стереометрия. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь

Куб 1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Прямоугольный параллелепипед 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,

Все прототипы задания В11 (2013) (25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). (25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

В8 все задачи из банка Площади поверхности Параллелепипед 27143. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности

Вариант 17826051 1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника. 2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые). Прототипы заданий В10 2014 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь

1. Прототип задания B13 (27054) выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Все прототипы заданий В13

ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5) параллельно векторам a = (; ;5) и b = (4;3;0) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Задание 17 Углы и расстояния в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми. 1. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M середина ребра BC, L середина

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1 1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной a, длина бокового ребра равна b, одно из боковых ребер образует с прилежащими

Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

ПРОТОТИПЫ В9 (всего 167) 1 Найдите площадь поверхности 6 Найдите площадь поверхности 2 Найдите площадь поверхности 4 Найдите площадь поверхности 7 Найдите площадь поверхности 3 Найдите площадь поверхности

1. Прототип задания 12 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий 12

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 9 2015 года 8 25681 Найдите площадь поверхности 2 25561 Найдите площадь поверхности 9 25701 Найдите площадь поверхности 3 25581

Контрольный экзамен в формате ЕГЭ по программе ЕГЭ 2017 г. по дисциплине "математика"в формате прототипов заданий. Ответ - строка в бланке для записи кратких ответов. ФИО: дата: Задание 6 1. В равнобедренном

1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 9 25701

Задания В11 245354 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра 245358 Длина окружности

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

2012 Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2012 А.С. Крутицких и Н.С.

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

Вариант I 1) Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции 7 5. Найдите боковую сторону. 2) Чему вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

1. Прототип задания B9 (245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. 2. Прототип задания B9 (245360) Найдите расстояние

Теорема о трех синусах и другие креативные методы нахождения углов и расстояний в стереометрии (К решению задач С ЕГЭ по математике) В задачах группы С ЕГЭ по математике, присутствует стандартный набор

Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14) Задание 8. 1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь.

В.А. Смирнов 1. Распознавание фигур 1. Какой многогранник называется кубом? 2. Сколько у куба вершин, ребер, граней? 3. Изобразите куб на клетчатой бумаге. 4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

Задание 8, 4. Стереометрия Основные определения Аксиомы стереометрии Теорема. Через любые три точки, не лежащих на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Теорема. Если две точки прямой

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. 014 Г.ЛЕ С О З А В О Д С К Пояснительная записка Данное учебно-методическое

Стартовая контрольная работа Контрольная работа 1(на 20 мин) 1. Найдите координаты вектора АВ, если А (5; 1; 3), В (2; 2; 4). 2. Даны векторы b (3; 1; 2) и c 2b c (1; 4; 3). Найдите. 3. Изобразите систему

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач: среднее (полное)

Прототипы заданий 132017 года 1 25541 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности многогранника (все многогранника, изображенного на рисунке (все 2 25561 Найдите площадь поверхности

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Тест по теме 69 «Комбинированные задачи» 1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 32 128 0 2.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

08. Стереометрия Часть 1. ФИПИ (www.fipi.ru) + Другие источники (*) I) Параллелепипед 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=6, BC=5, AA1=4. Найдите объём многогранника, вершинами

Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ 1В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер, Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего

Контрольные вопросы В вопросах 8 рассматриваются точки A (; ;), B(; 4; 0) и плоскость α, заданная уравнением x 4 y z 48 = 0. (). Найти угол между прямой AB и плоскостью α. (). Составить уравнение плоскости,

Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Комбинации тел 1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B(1; 1; 1) до начала

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 7 Задачи по стереометрии методические указания для абитуриентов физического факультета Ростов-на-Дону 00 Печатается по решению учебнофакультета РГУ методической комиссии

Все прототипы задания В9 (2013) (245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. (245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

1. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка. 2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

П/п Условие задачи Стереометрия В 10 1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Ответ:24 Решение 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Сборник заданий С Пирамида Ответ Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 08, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна. Найдите площадь сечения, проходящего через

Любое геометрическое тело состоит из оболочки, т. е. внешней поверхности, и какого-либо материала, его наполняющего (рис. 42). Каждое геометрическое тело имеет свою форму, которая различается по составу, структуре и размерам.

Состав формы геометрического тела - перечень отсеков поверхностей, составляющих его (табл. 4). Так, форма прямоугольного параллелепипеда состоит из шести отсеков, поверхностей (граней): две из них являются основаниями параллелепипеда, а остальные четыре отсека образуют замкнутую выпуклую ломаную поверхность, называемую боковой поверхностью.

Рис 42. Геометрическое тело: 1 - оболочка; 2 - отсеки поверхностей, образующих оболочку тела

Структура формы геометрического тела - характеристика формы, которая показывает взаимосвязь и расположение отсеков поверхностей относительно друг друга (см. рис. 44).

Эти характеристики взаимосвязаны и в наибольшей степени определяют форму геометрического тела и любого другого объекта.

По форме простые геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Плоскость является частным случаем поверхности.

Многогранники - геометрические тела, оболочка которых образована отсеками плоскостей (рис. 43, а).

Грани - отсеки плоскостей, которые составляют поверхность (оболочку) многогранника; ребра - отрезки прямых, по которым пересекаются грани; вершины - концы ребер.

Тела вращения - геометрические тела (рис. 43, б), оболочка которых представляет собой поверхность вращения (например, шар) либо состоит из отсека поверхности вращения и одного (двух) отсека плоскостей (например, конус, цилиндр и т. п.).

Рис. 43. Многогранники (а) и тела вращения (б): 1 - оболочка геометрического тела;
2 - отсеки плоскостей; 3 - отсеки поверхностей вращения

4. Состав простых геометрических тел

Структура формы влияет на внешний облик геометрического тела. Рассмотрим это на примере прямого и наклонного цилиндров (рис. 44), отсеки оснований которых по-разному расположены относительно друг друга.

Рис. 44. Структурные различия в форме цилиндров

Рис. 45. Изменения формы цилиндров

Рис. 46. Четырехугольные пирамиды различной формы

Сравнивая изображения цилиндров на рисунке 45, можно сделать вывод, что изменение положения одного из оснований приводит к изменению формы геометрического тела.

Изменение высоты, ширины, длины, диаметра основания, угла наклона осевой, положение оснований относительно друг друга существенно влияет на форму геометрических тел. Например, рассмотрите четырехугольные пирамиды различной формы (рис. 46).

Рис. 47. Геометрические тела

МОДЕЛЬ ОФОРМЛЕНИЯ СЦЕНАРИЯ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА

Общие требования:

Полное название образовательного учреждения: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 90», Томская область, город Северск

Предмет: геометрия

Тема: Многогранники и тела вращения.

Класс: 11

Время реализации занятия: 2 урока (90 мин.)

Цель урока: повторение изучаемого материала.

Задачи урока:

Образовательные: контроль за уровнем усвоения материала.

Развивающие: формирование навыков продуктивного делового взаимодействия и принятия групповых решений.

Воспитательные: воспитание ответственности, коллективизма, уважительное отношение к мнению партнёра.

Тип урока: обобщающий урок

Форма урока:

Урок – аукцион ;

Оборудование: переносная доска, карточки с вопросами, игровые денежки.

План проведения урока:

Этапы урока	Временная реализация
Организационный момент	5 минут
Первый тур «Конкретный вопрос»	35 минут
Второй тур «Закрытый лот»	40 минут
Подведение итогов, выставление оценок	10 минут

Ход урока:

Урок – аукцион является одной из форм проверки знаний, умений учащихся по данной большой теме.

Правила игры.

Класс делится на три команды, выбирается жюри. Все команды перед началом аукциона получают в «банке» (роль банкира играет один из членов жюри или учитель) первоначальный капитал в виде краткосрочного кредита под 30% годовых в размере 1000 денежек (или других денежных знаков) Приложение №1.

Это означает, что в конце игры все взявшие кредит должны вернуть в банк 1300д. (1000д. – сам кредит и 300д. составляют 30% от суммы кредита);

Расписываясь в банковской книге «Выдачи кредитом» за его получение, капитан команды одновременно с деньгами получает номер участника аукциона и лицевой счёт команды Приложение №2 . Только имёя номер, команда может претендовать на тот или иной лот (вопрос, правильный ответ на который приносит команде определенный доход, выставленный на аукционе).

Игра состоит из двух или более туров.

Перед проведением очередного тура аукционист (ведущий аукцион преподаватель) объявляет характер предлагаемых лотов и порядок проведения торгов.

Первый Тур « Конкретный вопрос».

Тур проходит по следующим правилам:

задается конкретный вопрос по теме «Многогранники, тела вращения»;
право на ответ может купить любая команда, имеющая номер, заплатив небольшую сумму в ходе открытых торгов;
первоначальная стартовая цена каждого лота (права на ответ) 100д., а торговый (аукционный) шаг стоит 50д., т. е. торг ведется суммами, кратными 50д. Например, одна из команд называет свою цену за конкретный вопрос, предложенный аукционистом, - 150д. Если какая- то другая команда также хочет приобрести этот лот (право на ответ), то она называет цену – 200д. (250д. 300д. и т. д.), т. е. каждый раз цена увеличивается на 50д. (или сразу на 100д., или на 200д. и т. п.);
называя свою цену, капитан команды должен поднять и показать аукционисту номер, который он получил перед началом аукциона;
команда, купившая очередной лот, платит в банк сумму, за которую она купила этот выставленный лот;
за правильный ответ на купленный вопрос команда получает денежное вознаграждение от 500 до 1500д., в зависимости от сложности вопроса;
если участники команды неверно ответили на вопрос, они платят в банк штраф в размере 200д., и лот снимается с торгов и может быть выставлен в конце первого тура для повторной продажи.

Аукционист отвечает на вопросы участников, и открываются торги.

1.1 Чему равен угол между плоскостью основания прямого цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д. Кто дает большую цену?

1.2 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью основания? Стартовая цена 100д. Вознаграждение 500д.

[Равны, т.к. осевое сечение

конуса равнобедренный треугольник]

1.3 Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубями, остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих по пытаются определить, что это за огни: Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете? Вознаграждение 1500д.

[Не важно, какого цвета огни, - красного, зеленого или голубого.

Объект представляет собой геометрическое тело с 12-ю гранями.

Значит, оно может быть только декаэдром (двенадцатигранником). Каждая его грань представляет собой правильный пятиугольник.]

Могут ли вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и см лежать на сфере радиуса см? Вознаграждение 1000д.

[Нет]

1.4 Круглое бревно весит 30кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче? Вознаграждение 1500д.

[От увеличения вдвое объем круглого бревна увеличивается

вчетверо; от укорочения же вдвое объем бревна уменьшается

всег о в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно

быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е; весит 60 кг.]

1.5 Какая из двух банок, изображенных на рис. 1, вместительнее - широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая? Вознаграждение 1500 р.

[Высокая банка менее вместительна. Это легко проверить. Площадь основания широкой банки в 2 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой; высота же ее всего в три раза меньше. Значит, объем широкой банки в раза больше, чем узкой. Если содержимое высокой банки перелить в широкую, заполнится лишь ее объема.]

1.6 Чему равны углы между отрезками, проведенными на гранях куба (рис. 2)? Вознаграждение 1000д.

[ 60° (рис. 3 , а); 120°, (рис. 3, б).]

1.7 Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что менее.

Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения? Вознаграждение 1500д.

[Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка два находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит, ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне бочки должен выступать из воды больший или меньший сегмент два. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклоне верхняя часть дна окажется под водой.]

1.8 Как найти вместимость объем стакана с помощью весов? Вознаграждение 1000д.

[Пусть масса стакана с водой а без воды ,

тогда где - плотность; для воды .]

1.9 «Сюрприз». Команда, купившая этот лот, получает карточку, в которой написано: «Вы имеете право на приобретение по первоначальной стартовой цене одного из лотов второго тура аукциона или получить в банке премию в размере 500д.».

1.10 Вычислите приближенно объем мяча, если в вашем распоряжении нитка и измерительная линейка. Вознаграждение 1500д.

[Пусть D - диаметр мяча, l - длина наибольшей

Окружности на поверхности мяча, найденная

с помощью нитки и линейки, тогда

1.11 С помощью мензурки определите радиус вмещающегося в нее шара. Вознаграждение 1500д.

[С помощью мензурки находим V - объем шара, а его

радиус вычисляем по формуле .]

1.12 Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение: необходимо, пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным дном), которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать или доливать жидкость не разрешается. Вознаграждение 1500д.

[Так как дно бутылки по условию имеет форму круга или квадрата, или прямоугольника, то его площадь легко можно определить при помощи одной только масштабной линейки. Обозначим площадь дна через S. Измерим высоту h 1 , жидкости в бутылке. Тогда объем той части бутылки, которую занимает жидкость, равен Sh 1 , (рис.б). Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h 2 , ее части от уровня жидкости до дна бутылки. Объем этой части бутылки равен Sh 2 . Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен - он равен Sh 1 . Отсюда следует, что объем всей бутылки равен ]

Третий тур. Закрытый лот «Неизвестный вопрос».

В этом туре команды покупают закрытый лот, не зная, какой вопрос будет в этом лоте. В остальном правила проведения аукциона остаются прежними, лишь цена за правильный ответ на купленный в лоте вопрос увеличивается и составляет от 1500д. до 3000д. в зависимости от сложности вопроса. Вопрос формулируется лишь после того, как какая-либо команда купит лот.

«Неизвестные вопросы»:

Стартовая цена 100д., аукционный шаг 50д. Вопрос. Сформулируйте определение цилиндра.

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Задание. Сформулируйте определение конуса.

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Первоначальная стартовая цена 100д. Вопрос. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. На какие многогранники рассёкает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания? [На две пирамиды: треугольную и четырехугольную (рис. 5).

«Сюрприз». Команда, купившая этот лот получает карточку, в которой написано: «Вы совершили удачную сделку, ваши наличные деньги увеличиваются на 50% ».

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. В результате вращения какой фигуры может быть получен усеченный конус?

Задание. Сформулируйте определение призмы.

Задание. Перечислите свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Денежное вознаграждение за правильный ответ 3000д. Вопрос. Назовите все виды призм. В чем состоят их различия?

Денежное вознаграждение за правильный ответ 2500д. Задание. Сформулируйте определения пирамиды и усеченной пирамиды.

Денежное вознаграждение за правильный ответ? Вопрос. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Из каких тел состоит тело , полученное вращением равнобедренной трапецией вокруг большего основания? [Полученное тело состоит из двух равных конусов и цилиндра].

Денежное вознаграждение за правильный ответ 1500д. Вопрос. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные грани которой перпендикулярны основанию пирамиды?

Денежное вознаграждение за правильный ответ 2000д. Вопрос. Сформулируйте определение шара, и сферы.

В конце игры аукционист просит всех участников подсчитать сумму наличных денег, вернуть взятый в банке кредит и 30 % годовых за пользование им (т. е. 1300д.). Победителем игры считается команда, у которой на руках осталось больше всего денег.

Все учащиеся выигравшей команды получают отличные оценки; отличные оценки выставляются также наиболее активным учащимся других команд, всем остальным учащимся оценка не выставляется.

Примечания.

Вопросы, сформулированные для двух туров аукциона можно заменить на более сложные и требующими развернутых ответов, или более простыми и доступными.

Количество вопросов в каждом туре можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени, которым располагает учитель или от интереса учеников.

Игру-аукцион можно использовать также при изучении практически любого учебного предмета. Для этого нужно лишь продумать четкие и конкретные вопросы по уже пройденному материалу и распределить их по двум турам аукциона.

Дополнения.

Все команды, участвующие в аукционе, заводят свои лицевые счета. Приложение №2.

В графе «Приход» команды фиксируют все денежные поступления, в графе «Расход» указывают все выплаты, а в графе «Остаток» - оставшиеся на данный момент денежные средства.

Первая запись, которую делает в лицевом счёте каждая команда: в графе «Приход» фиксируется полученный в банке кредит (1000д.)

Лицевой счёт
Номер команды 1
Получено в банке 1000д.
Номер записи	Приход	Расход	Остаток
	1000		1000

Например, члены команды №1 купили в первом туре вопрос 2, указав наибольшую сумму 350д. Значит, сразу же после покупки капитан команды (или какой-либо ее участник) в лицевом счете своей команды делает запись и вычисляет остаток денежных средств:

Лицевой счёт
Номер команды 1
Получено в банке 1000д.
Номер записи	Приход	Расход	Остаток
	1000		1000

Если команда №1 правильно ответила На купленный вопрос, то она получает денежное вознаграждение 500д. (в соответствии с правилами первого тура аукциона) и делает третью запись в графе «Приход»:

Лицевой счёт
Номер команды 1
Получено в банке 1000д.
Номер записи	Приход	Расход	Остаток
	1000		1000

			1150

Такие же лицевые счета находятся у члена жюри (счет той команды, работу которой он оценивает).

Таким образом, ведя постоянный учет, команда в любой момент игры видит реальный остаток своих денежных средств. Это удобно и для преподавателя, если возникает необходимости проверить кредитоспособность команды.

Если у какой-либо команды закончились денежные средства, капитан может с разрешения преподавателя получить в банке дополнительный кредит (не более 1000д.), но уже под 50 % годовых.

Список использованной литературы:

Кордемский Б А. Удивительный мир чисел. - М., Просвещение, 1986.

План урока

Тема: «Многогранники, фигуры вращения, площади их поверхностей и объемы»

Тип урока – комбинированный урок.

Цель: сформировать у учащихся представление о многогранниках, фигурах вращения, а также научить находить площади их поверхностей и объемы.

Задачи:
Структура занятия :
Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

2. Проверка домашнего задания:

Выясняет были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.

3. Сообщение темы занятия, актуализация

Сообщается тема и цель урока. Говорит что, тема «Многогранники и тела вращения” важна, так как связана с рядом предметов школьной программы: изобразительным искусством, черчением, трудовым обучением, информатикой.

4. Изучение нового материала:

Многогранник , точнее трёхмерный многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном пространстве такая, что:
Эти многоугольники называются гранями , их стороны - рёбрами , а их вершины - вершинами многогранника.

Виды многогранников:
Тела вращения - объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения:
Формулы для нахождения площадей поверхностей многогранников и тел вращения, а также их объемов.

Фигура

S осн

S бок

S полн

Параллелепипед:

прямоугольный

куб

произвольный

S осн = ab

S осн = a 2

S осн = ab * sinα

l- бок . ребро

S бок =2(a+b)H

S бок = 4a 2

S бок =P сеч l

S полн = S бок +2S осн

V=abc

V=a 3

V=S осн H

Призма

S бок =P сеч l

S полн = S бок +2S осн

V = Ql (Q -площадь перпендикулярного сечения)

Пирамида

S бок =P осн l , l -апофема

S полн = S бок +S осн

V= 1/3* S осн H

Усеченная пирамида

S бок =(P 1 + P 2) l , l -апофема

S полн = S бок +S 1 + S 2

V =1/3* H (S 1 + +S 2

Цилиндр

S осн = πR 2

S бок = 2 πRH

S полн = 2 πR (H + R)

V=πR 2 H

Конус

S осн = πR 2

S бок = πRl, l- образующая

S полн = πR (l + R)

V=1/3*πR 2 H

Усеченный конус

S осн = πR 2

S бок = π (R + r ) l , l -образующая

S полн = π (R 2 + r 2 )+ R + r ) l

V=1/3*πH(R 2 +Rr+r 2 )

Шар

S полн =4πR 2

V=4/3*πR 3

5. Закрепление нового материала:

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите объём конуса.

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45

7. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.

8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.

10. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.

11. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и объём цилиндра.

6. Подведение итогов урока, рефлексия

Объявляет итог урока, называет оценки.

В качестве рефлексии у чащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения.

Данное занятие для меня…

Я почувствовал(а), что…

В будущем я…

Сегодня работать для меня было…

Мне бы хотелось изменить…

На следующем занятии мне бы хотелось…

7. Задание на дом

1) Диагональ куба равна 15см. Найдите объём куба.

2) Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 30 0 . Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна см 2 .