Тангенс суммы двух углов. Купить диплом о высшем образовании недорого

В курсе тригонометрии, которая охватывает большое количество уроков в 10 классе, изучаются основные четыре тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и котангенс. Школьники должны уметь обращаться с данными функциями, строить их графики, провести анализ каждой из функции, строить графики преобразованных функций, уметь работать с таблицей тригонометрических значений и т.д.

Также, они должны уметь обращаться и воспроизводить некоторые основные формулы тригонометрии, использовать их при решении практических примеров. Это все рассматривалось в предыдущих видеоуроках. Школьники могут просмотреть и освежить материал в своей голове.

Итак, данный видеоурок посвящен изучению формул тангенса суммы и разности аргументов. Ранее изучались формулы синуса суммы и разности аргументов, также косинуса.

Они демонстрируются диктором и выводятся на экран, 0обведенные в красные рамки, для того, чтобы подчеркнуть важность запоминания данных формул.

Что касается тангенса, мы знаем, как можно записать данное понятие, то есть выразить, через синус и косинус. Тангенс суммы аргументов можно записать как деление синуса суммы аргументов на косинус суммы аргументов. Имеем дробь, где числитель и знаменатель можно расписать по изученным заранее формулам. Получаем уже готовую новую формулу, которую можно слега упростить и преобразовать. Диктор предлагает каждый член многочлена поделить на произведение косинуса одного аргумента и синуса иного. Поделив, некоторые члены сократятся, и выражение уменьшится в целом.

Получаем упрощенную новую формулу, которую стоит запомнить. Если понять принцип ее получения, то никаких проблем в дальнейшем понимании и запоминании не появятся.

Далее указывается, что аргументы не могут принимать значения, которые лежат на асимптотах графика функции тангенса. Для сумм аргументов также выводятся исключения. Этот момент учитель обязательно должен рассмотреть с классом.

В первом примере, который выводится в видеоуроке, предлагается вычислить некоторое достаточно большое дробное вырадение, которое и в знаменателе, и в числителе содержит сумму тангенсов. Так как аргументы при тангенсе не являются табличными значениями, рекомендуется привести их в виде суммы более удобных градусов. Проделав данную процедуру можно использовать изученную формулу для дальнейшего решения и получения ответа.

Второй пример предлагает упростить некоторое выражение, которое представляет собой сумму двух дробей. С правой стороны приводятся все выноски, которые используются при решении задачи. Диктор спокойным и понятным голосом объясняет все шаг за шагом. Не пропущен ни один момент.

Третий пример более сложный. Здесь предлагается вычислить тангенс от некоторого значения, если известны некоторые данные. При решении также пользуются ранее изученные формулы, которые появляются в выносках с правой стороны.

Решение достаточное длинное. Выводится в итоге ответ. После этого примера, в видеозаписи рассматривается еще один пример-уравнение. Так как при его решении и используется тригонометрическая таблица значений, она выводится на экран для наглядности и простоты. Таким образом, школьники могут увидеть, откуда взяты те или иные значения, лучше понять.

Подобные примеры можно задать ученикам для выполнения дома. Если у них появятся проблемы при решении, они могу т обратиться к данной видеозаписи и просмотреть еще раз.

Данный электронный ресурс может быть использован для демонстрации в школе во время урока. Учитель сможет «оживить» урок с помощью подобных материалов. Он станет более запоминающимся и интересным. В случае если у школьников появятся вопросы, учитель или репетитор, просматривающий вместе с ним урок, сможет прокомментировать более подробно и объяснить. Сообразительные ученики смогут самостоятельно понять материал и освоить без дополнительной помощи.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тангенс суммы и разности аргументов

Мы уже познакомились с формулами, которые выражают синус и косинус суммы и разности аргументов. Показать формулы

Рассмотрим, как можно выразить тангенс суммы и разности аргументов. Вспомним, что тангенс, это отношение синуса числа к косинусу этого числа

Тогда тангенс суммы двух углов выразим через синус и косинус суммы двух углов, применяя формулы синус суммы и косинус суммы:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

(ведь, если существуют тангенсы углов х и у, произведение косинусов этих углов отлично от нуля), после деления числителя и знаменателя на cosx cosy получим в числителе сумму а это равно tgx и а это равно tgy.

В знаменателе сокращаем и получаем единицу

как и в числителе а это равно tgxи а это равно tgy.

Следовательно, tg(x+y) =.

(Тангенс суммы двух аргументов равен сумме тангенсов этих аргументов, деленной на единицу минус произведение тангенсов этих аргументов.)

Аналогично доказывается формула для тангенса разности аргументов:

tg(х-у) =. (Тангенс разности двух аргументов равен разности тангенсов этих аргументов, деленной на единицу плюс произведение тангенсов этих аргументов.)

Разумеется, что все тангенсы имеют смысл, т.е. х+ πn, у + πn,

х+у+ πn (для тангенса суммы двух аргументов), х - у+ πn (для тангенса разности двух аргументов).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1. Вычислить.

Решение. Данное выражение представляет собой правую часть формулы тангенс суммы для аргументов 16° и 44°. Следовательно, приведем выражение к виду левой части и получим, что тангенс равен 60 0 , следовательно равен. (Показать таблицу значений)

Tg(16°+44°) = tg 60° = .

ПРИМЕР 2. Упростить выражение + (частное суммы тангенсов аргументов икс и игрек на тангенс суммы этих аргументов плюс частное разности тангенсов аргументов икс и игрек на тангенс разности этих аргументов).

Решение. В знаменателе первой и второй дроби применим формулы тангенса суммы и разности аргументов, проведем сокращения и получим 1 - tgxtgy + 1 + tgxtgy , - tgxtgy и tgxtgy в результате дает ноль, тогда в ответе 2.

1 - tgxtgy + 1 + tgxtgy = 2.

ПРИМЕР 3. Вычислить tg(+y) (тангенс пи на четыре плюс игрек), если известно, что cosy = , π <у< (игрек больше пи, но меньше трех пи на два).

Решение. Применяя формулы тангенса суммы аргументов, получим

Найдем tgy (зная, cosy = , π<у<), воспользовавшись формулой. Получим tg 2 у = - 1 подставим значение косинуса в формулу, тогда получим - 1 = .

tg 2 у = - 1 - 1 = .

tg 2 у =. Извлечем корень квадратный tg у = и tg у =

По условию аргумент у (игрек) принадлежит третьей четверти, а там тангенс положительный. Значит, tg у = . А сейчас вернемся к первоначальной формуле и подставим найденное значение:

Ответ: = 7.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение =-1 (Разность тангенсов трех икс и икс, деленная на сумму единицы и произведения тангенсов трех икс и икс равно минус единице).

Решение. Заметим в левой части уравнения формулу тангенса разности аргументов три икс и икс. Имеем

tg(3x-x) =- 1, от получим 2х, значит

2х = arctg (-1) + πn, (два икс равно арктангенс минус единицы плюс пи эн).

Так как arctg (-1)= -arctg 1, тогда tg (-1) = Показать таблицу

Подставляем данные в выражение и получаем:

2х =-+ πn, (два икс равно минус пи на четыре плюс пи эн)

x = -+, (икс равно минус пи на восемь плюс пи эн, деленное на два)

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Алексей:

Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!

Самые часто задаваемые вопросы

Последние отзывы

Алексей:

Урок повторение ранее изученного материала по тригонометрии:повторение формул тригонометрии, отработка навыка преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений с помощью основных тригонометрических формул.

На столах лежат карточки с заданиями. Выбирается из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула синуса суммы или разности аргументов. К доске вызывается по желанию ученик, который решает и комментирует вслух все решение.

Решить самостоятельно следующее уравнение на данную формулу..

Работа по самооценке. Каждый ученик показывает на диаграмме уровень усвоения данной формулы и умение применить её к решению тригонометрического уравнения.

Рассматривается решение следующего уравнения на другую формулу

Скачать:

Предварительный просмотр:

Теме урока : Тангенс суммы и разности аргументов.

Цели урока: образовательные – систематизация уже имеющихся знаний по формулам тригонометрии, отработка навыков применения формул для тригонометрических выражений;

воспитательные – воспитание самостоятельности, работоспособности, таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях, способности к сотрудничеству;

развивающие – развитие коммуникативных способностей, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики, развитие логического мышления, умения выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы.

Задачи урока:

Повторение ранее изученного материала по тригонометрии;

Повторение формул тригонометрии;

Отработка навыка преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений с помощью основных тригонометрических формул.

Оборудование : мультимедиа проектор, экран, доска, презентация, карточки с заданиями для работы на уроке, карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Методы деятельности : репродуктивный и частично – поисковый.

Использование новейших технологий познавательной деятельности: презентация, контроль знаний в режиме самоконтроля и диагностики знаний.

План урока

№	Этап урока	Цель этапа	Время
	Организационный момент	Сообщение темы урока, постановка цели урока, сообщение этапов урока	2 мин.
	Проведение актуализации знаний	Проверить знание тригонометрических формул	7 мин.
	Закрепление материала в три этапа	Закрепить и отработать умение и навыки решать тригонометрические уравнения с помощью формул синуса, косинуса и тангенса суммы и разности аргументов	4 мин – 3раза
	Проведение самостоятельной работы	Проверить знания по данной теме	4 мин- 3 раза
	Интересно о предмете	Стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии	5 мин
	Итог урока	Сделать вывод о работе учащихся на уроке	2 мин

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Учитель: немецкий гений Иоганн Вольфганг Гёте однажды заметил: «Недостаточно только получать знания, надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому высказыванию писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим удовольствием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

2. Актуализация знаний.

Урок мы начнём с выполнения небольшой устной работы, которая нацелена на повторение основных тригонометрических тождеств, проверку усвоения предыдущего материала.

Упростить выражения и найти их значения:

а) sin · sin (2 +3 ) + cos (2 +3 ) ·cos

б) cos 2 · sin (- ) - cos (- )·sin 2

в) sin 81°· cos 21° - cos 81° ·sin 21°

г) cos ·cos - sin · sin

д) sin · cos + cos ·sin

е) cos78°·cos18° + sin78°· sin18°

Ответы к заданию : а) cos (3 + ); б) – sin(+ ); в) ; г)- ; д)1; е) ;ж) ;

з) ;и) ; к) - .

Учитель: Работа по самооценке. Показать на диаграмме уровень усвоения теории.

3. Закрепление материала.

Учитель: рассмотрим решение уравнений на применение формул (к доске вызывается по желанию ученик, который решает и комментирует вслух все решение):

а)sin х· cos 3х - cos х ·sin 3х =

Решение : применяя формулу синуса суммы получим sin (х + 3х) =

Sin 4х =

4х = (-1) n + n , где n

Х= (-1) n + , где n

4. Отработка навыков.

Учитель: разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы, косинусы и тангенсы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал английский философ и социолог Г. Спесер. На ваших столах лежат карточки с заданиями. Выберите из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула синуса суммы или разности аргументов. Решите самостоятельно.

Предложенные задания:

в) = -

б) sin 5х· cos х + cos 5х ·sin х = -

Sin6х = -

6х = (-1) n + n , где n

Х = (-1) n + , где n

Учитель: рассмотрим решение следующего уравнения cos 3х·cos5х - sin3х· sin5х = 0

Cos 8х = 0

8х = + ,где

Х = + ,где

Учитель: Выберите из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула косинус суммы или разности аргументов. Решите самостоятельно.

Решение заданий для самостоятельного выбора:

а) cos 4х·cosх - sin4х· sinх = -

Cos 5х = -

5х = +2 ,где

Х = + , где

Учитель: Работа по самооценке. Покажите на диаграмме уровень вашего усвоения данной формулы и умение применить её к решению тригонометрического уравнения.

Учитель: рассмотрим решение уравнения = 1

(к доске вызывается по желанию ученик, который решает и комментирует вслух все решение)

Ответ: х = - ,где

Учитель: Выберите из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула тангенса суммы или разности аргументов. Решите самостоятельно.

Решение заданий для самостоятельного выбора:

в) = -

tg(+ х) = -

Х = - + n , где n

х = - + n , где n

Подведение итогов работы. Выставление оценок согласно критериям.

Ключ для выставления оценок:

16 -20 баллов – оценка «5»

13 -15 баллов – оценка «4»

6 -12 баллов – оценка «3»

менее 6 баллов – оценка «2»

5.Дополнительное задание:

Вычислите:

)а)

б))

Работа по слайду(повторить решение простейших тригонометрических тригонометрических уравнений, верны ли все решения?):

Работа с кроссвордом.

Итог урока. Выставление и комментирование оценок ученикам, работающим у доски. Озвучивание оценок, выставленных учениками по диаграмме оценивания.

Учитель : Однажды Сократ, окруженный учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. " Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, - улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной". Мудрец же ответил так: " Да, но ты зовёшь их вниз, в теплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам".

Вот и мы с вами сегодня поднялись на одну ступеньку вверх, научившись применять формулы тригонометрии.

Используемая литература.

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа10 – 11 классы в 2 частях(учебник, задачник) Для общеобразовательных учреждений. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.

2. Макеева А.В. Карточки по тригонометрии. 10-11 классы: Дидактический материал для учителя - ОАО “Издательство “Лицей”, Саратов, 2002.

3. Изучение алгебры и начал анализа 10-11: Методические рекомендации к учеб.; кн. для учителя / Н.Е.Федорова, М.В. Ткачева. – М.: Просвещение, 2007.

4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класс/М.И. Шабунин, М.В. Ткачева и др. -2-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

5. Решетников Н.Н. Материалы курса “Тригонометрия в школе” лекции 1-8. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006

6. Газета “Первое сентября. Математика”. - №6, 2004.

7. Сборники заданий к ЕГЭ 2002, 2011.

Электронная поддержка урока: