В 4 веке до н. э. древнегреческий ученый Эвклид свёл накопленные к тому времени математические знания в своём труде «Начала», проанализировав труды своих предшественников, возвысился до создания невиданной по тем временам точно обоснованной теории. Она опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной.

Имеется пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше суммы двух прямых углов, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше суммы двух прямых углов.

Пятый постулат (так называемый постулат «о параллельных») вследствие его сравнительной сложности и малой наглядности вызвал большое число попыток доказать его как теорему, вывести его из остальных аксиом. С первого века до н.э. до 1820 математики пытались доказать справедливость пятого постулата, используя первые четыре, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности».

Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Джироламо Саккери (1667–1733) в своей работе «Эвклид, очищенный от пятен, или Геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии». Он начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери (рис. 1), т.е. с четырехугольника BCED , у которого BC = DE , а углы при вершинах C и E прямые.

Рисунок 1

Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.

А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейн (1849–1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо «эллиптической» и «гиперболической» геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны (т.е. сумма углов криволинейного треугольника больше суммы двух прямых.), играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны (сумма углов криволинейного треугольника меньше суммы двух прямых) геодезические круги порождают гиперболическую геометрию.

Примером поверхности положительной кривизны является поверхность шара. Условимся считать «прямой» на сфере любую окружность большого круга, т.е. окружность, получаемую при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр шара. Оказывается, что все прямые здесь пересекаются. Следовательно, в такой геометрии не существует параллельных прямых. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана.

В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Ф.Клейн (1849–1925) первым увидел, как избавить сферическую геометрию от одного из ее недостатков – того, что две лежащие в одной плоскости «прямые» (два больших круга на сфере) имеют не одну общую точку, а две (рис. 2).

Рисунок 2

Так как для каждой точки существует одна-единственная точка-антипод (диаметрально противоположная точка), а для любой фигуры существует ее дубликат из точек-антиподов, мы можем, ничем не жертвуя, но многое приобретая, абстрактно отождествить обе точки такой пары, объединив их в одну. Таким образом можно изменить смысл термина «точка», условившись впредь называть «одной точкой» пару диаметрально противоположных точек. Иначе говоря, точки так называемой «эллиптической» плоскости представлены на единичной сфере парами точек-антиподов или диаметрами, соединяющими точки-антиподы. Вся эллиптическая прямая замкнута, как окружность, но, поскольку каждая из ее точек представлена двумя точками-антиподами на единичной сфере, полная длина эллиптической прямой равна половине длины окружности большого круга, т.е. ее полная длина равна.

Карл Гаусс первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. В этом же направлении работали и два других выдающихся ученых того времени – Янош Бойяи и Н.И.Лобачевский. В 1833 году Бойяи опубликовал свои исследования как приложение (по-латыни «»Appendix») к курсу математики, написанному его отцом Фаркашем Бойяи. В «Аппендиксе» Янош Бойяи в чрезвычайно сжатой форме изложил основы неэвклидовой геометрии. Его отец послал экземпляр «Аппендикса» Карлу Гауссу. В ответном письме Гаусс писал, что не может хвалить работу Яноша, так как это значило бы хвалить самого себя, потому что результаты этой работы почти сплошь совпадали с теми результатами, которые были давно получены им самим. Ответ Гаусса произвел на Яноша Бойяи столь тягостное впечатление, что он даже не поверил ему. Он не знал в это время, что приоритет открытия новой геометрии уже принадлежал русскому математику Лобачевскому. Именно поэтому по сегодняшний день эту геометрию называют геометрией Лобачевского.

Один из подходов к построению гиперболической геометрии исходит из некоторых фундаментальных аксиом порядка, справедливых и в евклидовой, но не в эллиптической геометрии. Если считать «точки» исходными понятиями, то запись [ABC ] означает, что точка B лежит «между» точками A и C (это первичное отношение мы принимаем, не пытаясь его определить). Первые четыре аксиомы порядка утверждают, что 1) существует по крайней мере две точки; 2) если A и B – две различные точки, то существует по крайней мере одна точка C , для которой [ABC ]; 3) эта точка C отлична от точки A и 4) порядок влечет за собой , но не . «Отрезок» AB , по определению, состоит из точек P , для которых , а «луч» A/B («исходящий из A в другую сторону, чем B ») – из точек Q , для которых [QAB ]. «Прямая» AB состоит из отрезка AB , точек A , B и двух лучей A/B , B/A . Пятая аксиома утверждает, что если C и D – различные точки на прямой AB , то A лежит на прямой CD (из этой же аксиомы следует, что прямые AB и CD совпадают). Шестая аксиома дает нам точку вне данной прямой, а седьмая, сформулированная М.Пашем (1843–1931), позволяет определить плоскость как множество всех точек, коллинеарных с парами точек на одной или двух сторонах данного треугольника.

Большая часть вклада Бойяи связана с теми разделами гиперболической геометрии, которые принадлежат и евклидовой геометрии. Его «абсолютная геометрия» может быть выведена из геометрии порядка, если к последней добавить еще одно фундаментальное отношение, а именно «конгруэнтность». Это отношение определяется пятью аксиомами типа «Если ABC и A B C  – два треугольника, таких, что BC  B C , CA  C A , AB  A B , а D и D  – еще две точки, такие, что [BCD ] и [B C D ] и BD  B D , то AD  A D ». Эти аксиомы служат основой теории длины и позволяют распространить отношение конгруэнтности с пар точек на углы. Определив обычным образом окружность, можно рассматривать первые четыре постулата Евклида как теоремы и доказать его первые двадцать восемь предложений, заменив слово «параллельные» на «не пересекающиеся». Однако необходимо тщательно избегать любого обращения к обычному представлению о сумме углов треугольника; например, нельзя более утверждать, что углы, опирающиеся на один и тот же сегмент окружности, равны, так как доказательство этого предложения зависело бы от суммы углов треугольника. С другой стороны, можно доказать, что три высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, построить теорию правильных многоугольников и правильных многогранников (с небольшими оговорками). Уточнив понятие параллельности (определив как параллельные лучи, которые просто не пересекаются), можно показать, что параллельность – отношение симметричное и транзитивное (т.е. если прямая r параллельна прямой s , то s параллельна r ; если r параллельна s , а s параллельна t , то r параллельна t ).

На гиперболической плоскости . Он состоит из трёх отрезков , называемых сторонами или рёбрами , и трёх точек , называемых углами или вершинами .

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии :

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, аналогичные свойствам треугольников на сферической или эллиптической геометрии :

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые противоположны свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии :

Гиперболические треугольники имеют также некоторые свойства, которых нет в других геометриях:

Определение треугольника можно обобщить, если разрешить вершинам лежать на идеальной границе гиперплоскости, при этом стороны должны лежать внутри плоскости. Если пара сторон является асимптотически параллельными (то есть расстояние между ними стремится к нулю при стремлении к идеальной точке , но они не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине , представленной омега-точкой .

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямолинейных сторон, лежащих на разных прямых. Однако такие нулевые углы возможны для.

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

Треугольник, в котором одна вершина является идеальной точкой, один угол прямой - третий угол является углом параллельности для стороны между прямым углом и третьим углом.

Треугольник, в котором две вершины являются идеальными точками, а оставшийся угол является прямым . Это один из первых гиперболических треугольников (1818), который описал Фердинанд Карл Швайкерт.

Треугольник, в котором все вершины являются идеальными точками. Такой треугольник является самым большим из возможных треугольников в геометрии Лобачевского, поскольку имеет нулевую сумму углов.

Связи между углами и сторонами аналогичны связям между такими же объектами в сферической тригонометрии . Масштаб длины для сферической геометрии и геометрии Лобачевского можно, например, определить как длину стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Масштаб длины наиболее удобен, если длины измеряются в терминах абсолютной длины (специальной единицы длины, аналогичной отношению между расстояниями в сферической геометрии). Выбор масштаба длины делает формулы проще .

В терминах (постоянной отрицательной) кривизны Гаусса K гиперболической плоскости единица абсолютной длины соответствует длине

В гиперболическом треугольнике сумма углов A , B , C (соответствующих противоположным сторонам с тем же буквами) строго меньше развёрнутого угла . Разница между мерой развёрнутого угла и суммой мер углов треугольника называется дефектом треугольника. Площадь гиперболического треугольника равна его дефекту, умноженному на квадрат R :

Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников зависят от гиперболических функций sh, ch, and th.

Экземпляр омега-треугольника с прямым углом даёт конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.

Тригонометрические формулы для прямоугольных треугольников дают также отношения между сторонами s и углами A равностороннего треугольника (треугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны):

Независимо от того, является C прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения: .

Гиперболические треугольники максимальной площади с двумя заданными сторонами Е. И. Алексеева Аннотация. На плоскости Лобачевского рассматривается аналог очень простой задачи евклидовой геометрии: каким будет треугольник максимальной площади с двумя заданными сторонами и какой будет эта площадь. 1. Введение Каким будет треугольник максимальной площади с двумя заданными сторонами, и какой будет эта площадь? Очевидно, что в геометрии Евклида искомый треугольник будет прямоугольным. В статье дается ответ на вопрос, каким будет соответствующий треугольник (который мы в дальнейшем будем называть треугольником максимальной площади) в геометрии Лобачевского. При этом оказывается, что треугольник максимальной площади не является прямоугольным, но обладает многими свойствами, аналогичными свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1). Геометрия Лобачевского Геометрия Евклида A A B B C C 1) α = β + γ = π2 ; 1) α = β + γ < π2 ; 2) центр описанной окружности лежит в середине стороны BC; 2) центр описанной окружности лежит в середине стороны BC; 3) S 2 = b 2 3) sin S2 = th 2b · th 2c ; · 2c ; 4) cos α = 0 = const; 4) cos α = th 2b · th 2c = const; 5) a2 = b2 + c2 . 5) sh2 a 2 = sh2 2b + sh2 2c . Таблица 1. Как видно из табл. 1, в каком-то смысле аналогом евклидова прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского можно считать и треугольник максимальной площади. Благодарность. Автор благодарит П. В. Бибикова за постановку задачи и внимание к работе. 1 2. Модель Пуанкаре в круге Существует несколько моделей геометрии Лобачевского, но нам будет удобнее рассматривать модель Пуанкаре в круге (см. ). В этой модели плоскостью Лобачевского является внутренность единичного круга. Граница этого круга называется абсолютом. Точками являются обычные евклидовы точки, принадлежащие плоскости Лобачевского, а прямыми - дуги евклидовых окружностей, ортогональных абсолюту, и диаметры абсолюта (рис. 1). Углы измеряются как обычные евклидовы углы между кривыми. B A B O P A C Рис. 2. Рис. 1. Треугольник в модели Пуанкаре в круге состоит из дуг окружностей, и сумма его углов меньше π (рис. 2). Поэтому естественно ввести величину δ, называемую дефектом и равную π−α−β −γ, где α, β и γ - углы треугольника. Легко видеть, что дефект треугольника обладает следующими свойствами: 1) δ > 0; 2) 1 = 2 ⇒ δ1 = δ2 ; 3) = 1 ∪ 2 ⇒ δ = δ1 + δ2 . Видно, что дефект треугольника удовлетворяет всем свойствам площади. Оказывается (см. ), что в геометрии Лобачевского S() = δ = π − сумма углов. В этом состоит одно из существенных отличий геометрии Лобачевского от геометрии Евклида: в евклидовой геометрии нельзя выразить площадь треугольника через его углы. 3. Ключевая теорема При решении различных задач геометрии Лобачевского, связанных с площадью треугольника, оказывается полезной следующая теорема (см. также ). Теорема 1 (ключевая теорема). Пусть вершина A неевклидова треугольника ABC совпадает с центром модели Пуанкаре и точка B симметрична B относительно абсолюта1 . Тогда S(ABC) = 2τ , где τ = ∠AB C. 1 Т.е. точка B является образом точки B при инверсии относительно абсолюта. 2 C B A B" Рис. 3. Доказательство. Рассмотрим евклидову окружность ω, содержащую неевклидову сторону BC треугольника ABC (рис. 3). Поскольку окружность ω ортогональна абсолюту, она переходит в себя при инверсии относительно абсолюта и, следовательно, проходит через точку B (см. ). Угол между хордой BC и окружностью ω равен τ как угол между хордой и касательной. Поэтому сумма евклидовых углов евклидова треугольника ABC равна α + β + γ + 2τ = π, откуда S(ABC) = π − (α + β + γ) = 2τ. Упражнение 1. Используя ключевую теорему, решите следующие задачи (см. ). 1) Постройте в неевклидовом треугольнике ABC отрезок AX, делящий площадь ABC пополам. Верно ли, что отрезок AX является медианой? 2) Постройте в неевклидовом треугольнике ABC точку T , такую, что площади треугольников ABT , BCT и CAT равны. Верно ли, что точка T является точкой пересечения медиан? Упражнение 2. Рассмотрим на плоскости Лобачевского отрезок AB и прямую c. Найдите на прямой c точку C, такую, что площадь треугольника ABC минимальна. Упражнение 3. Докажите аналог ключевой теоремы на сфере: множеством точек, образующих с данным отрезком AB треугольники постоянной площади, является окружность, проходящая через точки A и B , симметричные точкам A и B относительно центра сферы. 4. Треугольники максимальной площади и их свойства Теперь мы готовы решить основную задачу: найти неевклидов треугольник ABC максимальной площади с двумя фиксированными сторонами AB и AC. Не умаляя общности рассуждений, будем считать, что вершина A совпадает с центром модели Пуанкаре. Зафиксируем сторону AB. Тогда вершина C лежит на неевклидовой окружности ψ с центром в точке A и фиксированным радиусом. Так как центр окружности ψ совпадает с центром модели Пуанкаре, эта окружность совпадает с евклидовой (но другого радиуса). По ключевой теореме треугольник ABC имеет площадь, равную 2∠AB C, где точка B симметрична точке B относительно абсолюта. Площадь треугольника ABC будет максимальна тогда, когда угол ∠AB C максимален, т.е. когда отрезок B C касается окружности ψ (рис. 4). Итак, для построения треугольника ABC максимальной площади достаточно построить касательную B C к окружности ψ. 3 A C A B B" B O C Рис. 5. Рис. 4. Треугольник максимальной площади может быть охарактеризован рядом эквивалентных свойств, которые аналогичны свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1). Теорема 2. Пусть ABC - неевклидов треугольник с фиксированными сторонами AC = b и AB = c. Тогда следующие условия эквивалентны: (0) ABC имеет максимальную площадь; (1) α = β + γ < π2 ; (2) центр описанной окружности совпадает с серединой стороны BC; (3) sin S2 = th 2b · th 2c ; (4) cos α = th 2b · th 2c = const; (5) sh2 a2 = sh2 2b + sh2 2c . Доказательство. Для доказательства рассмотрим описанную выше конструкцию. По ключевой теореме τ = ∠AB C = S2 , где S - площадь треугольника ABC. (0) ⇔ (1) Если треугольник ABC имеет максимальную площадь, то ∠ACB = π2 , то есть имеет место равенство τ + α = π2 ⇔ (π − α − β − γ) + 2α = π. Отсюда следует, что α = β + γ. Обратно, если выполнено равенство α = β + γ, то ∠ACB = τ + α = π2 и площадь треугольника ABC максимальна. (1) ⇔ (2) См. рис. 5. (0) ⇔ (3) Применим евклидову теорему синусов к евклидовому треугольнику AB C. Имеем ABE E = AC , где через ABE и ACE обозначены евклидовы длины евклидовых отрезков AB sin ∠ACB sin τ и AC соответственно. Известно (см. ), что евклидова длина l и неевклидова длина ρ отрезка, один из концов которого совпадает с центром модели Пуанкаре, связаны формулой l = th ρ2 , поэтому ACE = th 2b и ABE = AB1 E = th1 c . Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получаем sin ∠ACB = sin th b 2 S 2 th 2 c 2 . Поэтому треугольник ABC имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда sin S2 = th 2b th 2c . (0) ⇔ (4) Рассмотрим евклидов треугольник AB C. Если гиперболический треугольник ABC ACE = th 2b th 2c . Обратно, если выполнено равенство имеет максимальную площадь, то cos α = AB E cos α = th 2b th 2c , то евклидов угол ∠ACB прямой и площадь неевклидова треугольника ABC максимальна. (4) ⇔ (5) Для доказательства воспользуемся неевклидовой теоремой косинусов: ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α. Подставляя значение cos α из (4), после упрощений получаем (5). Аналогично доказывается и обратная импликация. 4 Упражнение 4. Используя аналог ключевой теоремы для сферы (см. упражнение 3), постройте сферический треугольник максимальной площади (см. также ). Попробуйте также найти аналоги свойств (1)–(5) для этого треугольника. Упражнение 5. Рассмотрим евклидов остроугольный треугольник AP Q и проведем в нем высоты P B и QC. Докажите, что неевклидов треугольник ABC имеет максимальную площадь а) в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости относительно прямой P Q (рис. 6); б) в модели Пуанкаре внутри окружности с центром в точке A, ортогональной описанной окружности четырехугольника P CBQ (рис. 7). A A B B C C P Q Q P Рис. 6. Рис. 7. Замечания. 1. Когда b, c → 0, свойства (1)–(5) из теоремы 2 переходят в соответствующие евклидовы свойства (см. табл. 1), что еще раз демонстрирует аналогию между треугольником максимальной площади и прямоугольным треугольником. 2. Если b, c → ∞, то из свойства (4) следует, что угол α стремится к 0 (рис. 9), в то время как в евклидовом прямоугольном треугольнике α = π2 = const (рис. 8). Этот факт наиболее ярко отражает разницу между прямоугольным треугольником и треугольником максимальной площади. A A Рис. 8. Рис. 9. 3. Формулу (5) можно назвать неевклидовой теоремой Пифагора, т.к. она имеет тот же вид, что и в геометрии Евклида, с той оговоркой, что в ней присутствуют не стороны, а гиперболические синусы от их половин. 5 Ключевая теорема и формула ABE = th 2c объясняют, почему во многих формулах, связанных с площадью треугольника, встречаются именно половина площади и половины сторон. Упражнение 6. Используя доказательство равносильности свойств (0) и (3), докажите формулу cth 2b cth 2c − cos α S ctg = 2 sin α для вычисления площади произвольного неевклидова треугольника через две стороны и угол между ними. Используя ключевую теорему, попробуйте также доказать другие неевклидовы формулы, связанные с площадью треугольника (см. ). 5. Применение: изопериметрическая задача Пользуясь свойствами треугольника максимальной площади можно решить аналог т.н. изопериметрической задачи: какой будет фигура максимальной площади при заданном периметре? В геометрии Евклида ответ хорошо известен: эта фигура является кругом (см. ). Оказывается, что в геометрии Лобачевского решением этой задачи также является круг (см. также ). Теорема 3. В геометрии Лобачевского фигурой максимальной площади с заданным периметром является круг. Доказательство. Мы построим доказательство аналогично евклидовому доказательству, предложенному Штейнером (см. ). Пусть F - искомая фигура с площадью S и периметром L (доказательство существования такой фигуры в геометрии Лобачевского аналогично доказательству для евклидовой геометрии; см. ). Так же, как в евклидовой геометрии (см. ) доказывается, что фигура F выпукла, и отрезок BC, который делит периметр фигуры F пополам, делит и ее площадь пополам. Назовем такой отрезок диаметром. A B A C B Рис. 10. C Рис. 11. Пусть теперь A - произвольная точка границы фигуры F и BC - диаметр фигуры F (рис. 10). Докажем, что треугольник ABC имеет максимальную площадь. Предположим противное. Рассмотрим половину фигуры F , отсекаемую диаметром BC и содержащую точку A. Ее площадь будет состоять из площади треугольника ABC и площадей двух оставшихся сегментов, прикрепленных к сторонам AB и AC. Если двигать стороны AB и AC, меняя угол 6 между ними, то половина площади F будет меняться, причем сегменты будут двигаться вместе со сторонами, тем самым сохраняя периметр L/2. Таким образом можно добиться, чтобы площадь треугольника ABC стала максимальной (рис. 11). Тогда отразим полученную фигуру относительно диаметра BC и получим новую фигуру F периметра L и с площадью большей S - противоречие. Итак, для любой точки A границы фигуры F площадь треугольника ABC максимальна. По свойству (2) теоремы 2 имеем OA = OB = OC = const, а значит, фигура F является кругом с диаметром BC. Список литературы Бибиков П. В., Ткаченко И. В. О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 2007. С. 113–126. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: Физматлит, 2003. Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003. Крыжановский Д. А. Изопериметры. М.: Физматгиз, 1959. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М.: ГИИТЛ, 1953. Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2004. Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005. Шварцман О. В. Комментарий к статье П. В. Бибикова и И. В. Ткаченко «О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского» // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 2007. С. 127–130. Maehara H. The problem of thirteen spheres - a proof for undergraduates // European Journal of Combinatorics 28, 2007. P. 1770–1778. Schmidt E. Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyperbolischen und sphr¨ arischen Raum jeder Dimensionenzahl // Math. Z. 49, 1943. P. 1–109. 7

(согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, - например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи , то есть к 2000 году до н. э. , приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э.

Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировки

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая формулировка:

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через и :

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK, AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок рассекает квадрат на две одинаковые части (так как треугольники и равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур и .

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Пользуясь методом разделения переменных, находим

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет ). Тогда для константы интегрирования получим

Вариации и обобщения

Подобные геометрические �